安庆一中、安师大附中2025届高三第三次模拟考试数学试卷含解析

安庆一中、安师大附中2025届高三第三次模拟考试数学试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()cos ||sin f x x x =+，则下列结论中正确的是 ①函数()f x 的最小正周期为π； ②函数()f x 的图象是轴对称图形； ③函数()f x 的极大值为2； ④函数()f x 的最小值为1-． A ．①③ B ．②④ C ．②③
D ．②③④
2．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）
A ．10000立方尺
B ．11000立方尺
C ．12000立方尺
D ．13000立方尺
3．已知条件:1p a =-，条件:q 直线10x ay -+=与直线2
10x a y +-=平行，则p 是q 的( )
A ．充要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知i 为虚数单位，实数,x y 满足(2)x i i y i +=-，则||x yi -= ( ) A ．1
B 2
C 3
D 5
5．当0a >时，函数()()
2
x
f x x ax e =-的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知函数()(2)3,(ln 2)
()32,(ln 2)x
x x e x f x x x ⎧--+≥⎪=⎨-<⎪⎩
，当[,)x m ∈+∞时，()f x 的取值范围为(,2]e -∞+，则实数m 的
取值范围是（ ） A ．1,
2
e -⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
B ．(,1]-∞
C ．1,12e -⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
D ．[ln 2,1]
7．设全集U =R ，集合{|(1)(3)0}A x x x =--≥，11|24x
B x ⎧⎫⎪⎪
⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
.则集合()
U A B 等于（ ）
A ．(1,2)
B ．(2,3]
C ．(1,3)
D ．(2,3)
8． 下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A ．2k π＋45°(k ∈Z)
B ．k ·360°＋π(k ∈Z)
C ．k ·360°－315°
(k ∈Z) D ．k π＋
(k ∈Z)
9．连接双曲线22122:1x y C a b -=及22
222:1y x C b a -=的4个顶点的四边形面积为1S ，连接4个焦点的四边形的面积为2S ，
则当1
2
S S 取得最大值时，双曲线1C 的离心率为（ ）
A ．
52
B ．
32
2
C ．3
D ．2
10．如图，在ABC 中，,(,),2AD AB BD xAB yAC x y R AD ⊥=+∈=，且12AC AD ⋅=，则2x y +=（ ）
A ．1
B ．2
3
-
C ．13
-
D ．34
-
11．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}
2
|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是
A ．M N N =
B ．(
)U
M
N =∅
C ．M
N U =
D ．()U
M N ⊆
12．将函数sin 2y x =的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位得到函数sin 26y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图像，则ϕ的最小值为（ ） A ．
6π B ．12π
C ．1112π
D ．
56
π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为____． 14．已知()727
012711112x a a x a x a x x x
⎛
⎫+
-=++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，则2a =___________，0127a a a a +++⋅⋅⋅+=_____________________________
15．已知以x ±
2y =0为渐近线的双曲线经过点(4,1)，则该双曲线的标准方程为________. 16．已知函数()()()2
02ln f x a x x x a =+>-有两个极值点1x 、()212x x x <，则()()12f x f x +的取值范围为
_________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知ABC ∆1AB AC ⋅=-. （1）求角A 的大小及BC 长的最小值；
（2）设M 为BC 的中点，且2
AM =BAC ∠的平分线交BC 于点N ，求线段MN 的长. 18．（12分）已知函数()ln x
f x x
=． (Ⅰ)求函数()f x 的极值；
(Ⅱ)若0m n >>,且n m m n =,求证：2mn e >．
19．（12分）已知函数1()sin cos 2f x b x a x ⎫⎛⎫
=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，且π(0)1,13f f ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
. （1）求()f x 的解析式；
（2）已知2
()23(14)g x x x m m =-+-<≤，若对任意的1[0,π]x ∈，总存在2[2,]x m ∈-，使得()()12f x g x =成立，
求m 的取值范围.
20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，设1m ，过点(,0)m 的直线l 与圆22:1P x y +=相切，且与抛物线2
:2Q y x
=相交于,A B 两点．
（1）当m 在区间[1,)+∞上变动时，求AB 中点的轨迹；
（2）设抛物线焦点为F ，求ABF 的周长(用m 表示)，并写出2m =时该周长的具体取值．
21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>过点2(2,)2
，
设椭圆Γ的上顶点为B ，右顶点和右焦点分别为A ，F ，且56
AFB π
∠=
． （1）求椭圆Γ的标准方程；
（2）设直线:(1)l y kx n n =+≠±交椭圆Γ于P ，Q 两点，设直线BP 与直线BQ 的斜率分别为BP k ，BQ k ，若
1BP BQ k k +=-，试判断直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
22．（10分）为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图，若尺寸落在区间(2,2)x s x s -+之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中x ,s 分别为样本平均数和样本标准差，计算可得15s ≈（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
（1）求样本平均数的大小；
（2）若一个零件的尺寸是100 cm ，试判断该零件是否属于“不合格”的零件.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解析】
因为(π)cos(π)sin(π)|cos ||sin (|)f x x x x x f x +=+++=-≠，所以①不正确； 因为()cos ||sin f x x x =+，所以 cos sin ()|()|(sin |22c )|os 2x x x f x x πππ
+++==++， ()2f x π-=cos sin sin |c |()|()|22os ππ++--=x x x x ，所以() ()22
f x f x ππ
+=-， 所以函数()f x 的图象是轴对称图形，②正确；
易知函数()f x 的最小正周期为2π，因为函数()f x 的图象关于直线2
x π=对称，所以只需研究函数()f x 在3[
,
]22ππ
上
的极大值与最小值即可．当
32
2
x π
π≤≤
时，()cos sin 2sin()4f x x x x π=-+=-，且5444x πππ≤-≤，令42x ππ
-=，得
34x π=
，可知函数()f x 在34
x π
=处取得极大值为2，③正确； 因为
5444x πππ≤-≤，所以12sin()24
x π-≤-≤，所以函数()f x 的最小值为1-，④正确． 故选D ． 2、A 【解析】
由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：
沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直， 则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱， 则三棱柱的
四棱锥的体积
由三视图可知两个四棱锥大小相等，立方丈
立方尺．
故选A ．
【点睛】本题考查三视图及几何体体积的计算，其中正确还原几何体，利用方格数据分割与计算是解题的关键． 3、C 【解析】
先根据直线10x ay -+=与直线2
10x a y +-=平行确定a 的值，进而即可确定结果.
【详解】
因为直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行，
所以20a a +=，解得0a =或1a =-；即0q a =：或1a =-； 所以由p 能推出q ；q 不能推出p ； 即p 是q 的充分不必要条件. 故选C 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型. 4、D 【解析】
()1
2,2,2x x i i y i xi y i y =-⎧+=-∴-+=-∴⎨=-⎩
，
则12x yi i -=-+= 故选D. 5、B 【解析】
由()0f x =，解得20x ax -=，即0x =或x a =，
0,a >∴函数()f x 有两个零点，,A C ∴，不正确，设1a =，
则()()()()
2
2
,'1x
x
f x x x e f x x x e =-∴=+-，由()()
2
'10x
f x x x e =+->，解得12x -+>
或12
x -<，
由()()
2
'10x
f x x e =-<，解得：x <<
即1x =-是函数的一个极大值点，D ∴不成立，排除D ，故选B.
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及
0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.
6、C 【解析】
求导分析函数在ln2x ≥时的单调性、极值，可得ln2x ≥时，()f x 满足题意，再在ln2x <时，求解()2f x e ≤+的x 的范围，综合可得结果.
【详解】
当ln2x ≥时，()()()
'12x
f x x e =---，
令()'0f x >，则ln21x <<；()'0f x <，则1x >， ∴函数()f x 在()ln2,1单调递增，在()1,+∞单调递减. ∴函数()f x 在1x =处取得极大值为()12f e =+， ∴ln2x ≥时，()f x 的取值范围为(]
,2e -∞+， ∴ln2m 1≤≤
又当ln2x <时，令()322f x x e =-≤+，则12e x -≥，即
1x ln22
e
-≤<， ∴
1e
22
m ln -≤< 综上所述，m 的取值范围为1,12e -⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. 故选C. 【点睛】
本题考查了利用导数分析函数值域的方法，考查了分段函数的性质，属于难题. 7、A 【解析】 先算出集合U
A ，再与集合
B 求交集即可.
【详解】
因为{|3A x x =≥或1}x ≤.所以{|13}U
A x x =<<，又因为{}|24{|2}x
B x x x =<=<.
所以(
){|12}U
A B x x ⋂=<<.
故选：A. 【点睛】
本题考查集合间的基本运算，涉及到解一元二次不等式、指数不等式，是一道容易题. 8、C 【解析】
利用终边相同的角的公式判断即得正确答案. 【详解】
与的终边相同的角可以写成2k π＋ (k ∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确.
故答案为C 【点睛】
（1）本题主要考查终边相同的角的公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 与α终边相同的角
β=0360k ⋅+α
其中k z ∈.
9、D 【解析】
先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，四个焦点构成正方形，求出其面积，
利用重要不等式求得1
2
S S 取得最大值时有a b =，从而求得其离心率.
【详解】
双曲线22221x y a b
-=与22
221y x b a -=互为共轭双曲线，
四个顶点的坐标为(,0),(0,)a b ±±，四个焦点的坐标为(,0),(0,)c c ±±，
四个顶点形成的四边形的面积11
2222
S a b ab =
⨯⨯=， 四个焦点连线形成的四边形的面积2
212222
S c c c =⨯⨯=，
所以1222221222
S ab ab ab S c a b ab ==≤=+， 当12S S 取得最大值时有a b =，2c a =，离心率2c e a
== 故选：D. 【点睛】
该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有共轭双曲线的顶点，焦点，菱形面积公式，重要不等式求最值，等轴双曲线的离心率，属于简单题目. 10、C 【解析】
由题可0,12AD AB AC AD ⋅=⋅=,所以将已知式子中的向量用AD AB AC ，，表示，可得到的,x y 关系，再由,,B D C 三点共线，又得到一个关于,x y 的关系，从而可求得答案 【详解】
由BD xAB yAC =+，则
(1),[(](1)AD x AB y AC AD AD AD x AB y AC x AD AB y AD AC =++⋅=⋅++=+⋅+⋅，即412y =，所以13
y =
，又,,B D C 共线，则1111,,233
x y x x y ++==-+=-. 故选：C 【点睛】
此题考查的是平面向量基本定理的有关知识，结合图形寻找各向量间的关系，属于中档题. 11、A 【解析】
求函数定义域得集合M ，N 后，再判断． 【详解】
由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =．
故选A ． 【点睛】
本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定． 12、B 【解析】
根据三角函数的平移求出函数的解析式，结合三角函数的性质进行求解即可． 【详解】
将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位， 得到sin 2()sin(22)y x x ϕϕ=+=+， 此时与函数sin(2)6
y x π
=+的图象重合， 则226
k π
ϕπ=+
，即12
k π
ϕπ=+，k Z ∈，
∴当0k =时，ϕ取得最小值为12
π
ϕ=
，
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、
59
【解析】
总事件数为6636⨯=，
目标事件：当第一颗骰子为1,2,4,6，具体事件有
()()()()()()()()1,3,1,6,2,3,2,6,4,3,4,6,5,3,5,6，共8种；
当第一颗骰子为3,6，则第二颗骰子随便都可以，则有2612⨯=种； 所以目标事件共20中，所以205
369
P ==。

14、−196 −3 【解析】
由二项式定理及二项式展开式通项得：()()23
23
27722196a C C =-+-=-，令x =1，则1+a 0+a 1+…+a 7=（1+1）×（1-2）7
=-2，所以a 0+a 1+…+a 7=-3，得解．
【详解】
由二项式(1−2x )7展开式的通项得()172r
r
r T C x +=-， 则()()2
3
2327722196a C C =-+-=-，
令x =1,则()()7
017111122a a a +++⋯+=+⨯-=-， 所以a 0+a 1+…+a 7=−3， 故答案为：−196，−3. 【点睛】
本题考查二项式定理及其通项，属于中等题.
15、221123
y x -=
【解析】
设双曲线方程为2
2
4x y λ-=，代入点(4,1)，计算得到答案. 【详解】
双曲线渐近线为20x y ±=，则设双曲线方程为：2
2
4x y λ-=，代入点(4,1)，则12λ=.
故双曲线方程为：221123y x -=.
故答案为：221123
y x -=.
【点睛】
本题考查了根据渐近线求双曲线，设双曲线方程为224x y λ-=是解题的关键. 16、(),16ln 224-∞- 【解析】
确定函数()y f x =的定义域，求导函数，利用极值的定义，建立方程，结合韦达定理，即可求()()12f x f x +的取值范围． 【详解】
函数()()2
2ln f x a x x x =-+的定义域为()0,∞+，()21222212x ax a f x a x x x -+⎛
⎫'=-+= ⎪⎝⎭
，
依题意，方程22220x ax a -+=有两个不等的正根1x 、2x （其中12x x <）， 则241604a a a ∆=->⇒>，由韦达定理得120x x a +=>，120x x a =>， 所以
()()()()()
22
121212122ln 2f x f x a x x x x a x x +=++-+()()()2
222121212122ln 222ln 222ln 2a x x x x x x a x x a a a a a a a a a ⎡⎤=++--+=+--=--⎣⎦
，
令()()2
2ln 24h a a a a a a =-->，则()2ln 2h a a a '=-，()()212
2a h a a a
-''=
-=
， 当4a >时，()0h a ''<，则函数()y h a '=在()4,+∞上单调递减，则()()44ln 280h a h '<=-<， 所以，函数()y h a =在()4,+∞上单调递减，所以，()()416ln 224h a h <=-. 因此，()()12f x f x +的取值范围是(),16ln 224-∞-. 故答案为：(),16ln 224-∞-. 【点睛】
本题考查了函数极值点问题，考查了函数的单调性、最值，将
()()
12f x f x +的取值范围转化为以a 为自变量的函数
的值域问题是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）23A π=，min BC =（2）MN =
【解析】
（1）根据面积公式和数量积性质求角A 及最大边a ；
（2）根据AM 的长度求出b ，c 再根据面积比值求BM ，BN 从而求出MN ． 【详解】
（1）在ABC ∆中，由1AB AC =-，得cos 1cb A =-，
由ABC S ∆=
，得sin bc A = 所以222()(cos sin )4bc A A +=，
所以2bc =，1
cos 2
A =-，
因为在ABC ∆中，0A π<<，所以23
A π=
， 因为222222cos 222a b c bc A b c bc =+-=+++（当且仅当b c =时取等）， 所以BC
；
（2）在三角形ABC 中，因为AM 为中线，
所以AM AB BM =+，AM AC CM =+，所以2AM AB AC =+，
因为2
AM =
2222(2)()23AM AB AC b c =+=+-=， 所以225b c +=，
由（1）知2bc =，所以1b =，2c =或2b =，1c =，
所以2222cos a b c bc A =+-=， 因为AN 为角平分线，1sin 23ABN S AB AN π∆=
，1sin 23
ACN S AC AN π∆=， ∴
1
2
ABN ACN S c BN S b CN ∆∆===
或2，
所以BM =
BN =或
3， 所以MN = 【点睛】
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算,余弦定理解三角形及三角形面积公式的应用，属于中档题． 18、 (Ⅰ)极大值为：1
e
，无极小值；(Ⅱ)见解析. 【解析】
(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可求出函数()f x 的极值；(Ⅱ)得到
()()f m f n =,根据函数的单调性问题转化为证明2
e m e n
>>，即证()22ln ln n n n n e -<
,令()()222ln 2ln 1G x e x x x x x e =-+<<，根据函数的单调性证明即可．
【详解】 (Ⅰ)
()ln x
f x x =
()f x ∴的定义域为()0,∞+且()2
1ln x f x x -'= 令()0f x '>，得0x e <<；令()0f x '<，得x e >
()f x ∴在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减
∴函数()f x 的极大值为()ln 1
e f e e e
=
=，无极小值 (Ⅱ)
0m n >>，n m m n = ln ln n m m n ∴=
l ln n m m n
n
∴
=，即()()f m f n = 由(Ⅰ)知()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减 且()10f =，则1n e m <<<
要证2mn e >，即证2e m e n >>，即证()2e f m f n ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即证()2e f n f n ⎛⎫< ⎪⎝⎭
即证
()2
2ln ln n n n n e -<
由于1n e <<，即0ln 1n <<，即证222ln 2ln e n n n n <- 令()()2
2
2
ln 2ln 1G x e x x x x x e =-+<<
则()()()()()2242ln 2ln 12ln 1e x e x e e G x x x x x x x x x x x x x +-⎛⎫'=
-++=-+-=+- ⎪⎝⎭
1x e << ()0G x '∴>恒成立 ()G x ∴在()1,e 递增
()()0G x G e ∴<=在()1,x e ∈恒成立
2mn e ∴>
【点睛】
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，考查运算
求解能力及化归与转化思想，关键是能够构造出合适的函数，将问题转化为函数最值的求解问题，属于难题． 19、（1）π()2sin 6f x x ⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
；（2）(]1,3 【解析】
（1）由π(0)1,13f f ⎛⎫
=-=
⎪⎝⎭
,可求出,a b 的值,进而可求得()f x 的解析式; （2）分别求得()f x 和()g x 的值域,再结合两个函数的值域间的关系可求出m 的取值范围. 【详解】
（1）因为π(0)1,13f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,
所以1(0)12π111322f a f b a ⎧
==-⎪⎪
⎨
⎫⎛⎫⎛⎫⎪=++=⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎩,
解得1,2
a b ==
,
故13()sin cos 22f x x x ⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭⎝
⎭
πcos 2sin 6x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. （2）因为[0,π]x ∈,所以ππ5π,666x ⎡⎤-
∈-⎢⎥⎣⎦,所以π1sin ,162x ⎛
⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，则()[1,2]f x ∈-, 2()23g x x x m =-+-图象的对称轴是1x =.
因为14,2m x m <≤-≤≤,所以min max ()(1)4,()(2)5g x g m g x g m ==-=-=+,
则14
4152m m m <≤⎧⎪
-≤-⎨⎪+≥⎩
,解得13m <≤,故m 的取值范围是(]1,3. 【点睛】
本题考查了三角函数的恒等变换,考查了二次函数及三角函数值域的求法,考查了学生的计算求解能力,属于中档题. 20、（1
）2x y =+（2）ABF
的周长为22212m m +-+2m =时，ABF
的周长为
11+【解析】
（1）设l 的方程为x ky m =+，
根据题意由点到直线的距离公式可得
1=，将直线方程与抛物线方程联立可得
2220y ky m --=，设A ､B 坐标分别是()11,x y ､()22,x y ,利用韦达定理以及中点坐标公式消参即可求解.
（2）根据抛物线的定义可得12||||AF BF p x x +=++，由（1）可得2
||||221AF BF m m +=+-，再利用弦长公
式即可求解. 【详解】
（1）设l 的方程为x ky m =+
2211k m =⇒=-
联立22
2202x ky m
y ky m y x
=+⎧⇒--=⎨
=⎩ 设A ､B 坐标分别是()11,x y ､()22,x y 则122
12222y y k
x x k m
+=⎧⎨
+=+⎩ 设AB 的中点坐标为(,)x y ，则
22
1x k m m m
y k ⎧=+=-+⎪⎨==⎪⎩ 消去参数m
得：2x y =+（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由抛物线定义知
1||2p AF x =+
，2||2
p
BF x =+，1p = ∴12||||AF BF p x x +=++
由（1）知(
)
2
2
1222212x x k m m m +=+=-+ ∴2
||||221AF BF m m +=+-
||AB =
=
=
122y y k +=，122y y m ⋅=-，221k m =
-
||2AB ==
ABF 的周长为22212m m +-+
2m =时，ABF
的周长为11+【点睛】
本题考查了动点的轨迹方程、直线与抛物线的位置关系、抛物线的定义、弦长公式，考查了计算能力，属于中档题.
21、（1）2
214
x y += （2）直线l 过定点，该定点的坐标为(2,1)-．
【解析】
（1）因为椭圆Γ
过点2
，所以222112a b += ①，
设O 为坐标原点，因为56AFB π∠=
，所以6BFO π
∠=
，又||BF a =，所以12
b a = ②， 将①②联立解得21
a b =⎧⎨=⎩（负值舍去），所以椭圆Γ的标准方程为2
214x y +=．
（2）由（1）可知(0,1)B ，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ．
将y kx n =+代入2
214
x y +=，消去y 可得222(14)8440k x knx n +++-=，
则2
2
2
2
2
(8)4(14)(44)16(41)0kn k n k n ∆=-+-=-+>，122814kn x x k -+=+，2122
44
14n x x k -=+，
所以122121************
11()()2(1)()
BP BQ y y x kx n x x kx n x kx x n x x k k x x x x x x --+-++-+-++=+== 22222
4482(1)8(1)214141444(1)(1)114n kn
k n k n k k k n n n n k --⋅+-⋅-++====--+-++，
所以21n k =--，此时2216[4(21)1]640k k k ∆=---+=->，所以k 0<， 此时直线l 的方程为21y kx k =--，即(2)1y k x =--，
令2x =，可得1y =-，所以直线l 过定点，该定点的坐标为(2,1)-． 22、（1）66.5 （2）属于 【解析】
（1）利用频率分布直方图的平均数公式求解；（2）求出(2,2)x s x s -+，即可判断得解. 【详解】
（1）35100.00545100.01055100.01565100.030x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯
75100.020+⨯⨯850.01595100.00566.5+⨯+⨯⨯=
（2）266.53096.5,266.53036.5,10096.5x s x s +=+=-=-=> 所以该零件属于“不合格”的零件 【点睛】
本题主要考查频率分布图中平均数的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。