哈尔滨市2019-2020学年九年级上月考数学试卷(10月)含解析

哈尔滨市2019-2020学年九年级上月考数学试卷(10月)含解析
（解析版）
一、选择题：
1．﹣2的倒数的相反数是（）
A．B．C．2 D．﹣2
2．下列运算正确的是（）
A．（a2）5=a7B．a2•a4=a6C．3a2b﹣3ab2=0 D．（）2=
3．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
4．已知反比例函数y=的图象的两支分别在第二、四象限内，那么k的取值范围是（）
A．k＞﹣B．k＞C．k＜﹣D．k＜
5．下列命题：
①圆上任意两点间的部分叫弧
②圆心角相等则它们所对的弧相等
③等弧的所对的弦相等
④直径是圆的对称轴
⑤顶点在圆上，两边和圆相交的角是圆周角．
其中正确的有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞行高度
AC=1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=30°，则飞机A与指挥台B的距离为（）
A．1200m B．1200m C．1200m D．2400m
7．如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是（）
A．∠AEF=∠DEC B．FA：CD=AE：BC C．FA：AB=FE：EC D．AB=DC 8．小李将1000元钱存入银行，年利率为x，第二年他把本息和全部存入银行，两年后不计利息税，他得到本息共a元，则依题意可列方程为（）
A．1000（x+x）=a B．1000（1﹣2x）=a C．1000（1+x）2=a D．1000（1+2x）2=a
10．如图，点P沿半圆弧AB从A向B匀速运动，若运动时间为t，扇形OAP的面积为s，则s与t的函数图象大致是（）
A．B．C．D．
二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
11．将456 000 000用科学记数法表示为．
12．在函数y=中，自变量x的取值范围是．
13．化简计算：2﹣4=．
14．分解因式：ax2﹣a=．
15．一个扇形的半径为2cm，面积为πcm2，则此扇形的圆心角为．
16．不等式组的解集为．
17．松雷中学举行捐书活动，其中A班和B班共捐书200本，A班捐书数量是B班捐书数量2倍还多14本，则A班捐书有本．
18．从甲、乙、丙、丁4名三好学生中随机抽取2名学生担任升旗手，则抽取的2名学生是甲和乙的概率为．
19．纸片△ABC中，∠B=60°，AB=8cm，AC=7cm，将它折叠，使A与B重合，则折痕长为cm．
20．如图，AB∥CD，∠CBE=∠CAD=90°．AC=AD=6，DE=4，则BD长为．
三、解答题：（21、22题各7分，23、24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21．先化简，再求值：，其中a=tan60°﹣tan45°．
22．如图，在所给网格图（•哈尔滨模拟）为迎接年中考，某中学对全校九年级学生进行了一次数学期末模拟考试，并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请你根据统计图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，样本中表示成绩类别为“中”的人数，并将条形统计图补充完整；（2）若该中学九年级共有l 000人参加了这次数学考试，估计该校九年级共有多少名学生的数学成绩可以达到优秀？
24．如图，在正六边形ABCDEF中，对角线AE与BF相交于点M，BD与CE相交于点N．
（1）观察图形，写出图中与△ABM全等三角形；
（2）选择（1）中的一对全等三角形加以证明．
25．（10分）（秋•哈尔滨校级月考）某电器经营业主两次购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，第一次购进8台空调和20台电风扇；第二次购进10台空调和30台电风扇．（1）若第一次用资金17400元，第二次用资金22500元，求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元？
（2）在（1）的条件下，若该业主计划再购进这两种电器70台，而可用于购买这两种电器的资金不超过30000元，问该经营业主最多可再购进空调多少台？
26．（10分）（秋•哈尔滨校级月考）如图，AB为⊙O直径，CD为弦，弦CD⊥AB于点M，F为DC延长线上一点，连接CE、AD、AF，AF交⊙O于E，连接ED交AB于N．（1）求证：∠AED=∠CEF；
（2）当∠F=45°，且BM=MN时，求证：AD=ED；
（3）在（2）的条件下，若MN=1，求FC的长．
27．（10分）（秋•哈尔滨校级月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O 为原点，E为AB上一点，把△CBE沿CE折叠，使点B恰好落在OA边上的点D处，A、D的坐标分别为（5，0）和（3，0）．
（1）已知抛物线y=2x2+bx+c经过B、D两点，求此抛物线的解析式；
（2）点P为线段CE上的动点，连接AP，当△PAE的面积为时，求tan∠APE的值；
（3）将抛物线y=2x2+bx+c平移，使其经过点C，设抛物线与直线BC的另一个交点为M，问在该抛物线上是否存在点Q，使得△CMQ为等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；并直接写出满足（2）的P点是否在此时的抛物线上．
-学年九年级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：
1．﹣2的倒数的相反数是（）
A．B．C．2 D．﹣2
【考点】倒数；相反数．
【分析】首先找到：﹣2的倒数是﹣，再找到﹣的相反数即可．
【解答】解：﹣2的倒数是﹣，﹣的相反数是，
故选：A．
【点评】此题主要考查了倒数与相反数的定义，关键是熟练掌握倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数；相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
2．下列运算正确的是（）
A．（a2）5=a7B．a2•a4=a6C．3a2b﹣3ab2=0 D．（）2=
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法和同类项合并计算即可．
【解答】解：A、（a2）5=a10，错误；
B、a2•a4=a6，正确；
C、3a2b与3ab2不能合并，错误；
D、（）2=，错误；
故选B．
【点评】此题考查幂的乘方、同底数幂的乘法和同类项合并，关键是根据法则进行计算．
3．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：（A）、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
（B）、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
（C）、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
（D）、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．
故选B．
【点评】此题考查了轴对称及中心对称图形的判断，解答本题的关键是掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，属于基础题．
4．已知反比例函数y=的图象的两支分别在第二、四象限内，那么k的取值范围是（）
A．k＞﹣B．k＞C．k＜﹣D．k＜
【考点】反比例函数的性质．
【分析】先根据函数y=的图象分别位于第二、四象限列出关于k的不等式，求出k 的取值范围即可．
【解答】解：∵函数y=的图象分别位于第二、四象限，
∴3k+1＜0，
解得k＜﹣
故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y=（k≠0）中，当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大是解答此题的关键．
5．下列命题：
①圆上任意两点间的部分叫弧
②圆心角相等则它们所对的弧相等
③等弧的所对的弦相等
④直径是圆的对称轴
⑤顶点在圆上，两边和圆相交的角是圆周角．
其中正确的有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】命题与定理．
【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①圆上任意两点间的部分叫弧，正确；
②在同圆或等圆中，圆心角相等则它们所对的弧相等，错误；
③等弧的所对的弦相等，正确；
④直径所在直线是圆的对称轴，故错误；
⑤顶点在圆上，两边和圆相交的角是圆周角，正确．
正确的有3个，
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关定义及性质，难度不大．
6．如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞行高度
AC=1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=30°，则飞机A与指挥台B的距离为（）
A．1200m B．1200m C．1200m D．2400m
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】首先根据图示，可得∠ABC=∠α=30°，然后在Rt△ABC中，用AC的长度除以sin30°，求出飞机A与指挥台B的距离为多少即可．
【解答】解：∵∠ABC=∠α=30°，
∴AB==，
即飞机A与指挥台B的距离为2400m．
故选：D．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
7．如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是（）
A．∠AEF=∠DEC B．FA：CD=AE：BC C．FA：AB=FE：EC D．AB=DC
【考点】平行线分线段成比例；平行四边形的性质．
【分析】根据已知及平行线分线段成比例定理进行分析，可得CD∥BF，依据平行线成比例的性质即可得到答案．
【解答】解：A、根据对顶角相等，此结论正确；
B、根据平行线分线段成比例定理，得FA：FB=AE：BC，所以此结论错误；
C、根据平行线分线段成比例定理得，此项正确；
D、根据平行四边形的对边相等，所以此项正确．
故选B．
【点评】此题综合运用了平行四边形的性质以及平行线分线段成比例定理．
8．小李将1000元钱存入银行，年利率为x，第二年他把本息和全部存入银行，两年后不计利息税，他得到本息共a元，则依题意可列方程为（）
A．1000（x+x）=a B．1000（1﹣2x）=a C．1000（1+x）2=a D．1000（1+2x）2=a
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】首先表示出一年后的本息和，然后表示出第二年的本息和即可．
【解答】解：∵1000元钱存入银行，年利率为x，
∴方程为：1000（1+x）2=a，
故选C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是了解有关增长率问题的一般解法，难度不大．
10．如图，点P沿半圆弧AB从A向B匀速运动，若运动时间为t，扇形OAP的面积为s，则s与t的函数图象大致是（）
A．B．C．D．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】根据题意可以写出s与t的函数函数解析式，从而可以得到s与t的函数图象，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，设半圆的半径为r，
，（t≥0）
即s与t的函数图象是射线，
故选C．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，知道相应的函数图象是什么．
二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
11．将456 000 000用科学记数法表示为．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于456 000 000有9位，所以可以确定n=9﹣1=8．
【解答】解：456 000 000=4.56×108．
故答案为：4.56×108．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
12．在函数y=中，自变量x的取值范围是．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+2≠0，
解得x≠﹣2．
故答案为：x≠﹣2．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13．化简计算：2﹣4=．
【考点】二次根式的加减法．
【分析】首先化简二次根式，进而合并同类二次根式得出答案．
【解答】解：原式=2×2﹣4×=3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
14．分解因式：ax2﹣a=．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】应先提取公因式a，再利用平方差公式进行二次分解．
【解答】解：ax2﹣a，
=a（x2﹣1），
=a（x+1）（x﹣1）．
【点评】主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，分解因式要彻底，直到不能再分解为止．
15．一个扇形的半径为2cm，面积为πcm2，则此扇形的圆心角为．
【考点】扇形面积的计算．
【分析】设扇形的圆心角是n°，根据扇形的面积公式即可得到一个关于n的方程，解方程即可求解．
【解答】解：设扇形的圆心角是n°，
根据题意可知：S==π，
解得n=90°．
故答案为：90°．
【点评】本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式S=是解题的关键，此题难度不大．
16．不等式组的解集为．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：，
由①得，x＞﹣1，
由②得x≤2，
故此不等式组的解集为：﹣1＜x≤2．
故答案为：﹣1＜x≤2．
【点评】本题解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．
17．松雷中学举行捐书活动，其中A班和B班共捐书200本，A班捐书数量是B班捐书数量2倍还多14本，则A班捐书有本．
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】设B班捐书x本，由A班捐书数量是B班捐书数量2倍还多14本得出A班捐书（2x+14）本，根据A班和B班共捐书200本列出方程，解方程即可．
【解答】解：设B班捐书x本，则A班捐书（2x+14）本，根据题意得
（2x+14）+x=200，
解得x=62．
2x+14=2×62+14=138．
答：A班捐书138本．
故答案为138．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
18．从甲、乙、丙、丁4名三好学生中随机抽取2名学生担任升旗手，则抽取的2名学生是甲和乙的概率为．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】根据题意画出树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：画树形图得：
∴一共有12种情况，抽取到甲和乙的有2种，
∴P（抽到甲和乙）==．
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19．纸片△ABC中，∠B=60°，AB=8cm，AC=7cm，将它折叠，使A与B重合，则折痕长为cm．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】当△ABC是锐角三角形时，如图1中，EF是折痕，作CM⊥AB垂足为M，作AH⊥BC于H，再求出BH、CH，在RT△BCM中QC BM、CM，再根据EF∥CM得
=，由此即可解决．
当△ABC是钝角三角形时，如图2中，EF是折痕，作CM⊥AB垂足为M，作AH⊥BC于H，方法同上．
【解答】解：当△ABC 是锐角三角形时，如图1中，EF 是折痕，作CM ⊥AB 垂足为M ，作AH ⊥BC 于H ，
在RT △ABH 中，∵∠AHB=90°，∠B=60°，AB=8，
∴BH=AB=4，AH=BH=4，
在RT △AHC 中，∠AHC=90°，AH=4，AC=7，
∴HC==
=1， ∴BC=5， 在RT △BCM 中，∵∠CMB=90°，∠B=60°，BC=5，
∴BM==，MC=，
∵EF ∥CM ，AE=EB=4，
∴=，
∴=，
∴EF=．
当△ABC 是钝角三角形时，如图2中，EF 是折痕，作CM ⊥AB 垂足为M ，作AH ⊥BC 于H ，
由（1）可知，BH=4，AH=4
，CH=1，
∴BC=BH ﹣CH=3，
在RT △BCM 中，∵∠CMB=90°，∠B=60°，BC=3，
∴BM==，MC=， ∵EF ∥CM ，AE=EB=4，
∴=，
∴=，
∴EF=
．
故答案为或
【点评】本题考查翻折变换、30度直角三角形的性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，学会应用平行线分线段成比例定理求线段的长，属于中考常考题型．
20．如图，AB∥CD，∠CBE=∠CAD=90°．AC=AD=6，DE=4，则BD长为．
【考点】四点共圆；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【分析】先求出CE，再由∠CBE=∠CAE=90°，判断出点A，B，C，E在以点O为圆心，CE为直径的圆上，借助∠BAC=∠ACD=45°，得出∠BOC是直角，求出BC，另为判断出三角形DEH是等腰直角三角形，求出EH，再用平行线分线段成比例求出AM，即可得出BG，用勾股定理求出CG，进而求出DG，最后勾股定理即可得出BD．
【解答】解：如图，在Rt△ACD中，AC=AD=6，
∴CD=6，∠ACD=∠ADC=45°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD=45°，
连接CE，
在Rt△ACE中，AC=6，AE=AD﹣DE=2．
∴CE==2，
取CE的中点O，连接OB，
∵∠CBE=∠CAE=90°，
∴点A，B，C，E在以点O为圆心，CE为直径的圆上，
∴∠BOC=2∠BAC=90°，OB=OC=CE=
∵OB=OC，
∴BC=OB=2，
过点E作EH⊥CD，
∵∠ADC=45°，
∴△DEH是等腰直角三角形，
∵DE=4，
∴EH=DH=DE=2，
过点A作AM⊥CD，
∴EH∥AM，
∴=，
∴AM=EH=3，
过点B作BG⊥CD，
∴四边形ABGH是矩形，
∴BG=AM=3，
在Rt△BCG中，BC=2，BG=3，
∴CG==，
∴DG=CD﹣CG=6﹣=5，
在Rt△BDG中，BG=3，DG=5，
∴BD==2．
故答案为：2．
【点评】此题是四点共圆题目，主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，圆周角的性质，矩形的判定，解本题的关键是得出∠BOC=90°，作出辅助线是解本题的难点．
三、解答题：（21、22题各7分，23、24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21．先化简，再求值：，其中a=tan60°﹣tan45°．
【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出a的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=÷
=•
=，
当a=tan60°﹣tan45°=﹣1时，原式===1+．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
22．如图，在所给网格图
（3）△A2B1C2中A2B1=4，在直角△MA2C2中，A2M=MC2=2，
A2C2=2，同理B1C2=A2C2=2
∴△A2B1C2的周长为4+4．（6分）
【点评】注意，作图形变换这类题的关键是找到图形的对应点．
23．为迎接年中考，某中学对全校九年级学生进行了一次数学期末模拟考试，并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请你根据统计图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，样本中表示成绩类别为“中”的人数，并将条形统计图补充完整；（2）若该中学九年级共有l 000人参加了这次数学考试，估计该校九年级共有多少名学生的数学成绩可以达到优秀？
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）先根据成绩类别为“差”的人数和所占的百分比计算出样本容量为50，然后用成绩类别为“中”的人数所占百分比乘以50即可，再将条形统计图补充完整；
（2）先计算出成绩类别为“中”的人数所占的百分比，然后乘以2000即可．
【解答】解：（1）样本容量为8÷16%=50，
所以成绩类别为“中”的人数等于50×20%=10（人）；
如图；
（2）1000××100%=200，
所以估计该校九年级共有200名学生的数学成绩可以达到优秀．
【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来；从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了用样本估计总体和扇形统计图．
24．如图，在正六边形ABCDEF中，对角线AE与BF相交于点M，BD与CE相交于点N．
（1）观察图形，写出图中与△ABM全等三角形；
（2）选择（1）中的一对全等三角形加以证明．
【考点】正多边形和圆；全等三角形的判定．
【分析】（1）先证明△ABM≌△DEN，同理得出△ABM≌△FEM≌△CBN，
（2）选择△ABM≌△DEN证明，根据正六边形得出∠ABM=∠DEN，AB=DE，∠BAM=∠EDN，证明全等即可．
【解答】解：（1）与△ABM全等的三角形有△DEN，△FEM≌△CBN；
（2）证明△ABM≌△DEN，
证明：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB=DE，∠BAF=120°，
∴∠ABM=30°，
∴∠BAM=90°，
同理∠DEN=30°，∠EDN=90°，
∴∠ABM=∠DEN，∠BAM=∠EDN，
在△ABM和△DEN中，
，
∴△ABM≌△DEN（ASA）．
【点评】本题考查了正多边形和圆以及全等三角形的判定，掌握正多边形的性质和全等三角形的判定是解题的关键．
25．（10分）（秋•哈尔滨校级月考）某电器经营业主两次购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，第一次购进8台空调和20台电风扇；第二次购进10台空调和30台电风扇．（1）若第一次用资金17400元，第二次用资金22500元，求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元？
（2）在（1）的条件下，若该业主计划再购进这两种电器70台，而可用于购买这两种电器的资金不超过30000元，问该经营业主最多可再购进空调多少台？
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设挂式空调每台的采购价是x元，电风扇每台的采购价是y元，根据采购价格=单价×数量，可列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设再购进空调a台，则购进风扇（70﹣a）台，根据采购价格=单价×数量，可列出关于a的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：（1）设挂式空调每台的采购价是x元，电风扇每台的采购价是y元，
根据题意，得，
解．
答：挂式空调每台的采购价是1800元，电风扇每台的采购价是150元．
（2）设再购进空调a台，则购进风扇（70﹣a）台，
由已知，得1800a+150（70﹣a）≤30000，
解得：a≤11，
故该经营业主最多可再购进空调11台．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）列出关于x、y的二元一次方程组；（2）列出关于a的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（方程组或不等式）是关键．
26．（10分）（秋•哈尔滨校级月考）如图，AB为⊙O直径，CD为弦，弦CD⊥AB于点M，F为DC延长线上一点，连接CE、AD、AF，AF交⊙O于E，连接ED交AB于N．（1）求证：∠AED=∠CEF；
（2）当∠F=45°，且BM=MN时，求证：AD=ED；
（3）在（2）的条件下，若MN=1，求FC的长．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）首先连接BE，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得
∠AEB=∠BEF=90°，又由AB⊥CD于，可得：，继而证得∠CMB=∠BMD，则可证得结论；
（2）连接AD，BD，根据已知条件得到∠ADE=∠ABE=∠EAB=45°，证得CD垂直平分BN，得到BD=ND，由等腰三角形的性质得到∠DBN=∠DNB，推出△AEN∽△ADE，根据相似三角形的性质得到∠ANE=∠DAE，等量代换得到∠DAE=∠AED，于是得到结论；
（3）设AB=2R，根据等腰直角三角形的性质得到AE=BE=R，求得AN=AE=R，得
到R=2+，解得BE=2+2，等量代换即可得到结论．
【解答】证明：（1）连结BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=∠BEF=90°，
又∵AB⊥CD于M，
∴，
∴∠CEB=∠BED，
∴∠AED=∠AEB﹣∠BED=∠BEF﹣∠CEB=∠CEF，
即：∠AED=∠FEC；
（2）连接AD，BD，
∵AB为⊙O直径，
∴AE⊥BE，
∵∠F=45°，
∴∠EHF=45°，
∴∠BHM=∠EHF=45°，
∵AB⊥CD，
∴∠EBA=45°，
∴∠EAB=45°，
∴∠ADE=∠ABE=∠EAB=45°，
∵BM=MN，
∴CD垂直平分BN，
∴BD=ND，
∴∠DBN=∠DNB，
∴∠AED=∠ABD=∠ANE=∠BND，
∵∠EAB=∠ADE=45°，
∠AEN=∠AED，
∴△AEN∽△ADE，
∴∠ANE=∠DAE，
∴∠DAE=∠AED，
∴AD=DE；
（3）由（2）知，△ABE，△EFH，△BNH是等腰直角三角形，∵MN=1，
∴BN=2，BH=，
设AB=2R，
∴AE=BE=R，
∵∠AEN=∠ANE，
∴AN=AE=R，
∴R+2=2R，
∴R=2+，
∴BE=2+2，
∴EF=EH=BE﹣BH=2+，
∵∠AED=∠FEC，
∵∠FCE=∠EAD，
∴∠FEC=∠FCE，
∴CF=EF=2+．
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，证得△ABE，△EFH，△BNH是等腰直角三角形是解题的关键．
27．（10分）（秋•哈尔滨校级月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O 为原点，E为AB上一点，把△CBE沿CE折叠，使点B恰好落在OA边上的点D处，A、D的坐标分别为（5，0）和（3，0）．
（1）已知抛物线y=2x2+bx+c经过B、D两点，求此抛物线的解析式；
（2）点P为线段CE上的动点，连接AP，当△PAE的面积为时，求tan∠APE的值；（3）将抛物线y=2x2+bx+c平移，使其经过点C，设抛物线与直线BC的另一个交点为M，问在该抛物线上是否存在点Q，使得△CMQ为等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；并直接写出满足（2）的P点是否在此时的抛物线上．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）先在RT△CDO中求出CO，设BE=DE=x，在RT△ADE中利用勾股定理求出x，即可得到B、D两点坐标代入抛物线解析式即可．
（2）如图1中，作PM⊥AB于M，AN⊥CE于N．，先求出PM，再利用=，求出
EM，PE，由△PME∽△ANE得==，求出EN、AN即可解决问题．
（3）如图2中，设平移后的抛物线为y=2x2+bx+4，因为△CMQ是等边三角形，所以点Q
只能是顶点，顶点Q（﹣，），根据HQ=CH，列出方程即可解决问题．【解答】解（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AO=5，CO=AB，∠CBA=∠BAO=∠BCO=90°，
∵△CED是由△CEB翻折，
∴CD=AB=5，DE=BE，
在RT△CDO中，∵OD=3，CD=5，
∴CO==4，设BE=ED=x，
在RT△AED中，∵DE2=AE2+AD2，
∴x2=（4﹣x）2+22，
∵x=，
∴点B（5，4），把D（3，0），B（5，4）代入y=2x2+bx+c得解得
∴抛物线解析式为y=2x2﹣14x+24．
（2）如图1中，作PM⊥AB于M，AN⊥CE于N．
由（1）可知AE=，BE=
∴×AE×PM=，
∴PM=，
∵PM∥BC，
∴=，
∴，
∴EM=，
∴PE==，
∵∠PME=∠ANE，∠PEM=∠AEN，
∴△PME∽△ANE，
∴==，
∴==，
∴EN=，AN=，PN=PE+EN=，
∴tan∠APE==．
（3）如图2中，设平移后的抛物线为y=2x2+bx+4，
∵△CMQ是等边三角形，
∴点Q只能是顶点，顶点Q（﹣，），
∴HQ=CH，
∴•|（﹣）|=4﹣，
∴b=±，
∴满足条件的点Q为：Q1（，），Q2（﹣，），
此时抛物线为y=2x2x+4，
∵点P坐标（，），
显然点P不在其抛物线上．
【点评】本题考查二次函数性质、翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形或相似三角形，第三个问题记住抛物线平移a相同，学会用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．。