06-正余弦函数图像及其性质

正余弦函数的图像
正余弦函数的值域和最值 正余弦函数的其他性质
一、正余弦函数的图像
（一）知识精讲
1、正弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点),(y x P ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有
MP r
y
==
αsin ，向线段MP 叫做角α的正弦线. 2、用单位圆中的正弦线作正弦函数x y sin =，]2,0[π∈x 的图象（几何法）：
y=sin x, x ∈[0, 2π]
M 1
P 1
M 2P 2
M 1’P 1’
M 2’
P 2’
1
-1
π
2π x
y
O 2
π
32
π'
O
3、用五点法作正弦函数的简图（描点法）：
正弦函数x y sin =，]2,0[π∈x 的图象中，五个关键点是：
)0,0( )1,2(π )0,(π )1,2
3(-π
)0,2(π
然后将这五点大致连线，画出正弦函数的图像。

4、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像：
把x y sin =，]2,0[π∈x 的图象，沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为π2，就得到R x x y ∈=,sin 的图像，此曲线叫做正弦曲线。

正余弦函数的图像和性质
例题解析
正弦、余弦函数的图像与性质
5、余弦函数R x x y ∈=,cos 的图像：
（二）典型例题
【例1】画出下列函数在[0,2]π上的图象，并且尝试说明函数的单调性、奇偶性、周期性和函数图像的对称轴等相关结论
（1）1sin y x =+ （2）cos y x =- （3）1π3sin()24
y x =-
【例2】用五点作图法作函数1cos y x =-在[0,2]π上的图象
【例3】已知函数x x f πsin )(=的图像的一部分如下方左图，则下方右图的图像所对应的解析式为（
.A )212(-=x f y .B )12(-=x f y .C )12(
-=
f y .D )2
12(-=x f y 【例4】正弦函数的定义域是__________,最大值是____，最小值是____，周期是____,
递增区间是_____________________，递减区间是______________________． 对称轴是______________,对称中心是_____________；
【例5】定义函数sin , sin cos ()cos , sin cos x x x
f x x x x
≤⎧=⎨
>⎩，根据函数的图像与性质填空：
(1) 该函数的值域为_______________；(2) 当且仅当________________时，该函数取得最大值； (3) 该函数是以________为最小正周期的周期函数；(4) 当且仅当______________时，()0f x >.
【例6】求函数y ＝－cos x 的单调区间
【例7】求下列函数的定义域与值域
（1）x y 2sin 2
1
= （2）x y cos 2-=
【巩固训练】
1、已知函数π2sin(2)3
y x =+,用“五点法”作出它在一个周期内的图像;
2、已知函数1π3sin()24
y x =-,用五点法作出函数的图像;
3、函数cos y x x =-⋅的部分图像是( )
4、余弦函数的定义域是______,最大值是______，最小值是____，周期是____,
递增区间是_____________________，递减区间是______________________． 对称轴是__________________,对称中心是____________；
5、判断函数sin()2
y x π
=-的奇偶性和单调性，并写出的单调区间.
6、设M 和m 分别表示函数1cos 3
1
-=
x y 的最大值和最小值，则M m +等于（ ） A ．32 B ．－32
C ．－3
4 D ．－2
二、正余弦函数的值域与最值
（一）知识精讲
1、正、余弦函数定义域：x y sin = 和cos y x =的定义域都为R 。

2、正、余弦函数定义域：x y sin = 和cos y x =的值域都为[]1,1-。

对于函数x y sin =，当且仅当,2
2π
π+=k x y 取最大值1max =y ；
当且仅当2,2
x k π
π=-
y 取最小值1min -=y 。

对于函数cos y x =，当且仅当,2πk x =y 取最大值1max =y ； 当且仅当,2ππ+=k x y 取最小值1min -=y 。

（二）典型例题
【例8】要使下列各式有意义应满足什么条件？
（1） 1sin ;2m x m
-=- （2） 22
cos 2a b x ab +=
【例9】求下列函数的最大值，以及取得最大值时的x 值 （1） y=sinx+cosx （2）y=asinx+b
【例10】求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么. （1） y=sin(3x+4π)-1 (2)y=sin 2
x-4sinx+5 (3) y=x
x cos 3cos 3+-
【例11】求下列函数的值域
（1）sin ,,62y x x x ππ⎡⎫=∈-
⎪⎢⎣⎭
（2）2cos sin ,,44y x x x ππ⎡⎤
=+∈-⎢⎥⎣⎦（3）1cos 3cos x y x -=+
【例12】已知函数()2sin cos f x x x x =+⋅，,2x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求()f x 的最大值和最小值．
【巩固训练】
7、求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么
(1)y ＝cos x ＋1，x ∈R ； (2)y ＝sin2x ，x ∈R 。

8、函数y=ksinx+b 的最大值为2, 最小值为-4，求k,b 的值。

9、函数3cos 6sin 2)(2
++=x x x f 的最大值为 .
10、函数])2
,0[(2cos 2sin π
∈+=x x x y 的值域为 .
11、函数⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x y 6cos 2sin ππ的最大值为_________．
12、已知R x x x x y ∈+⋅+=
,1cos sin 2
3sin 212求y 的最大值及此时x 的集合．
三、正余弦函数的其他性质
（一）知识精讲
正余弦函数的性质与图像
周期函数：一般地，对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，
都有)()(x f T x f =+，那么函数)(x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期
由此可知)0(2,,4,2,2,4,≠∈--k z k k 且πππππΛΛ都是这两个函数的周期
对于一个周期函数)(x f ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做
)(x f 的最小正周期
根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，)0(2≠∈k z k k 且π都是它的周期，最小正周期是π2
注意：
1.周期函数定义域M x ∈，则必有M T x ∈+, 且若0>T ，则定义域无上界；0<T 则定义域无下界；
2.“每一个值”只要有一个反例，则)(x f 就不为周期函数;
3.T 往往是多值的（如x y sin =中ΛΛ,4,2,2,4,ππππ--都是周期）周期T 中最小的正数叫做)(x f 的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）
（二）典型例题
【例13】利用正弦函数和余弦函数的图像，求满足下列条件的x 的集合：
1(1)sin 2x ≥
1
(2)cos 2x ≤
（1）)25lg(2sin 2x x y -+= （2）
y （3）1lg[cos()]32
y x π
=-
+
【例15】求下列函数的周期 （1）2
sin
x y = （2）x x y cos 3sin -= （3）y=Asin(ωx+ϕ)(A≠0，ω>0)
（4）y=|sinx|+|cosx|
（1）1sin cos ()1sin cos x x f x x x
+-=++ （2）44
()sin cos cos 2f x x x x =-+
【例17】求列函数的单调增区间 （1）cos 2y x = （2）2sin()4
y x π
=- （3）12sin()2
4
3x y π=-
（4）
π|sin()|4
y x =-+.
【例18】（1）函数3sin(2)3
y x π
=+
的对称轴方程是
（2）若函数sin 2cos 2y x a x =+的图像关于3
x π
=对称，则a =
【例19】求函数12
1()log cos()3
4
f x x π
=+
的单调递增区间.
【例20】已知函数x x x x x x f 2cos cos sin 3)3
sin(
sin 2)(+⋅+-⋅=π
．
（1）求函数)(x f 的最小正周期，最大值及取最大值时相应的x 值； （2）如果2
0π
≤≤x ，求)(x f 的取值范围．
【例21】设()sin (0)5
3k f x x k π⎛⎫
=+
≠ ⎪⎝⎭
（1）求当3k =时，函数图象的对称轴方程和对称中心坐标．
（2）求最小正整数k ，使得当自变量在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数至少取得一次最
大值M 和最小值m ．
【例22】（1）a 取何值时，方程[]()
22sin 2sin cos cos 0,x x x x a x π+-=∈无解？有一解？有两解？有三解？
（2）函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，请选择适当的探究顺序，
研究函数()f x =
【巩固训练】
13、在下列四个函数中，周期为2
π
的偶函数为 （ ）
A .2sin 2cos2y x x =
B .22cos 2sin 2y x x =-
C .sin 2y x x =
D .22cos sin y x x =-
14、（1）函数sin(2)y x ϕ=+错误!未找到引用源。

的图像关于y 轴对称，则ϕ= _______________ （2）函数5cos(2)y x θ=-为奇函数，则θ= 15、函数3sin 26y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
图像的一条离直线10x =最近的对称轴方程是 ． 16、函数⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈+=2,
0,cos 3sin πx x x y 的单调递增区间__________
17、已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+
+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
． 求：（I ）函数()f x 的最小正周期；（II ）函数()f x 的单调增区间．
18、已知函数()2
4sin 2sin 22,f x x x x R =+-∈（1）求()f x 的最小正周期及()f x 取得最大值时x 的
集合；（2）求证：函数()f x 的图像关于直线8
x π
=-对称．
19、已知函数)cos (sin cos )(x x x x f +=，R ∈x ． （1）请指出函数)(x f 的奇偶性，并给予证明； （2）当⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求)(x f 的取值范围．
熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的性质及图形特点： 三角函数 sin y x =
cos y x =
定义域 R
R
值域 [1,1]-
[1,1]-
奇偶性 奇函数
偶函数
周期性
2π
2π
单调性
在222
2k k π
πππ⎡⎤
-
+
⎢⎥⎣
⎦
，上递增
在3222
2k k π
πππ⎡
⎤
+
+
⎢⎥⎣
⎦
，上递减 在[]22k k πππ-，上递增 在[]22k k πππ+，上递减
最值
22
x k π
π=+
时，最大值1
22
x k π
π=-
时，最小值1-
2x k π=时，最大值1
2x k ππ=+时，
最小值1- 图像
1、已知函数()sin f x x a =-，a R ∈
⑴讨论函数()f x 的奇偶性 ⑵求当()f x 取最大值时，自变量x 的取值集合.
课后练习
2、、已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图像不可能．．．是 （ ）
3、函数2
sin 22cos y x x =-的最大值为 .
4、求函数]3
,6[,sin 2cos 872
π
π-
∈--=x x x y 的值域．
5、求函数sin cos sin cos y x x x x =++的最小值．
6、函数)cos(
sin x x y --=π)R (∈x 的单调递增区间为 ．
7、函数1
cot sin y x x
=
-的最小正周期是__________. 8、已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）求函数()f x 在区间π3π84
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上的最小值和最大值．
9、已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+
⎪⎝
⎭，1
()1sin 22
g x x =+． （1）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．（2）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．
10、若函数f(x)=cos 2x-asinx+b 的最大值为0，最小值为-4，且a>0，求a ，b 的值。