山东省东营市2021届新高考数学考前模拟卷(3)含解析

山东省东营市2021届新高考数学考前模拟卷（3）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． “2b =”是“函数()()2231f x b b x α
=--（α为常数）为幂函数”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】 根据幂函数定义，求得b 的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断.
【详解】
∵当函数()()
2231a f x b b x =--为幂函数时，22311b b --=， 解得2b =或12
-， ∴“2b =”是“函数()()
2231a f x b b x =--为幂函数”的充分不必要条件. 故选：A.
【点睛】
本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题.
2．斜率为1的直线l 与椭圆2
2x y 14
+=相交于A 、B 两点，则AB 的最大值为( )
A ．2
B ．5
C ．5
D ．5
【答案】C
【解析】
【分析】
设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y ，根据判别式大于0求得t 的范围，进而利用弦长公式求得|AB|的表达式，利用t 的范围求得|AB|的最大值．
【详解】 解：设直线l 的方程为y ＝x+t ，代入2
4
x +y 2＝1，消去y 得54x 2+2tx+t 2﹣1＝0， 由题意得△＝（2t ）2﹣1（t 2﹣1）＞0，即t 2＜1．
弦长|AB|＝．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系．常需要把直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问题的突破口．
3．已知函数3sin ()(1)()x x x x f x x m x e e
-+=+-++为奇函数，则m =（ ） A ．12 B ．1 C ．2 D ．3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据()f x 整体的奇偶性和部分的奇偶性，判断出m 的值.
【详解】
依题意()f x 是奇函数.而3sin y x x =+为奇函数，x x y e e -=+为偶函数，所以()()()1g x x m x =+-为
偶函数，故()()0g x g x --=，也即()()()()110x m x x m x +---+=，化简得()220m x -=，所以1m =.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数值，属于基础题.
4．复数()(1)2z i i =++的共轭复数为（ ）
A ．33i -
B ．33i +
C ．13i +
D ．13i -
【答案】D
【解析】
【分析】
直接相乘，得13i +，由共轭复数的性质即可得结果
【详解】
∵21()()13z i i i =++=+
∴其共轭复数为13i -.
故选：D
【点睛】
熟悉复数的四则运算以及共轭复数的性质.
A ．3
B ．3-
C ．3i
D ．3i -
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】 因为1i 2i 13i z =--=-，所以z 的虚部是3-.故选B ．
6．在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示．将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中CD )有15cm ，跨接了6个坐位的宽度(AB )，每个座位宽度为43cm ，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是（ ）
A ．250cm
B ．260cm
C ．295cm
D ．305cm
【答案】B
【解析】
【分析】 »AB 为弯管，AB 为6个座位的宽度，利用勾股定理求出弧AB 所在圆的半径为r ，从而可得弧所对的圆心角，再利用弧长公式即可求解.
【详解】
如图所示，»AB 为弯管，AB 为6个座位的宽度，
则643258AB cm =⨯=
15CD cm =
设弧AB 所在圆的半径为r ，则
222()r r CD AC =-+
解得562r cm ≈
129sin 0.23562
AOD ∠=≈ 可以近似地认为sin x x ≈，即0.23AOD ∠≈
于是0.46AOB ∠≈，»AB 长5620.46258.5≈⨯≈
所以260cm 是最接近的，其中选项A 的长度比AB 还小，不可能，
因此只能选B ，260或者由cos 0.97x ≈，sin 20.4526x x π
≈⇒< 所以弧长5622946π<⨯
≈.
故选：B
【点睛】 本题考查了弧长公式，需熟记公式，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题.
7．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，1252a a +=
，234+=a a ，则10S =（ ） A ．85
B ．852
C ．35
D ．352
【答案】B
【解析】
【分析】
将已知条件转化为1,a d 的形式，求得1,a d ，由此求得10S .
【详解】 设公差为d ，则11522234
a d a d ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，所以322d =，34d =，178a =，101138510109242S a =+⨯⨯⨯=. 故选：B
【点睛】
本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前n 项和的计算，属于基础题.
8．已知函数1222,0,()log ,0,
x x f x x x +⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程[]2()2()30f x af x a -+=有六个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．163,5⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．163,5⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．(3,4)
D ．(]3,4
【解析】
【分析】
令()f x t =，则2230t at a -+=，由图象分析可知2230t at a -+=在(2,4]上有两个不同的根，再利用一元二次方程根的分布即可解决.
【详解】
令()f x t =，则2230t at a -+=，如图
y t =与()y f x =顶多只有3个不同交点，要使关于x 的方程[]2()2()30f x af x a -+=有
六个不相等的实数根，则2230t at a -+=有两个不同的根12,(2,4]t t ∈，
设2
()23g t t at a =-+由根的分布可知， 24120(2,4)(2)0(4)0a a a g g ⎧∆=->⎪∈⎪⎨>⎪⎪≥⎩，解得1635a <≤. 故选：B.
【点睛】
本题考查复合方程根的个数问题，涉及到一元二次方程根的分布，考查学生转化与化归和数形结合的思想，是一道中档题.
9．给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（ ）
A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．64种
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案．
解：根据题意，分2步进行分析：
①，将4人分成3组，有246C =种分法；
②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，
将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有22
2A =种情况， 此时有224⨯=种情况，
则有6424⨯=种不同的安排方法；
故选：C ．
【点睛】
本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，平面α与此正方体相交.对于实数()03d d <<，如果正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中恰好有m 个点到平面α的距离等于d ，那么下列结论中，一定正确的是
A ．6m ≠
B ．5m ≠
C ．4m ≠
D ．3m ≠ 【答案】B
【解析】
【分析】
此题画出正方体模型即可快速判断m 的取值.
【详解】
如图（1）恰好有3个点到平面α的距离为d ；如图（2）恰好有4个点到平面α的距离为d ；如图（3）恰好有6个点到平面α的距离为d .
所以本题答案为B.
【点睛】
本题以空间几何体为载体考查点，面的位置关系，考查空间想象能力，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力，属于难题.
以下命题为真命题的是（ ）
A ．p q ∧
B ．()p q ∧⌝
C ．()p q ⌝∧
D ．()()p q ⌝∧⌝
【答案】B
【解析】
【分析】
先判断命题,p q 的真假,进而根据复合命题真假的真值表,即可得答案.
【详解】 1log log b a a b =，1log log c a a c =，因为1a >，1b c >>，所以0log log a a c b <<，所以11log log a a c b
>，即命题p 为真命题；画出函数2x y =和3log y x =图象，知命题q 为假命题,所以()p q ∧⌝为真.
故选:B.
【点睛】
本题考查真假命题的概念,以及真值表的应用,解题的关键是判断出命题,p q 的真假,难度较易.
12．在平面直角坐标系xOy 中，将点()1,2A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cos α等于( )
A ．25
B ．5
C 5
D ．25
- 【答案】A
【解析】
【分析】
设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β，由任意角的三角函数的定义可以求得sin β的值，依
题有OA OB ⊥,则90αβo =+，利用诱导公式即可得到答案.
【详解】
如图，设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β
因为点()1,2A 在角β的终边上，所以2225sin 12β=
=+ 依题有OA OB ⊥,则90αβo =+， 所以25cos cos(90)sin αββo =+=-=-
， 故选：A
【点睛】 本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某校高三年级共有800名学生参加了数学测验（满分150分），已知这800名学生的数学成绩均不低于90分，将这800名学生的数学成绩分组如下：[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，
[140,150]，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是________（填序号）．
①0.045a =；
②这800名学生中数学成绩在110分以下的人数为160；
③这800名学生数学成绩的中位数约为121.4；
④这800名学生数学成绩的平均数为125．
【答案】②③
【解析】
【分析】
【详解】
由频率分布直方图可知0.01020.0250.0150.00511)0(a ⨯++++⨯=，解得0.035a =，故①不正确；这800
成绩的中位数为x ，则0.010100.010100.0251012()00.0350.5x ⨯+⨯+⨯+-⨯=，解得121.4x ≈，故③正确；④这800名学生数学成绩的平均数为950.010101050.01010115⨯⨯+⨯⨯+⨯
0.025101250.035101350.015101450.00510120⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故④不正确．综上，说法正确的序号是②③．
14．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落.小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中.己知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12
，则小球落入A 袋中的概率为__________．
【答案】
34
【解析】 记小球落入B 袋中的概率()P B ，则()()1P A P B +=，又小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入B 袋，所以有()33111224P B ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则()()314P A P B =-=．故本题应填34． 15．已知i 为虚数单位，复数11i
z =+，则z ＝_______． 【答案】
22 【解析】 【分析】 先把复数进行化简，然后利用求模公式可得结果.
【详解】
1112i 1i 222
z z ==-⇒=+． 故答案为：
22. 【点睛】
本题主要考查复数模的求解，利用复数的运算把复数化为a bi +的形式是求解的关键，侧重考查数学运算
16．在△ABC 中，(AB AC λ-u u u r u u u r )⊥BC uuu r (λ＞1)，若角A 的最大值为6π，则实数λ的值是_______． 【答案】1
【解析】
【分析】 把向量BC uuu r
进行转化，用λ表示cos A ，利用基本不等式可求实数λ的值.
【详解】 22()()(1)cos 0AB AC AB AC c b bc A λλλ-⋅-+=--++=u u u r u u u r u u u r u u u r
123cos ()112
b c A c b λλλλ=+≥=++，解得λ＝1． 故答案为：1.
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积应用，综合了基本不等式，侧重考查数学运算的核心素养.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的.某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果，在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图. （1）若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以上的人数；
（2）为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查，得到下表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系？
（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取8人，进一步调查他们良好的护眼习惯，在这8人中任取2人，记坚持做眼保健操的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望.
附：()()()()()
22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 2K k ≥ 0.10
0.05 0.025 0.010 0.005 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
【解析】 【分析】
（1）由题意可计算后三组的频数的总数，由其成等差数列可得后三组频数，可得视力在5.0以上的频率，可得全年级视力在5.0以上的的人数；
（2）由题中数据计算2k 的值，对照临界值表可得答案；
（3）由题意可计算出这8人中不做眼保健操和坚持做眼保健操的分别有2人和6人，可得 X 可取0，1，2，分别计算出其概率，列出分布列，可得其数学期望. 【详解】
解：（1）由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，因为后三组的频数成等差数列，共有
()100372763-++=（人）
所以后三组频数依次为24，21，18， 所以视力在5.0以上的频率为0.18，
故全年级视力在5.0以上的的人数约为8000.18144⨯=人
（2）()2
210044183261507.8957.8795050762419
⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯k ，
因此能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系. （3）调查的100名学生中不近视的共有24人，从中抽取8人，抽样比为81
243
=，这8人中不做眼保健操和坚持做眼保健操的分别有2人和6人， X 可取0，1，2，
()()()021120626262222
g 881
123150,1,22828728
⋅==========C C C C C C P X P X P X C C C ， X 的分布列
X 的数学期望()11215
012 1.5282828
=⨯+⨯+⨯=E X . 【点睛】
本题主要考查频率分布直方图，独立性检测及离散型随机变量的期望与方差等相关知识，考查学生分析数据与处理数据的能力，属于中档题. 18．已知函数()|1||42|f x x x =+--.
（1）求不等式1
()(1)3
f x x -…的解集；
（2）若函数()f x 的最大值为m ，且2(0,0)a b m a b +=>>，求21
a b
+的最小值. 【答案】（1）[1,4]（2）3 【解析】 【分析】
（1）化简得到5,1,()33,12,5, 2.x x f x x x x x -<-⎧⎪
=--⎨⎪-+>⎩
剟
，分类解不等式得到答案. （2）()f x 的最大值(2)3m f ==，23(0,0)a b a b +=>>，利用均值不等式计算得到答案. 【详解】
（1）5,1,()14233,12,5, 2.x x f x x x x x x x -<-⎧⎪
=+--=--⎨⎪-+>⎩
剟
因为1()(1)3f x x -…，故1,15(1)3x x x <-⎧⎪⎨-≥-⎪⎩或12,133(1)3x x x -⎧⎪
⎨
--⎪⎩
剟 (2)
15(1),3x x x >⎧⎪⎨-+≥-⎪⎩ 解得12x 剟
或24x <…，故不等式1
()(1)3
f x x -…的解集为[1,4]. （2）画出函数图像，根据图像可知()f x 的最大值(2)3m f ==. 因为23(0,0)a b a b +=>>，所以
211211221(2)5(225)3333a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++⨯⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
…， 当且仅当1a b ==时，等号成立，故
21
a b
+的最小值是3.
【点睛】
本题考查了解不等式，均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.
19．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221121t x t
t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
（t 为参数）.点()00,p x y 在曲线C 上，点
(,)Q m n 满足0
23m x n =⎧⎪⎨=⎪⎩.
（1）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求动点Q 的轨迹1C 的极坐标方程； （2）点A ，B 分别是曲线1C 上第一象限，第二象限上两点，且满足2
AOB π
∠=，求2211
||||OA OB +的
值.
【答案】（1）2
2
2
2
3cos 4sin 12p θρθ+=（πθπ-<<）；（2）7
12
【解析】 【分析】
（1）由已知，曲线C 的参数方程消去t 后，要注意x 的范围，再利用普通方程与极坐标方程的互化公式运算即可；
（2）设()11,A ρθ，21,2B πρθ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭，由（1）可得2211213cos 4sin 112θθρ+=，
2211223cos 4sin 12212
ππθθρ⎛⎫⎛
⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，相加即可得到证明.
【详解】
（1）2
2
222
2212111t t x y t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪
++⎝⎭
⎝⎭， ∵(]22
11,11t t
-∈-+，∴1x ≠-，∴221(1)x y x +=≠-，
由题可知：002m x n =⎧⎪⎨
=⎪
⎩022021(2)43m x m n m y ⎧=⎪⎪⇒⇒+=≠-⎨⎪=⎪⎩
， 1C ：22223cos 4sin 12ρθρθ+=（πθπ-<<）.
（2）因为2
22
12
3cos 4sin ρθθ=
+， 设()11,A ρθ，21,2B πρθ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
， 则2211
213cos 4sin 1
12θθρ+=， 2211223cos 4sin 12212
ππθθρ⎛⎫⎛
⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2211
3sin 4cos 12θθ+=， 2222
1211117
||||12
OA OB ρρ+=+=. 【点睛】
本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，考查学生的计算能力，是一道容易题.
20．已知函数2()2x f x e x a b =-++（x ∈R ）的图象在0x =处的切线为y bx =（e 为自然对数的底数）
（1）求,a b 的值； （2）若k Z ∈，且21
()(352)02
f x x x k +
--≥对任意x ∈R 恒成立，求k 的最大值. 【答案】 (1)a=-1,b=1;(2)-1. 【解析】
（1）对()f x 求导得()2x
f x e x '=-，根据函数()f x 的图象在0x =处的切线为y bx =，列出方程组，
即可求出,a b 的值；（2）由（1）可得()2
1x
f x e x =--，根据()()
21
35202
f x x x k +
--≥对任意x R ∈恒成立，等价于215122x k e x x ≤+--对任意x R ∈恒成立，构造()215122
x
h x e x x =+--，求出()
h x '
的单调性，由()00h '<，()10h '>，102h ⎛⎫<
⎪⎭'⎝，304h ⎛⎫> ⎪⎭'⎝，可得存在唯一的零点013,24x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，使得
()00h x '=，利用单调性可求出()()0min h x h x =，即可求出k 的最大值.
（1）()2
2x
f x e x a b =-++，()2x
f x e x '=-.
由题意知()()01201011f a b a f b b ⎧=++==-⎧⎪
⇒⎨
⎨==='⎪⎩⎩
.
（2）由（1）知：()2
1x
f x e x =--，
∴()()
21
35202f x x x k +--≥对任意x R ∈恒成立 215
1022
x e x x k ⇔+---≥对任意x R ∈恒成立
215
122x k e x x ⇔≤+--对任意x R ∈恒成立.
令()215122x h x e x x =+--，则()52x
h x e x ='+-.
由于()'
10x
h x e +'=>，所以()h x '在R 上单调递增.
又()3002h =-<'，()3102h e =->'，12
1202h e ⎛⎫=-< ⎪'⎝⎭，3
43737104444h e ⎛⎫=->+-⎪'= ⎝⎭
，
所以存在唯一的013,24x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，使得()00h x '=，且当()0,x x ∈-∞时，()0h x '<，()0,x x ∈+∞时，
()0h x '>. 即()h x 在()0,x -∞单调递减，在()0,x +∞上单调递增.
所以()()02000min 15
122x
h x h x e x x ==+
--. 又()00h x '=，即00502x
e x +-=，∴005
2
x e x =-. ∴ ()()
22
00000051511732222
h x x x x x x =-+--=
-+. ∵ 013,24x ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，∴ ()0271,328h x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.
又因为215
122
x
k e x x ≤+
--对任意x R ∈恒成立()0k h x ⇔≤， 又k Z ∈，∴ max 1k =-.
点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
21．如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，M 、N 、F 分别是A C '、BC 、A C ''的中点.
（1）证明：//MN 平面CFB '；
（2）若底面A B C '''是正三角形，1A C ''=，C 在底面的投影为F ，求B '到平面AA C C ''的距离. 【答案】（1）证明见解析；（23
【解析】 【分析】
（1）连接A B '，连接BC '、B C '交于点E ，并连接EF ，则点E 为BC '的中点，利用中位线的性质得出//EF A B '，//MN A B '，利用空间平行线的传递性可得出//EF MN ，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；
（2）推导出B F '⊥平面AA C C ''，并计算出B F '，由此可得出B '到平面AA C C ''的距离为B F '，即可得解. 【详解】
（1）连接A B '，连接BC '、B C '交于点E ，并连接EF ，则点E 为BC '的中点，
E Q 、
F 分别为BC '、A C ''的中点，则//EF A B '，同理可得//MN A B '，//EF MN ∴.
MN ⊄Q 平面CFB '，EF ⊂平面CFB '，因此，//MN 平面CFB '；
（2）由于C 在底面A B C '''的投影为F ，CF ∴⊥平面A B C '''，
B F '⊂Q 平面A B
C '''，B F CF '∴⊥，
A B C '''QV 为正三角形，且F 为A C ''的中点，B F A C '''∴⊥，
CF A C F ''=Q I ，B F '∴⊥平面AA C C ''，且3
sin 32
B F A B π'''=⋅=，
因此，B '到平面AA C C ''3
【点睛】
本题考查线面平行的证明，同时也考查了点到平面距离的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
22．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为6sin x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α是参数），以原点O 为极点，x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 24πρθ⎛
⎫
-= ⎪⎝
⎭
. （1）求直线l 与曲线C 的普通方程，并求出直线的倾斜角；
（2）记直线l 与y 轴的交点为,Q M 是曲线C 上的动点，求点,M Q 的最大距离.
【答案】（1）2
216
x y +=，2y x =+，直线l 的倾斜角为4π
（2330
【解析】 【分析】
（1）由公式22sin cos 1αα+=消去参数得普通方程，由公式cos sin x y ρθ
ρθ
=⎧⎨=⎩可得直角坐标方程后可得倾斜
角；
（2）求出直线l 与y 轴交点Q ，用参数表示M 点坐标，求出MQ ，利用三角函数的性质可得最大值． 【详解】
（1）由6,sin ,
x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，消去α得C 的普通方程是： 2
216x y +=
由sin 24πρθ⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭
，得sin cos 2ρθρθ-=， 将cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨
=⎩
代入上式，化简得2y x =+
直线l 的倾斜角为
4
π
（2）在曲线C 上任取一点)
,sin M
αα，
直线l 与y 轴的交点Q 的坐标为()0,2
则MQ =
=
当且仅当2sin 5α=-时，MQ . 【点睛】
本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，属于基础题．求两点间距离的最值时，用参数方程设点的坐标可把问题转化为三角函数问题． 23．已知函数2
1()ln 2f x mx x ⎛
⎫=+
⎪⎝⎭
. （Ⅰ）若1m =，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当1m £时，要使()ln f x x x >恒成立，求实数m 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）3
2
2y x =-（Ⅱ）⎤⎥⎦
【解析】 【分析】
（Ⅰ）求函数的导函数，即可求得切线的斜率，则切线方程得解；
（Ⅱ）构造函数()y f x xlnx =-，对参数分类讨论，求得函数的单调性，以及最值，即可容易求得参数范围. 【详解】
（Ⅰ）当1m =时，2
1()ln 2f x x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，则1()2ln 2f x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝
⎭. 所以(1)2f '
=. 又1(1)2f =
，故所求切线方程为12(1)2
y x -=-，即3
22y x =-.
（Ⅱ）依题意，得2
1ln ln 2mx x x x ⎛
⎫
+
> ⎪⎝⎭
， 即2
1ln ln 02mx x x x ⎛⎫
+
-> ⎪⎝⎭
恒成立.
令2
1()ln ln 2g x mx x x x ⎛⎫
=+
- ⎪⎝⎭
， 则()(21)(ln 1)g x mx x '=-+. ①当0m ≤时，因为1
(1)02
g m =
≤，不合题意. ②当01m <≤时，令()0g x '=，
得112x m =
，21e x =，显然
11
2e
m >. 令()0g x '>，得10x e <<或12x m
>；令()0g x '<，得11
2x e m <<
. 所以函数()g x 的单调递增区间是10,e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，1,2m ⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
，单调递减区间是11,2e m ⎛⎫
⎪⎝⎭.
当10,e ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
x 时，20mx x -<，ln 0x <，
所以21()ln ln 2g x mx x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭()2
21ln 02mx x x mx =-+>，
只需1111ln 0
2428g m m m m ⎛⎫
=-+>
⎪
⎝⎭
，所以m >， 所以实数m 的取值范围为
⎤⎥⎦
. 【点睛】
本题考查利用导数的几何意义求切线方程，以及利用导数研究恒成立问题，属综合中档题.。