2022-2023学年北京市顺义区杨镇一中高二(上)期中数学试卷【答案版】

2022-2023学年北京市顺义区杨镇一中高二（上）期中数学试卷
一、选择题，10小题，每题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．直线√3x ﹣y ﹣1＝0的倾斜角为（ ） A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
2．某区域有大型城市24个，中型城市18个，小型城市12个，为了解该区域城市空气质量情况，现采用分层抽样的方法抽取9个城市进行调查，则应抽取的大型城市个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．点（5，﹣3）到直线x +2＝0的距离等于（ ） A ．7
B ．5
C ．3
D ．2
4．已知平面α的法向量为（2，﹣4，﹣2），平面β的法向量为（﹣1，2，k ），若α∥β，则k ＝（ ） A ．﹣2
B ．﹣1
C ．1
D ．2
5．学校组织班级知识竞赛，某班的8名学生的成绩（单位：分）分别是：68、63、77、76、82、88、92、93，则这8名学生成绩的75%分位数是（ ） A ．88分
B ．89分
C ．90分
D ．92分
6．已知直线2x +y ﹣8＝0与直线3x +（1﹣a ）y +3＝0平行，则a 的值为（ ） A ．−1
2
B ．1
2
C ．﹣5
D ．7
7．甲乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天出的次品数分别是：
x 1、x 2分别表示甲乙两组数据的平均数，S 1、S 2分别表示甲乙两组数据的方差，则下列选项正确的是（ ）
A ．x 1=x 2，S 1＞S 2
B ．x 1＞x 2，S 1＞S 2
C ．x 1＜x 2，S 1＞S 2
D ．x 1＞x 2，S 1＜S 2
8．如图，在斜棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 的交点为点M ，AB →
=a →
，AD →
=b →
，AA 1→
=c →
，则MC 1→
=（ ）
A ．12
a →+
12
b →+
c →
B ．−12a →
−12b →
−c →
C ．−12a →
+12b →
+c →
D ．−12a →
−12b →
+c →
9．PM 2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM 2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM 2.5日均值在35μg /m 3以下空气质量为一级，在35μg /m 3～75μg /m 3之间空气质量为二级，在75μg /m 3以上空气质量为超标．如图是某地11月1日到10日PM 2.5日均值（单位：μg /m 3）的统计数据，则下列叙述不正确的是（ ）
A ．从这10天的日均PM 2.5监测数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是2
5
B ．从5日到9日，PM 2.5日均值逐渐降低
C ．这10天中PM 2.5日均值的平均数是49.3
D ．这10天的PM 2.5日均值的中位数是45
10．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 是棱BC 、CC 1的中点，P 是底面ABCD 上（含边界）一动点，满足A 1P ⊥EF ，则线段A 1P 长度的取值范围是（ ）
A ．[1，
√5
2
] B ．[
√5
2
，3
2] C ．[1，√3] D ．[√2，√3]
二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分．
11．甲、乙两人下棋，下成和棋的概率是12
，甲获胜的概率是1
4
，则甲不输的概率为 ．
12．已知A （1，2，3），B （4，5，9），AC →
=13AB →
，则AC →的坐标为 ，点C 的坐标为 ．
13．已知向量a →
=（0，1，﹣1），b →
=（1，1，0），若（a →
+λb →）⊥b →
，则实数λ等于 ．
14．甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是2
3
，乙解出这道题目的概率是4
5
，这道题
被解出的概率是 ．
15．（3分）在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为BD 1，B 1C 1的中点，点P 在正方体的表面上运动，且满足MP ⊥CN ，给出下面四个结论： ①点P 可以是棱BB 1的四等分点，且靠近点B ； ②线段MP 的最大值为
√3
2
； ③点P 的轨迹是正方形； ④点P 轨迹的长度为2+√5．
则其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题，6小题，共85分，解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．在一个盒子中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，先从盒子中随机取出一个球，该球的编号记为m ，将球放回盆子中，然后再从盒子中随机取出一个球，该球的编号记为n ． （1）列出试验的样本空间； （2）求“m ＞n ”的概率．
17．已知直线l 1：ax ﹣2y +4＝0，l 2：x +（a ﹣3）y +a ＝0． （1）当a ＝4时，求两直线l 1，l 2的交点P 的坐标； （2）若直线l 1⊥l 2，求a 的值； （3）当a ＝1时，求两直线的距离．
18．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 为线段AA 1的中点． （1）求证：A 1C ⊥BC 1；
（2）求平面ADD 1A 1与平面MCD 1夹角的余弦值； （3）求点D 到平面MCD 1的距离．
19．已知△ABC 顶点A （3，0）、B （﹣1，﹣3）、C （1，1）．
（1）求直线BC 的方程及其在y 轴上的截距； （2）求边BC 的垂直平分线l 的方程 （3）求△ABC 的面积．
20．为了了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照[27.5，32.5），[32.5，37.5），[37.5，42.5），[42.5，47.5），[47.5，52.5]分为5组，其频率分布直方图如图所示． （1）求图中a 的值；
（2）估计这种植物果实重量的平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）已知这种植物果实重量不低于37.5克的即为优质果实，现对该种植物果实的某批10000个果实进行检测．据此估算这批果实中的优质果实的个数．
21．在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，CD ＝AD =12
AB ＝1，∠P AD ＝45°，E 是P A 的中点，G 在线段AB 上，且满足CG ⊥BD ． （1）求证：DE ∥平面PBC ；
（2）在线段P A 上是否存在点H ，使得GH 与平面PGC 所成角的正弦值是√3
3
，若存在，求出AH 的长；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年北京市顺义区杨镇一中高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题，10小题，每题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．直线√3x ﹣y ﹣1＝0的倾斜角为（ ） A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
解：直线√3x ﹣y ﹣1＝0的倾斜角满足tan θ=√3， 由于0°＜θ＜180°， 故θ＝60°． 故选：B ．
2．某区域有大型城市24个，中型城市18个，小型城市12个，为了解该区域城市空气质量情况，现采用分层抽样的方法抽取9个城市进行调查，则应抽取的大型城市个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
解：∵
924+18+12
=1
6
，
∴应抽取的大型城市个数为24×1
6
=4个． 故选：D ．
3．点（5，﹣3）到直线x +2＝0的距离等于（ ） A ．7
B ．5
C ．3
D ．2
解：由已知代入点到直线的距离公式可得： d =5+2
1=7， 故选：A ．
4．已知平面α的法向量为（2，﹣4，﹣2），平面β的法向量为（﹣1，2，k ），若α∥β，则k ＝（ ） A ．﹣2
B ．﹣1
C ．1
D ．2
解：设平面α的法向量a →
=（2，﹣4，﹣2），平面β的法向量b →
=（﹣1，2，k ）． ∵α∥β， ∴a →
∥b →
，
∴∃实数λ使得a →
=λb →
． ∴{2=−λ
−4=2λ−2=λk
，得k ＝1．
故选：C ．
5．学校组织班级知识竞赛，某班的8名学生的成绩（单位：分）分别是：68、63、77、76、82、88、92、93，则这8名学生成绩的75%分位数是（ ） A ．88分
B ．89分
C ．90分
D ．92分
解：8名学生的成绩从小到大排列为： 63，68，76，77，82，88，92，93， ∵8×75%＝6，
∴75%分位数为第6个数和第7个数的平均数， 即1
2×(88+92)=90（分）．
故选：C ．
6．已知直线2x +y ﹣8＝0与直线3x +（1﹣a ）y +3＝0平行，则a 的值为（ ） A ．−1
2
B ．1
2
C ．﹣5
D ．7
解：直线2x +y ﹣8＝0与直线3x +（1﹣a ）y +3＝0平行， 则2（1﹣a ）＝1×3，解得a =−12
， 经检验，a =−12
符合题意， 故a =−1
2
． 故选：A ．
7．甲乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天出的次品数分别是：
x 1、x 2分别表示甲乙两组数据的平均数，S 1、S 2分别表示甲乙两组数据的方差，则下列选项正确的是（ ）
A ．x 1=x 2，S 1＞S 2
B ．x 1＞x 2，S 1＞S 2
C ．x 1＜x 2，S 1＞S 2
D ．x 1＞x 2，S 1＜S 2
解：根据题意x 1、x 2分别表示甲乙两组数据的平均数，S 1、S 2分别表示甲乙两组数据的方差， 则x 1=1
10（0+1+0+2+2+0+3+1+2+4）＝1.5， x 2=1
10（2+2+1+1+1+2+1+1+0+1）＝1.2，
S 1=1
10[（0﹣1.5）2+（1﹣1.5）2+（0﹣1.5）2+（2﹣1.5）2+（2﹣1.5）2+（0﹣1.5）2+（3﹣1.5）2+（1
﹣1.5）2+（2﹣1.5）2+（4﹣1.5）2]＝1.65， S 2=
1
10
[（2﹣1.2）2+（2﹣1.2）2++（1﹣1.2）2+（1﹣1.2）2+（1﹣1.2）2+（2﹣1.2）2+（1﹣1.2）2+（1﹣1.2）2+（0﹣1.2）2+（1﹣1.2）2]＝0.36， ∴x 1＞x 2，S 1＞S 2． 故选：B ．
8．如图，在斜棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 的交点为点M ，AB →
=a →
，AD →
=b →
，AA 1→
=c →
，则MC 1→
=（ ）
A ．12
a →+
12
b →
+c →
B ．−12a →
−12b →
−c →
C ．−12a →
+12b →
+c →
D ．−12a →
−12b →
+c →
解：MC 1→
=MC →
+CC 1→
=12AC →+AA 1→=12(a →+b →)+c →=12a →+12b →+c →
．
故选：A ．
9．PM 2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM 2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM 2.5日均值在35μg /m 3以下空气质量为一级，在35μg /m 3～75μg /m 3之间空气质量为二级，在75μg /m 3以上空气质量为超标．如图是某地11月1日到10日PM 2.5日均值（单位：μg /m 3）的统计数据，则下列叙述不正确的是（ ）
A ．从这10天的日均PM 2.5监测数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是2
5
B ．从5日到9日，PM 2.5日均值逐渐降低
C ．这10天中PM 2.5日均值的平均数是49.3
D ．这10天的PM 2.5日均值的中位数是45
解：对于A ，从这10天的日均PM 2.5监测数据中随机抽出一天的数据， 空气质量为一级的天数为4天， 故空气质量为一级的概率是
410
=2
5
，故A 正确，
对于B ，由图可知，从5日到9日，PM 2.5日均值逐渐降低，故B 正确， 对于C ，这10天中PM 2.5日均值的平均数是110
× （45+57+32+49+82+73+58+34+30+33）＝49.3，故C
正确，
对于D ，将10天的数据从小到大排序为：30，32，33，34，45，49，57，58，73，82， 则这10天的PM 2.5日均值的中位数45+492
=47，故D 错误．
故选：D ．
10．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 是棱BC 、CC 1的中点，P 是底面ABCD 上（含边界）一动点，满足A 1P ⊥EF ，则线段A 1P 长度的取值范围是（ ）
A ．[1，
√5
2
] B ．[
√5
2
，3
2] C ．[1，√3] D ．[√2，√3]
解：如图，
连接BC 1，A 1D ，可得EF ∥BC 1，A 1D ⊥BC 1， ∴A 1D ⊥EF ，
又DC ⊥EF ，可得EF ⊥平面A 1DC ，则A 1C ⊥EF ， ∴当P 在线段CD 上运动时，有A 1P ⊥EF ，
当P 与D 重合时，A 1P 有最小值为√2，当P 与C 重合时，A 1P 有最大值为√3． ∴线段A 1P 长度的取值范围是[√2，√3]． 故选：D ．
二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分．
11．甲、乙两人下棋，下成和棋的概率是1
2
，甲获胜的概率是1
4
，则甲不输的概率为
34
．
解：甲、乙两人下棋，下成和棋的概率是12
，甲获胜的概率是1
4
，
则甲不输的概率为P =12+14=34
． 故答案为：3
4．
12．已知A （1，2，3），B （4，5，9），AC →
=13AB →
，则AC →的坐标为 （1，1，2） ，点C 的坐标为 （2，
3，5） ．
解：∵A （1，2，3），B （4，5，9），
∴AB →
=(4，5，9)−(1，2，3)=(3，3，6)，
∵AC →=13
AB →
，
∴AC →
=(1，1，2)， 设点C 的坐标为（x ，y ，z ）， ∴{x −1=1
y −2=1z −3=2，解得{x =2y =3z =5， 故点C 的坐标为（2，3，5）． 故答案为：（1，1，2）；（2，3，5）．
13．已知向量a →
=（0，1，﹣1），b →
=（1，1，0），若（a →
+λb →
）⊥b →
，则实数λ等于 −1
2
． 解：∵a →
=（0，1，﹣1），b →
=（1，1，0）， ∴a →
+λb →=(λ，1+λ，−1)， ∵(a →
+λb →
）⊥b →
，
∴λ+1+λ＝0，解得λ=−12
． 故答案为：−1
2．
14．甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是2
3
，乙解出这道题目的概率是4
5
，这道题
被解出的概率是
1415
．
解：∵甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是23
，乙解出这道题目的概率是45
， ∴这道题没被解出的概率为(1−23
)(1−45
)=115，即这道题被解出的概率是1−115=1415
． 故答案为：
1415
．
15．（3分）在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为BD 1，B 1C 1的中点，点P 在正方体的表面上运动，且满足MP ⊥CN ，给出下面四个结论： ①点P 可以是棱BB 1的四等分点，且靠近点B ； ②线段MP 的最大值为
√3
2
； ③点P 的轨迹是正方形； ④点P 轨迹的长度为2+√5．
则其中所有正确结论的序号是 ①④ ．
解：在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，
∵该正方体的棱长为1，M ，N 分别为BD 1，B 1C 1的中点，
∴D(0，0，0)，M(12，12，12)，N(12，1，1)，C(0，1，0)，∴CN →=(12，0，1)，
设P （x ，y ，z ），则MP →=(x −12，y −12，z −12)，
∵MP ⊥CN ，∴12(x −12
)+z −12=0，即2x +4z ﹣3＝0， 当x ＝1时，z =14，当x ＝0时，z =34，
取E(1，0，14)，F(1，1，14)，G(0，1，34)，H(0，0，34)，
连接EF ，FG ，GH ，HE ，
则EF →=HG →=(0，1，0)，EF →=FG →=(−1，0，12)，
∴四边形EFGH 为矩形，则EF →⋅CN →=0，EH →⋅CN →=0，
即EF ⊥CN ，EH ⊥CN ，
又EF 和EH 为平面EFGH 中的两条相交直线，
∴CN ⊥平面EFGH ，
又EM →=(−12，12，14)，MG →=(−12，12，14)，
∴M 为EG 的中点，则M ∈平面EFGH ，
为使MP ⊥CN ，必有点P ∈平面EFGH ，
又点P 在正方体表面上运动，∴点P 的轨迹为四边形EFGH ，
因此点P 可以是棱BB 1的四等分点，且靠近点B ，故选项①正确；
又EF =GH =1，EH =FG =√52，
∴EF ≠EH ，则点P 的轨迹不是正方形且矩形EFGH 周长为2+2×
√52=2+√5， 故选项③错误，选项④正确；
∵CN →=(12，0，1)，MP →=(x −12，y −12，z −12)，
又MP ⊥CN ，则12(x −12)+z −12=0，即2x +4z ﹣3＝0，
∴x =32
−2z ，点P 在正方体表面运动， 则0≤32−2z ≤1，解14≤z ≤34
， ∴MP =√(x −12)2+(y −12)2+(z −12)2=√5(z −12)2+(y −12)2，
故当z =14或z =34，y =0或1，MP 取得最大值为34
，故②错误．
故答案为：①④．
三、解答题，6小题，共85分，解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．在一个盒子中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，先从盒子中随机取出一个球，该球的编号记为m ，将球放回盆子中，然后再从盒子中随机取出一个球，该球的编号记为n ．
（1）列出试验的样本空间；
（2）求“m ＞n ”的概率．
解：（1）由题意可知试验的样本点可用（m ，n ）表示，
∴试验的样本空间为：
Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）}．
（2）由（1）知共有16个样本点，其中满足m ＞n 的有：
（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），共6个，
∴“m ＞n ”的概率为P =616=38
． 17．已知直线l 1：ax ﹣2y +4＝0，l 2：x +（a ﹣3）y +a ＝0．
（1）当a ＝4时，求两直线l 1，l 2的交点P 的坐标；
（2）若直线l 1⊥l 2，求a 的值；
（3）当a ＝1时，求两直线的距离．
解：（1）当a ＝4时，直线l 1：2x ﹣y +2＝0，直线l 2：x +y +4＝0，
联立{2x −y +2=0x +y +4=0
，解得{x =−2y =−2， 即点P （﹣2，﹣2）；
（2）显然a ≠3，则a 2⋅(−1a−3)=−1，解得a ＝6；
（3）当a ＝1时，直线l 1：x ﹣2y +4＝0，l 2：x ﹣2y +1＝0， 由平行线间的距离公式可得，所求距离为√1+4=3√55． 18．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 为线段AA 1的中点．
（1）求证：A 1C ⊥BC 1；
（2）求平面ADD 1A 1与平面MCD 1夹角的余弦值；
（3）求点D 到平面MCD 1的距离．
解：（1）证明：以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
A 1（0，0，2），C （2，2，0），
B （2，0，0），
C 1（2，2，2），
A 1C →=（2，2，﹣2），BC 1→
=（0，2，2），
∵A 1C →⋅BC 1→=0+4﹣4＝0，
∴A 1C ⊥BC 1；
（2）平面ADD 1A 1的法向量为n →=（1，0，0），
M （ 0，0，1），D 1（0，2，2），MC →=（2，2，﹣1），MD 1→=（0，2，1），
设平面MCD 1的法向量m →=（x ，y ，z ），
则{m →⋅MC →=2x +2y −z =0m →⋅MD 1→=2y +z =0，取y ＝1，得m →=（﹣2，1，﹣2） 设平面ADD 1A 1与平面MCD 1夹角为θ，
则平面ADD 1A 1与平面MCD 1夹角的余弦值为：
cos θ＝|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →
||m →|⋅|n →|=23． （3）D （0，2，0），D 1D →=（0，0，﹣2），
点D 到平面MCD 1的距离为：d =|D 1D →⋅m →|
|m →|=43． 19．已知△ABC 顶点A （3，0）、B （﹣1，﹣3）、C （1，1）．
（1）求直线BC 的方程及其在y 轴上的截距；
（2）求边BC的垂直平分线l的方程（3）求△ABC的面积．
解：（1）由于k BC=−3−1
−1−1
=2，
则由点斜式可得，直线BC的方程为y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1，其在y轴上的截距为﹣1；
（2）易知直线l的斜率为−1 2，
又线段BC的中点坐标为（0，﹣1），
则由斜截式可得，直线l的方程为y=−1
2
x−1；
（3）点A到直线BC的距离为d=
|2×3−0−1|
√2+(−1)2
=√5，|BC|=√(−1−1)2+(−3−1)2=2√5，
则S△ABC=1
2
|BC|d=
1
2
×2√5×√5=5．
20．为了了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照[27.5，32.5），
[32.5，37.5），[37.5，42.5），[42.5，47.5），[47.5，52.5]分为5组，其频率分布直方图如图所示．
（1）求图中a的值；
（2）估计这种植物果实重量的平均数x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）已知这种植物果实重量不低于37.5克的即为优质果实，现对该种植物果实的某批10000个果实进行检测．据此估算这批果实中的优质果实的个数．
解：（1）由题意得（0.020+0.040+0.075+a+0.015）×5＝1，
解得a＝0.050．
（2）这种植物果实重量的平均数约为：
x=30×0.020×5+35×0.040×5+40×0.075×5+45×0.050×5+50×0.015×5＝40，
∴这种植物果实重量的平均数为40．
（3）样本中，这种植物果实重量不低于37.5克，即优质果实的概率为0.7，
∴估算这批果实中的优质果实的个数为10000×0.7＝7000个．
21．在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，CD ＝AD =12
AB ＝1，∠P AD ＝45°，E 是P A 的中点，G 在线段AB 上，且满足CG ⊥BD ．
（1）求证：DE ∥平面PBC ；
（2）在线段P A 上是否存在点H ，使得GH 与平面PGC 所成角的正弦值是
√33，若存在，求出AH 的长；若不存在，请说明理由．
解：（1）证明：设M 是PB 的中点，连接CM ，EM ，
因为E ，M 分别是P A ，PB 的中点，
所以EM ∥AB ，EM =12AB ，
又AB ∥CD ，CD =12AB ，则EM ∥CD ，且EM ＝CD ，
所以四边形EMCD 为平行四边形，则DE ∥CM ，
又DE ⊄平面PBC ，CM ⊂平面PNC ，
所以DE ∥平面PBC ；
（2）依题意，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由于CD ＝AD =12AB ＝1，∠P AD ＝45°，则∠PDA ＝90°，
所以PD ＝DA ＝1，
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，E(12，0，12)，
所以CP →=(0，−1，1)，
设点G 的坐标为（1，t ，0），则CG →=(1，t −1，0)，DB →=(1，2，0)， 又CG ⊥BD ，则CG →⋅BD →=1+2(t −1)=0，解得t =12，
所以G(1，12，0)，
设平面GPC 的法向量为n →=(x ，y ，z)，CG →=(1，−12，0)，
则{n →⋅CG →=x −12y =0n →⋅CP →=−y +z =0
， 令x ＝1，则n →=(1，2，2)，
设AH →=λAP →=(−λ，0，λ)，λ∈[0，1]，GA →=(0，−12，0)， 所以GH →=GA →+AH →=(−λ，−12，λ)，
所以cos ＜GH →，n →＞=GH →⋅n →|GH →||n →|=2λ−23√8λ+1， 又GH 与平面PGC 所成角的正弦值是√33，则2λ−23√8λ+1
=√33， 化简整理可得，20λ2+8λ﹣1＝0，解得λ=
110或λ=−12（舍）， 所以存在满足条件的点H ，且AH →=(−110，0，110)，则|AH →|=√1100+1100=√210．。