重庆永川区中学高三数学理联考试卷含解析

重庆永川区中学高三数学理联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. “”是“”的( )
参考答案：
A
略
2. 函数的一个零点所在区间为
A.（1，2）
B.（2，3）
C.（3，4）
D.（4，5）
参考答案：
【知识点】函数与方程B9
【答案解析】B 因为，f(2)>0,f(3)<0,所以f(2).f(3)<0,故选B 【思路点拨】分别求出大于零还是小于零，确定零点所在区间
3. 已知集合，，则集合中元素的个数
为（）
A． B．
C． D．
参考答案：
B
集合，为奇数集，则，故选B．
4. 如图，已知三棱锥P﹣ABC的底面是等腰直角三角形，且∠ACB=，侧面PAB⊥底面ABC，AB=PA=PB=2．则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x，y，z分别是（）A．，1，B．，1，1 C．2，1，D．2，1，1
参考答案：
B
【考点】简单空间图形的三视图．
【分析】根据题意，结合三视图的特征，得出x是等边△PAB边AB上的高，y是边AB的一半，z是等腰直角△ABC斜边AB上的中线，分别求出它们的大小即可．
【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC的底面是等腰直角三角形，且∠ACB=，
侧面PAB⊥底面ABC，AB=PA=PB=2；
∴x是等边△PAB边AB上的高，x=2sin60°=，
y是边AB的一半，y=AB=1，
z是等腰直角△ABC斜边AB上的中线，z=AB=1；
∴x，y，z分别是，1，1．
故选：B．
5. “”是“直线与圆相切”的（）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
参考答案：
A
【分析】
当
时，可得直线方程，通过点到直线距离公式可求出圆心到直线距离等于半径，可知直线与圆
相切，充分条件成立；当直线与圆相切时，利用圆心到直线距离等于半径构造方程可求得或
，必要条件不成立，从而得到结果.
【详解】由圆的方程知，圆心坐标为，半径
当时，直线为：，即
圆心到直线距离
当时，直线与圆相切，则充分条件成立
当直线与圆相切时，圆心到直线距离，解得：或
则必要条件不成立
综上，“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件
本题正确选项：
【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，关键是能够掌握直线与圆位置关系的判定方法，明确当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径.
6. 在复平面上，若复数所对应的点在虚轴上，则实数的值为( )
A. B. C. D.
参考答案：
B
7.
已知命题甲为x＞0；命题乙为，那么（）
A．甲是乙的充分非必要条件
B．甲是乙的必要非充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件参考答案：
答案:A
8. 为了得到函数的图像，可以将函数的图像（）
A.向右平移个单位
B.向左平移个单位
C.向右平移个单位
D.向左平移个单位
参考答案：
C
9. 函数在同一平面直角坐标系内的大致图象
为（）
参考答案：
C
令.则，排除A,D.又，所以排除B,选C.
10. 若复数（1+2i）（1+ai）是纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值是（）
A．﹣2 B．C．﹣D．2
参考答案：
B
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．
【解答】解：复数（1+2i ）（1+ai ）=1﹣2a+（2+a ）i 是纯虚数，则1﹣2a=0，2+a≠0，解得a=． 故选：B ．
【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设、满足约束条件，若目标函数的最大值为4，则
的最小值为
.
参考答案：
略
12. 使不等式（其中）成立的的取值范围是
．
参考答案：
略
13. 如图，△ABC 中，延长CB 到D ，使BD=BC ，当E 点在线段AD 上移动时，若，
则t=λ﹣μ的最大值是 ．
参考答案：
3 略
14. 设函数，若，则实数
参考答案：
（1）当时，由，解得，符合题意； （2）当
时，由
，解得
，不符合题意，故舍去；
综上可得：
．
15. （5分）（2015?临潼区校级模拟）算法如果执行下面的程序框图，输入n=6，m=4，那么输出的p 等于 ．
参考答案：
360
【考点】： 循环结构． 【专题】： 图表型．
【分析】：讨论k从1开始取，分别求出p的值，直到不满足k＜4，退出循环，从而求出p的值，解题的关键是弄清循环次数．
解：第一次：k=1，p=1×3=3；
第二次：k=2，p=3×4=12；
第三次：k=3，p=12×5=60；
第四次：k=4，p=60×6=360
此时不满足k＜4．
所以p=360．
故答案为：360．
【点评】：本题主要考查了直到形循环结构，注意循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循
环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．
16. 设是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成的3个数字按从小到大排成的三位数记为，按从大到小排成的三位数记为（例如，则，）.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，输出的结果________.
参考答案：
495 17. 在行列式中，第3行第2列的元素的代数余子式记作f(x)，则的零点是
________.
参考答案：
【分析】
根据余子式定义得到，换元，得到方程，计算得到答案. 【详解】，则的零点等于与方程的解.
设则故
故答案为：
【点睛】本题考查了行列式的余子式，函数零点问题，换元可以简化运算，是解题的关键.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （13分）
直线y＝kx＋b与曲线交于A、B两点，记△AOB的面积为S（O是坐
标原点）．
（1）求曲线的离心率；
（2）求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；
（3）当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．
参考答案：
解析:（1）曲线的方程可化为：，
∴此曲线为椭圆，，
∴此椭圆的离心率．
（2）设点A的坐标为，点B的坐标为，
由，解得，
所以
当且仅当时， S取到最大值1．
（3）由得，
①｜AB｜＝② 又因为O到AB的距离，所以③
③代入②并整理，得
解得，，代入①式检验，△＞0 ，
故直线AB的方程是
或或或．
19. 已知函数f（x）=2lnx﹣3x2﹣11x．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若关于x的不等式f（x）≤（a﹣3）x2+（2a﹣13）x+1恒成立，求整数a的最小值．
参考答案：
【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求出原函数的导函数，得到f′（1），进一步求出f（1），代入直线方程的点斜式，化简可得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）令g（x）=f（x）﹣（a﹣3）x2﹣（2a﹣13）x﹣1=2lnx﹣ax2+（2﹣2a）x﹣1，求其导函数g′
（x）=．可知当a≤0时，g（x）是（0，+∞）上的递增函数．结合g（1）＞0，知不等式f（x）≤（a﹣3）x2+（2a﹣13）x+1不恒成立；当a＞0时，g′（x）
=．求其零点，可得g（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函
数．得到函数g（x）的最大值为g（）=≤0．令h（a）=．由单调性可得h（a）在（0，+∞）上是减函数，结合h（1）＜0，可得整数a的最小值为1．
【解答】解：（1）∵f′（x）=，f′（1）=﹣15，f（1）=﹣14，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣14=﹣15（x﹣1），即y=﹣15x+1；
（2）令g（x）=f（x）﹣（a﹣3）x2﹣（2a﹣13）x﹣1=2lnx﹣ax2+（2﹣2a）x﹣1，
∴g′（x）=．
当a≤0时，∵x＞0，∴g′（x）＞0，则g（x）是（0，+∞）上的递增函数．
又g（1）=﹣a+2﹣2a﹣1=1﹣3a＞0，∴不等式f（x）≤（a﹣3）x2+（2a﹣13）x+1不恒成立；
当a＞0时，g′（x）=．
令g′（x）=0，得x=，∴当x∈（0，）时，g′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＜0．
因此，g（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数．
故函数g（x）的最大值为g（）=≤0．
令h（a）=．
则h（a）在（0，+∞）上是减函数，
∵h（1）=﹣2＜0，
∴当a≥1时，h（a）＜0，∴整数a的最小值为1．
【点评】本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查数学转化思想方法，是高考试题中的压轴题．
20. 已知正项数列{}的前项和为，且，，成等差数列．
（1）证明数列{}是等比数列；
（2）若，求数列的前项和．
参考答案：
（1）证明见解析；（2）
试题分析：（1）证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法：证明
；二是等差中项法，证明，若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可；（2）等比数列基本量的求解是等比数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，（3）观测数列的特点形式，看使用什么方法求和．使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源和目的．
试题解析：解：（1）证明：由题意知
当时，，
当时，，
两式相减得，即
由于为正项数列，
即数列从第二项起，每一项与它前一项之比都是同一个常数2
数列是以为首项，以2为公比的等比数列
由（1）知，
．考点：1、证明数列为等比数列；2、裂项求和．
21. 已知数列{a n}为等差数列，a7－a2＝10，a1，a6，a21依次成等比数列．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设，数列{b n}的前n项和为S n，若，求n的值．
参考答案：
（1）设数列{a n}的公差为d，因为a7－a2＝10，
所以5d＝10，解得d＝2．
因为a1，a6，a21依次成等比数列，所以，
即（a1＋5×2）2＝a1（a1＋20×2），解得a1＝5．
所以a n＝2n＋3．
（2）由（1）知，
所以，
所以，
由，得n＝10．
22. 已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a∈R）．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）单调区间；
（Ⅲ）若对任意a∈（﹣3，﹣2）及x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成
立，求实数m的取值范围．
参考答案：
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【分析】（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2lnx+，求导，令f′（x）=0，解方程，分析导数的变化情况，确定函数的极值；
（Ⅱ）当a＜0时，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数f（x）单调区间；
（Ⅲ）若对任意a∈（﹣3，﹣2）及x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求函数f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求实数m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=0时，f（x）=2lnx+，f′（x）=﹣=，
令f′（x）=0，解得x=，
当0＜x＜时，f′（x）＜0；
当x≥时，f′（x）＞0
又∵f（）=2﹣ln2
∴f（x）的极小值为2﹣2ln2，无极大值．
（Ⅱ）f′（x）=﹣+2a=
当a＜﹣2时，﹣＜，令f′（x）＜0 得 0＜x＜﹣或x＞，
令f′（x）＞0 得﹣＜x＜；
当﹣2＜a＜0时，得﹣＞，
令f′（x）＜0 得 0＜x＜或x＞﹣，
令f′（x）＞0 得＜x＜﹣；
当a=﹣2时，f′（x）=﹣≤0，
综上所述，当a＜﹣2时f（x），的递减区间为（0，﹣）和（，+∞），递增区间为（﹣，）；
当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；
当﹣2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，）和（﹣，+∞），递增区间为（，﹣）．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a∈（﹣3，﹣2）时，f（x）在区间[1，3]上单调递减，
当x=1时，f（x）取最大值；
当x=3时，f（x）取最小值；
|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（3）=（1+2a）﹣[（2﹣a）ln3++6a]=﹣4a+（a﹣2）ln3，∵（m+ln3）a﹣ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，
∴（m+ln3）a﹣2ln3＞﹣4a+（a﹣2）ln3
整理得ma＞﹣4a，
∵a＜0，∴m＜﹣4恒成立，
∵﹣3＜a＜﹣2，∴﹣＜﹣4＜﹣，∴m≤﹣。