浙教版八下数学各章节知识点及重难点整理

浙教版八下数学各章节知识点及重难点
第一章二次根式
知识点一：二次根式的概念
二次根式的定义：形如（a≥0）的代数式叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，
所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，
而，等都不是二次根式。

知识点二：取值范围
1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当时，有意义，
是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有
意义。

知识点三：二次根式（）的非负性
（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即
0（）。

注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的
算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

知识点四：二次根式（）的性质
（）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：
若，则，如：，.
知识点五：二次根式的性质
文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即
；
2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；
3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

知识点六：与的异同点
1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平
方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。

但与都是非负数，即，。

因而它的运算的结果是有差别的，，而
2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，
而.
知识点七: 最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。

满足这三个条件的二次根式称为最简二次根式。

知识点八:同类二次根式：
化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式称为同类二次根式。

知识点九: 二次根式的运算：
（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
（2）二次根式的加减法：需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。

注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
二次根式的乘法：
二次根式的除法：
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．
强调：二次根式具有双重非负性。

（4）二次根式的混合运算：
先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算．
注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便．二次根式运算结果应尽可能化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数．例如不能写成．
（5）有理化因式：
一般常见的互为有理化因式有如下几类： ①与； ②与； ③与； ④与．
说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化．
（6）分母有理化：
分母有理化也称为有理化分母。

就是将分母含有根号的代数式变成分母不含根号的代数式，这个过程叫做分母有理化。

(1)形如： a a b a a a
b a b
=∙= 或 b
a b a c b a b a b a c b a c ±±=±∙±±∙=± (2)形如：b
a b a c b a b a b a c b a c
±=±∙=±2)())(()
( 或 b
a b a c b a b a b a c b a c
-=±∙=±)
())(()
( 【难点指导】
1、如果是二次根式，则一定有；当时，必有；
2、当时，表示的算术平方根，因此有；反过来，也可以将一个非负数写成的形式；
3、表示的算术平方根，因此有，可以是任意实数；
4、区别和的不同： 中的可以取任意实数，中的只能是一个非负数，否则无意义．
5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：
（1）因式的内移：因式内移时，若，则将负号留在根号外．即：．
（2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即：
6、二次根式的比较：
（1）若，则有；（2）若，则有．
说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小．
第二章 一元二次方程
知识点：
1. 定义：形如)0(02≠=++a c bx ax 的方程叫做一元二次方程，其中，a 叫做二次项系
数，bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。

例：若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则（ ）
A ．2±=m
B ．m=2
C ．m= —2
D ．2±≠m
2.一元二次方程的解法：
（1）直接开平方法；（2）因式分解分（提公因式法、乘法公式法、十字相乘法）；（3）配方法；（4）求根公式法;（5）换元法。

例：按要求解方程
（1）用配方法解方程：2410x
x -+= （2）用公式法解方程：()235210x x ++=
3.一元二次方程根的判别式：△=ac b 42- .
△>0,方程有两个不相等的实数根；△=0 ，方程有两个相等的实数根；△<0，方程无实数根。

例1．如果关于x 的方程ax 2+x –1= 0有实数根，则a 的取值范围是（ ）
A ．a ＞–14
B ．a ≥–14
C ．a ≥–14 且a ≠0
D ．a ＞–14
且a ≠0 例2．若t 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根，则判别式ac b 42-=∆和完全平方式2)2(b at M +=的关系是（ ）
A.△=M
B. △>M
C. △<M
D. 大小关系不能确定
4.韦达定理： a
c x x a b x x =∙-=+2121, 例1：设x 1、x 2是方程2x 2-4x-2=0的两个实根，求x 12+x 22。

例2：若一个三角形的三边长均满足方程x 2
-6x +8=0，则此三角形的周长为 _______
5、一元二次方程应用题
易错点分析：
易错点一：（概念）
1) 判断方程是否为一元二次方程时，忽略二次项系数不为“0”.
如：下列关于x 的方程中，是一元二次方程的有--------（ ）
① ax2+bx+c = 0 ② x2+ 3／x -5=0
③ 2x2-x-3 = 0 ④ x2-2+x3 = 0
2)注意本单元在学习概念时，注意联系实际，加深对概念的理解与应用，避免就概念理解概念。

如：已知关于x的方程（m-n）x2 +mx+n=0，(m≠0),你认为：
①当m和n满足什么关系时，该方程为一元二次方程？
②当m和n满足什么关系时，该方程为一元一次方程？
3)没有化成一般形式，混淆a、b、c.
易错点二：（解法）
（1）因式分解法没注意方程没有写成A*B=0形式。

如，解方程（x-1）(x-3)=8, 误解为 x
1=1, x
2
=3.
(2) 用公式法解方程时，没有化为一般式，造成符号错误或混淆a、b、c。

如，解方程x2-4x=2，误认为a=1,b=—4,c=2.
(3)丢根。

如，解方程3(x+2)=x2+2x,两边同时除以(x+2),得x=3.
易错点三（一元二次方程应用题）
①审题不清，误解题意，不能正确地找出等量关系；
②检查方程两根是否符合实际意义。

第三章数据分析初步
知识点一：平均数
平均数是衡量样本（求一组数据）和总体平均水平的特征数，通常用样本的平均数去估计总体的平均数。

平均数：把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商。

平均数反映一组数据的平均
水平，平均数分为算术平均数和加权平均数。

一般的，有n 个数,,,,321n x x x x ∙∙∙我们把)
(1321n x x x x n +∙∙∙+++叫做这n 个数的算术平均数简称平均数，记做-
x （读作“x 拔”）
（定义法）
当所给一组数据中有重复多次出现的数据，常选用加权平均数公式。

且f 1+f 2+……+f k =n （加权法），其中
k f f f f ∙∙∙321,,表示各相同数据的个数，称为权，
“权”越大，对平均数的影响就越大，加权平均数的分母恰好为各权的和。

当给出的一组数据，都在某一常数a 上下波动时，一般选用简化平均数公式
，
其中a 是取接近于这组数据平均数中比较“整”的数;• 知识点二：众数与中位数
平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量。

平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，
当一组数据中有个数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适。

中位数与数据排列有关，个别数据的波动对中位数没影响；
当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述。

众数：在一组数据中，出现次数最多的数(有时不止一个)，叫做这组数据的众数 中位数：将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数(或两个数的平均数)叫做这组数据的中位数．
知识点三：方差与标准差
用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，计算公式是 s 2=[(x 1-)2+(x 2-)2+…+(x n -)2
]； 一般的，一组数据的方差的算术平方根 S=])x -(x +…+)x -(x +)x -[(x n
12_n 2_22_1称为这组数据的标准差。

方差和标准差都是反映一组数据的波动大小的一个量，其值越大，波动越大，也越不稳定或不整齐。

或者说，离散程度小就越稳定，离散程度大就不稳定。

练一练
1、一个样本的方差是 则这个样本中的数据个数是___，平均数是____。

2、某样本的方差是9，则标准差是______
3、数据1、2、3、
4、5的方差是_____,标准差是____
第四、五章有关四边形各个知识点
知识点一、平行四边形
1、正确理解定义
（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．定义中的“两组对边平行”是它的特征，抓住了这一特征，记忆理解也就不困难了．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．同学们要在理解的基础上熟记定义．
2、熟练掌握性质
平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线对称性四个方面的特征进行简述的． 2222121001[(8)(8)(8)]
100S x x x =
-+-+⋅⋅⋅+-
（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；
（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；
（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；
（4）对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心；
（5）面积：①=底×高=ah；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形．
3．学会平行四边形的判别方法
①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形
③一组平行且相等的四边形是平行四边形
④对角线互相平分的四边形是平行四边形
补充⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形
知识点二、几种特殊四边形
1、正确理解定义
（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；
②一个角是直角，两者缺一不可．
（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；
②一组邻边相等，两者缺一不可．
（3）正方形：一组邻边相等的矩形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．
2、熟练掌握性质
（1）矩形：边：对边平行且相等；
角：对角相等、邻角互补；
对角线：对角线互相平分且相等；
对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形．
（2）菱形：边：四条边都相等，对边平行；
角：对角相等、邻角互补；
对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；
对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形．
（3）正方形：边：四条边都相等，对边平行；
角：四角相等；
对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为45°；
对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形．
3．学会平行四边形的判别方法
（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形
①有一个角是直角的平行四边形；
②对角线相等的平行四边形；
③有三个角是直角的四边形。

（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是菱形
①有一组邻边相等的平行四边形；
②对角线互相垂直的平行四边形；
③四条边都相等的四边形．
（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．
①有一个角是直角（或对角线相等）的菱形；
②有一组邻边相等（或对角线互相垂直）的矩形；
③有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形；
4、几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析
（1）识别矩形的常用方法
①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角．
②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等．
③说明四边形ABCD的三个角是直角．
（2）识别菱形的常用方法
①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等．
②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直．
③说明四边形ABCD的四条边相等．
（3）识别正方形的常用方法
①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的一个角为直角且有一组邻边相等．
②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等．
③先说明四边形ABCD为矩形，再说明矩形的一组邻边相等．
④先说明四边形ABCD为菱形，再说明菱形ABCD的一个角为直角．
5、几种特殊四边形的面积问题
（1）设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b，则S矩形=ab．
（2）设菱形ABCD的一边长为a，高为h，则S菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为
a,b，则S菱形=1
2 ab．
（3）设正方形ABCD的一边长为a，则S正方形=2
a；若正方形的对角线的长为a，则
S正方形=1
2
2 a．
知识点三、多边形
1．多边形的定义
在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形，叫做多边形．2．探索多边形内角和公式
n边形内角和公式：
()
°
180n-2
2
任意多边形的外角和都等于360°．
3．探索多边形对角线公式
从n边形的一个顶点出发可以引出n-3条对角线，n边形一共有
()
n-3
2
n
条对角线
知识点四、中心对称图形
1、 如果一个图形绕着它的中心点旋转180°后能与原图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个中心点叫做对称中心。

2、图形上对称点的连线被对称中心平分；
第六章反比例函数
知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如k y x =
（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面
来理解：
⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数；
⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠；
⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分；
⑷反比例函数有三种表达式：
①x k y =
（0k ≠），②1kx y -=（0k ≠），③k y x =⋅（定值）（0k ≠）；
知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式
由于反比例函数k y x =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。

知识点3反比例函数的图像及画法
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第
二、第四象限，它们关于原点对称，由于反比例函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

知识点4反比例函数的性质
★1、关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：
注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当0
k>时，y随x的增大而减小，就会与事实不符的矛盾。

反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数k的符号决定的，反过来，由
反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。

如
k
y
x
=在第
一、第三象限，则可知k0
>。

★2、反比例函数k y x =（0k ≠）中比例系数k 的绝对值k 的几何意义。

如图所示，过双曲线上任一点P （x ，y ）分别作x 轴、y 轴的垂线，E 、F 分别为垂足，
则OEPF
S PE PF y x xy 矩形=⋅=⋅==k 反比例函数k y x =（0k ≠）中，k 越大，双曲线k y x
=越远离坐标原点；k 越小，双曲线k y x
=越靠近坐标原点。

双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x 和直线y=－x 。