2010中考压轴题8.doc

二0一0年中考数学压轴题汇总八
1、（2010天门，25，12分）如图，平面直角坐标系中，点A 、B 、C 在x 轴上，点D 、E 在
y 轴上，OA =OD =2，OC =OE =4，DB ⊥DC ，直线AD 与经过B 、E 、C 三点的抛物线交于F 、G 两点，与其对称轴交于M .点P 为线段FG 上一个动点(与F 、G 不重合)，PQ ∥y 轴与抛物线交于点Q .
(1)求经过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式；
(2)是否存在点P ，使得以P 、Q 、M 为顶点的三角形与△AOD 相似？若存在，求出满足条
件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若抛物线的顶点为N ，连接QN ，探究四边形PMNQ 的形状：①能否成为菱形；②能
否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P 的坐标；若不能，请说明理由.
【分析】（1）确定二次函数解析式可用待定系数法，本题可用一般式，也可用交点式．
（2）本题中因为△AOD 是等腰直角三角形，结合题意可知△MPQ 是等腰直角三角形，再结合等腰直角三角形的性质求解.
(3)当点P 在对称轴左侧时，四边形PMNQ 为菱形，结合菱形的邻边相等，确定点Q 的坐标，再验证点Q 是否在抛物线上，当点P 在对称轴右侧时，四边形PMNQ 为等腰梯形，可作出梯形的两条高，构造求解.
【答案】
（1）设函数解析式为y=a(x+2)(x-4)，则
a ×2×(-4)=4，解得a=-
2
1 所以经过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式为y=-21(x+2)(x-4)=-2
1x 2
+x+4. (2) y=-
21x 2+x+4=-21（x-1）2+2
9.
易知直线AD 解析式为y=x+2，所以M （1，3），过点M 作MR ⊥PQ 于点R ，因为△AOD 是等腰直角三角形，结合题意可知△MPQ 是等腰直角三角形，设MN=m ，则PQ=2m ，所以P(1-m ，3-m)，Q(1-m ，3+m)，所以
-
2
1
（1-m-1）2+
2
9
=3+m，解得m1=1，m2=-3（不合题意，舍去）
此时P(0，2)
（3）
【涉及知识点】二次函数解析式，顶点坐标，对称轴，相似三角形，菱形，等腰梯形.
【点评】这是一道传统型的压轴题，以函数和几何图形的综合作为主要方式，用到三角形、四边形、相似形的有关知识．解压轴题，要注意它的逻辑结构，搞清楚它的各个小题之间的关系是“平列”的，还是“递进”的，这一点非常重要.
2、（2010 武汉，25题，12分）如图1，抛物线b
ax
ax
y+
-
=2
2
1
经过点A（－1，0），C
（0，
2
3
）两点，且与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线解析式；
（2）若抛物线的顶点为点M，点P为线段AB上一动点（不与B重合），Q在线段MB
上移动，且∠MPQ=45°，设OP=x，MQ=
2
2
2
y，求
2
y于x的函数关系式，并且直接写出自变量的取值范围；
（3）如图2，在同一平面直角坐标系中，若两条直线x=m，x=n分别与抛物线交于E、G两点，与（2）中的函数图像交于F、H两点，问四边形EFHG能否为平行四边
形？若能，求出m、n之间的数量关系；若不能，请说明理由．
【分析】（1）问直接代入已知点到解析式即可求出解；（2）中是关于动点问题，可以利P
M
Q
A B
O
y
x
用动中取静的方法求解，关键是PM 2的获取，△MPQ ~△MBP 的发现，从而得到PM 2=MQ ⨯MB ；（3）可先尝试动手画，然后再根据自己画的图形，分析出EF =GH ，从而得到关于m,n 的等式，变形化简即可．
【答案】解：(1) ∵拋物线y 1=ax 2
-2ax +b 经过A (-1，0)，C (0，23)两点，∴⎪⎩
⎪⎨⎧==++2302b b a a ，
∴a = -
21
， b =23，∴拋物线的解析式为y 1= -21x 2+x +2
3
．
(2) 作MN ⊥AB ，垂足为N ．由y 1= -21x 2+x +2
3
易得M (1，2)，
N (1，0)，A (-1，0)，B (3，0)，∴AB =4，MN =BN =2，MB =22， ∠MBN =45︒．根据勾股定理有BM 2-BN 2=PM 2-PN 2． ∴(22)2-22=PM 2= -(1-x )2… ，又∠MPQ =45︒=∠MBP ， ∴△MPQ ~△MBP ，∴PM 2=MQ ⨯MB =2
2
y 2⨯22… ． 由 、 得y 2=
21x 2-x +2
5．∵0≤x <3，∴y 2与x 的函数关系式为y 2=
21x 2-x +2
5
(0≤x <3)． (3) 四边形EFHG 可以为平行四边形，m 、n 之间的数量关系是
m +n =2(0≤m ≤2，且m ≠1)．∵点E 、G 是抛物线y 1= -21x 2+x +2
3 分别与直线x=m ，x=n 的交点，∴点E 、G 坐标为
E (m ，-
21m 2+m +23)，G (n ，-21n 2+n +23
)．同理，点F 、H 坐标 为F (m ，21m 2-m +25)，H (n ，21n 2-n +25
)．
∴EF =21m 2-m +25-(-21m 2+m +2
3
)=m 2-2m +1，
GH =21n 2-n +25-(-21n 2+n +2
3
)=n 2-2n +1．
∵四边形EFHG 是平行四边形，EF =GH ．∴m 2-2m +1=n 2-2n +1，
∴(m +n -2)(m -n )=0．
由题意知m ≠n ，∴m +n =2 (0≤m ≤2，且m ≠1)．
因此，四边形EFHG 可以为平行四边形，m 、n 之间的数量关系是m +n =2 (0≤m ≤2，
且m ≠1)．
【涉及知识点】二次函数、相似、平行四边形的性质等．
【点评】此题是集动点、猜想、函数等知识于一身的综合性大题．万变不离其中，只要
我们平时打好基础，再难的问题，都可迎刃而解的．需要指出是第（3）问，准确
绘出y 1,y 2的图象，他们顶点在一处，再用含m,n 的式子表示出EF 、GH 的长成为问题获得突破的关键．事实上，这也是很多抛物线为载体的综合题一个重要技巧．
3、（2010湖北咸宁，24，12分）
如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90DAB ∠=︒，24AD DC ==，6AB =．动点M 以每秒1个
单位长的速度，从点A 沿线段AB 向点B 运动；同时点P 以相同的速度，从点C 沿折线C -D -A 向点
A 运动．当点M 到达点
B 时，两点同时停止运动．过点M 作直线l ∥AD ，与线段CD 的交点为E ，
与折线A -C -B 的交点为Q ．点M 运动的时间为t （秒）． （1）当0.5t =时，求线段QM 的长；
（2）当0＜t ＜2时，如果以C 、P 、Q 为顶点的三角形为直角三角形，求t 的值；
（3）当t ＞2时，连接PQ 交线段AC 于点R ．请探究CQ
RQ 是否为定值，若是，试求这
个定值；若不是，
请说明理由．
【分析】解决梯形问题，有一个基本思想，就是：把梯形问题转化为三角形或平行四边形的问题来解决．如下图，过点C 作C F ⊥AB ，垂足为F ，就能把这个直角梯形分作一个矩形和一个等腰直角三角形，图中的所有线段都容易求得．
于是对于第（1）小题，可利用锐角三角函数或相似三角形对应边成比例顺利求出线段QM 的长．
对于第（2）小题，由于当0＜t ＜2时，点P 在CD 上，点Q 在AC 上，所以QCP ∠一定是锐角，所以可以分ο
90=∠CPQ 和ο
90=∠CQP 两种情况来分析．对于第（3）小题，容易发现当t ＞2时，点Q 在线段BC 上，点P 在线段AD 上，如下图所示：
由题意得线段t AP -=6，而线段t BM QM -==6，所以PA=QM ，这样容易证明
PQ ∥AB ，进而可得△CRQ ∽△CAB ，所以
AC
BC
RQ CQ =为定值． 【答案】解：（1）过点C 作CF AB ⊥于F ，则四边形AFCD 为矩形． ∴4CF =，2AF =．
此时，Rt △AQM ∽Rt △ACF ．
∴
QM CF
AM AF =
． 即40.52
QM =，∴1QM =．
（2）∵DCA ∠为锐角，故有两种情况： ①当90CPQ ∠=︒时，点P 与点E 重合． 此时DE CP CD +=，即2t t +=，∴1t =． ②当90PQC ∠=︒时，如备用图1，
此时Rt △PEQ ∽Rt △QMA ，∴
EQ MA
PE QM
=． 由（1）知，42EQ EM QM t =-=-，
而()(2)22PE PC CE PC DC DE t t t =-=--=--=-， ∴421222t t -=-． ∴53
t =． 综上所述，1t =或5
3
．
（3）CQ RQ
为定值．
当t ＞2时，如备用图2，4(2)6PA DA DP t t =-=--=-．
由（1）得，4BF AB AF =-=． ∴CF BF =． ∴45CBF ∠=︒． ∴6QM MB t ==-． ∴QM PA =． ∴四边形AMQP 为矩形． ∴PQ ∥AB ．
∴△CRQ ∽△CAB ．
∴CQ BC RQ AB == 【涉及知识点】梯形、矩形、锐角三角函数、相似三角形、等腰直角三角形、
【点评】本题属双动点型几何综合题，解题时应注意两个点所处的位置的变化，作为最后一道压轴题，难度系数不是很高，特别是第（3）小题，没有把“尾巴翘起来”，可能区分度不高，选拔优秀学生的功能不是很好．
4、（2010年湖北襄樊 26 本大题满分12分）
如图7，四边形ABCD 是平行四边形，AB=4，OB =2，抛物线过A 、B 、C 三点，与x
轴交于另一点D ．一动点P 以每秒1个单位长度的速度从B 点出发沿BA 向点A 运动，运动到点A 停止，同时一动点Q 从点D 出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC 向点C 运动，与点P 同时停止． （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线的对称轴与AB 交于点E ，与x 轴交于点F ，当点P 运动时间t 为何值时，四边形POQE 是等腰梯形？
（3）当t 为何值时，以P 、B 、O 为顶点的三角形与以点Q 、B 、O 为顶点的三角形相似？
图7
【分析】参照图形确定出A 、B 、C 三点的坐标，利用待定系数法求抛物线的解析式；结合等腰梯形的性质可知，OP=EQ 时，BP=FQ ，据此列方程求解；由于相似的两个三角形各点对应关系不确定，所以要分情况讨论．
【答案】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OC=AB =4． ∴A （4，2），B （0，2），C （－4，0）． ∵抛物线y =a x 2+b x +c 过点B ，∴c=2．
由题意，有16420,1642 2.a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解得1,16
1.4
a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴所求抛物线的解析式为211
2164
y x x =-++． （2）将抛物线的解析式配方，得()2
1122164
y x =--+．
∴抛物线的对称轴为x =2．
∴D （8，0），E （2，2），F （2，0）．
欲使四边形POQE 为等腰梯形，则有OP =QE ．即BP=FQ ． ∴t =6－3t ，即t =
32
．
（3）欲使以P 、B 、O 为顶点的三角形与以点Q 、B 、O 为顶点的三角形相似，
∵∠PBO =∠BOQ =90°，∴有
BP OQ OB BO =
或BP BO
OB OQ
=， 即PB=OQ 或OB 2=PB ·QO ．
①若P 、Q 在y 轴的同侧．当PB=OQ 时，t=8－3t ，∴t =2． 当OB 2=PB ·QO 时，t (8－3t )=4，即3t 2－8t+4=0． 解得12223
t t ==
，． ②若P 、Q 在y 轴的异侧．当PB=OQ 时，3t －8=t ，∴t =4． 当OB 2=PB ·QO 时，t (3t －8)=4，即3t 2－8t －4=0．解得427
3
t ±=
． ∵t =
4273-<0．故舍去，∴t =427
3
+． ∴当t =2或t =
2
3
或t =4或t=4273+秒时，以P 、B 、O 为顶点的三角形与以点Q 、B 、
O 为顶点的三角形相似．
【涉及知识点】二次函数，等腰梯形，相似三角形，方程
【点评】注意充分利用数形结合思想，可以减少运算量，比如求抛物线对称轴方程，不一定把二次函数解析式配方，观察图形，不难发现，这条对称轴就是线段AB 的垂直平分线，由此很快能确定抛物线对称轴方程为直线x =2，这样更加便捷．
5、（2010年湖北宜昌 24 12分）如图，直线y=hx+d 与x 轴和y 轴分别相交于点A(-1,0),B(0,1),
与双曲线y=t
x
在第一象限相交于点C ；以AC 为斜边、CAO ∠为内角的直角三角形，与以
CO 为对角线、一边在x 轴上的矩形面积相等；点C,P 在以B 为顶点的抛物线y=2
mx nx k ++上；直线y=hx+d 、双曲线y=t x
和抛物线2
y ax bx c =++同时经过两个不同的点C ，D 。

（1）确定t 的值
（2）确定m , n , k 的值
（3）若无论a , b , c 取何值，抛物线2
y ax bx c =++都不经过点P ，请确定P 的坐标 （12分）
A
B
O
y
x
C
（第24题） 【分析】（1）根据直线方程过的两个点可求出直线方程，再根据双曲线过C 点，设点C 坐标为（x 1，y 1），则x 1y 1=t ．，再根据面积相等，进而求得C 点坐标，便可求出t 的值；（2）根据抛物线顶点B ，得到两个等式，以及C 点 在抛物线上，又得一等式，由三个等式联立，便可求出m 、n 、k ；（3）根据直线与双曲线的交点C 、D ，求出后代入抛物线方程可得两个等式，可把抛物线方程中的参数a 、b 、c 消去两个，再根据P 点在y=2
mx nx k ++上，可设出坐标，代入2
y ax bx c =++后得到的方程无解，进而求出a 、b 、c ．
【答案】解：
（1）直线过点A ，B ，则0=－h +d 和1=d ,即y =x +1.
双曲线y=t
x 经过点C （x 1，y 1），x 1y 1=t ．
以AC 为斜边，∠CAO 为内角的直角三角形的面积为1
2×
y 1×(1+x 1); 以CO 为对角线的矩形面积为x 1y 1，
1
2×y 1×(1+x 1)＝x 1y 1，因为x 1，y 1都不等于0，故得x 1＝1，所以y 1=2.
故有，
12t
=
，即t =2.
（2）∵B 是抛物线y ＝mx 2＋nx ＋k 的顶点，∴有－0,2n
m = 2414n mk m --
=，
得到n =0，k =1.
∵C 是抛物线y ＝mx 2＋nx ＋k 上的点，∴有2＝m(1)2+1,得m=1． （3）设点P 的横坐标为p ，则纵坐标为p 2+1. ∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过两个不同的点C ，D ， 其中求得D 点坐标为（－2，－1）．. 解法一：
故 2＝a ＋b ＋c ，
－1＝4a －2b ＋c ．
解之得，b ＝a ＋1, c ＝1－2a .
∴y =ax 2＋( a ＋1)x ＋（1－2a ） 于是： p 2+1≠a p 2＋（a ＋1）p ＋（1－2a ） ∴无论a 取什么值都有p 2－p ≠（p 2＋p －2）a ． （或者，令p 2-p=(p 2+p -2)a
∵抛物线y=ax 2+bx+c 不经过P 点， ∴此方程无解，或有解但不合题意）
故∵a ≠０，∴①22
0,20p p p p ⎧-=⎪⎨+-≠⎪
⎩ 解之p ＝0，p ＝1，并且p ≠1，p ≠－2.得p ＝0.
∴符合题意的P 点为（0，1）.
②2
0,p p ⎧-≠⎪得有当(由由．
而21,1.y x x ⎧=+⎨
=⎩解得交点为C （1，2）
故符合条件的点P 为（0，1）或（－2，5）． 【涉及知识点】直线 双曲线 抛物线 交点问题
【点评】本题是平面直角坐标系中的交点的问题，交点有无，关键是看由曲线方程联立构成的方程组解的个数，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．．
6、（2010湖南永州，24，10分）已知二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点A(－
2 ，0)，与y 轴的交点为B(0，4)，且其对称轴与y 轴平行．
⑴求该二次函数的解析式，并在所给出坐标系中画出这个二次函数的大致图象； ⑵在该二次函数位于A 、B 两点之间的图象上取上点M ，过点M 分别作x 轴、y 轴的垂线段，垂足分别为点C 、D ．求矩形MCOD 的周长的最小值，并求使矩形MCID 的周长最小时的点M 坐标．
【分析】（1）利用待定系数法由题意可设抛物线的解析式2
)2(+=x a y 再将已知的B 点坐标代入可求出a 得出解析式， （2）设点M 的坐标为（m ，n ），将其代入抛物线的解析式可得出m ，n 之间的关系式n ＝m 2+4m+4；再由矩形周长公式可得出周长L 与m ，n 之间的二次函数关系式L ＝2(n －m )；消去n 可得出L 与m 二次函数关系式，利用顶点坐标式可求出结果. 【答案】⑴由题意可知点A(－2，0)是抛物线的顶点，设抛物线的解析式为
2)2(+=x a y
∵其图象与y 轴交于点B(0，4) ∴4＝4a ∴a ＝1
∴抛物线的解析式为2
)2(+=x y
（第24题图）
⑵设点M 的坐标为（m ，n ），则m ＜0，n ＞0，n ＝(m+n)2＝m 2+4m+4 设矩形MCOD 的周长为L 则L ＝2(MC+MD)＝2(m n +) ＝2(n －m )
＝2(m 2+4m+4－m ) ＝2(m 2+3m+4)
＝2(m+
23)2+2
7 当m ＝2
3
-时，L 有最小值27，此时n ＝41
∴点M 的坐标为（23-，4
1
）．
【涉及知识点】二次函数、待定系数法、矩形周长
【点评】本题出现的待定系数法、最值是考查二次函数的知识最常见手段，既考查了基础知识，又难度不大，是一道难度中等的好题. 【推荐指数】★★★★ 25．（2010湖南永州，25，10分）探究问题： （1）阅读理解： ①如图（A ），在已知△ABC 所在平面上存在一点P ，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P 为△ABC 的费马点，此时P A ＋PB ＋PC 的值为△ABC 的费马距离. ②如图（B ），若四边形ABCD 的四个顶点在同一圆上，则有AB ·CD ＋BC ·DA ＝AC ·BD .此为托勒密定理.
（2）知识迁移：
①请你利用托勒密定理，解决如下问题：
如图（C），已知点P为等边△ABC外接圆的»BC上任意一点.求证：PB＋PC＝P A.
②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：
第一步：如图（D），在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；
第二步：在»BC上任取一点P′，连结P′A、P′B、P′C、P′D.易知P′A＋P′B＋P′C＝P′A＋（P′B
＋P′C）＝P′A＋；
第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC的费马点P，并请指出线段的长度即为△ABC的费马距离.
（3）知识应用：
2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水.
已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值.
【分析】（2）知识迁移①问，只需按照题意套用托勒密定理，再利用等边三角形三边相等，将所得等式两边都除以等边三角形的边长，即可获证. ②问，借用①问结论，及线段的性质“两点之间线段最短”数学容易获解. （3）知识应用，在（2）的基础上先画出图形，再求解.
【答案】（2）①证明：由托勒密定理可知PB·AC＋PC·AB＝P A·BC
∵△ABC是等边三角形
∴AB＝AC＝BC
∴PB＋PC＝P A
②P′D AD
（3）解：如图，以BC 为边长在△ABC 的外部作等边△BCD ，连接AD ，则知线段AD 的长即为△ABC 的费马距离.
∵△BCD 为等边三角形，BC ＝4，
∴∠CBD ＝60°，BD ＝BC ＝4. ∵∠ABC ＝30°， ∴∠ABD =90°. 在Rt △ABD 中，∵AB ＝3，BD ＝4 ∴AD 22AB BD +2234+＝5（km ）
∴从水井P 到三村庄A 、B 、C 所铺设的输水管总长度的最小值为5km . 【涉及知识点】圆，等边三角形，线段性质，勾股定理
【点评】此题集阅读理解、创新探究、实际应用于一体，题型新颖别致，综合考查自主探究、创新应用能力，是一道不可多得的好题. 此题环环相扣，解题关键是理解阅读材料，从中获取新知，能够灵活应用新知解决数学问题，并进一步构建数学模型解决实际问题. 此题难度中等，只要平时养成自主学习的习惯，并善于将所学知识融会贯通，便可顺利解决问题.
7、（2010湖南长沙，26，10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边分别
在x 轴和y 轴上，82,8OA cm OC cm ==，现有两动点P ．Q 分别从O ．C 同时出发，P 在线段OA 上沿OA 2cm 的速度匀速运动，Q 在线段CO 上沿CO 方向以每秒1cm 的速度匀速运动．设运动时间为t 秒． （1）用t 的式子表示△OPQ 的面积S ；
（2）求证：四边形OPBQ 的面积是一个定值，并求出这个定值；
（3）当△OPQ 与△P AB 和△QPB 相似时，抛物线2
14
y x bx c =
++经过B ．P 两点，过线段BP 上一动点M 作y 轴的平行线交抛物线于N ，当线段MN 的长取最大值时，求直线MN 把四边形OPBQ 分成两部分的面积之比．
【分析】（1）依题意OQ ＝8－t ,OP 21
2
PQO S OP OQ ∆=
⋅，整理即得; （2）依据PAB CBQ OABC OPBQ S S S S ∆∆=--矩形四边形可得; （3）依题意得P (42B(82，进而得抛物线为2
12284
y x x =
-+，过B ．P 两点的直线为y 2x －8 ．当62x =时，MN 的长最大，此时直线MN 把四边形OPBQ 分成两部分的面积之比3：1．
【答案】解：（1）由题意知，OQ ＝8－t ,OP 2t,
∴()2
12284222
PQO S t t ∆=
⋅-=-+． （2）由题意知，AB ＝OC ＝8,CQ ＝ t, CB ＝OA ＝2,P A ＝22t,
()
1
882242t 3222PAB S t ∆=⋅⋅=-+1
8242t 2
OBQ S t ∆=⋅⋅=;
∴PAB CBQ OABC OPBQ S S S S ∆∆=--矩形四边形
(88242t 32242t =⋅-+- 322=
∴四边形OPBQ 的面积是一个定值，这个定值为2．
（3）当△OPQ 与△P AB 和△QPB 2822t t
=
-． 整理，得2
12320t t -+=，
解得14t =，28t =（不合题意）． 此时P
(,0),B
(． 因抛物线2
14
y x bx c =
++经过B ．P 两点，所以将B ．P 两点的坐标代入，得
(
(
22
1
04
184
c c ⎧⨯++=⎪⎪⎨⎪⨯++=⎪⎩
解得8
b c ⎧=-⎪⎨=⎪⎩
所以经过B ．P
两点的抛物线为2
184
y x =
-+． 设过B ．P 两点的直线为y ＝kx+b, 将B ．P 两点的坐标代入，得
8
b b ⎧+=⎪⎨
+=⎪⎩
解得8
k b ⎧=⎪⎨
=-⎪⎩所以过B ．P 两点的直线为y
x －8．
依题得，动点M 的坐标（
x,
x －8），N 的坐标（
x,
2
184
x -+） MN ＝
x －8
）－（2184x -+
）＝(2
211
16244
x x -+-=--+
当x =，MN 的长最大，此时直线MN 把四边形OPBQ 分成两部分的面积之比3：1．
【涉及知识点】矩形的面积．三角形的面积．相似三角形的性质．一次函数．二次函数
等．
【点评】本题是几何．代数综合题，涉及内容多，有一定难度．主要考查学生的应用所学解决数学问题的能力，运算量较大，同时也极易出错，需要细心．
8、如图（1），抛物线42
y x x =+-与y 轴交于点A ，E （0，b ）为y 轴上一动点，过点E
的直线y x b =+与抛物线交于点B 、C .
（1）求点A 的坐标； （2)当b =0时（如图（2）），ABE ∆与ACE V 的面积大小关系如何？当4b >-时，上述关
系还成立吗，为什么？
（3）是否存在这样的b ，使得BOC V 是以BC 为斜边的直角三角形，若存在，求出b ；若
又易发现这两条高就是B,C 两点的横坐标的绝对值，所以只要求出B，C 两点的横坐标；（3）存在。

因为90
BF CG,BEF CEG,BFE CGE
=∠=∠∠=∠=︒，所以BEF CEG
≅
V V
所以BE CE
=，即E为BC 的中点。

所以当OE=C E时，OBC
V为直角三角形【答案】（1）将x=0，代入抛物线解析式，得点A的坐标为（0，－4）
（2）当b＝0时，直线为y x
=，由
24
y x
y x x
=
⎧
⎨
=+-
⎩
解得1
1
2
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，2
2
2
2
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
所以B、C 的坐标分别为（－2，－2），（2，2）
1
424
2
ABE
S=⨯⨯=
V
，
1
424
2
ACE
S=⨯⨯=
V
所以
ABE ACE
S S
=
V V
（利用同底等高说明面积相等亦可）
当4
b>-时，仍有
ABE ACE
S S
=
V V
成立. 理由如下
由
24
y x b
y x x
=+
⎧
⎨
=+-
⎩
，解得1
1
x
y b
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
，2
2
x
y b
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
所以B、C b），+b），
作BF y
⊥轴，CG y
⊥轴，垂足分别为F、G，则BF CG
==
而ABE
V和ACE
V是同底的两个三角形，
所以
ABE ACE
S S
=
V V
.
所以BEF CEG ≅V V
所以BE CE =，即
E 为BC 的中点
所以当OE =C E 时，OBC V 为直角三角形
因为GE
b b GC =+-== 所以 CE =
OE b =
b =，解得124,
2b b ==-，
所以当b ＝4或－2时，ΔOBC 为直角三角形.
【涉及知识点】二次函数、一次函数、直角三角形、三角形的面积
【点评】本题是根据字母b 的变化来设置问题，体现了与高中的衔接，b 事实上是高中内容中的“参数”，问题设置层层递进，在解含有b 的二元二次方程组时学生会遇到一定的困难．
9、（2010湖南衡阳，27，10分）如图15，在平面直角坐标系中，△OAB 三个顶点坐标
分别为O （0，0），A （1，3），B （4，0）.
⑴求证：AB ⊥OA
⑵在第一象限内确定点M ，使△MOB 与△AOB 相似，求符合条件的点M 的坐标 ⑶如图16，已知D （0，-3），作直线BD
①将△AOB 沿射线BD 平移4个单位长度后，求△AOB 与以D 为圆心，以I 为半径的⊙D 的公共点的个数
②如图17，现有一点P 从D 点出发，沿射线DB 的方向以1个单位长度/秒的速度作匀速运动，运动时间为t 秒.当以P 为圆心，以t 2
1
为半径的⊙P 与△AOB 有公共点时，求t 的取值范围.
图15 图16 图17
【分析】（1）欲证AB ⊥OA ，只需证明∠OAB=90°，过A 作AC ⊥OB 于C,
利用锐角三角函数分别求出∠OAC 与∠BAC 的度数；或利用勾股定理逆定理也可得证；（2）由于∠A 为直角，且M 在第一象限，据相似三角形的判定，分2种情况（一）B 为直径顶点：①当∠MOB=60°时，②当∠MOB=30°时；（二）M 为直角顶点时，∠MOB=30°.则可求出M 点坐标.
（3）①本问考查了直线与圆的位置关系，需根据题意画出相应图形，分别计算出点D 与AB 、OB 的距离；②设⊙P 与直线BD 交于E 、F ，其中E 的横坐标小于F 的横坐标.欲求t 的取值范围，只需求出⊙P 与OB 相切时的时间，与E 与B 重合的时间，它们之间的部分（包括这两种情况）就是t 的取值范围.
【答案】
（1）解法一：过A 作AC ⊥OB 于C ，
∵tan ∠AOC=3,∴∠AOC=60°.
又∵tan ∠ABC=
3
3
,∴∠ABC=30°. ∴∠BAO=90°, ∴AB ⊥OA ．
解法二：∵AO 2=OC 2+AC 2=4,AB 2=AC 2+BC 2
=3+9=12.
OB 2
=16, ∴AO 2+AB 2=OB 2. ∴∠BAO=90°, ∴AB ⊥OA ．
（2）解法一：若以B 为直角顶点，当∠MOB=60°时,M(4，43).
当∠MOB=30°时,M(4，
3
43).
若以M 为直角顶点，∠MOB=30°时, M(3，3). 综上所述，符合条件的M 有1M (4，43),2M (4，
3
4
3),3M (3，3).
解法二：若△AOB ∽△BOM ，则
BO
AO
BM AB =
，即42BM 32=. ∴BM=43，∴M (4，43).
若△AOB ∽△BMO ，则
BO
AB
BM AO =
，即432BM 2=. ∴BM=
3
4
3，∴M (4，
3
4
3). 若△AOB ∽△MBO ，则OB OB BM AO =，即1BM
2
=.
∴BM=2，∴M (3，3).
⑶①解法一：当△AOB 沿射线BD 平移4个单位长度后，点D 到OB 的距离为
5
3
<1. 且O 在⊙D 外，∴边OB 与⊙D 有两个公共点（包括B 点），点D 到AB 的距离为
10
4
33+<1，且A 在⊙D 外. ∴边AB 与与⊙D 有两个公共点（包括B 点）.
综上所述，△AOB 沿射线BD 平移4个单位长度后，与⊙D 有3个公
共点.
解法二：（用反证思想）
当△AOB 沿射线BD 平移4个单位长度后，点B 恰好在⊙D 上， 过OB 、AB 与⊙D 只能是相切或相交. ∵∠DBO<90°且O 在⊙D 外，∴边OB 与⊙D 有两个公共点（包括B 点）. 又∵∠DBA<75°且A 在⊙D 外，∴边AB 与⊙D 有两个公共点（包括B 点）.
故有3个公共点. 解法三：（应用计算器，思路与解法二相似）
∵tan ∠DBO=
4
3
,∴∠DBO ≈37°，∴∠DBA ≈67°, ∴边AB 与⊙D 相交，故有3个公共点. 解法四：当AB 与⊙D 相切时，则平移了
11
3
3095-个单位长度，当平移距离大
约
1133095-且小于4时，它们的公共点有4个. ∴当△AOB 沿射线BD 平移4个单位长度时，与⊙D 有3个公共点. 解法五：（应用计算器，思路与解法四相似）
∵∠DBO ≈37°，∴∠DBA ≈67°.
当AB 与⊙D 相切时，则平移了91.367sin 1-50
≈，∵4>3.91， ∴当△AOB 沿射线BD 平移4个单位长度时，与⊙D 有3个公共点. ②设⊙P 与直线BD 交于E 、F ，其中E 的横坐标小于F 的横坐标.
解法一：∵P （
54t ，53t-3），E （52t ，10
3t-3）， 当3-53t=21t 时，t 最小，此时t=11
30. 当E 点与B 点重合时，10
3t-3=0，t=10. ∴当11
30≤t ≤10时，⊙P 与△AOB 有公共点. 解法二：当⊙P 与OB 初次相切时，5
3t 5t 21=-，解得t=1130. 当E 与B 重合时，2
1t=5，解得：t=10. ∴当1130≤t ≤10时，⊙P 与△AOB 有公共点. 【涉及知识点】平面直角坐标系、三角形相似、直线和圆的位置关系.
【点评】本题为动态几何问题，涉及的知识点较多，难度较大.难点（一）：在平面直角坐标系中，利用三角形相似求点的坐标，需分多种情况讨论；（二）利用三角形平移和圆移动来考查直线和圆的位置关系.解决此列问题的关键，是变动为静，画出相应的图形，多角度多方位考虑问题.
10、（2010湖南怀化，26，10分）
图9是二次函数k m x y ++=2)(的图象，其顶点坐标为M(1,-4).
（1）求出图象与x 轴的交点A,B 的坐标；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ∆∆=4
5,若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.
【分析】（1）依据题的条件可直接求出二次函数的解析式，求图象与x 轴的交点A,B 的坐标，也就是计算当y =0是求x 的值；（2）可先求出MAB S ∆，根据MAB PAB S S ∆∆=4
5求出△PAB 底边AB 的高（即P 点纵坐标的绝对值），求得P 点的纵坐标，进而计算P 点的横坐标．（3）分别计算出直线)1(<+=b b x y 经过A 点、经过B 点时b 的值，即可求出b 的取值范围.
【答案】 (1) 因为M(1,-4) 是二次函数k m x y ++=2)(的顶点坐标，
所以324)1(22--=--=x x x y
令,0322=--x x 解之得3,121=-=x x .
∴A ，B 两点的坐标分别为A （-1，0），B （3,0）
(2) 在二次函数的图象上存在点P ，使MAB PAB S S ∆∆=
45 设),,(y x p 则y y AB S PAB
221=⨯=∆，又8421=-⨯=∆AB S MAB , ∴.5,84
52±=⨯=y y 即 ∵二次函数的最小值为-4，∴5=y .
当5=y 时，4,2=-=x x 或.
故P 点坐标为（-2，5）或（4，5）
图9
图1
（3）如图1，当直线)1(<+=b b x y 经过A 点时，可得
当直线)1(<+=b b x y 经过B 点时，可得.3-=b
由图可知符合题意的b 的取值范围为13<<-b
【涉及知识点】二次函数 一次函数 三角形的面积计算
【点评】本题综合性强，既考察了学生的知识掌握，又考察了学生的运算能力，还考察到学生严禁的思维能力。

学生在计算出△PAB 底边AB 的高（即P 点纵坐标的绝对值）时，容易不加思索直接分类计算结果，最后一问需根据图像综合分析得出b 的取值范围．。