2019高考数学高分突破二轮复习课件：专题一 第2讲 三角恒等变换与解三角形
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由 β＝(α＋β)－α 得 cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，
56 16 所以 cos β＝－ 或 cos β＝ . 65 65
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真题感悟 考点整合
热点聚焦 分类突破
归纳总结 思维升华
考 点 整 合 1.三角函数公式
(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α± β)＝sin αcos β± cos αsin β； cos(α± β)＝cos αcos β∓sin αsin β； tan α± tan β tan(α± β)＝ . 1∓tan αtan β (2)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. b (3)辅助角公式：asin x＋bcos x＝ a ＋b sin(x＋φ)，其中 tan φ＝a.
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5 (2)因为 α，β 为锐角，所以 α＋β∈(0，π).又因为 cos(α＋β)＝－ 5 ， 2 5 所以 sin(α＋β)＝ 1－cos2（α＋β）＝ 5 ，因此 tan(α＋β)＝－2.
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热点一
三角恒等变换及应用
4 5 【例 1】 (2018· 江苏卷)已知 α，β 为锐角，tan α＝3，cos(α＋β)＝－ 5 . (1)求 cos 2α 的值； (2)求 tan(α－β)的值. 4 sin α 4 解 (1)因为 tan α＝ ，tan α＝ ，所以 sin α＝ cos α. 3 cos α 3 9 2 2 2 因为 sin α＋cos α＝1，所以 cos α＝25， 7 2 因此，cos 2α＝2cos α－1＝－ . 25
答案 3 10 10
π α∈0，2，tan
π cosα－4
＝________.
4
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归纳总结 思维升华
3.(2018· 全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.
(1)求 cos∠ADB； (2)若 DC＝2 2，求 BC.
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解
(1)由角 α 的终边过点 P
3 4 － ，－ ，得 5 5
4 sin α＝－ ， 5
4 所以 sin(α＋π)＝－sin α＝5. 3 4 3 (2)由角 α 的终边过点 P －5，－5，得 cos α＝－ ， 5 5 12 由 sin(α＋β)＝ ，得 cos(α＋β)＝± . 13 13
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归纳总结 思维升华
(2)余弦定理 在△ABC 中，a2＝b2＋c2－2bccos A；
2 2 2 b ＋ c － a 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝ . 2bc
(3)三角形面积公式 1 1 1 S△ABC＝2absin C＝2bcsin A＝2acsin B.
热点聚焦 分类突破
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归纳总结 思维升华
4.(2018· 浙江卷)已知角 α 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的 终边过点 P
3 4 － ，－ . 5 5
(1)求 sin(α＋π)的值； 5 (2)若角 β 满足 sin(α＋β)＝13，求 cos β 的值.
于是，在 △ABC 中，由余弦定理得 AB2 ＝ AC2 ＋ BC2 － 2AC× BC× cos C ＝ 52 ＋ 12 －
3 － ＝32.所以 2× 5× 1× 5
AB＝4 2.
答案 A
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2.(2017· 全国Ⅰ卷)已知 α＝2，则 π 解析 ∵α∈0，2，且 tan α＝2，∴sin α＝2 cos α， 2 5 5 2 2 又 sin α＋cos α＝1，所以 sin α＝ ，cos α＝ . 5 5 π 2 3 10 所以 cos α－4 ＝ 2 (cos α＋sin α)＝ 10 .
第2讲
三角恒等变换与解三角形
1
真题感悟 考点整合
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归纳总结 思维升华
高考定位
1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中关键是利用两角和与
差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换 的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、 角、面积的计算及有关的范围问题.
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真题感悟 考点合
热点聚焦 分类突破
归纳总结 思维升华
真 题 感 悟
5 C 1.(2018· 全国Ⅱ卷)在△ABC 中，cos ＝ ，BC＝1，AC＝5，则 AB＝( 2 5 A.4 2
解析
)
B. 30
C. 29
D.2 5
52 5 3 C 2 C －1＝－ . 因为 cos 2 ＝ 5 ，所以 cos C＝2cos 2 －1＝2× 5 5
2 2
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2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式
(1)正弦定理 a b c 在△ABC 中， ＝ ＝ ＝2R(R 为△ABC 的外接圆半径)； sin A sin B sin C a 变形：a＝2Rsin A，sin A＝ ， 2R a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C 等.
解
5 2 BD AB (1)在△ABD 中，由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ， sin 45° sin∠ADB sin∠A sin∠ADB
2 2 23 所以 sin∠ADB＝ 5 .由题设知，∠ADB<90° ，所以 cos∠ADB＝ 1－25＝ 5 . 2 (2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝ 5 . 在△BCD中，由余弦定理得 2 2 2 2 BC ＝BD ＋DC －2· BD· DC· cos∠BDC＝25＋8－2× 5× 2 2× ＝25. 5 所以BC＝5.
56 16 所以 cos β＝－ 或 cos β＝ . 65 65
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考 点 整 合 1.三角函数公式
(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α± β)＝sin αcos β± cos αsin β； cos(α± β)＝cos αcos β∓sin αsin β； tan α± tan β tan(α± β)＝ . 1∓tan αtan β (2)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. b (3)辅助角公式：asin x＋bcos x＝ a ＋b sin(x＋φ)，其中 tan φ＝a.
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5 (2)因为 α，β 为锐角，所以 α＋β∈(0，π).又因为 cos(α＋β)＝－ 5 ， 2 5 所以 sin(α＋β)＝ 1－cos2（α＋β）＝ 5 ，因此 tan(α＋β)＝－2.
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三角恒等变换及应用
4 5 【例 1】 (2018· 江苏卷)已知 α，β 为锐角，tan α＝3，cos(α＋β)＝－ 5 . (1)求 cos 2α 的值； (2)求 tan(α－β)的值. 4 sin α 4 解 (1)因为 tan α＝ ，tan α＝ ，所以 sin α＝ cos α. 3 cos α 3 9 2 2 2 因为 sin α＋cos α＝1，所以 cos α＝25， 7 2 因此，cos 2α＝2cos α－1＝－ . 25
答案 3 10 10
π α∈0，2，tan
π cosα－4
＝________.
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3.(2018· 全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.
(1)求 cos∠ADB； (2)若 DC＝2 2，求 BC.
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解
(1)由角 α 的终边过点 P
3 4 － ，－ ，得 5 5
4 sin α＝－ ， 5
4 所以 sin(α＋π)＝－sin α＝5. 3 4 3 (2)由角 α 的终边过点 P －5，－5，得 cos α＝－ ， 5 5 12 由 sin(α＋β)＝ ，得 cos(α＋β)＝± . 13 13
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(2)余弦定理 在△ABC 中，a2＝b2＋c2－2bccos A；
2 2 2 b ＋ c － a 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝ . 2bc
(3)三角形面积公式 1 1 1 S△ABC＝2absin C＝2bcsin A＝2acsin B.
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真题感悟 考点整合
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4.(2018· 浙江卷)已知角 α 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的 终边过点 P
3 4 － ，－ . 5 5
(1)求 sin(α＋π)的值； 5 (2)若角 β 满足 sin(α＋β)＝13，求 cos β 的值.
于是，在 △ABC 中，由余弦定理得 AB2 ＝ AC2 ＋ BC2 － 2AC× BC× cos C ＝ 52 ＋ 12 －
3 － ＝32.所以 2× 5× 1× 5
AB＝4 2.
答案 A
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2.(2017· 全国Ⅰ卷)已知 α＝2，则 π 解析 ∵α∈0，2，且 tan α＝2，∴sin α＝2 cos α， 2 5 5 2 2 又 sin α＋cos α＝1，所以 sin α＝ ，cos α＝ . 5 5 π 2 3 10 所以 cos α－4 ＝ 2 (cos α＋sin α)＝ 10 .
第2讲
三角恒等变换与解三角形
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高考定位
1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中关键是利用两角和与
差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换 的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、 角、面积的计算及有关的范围问题.
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真题感悟 考点合
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真 题 感 悟
5 C 1.(2018· 全国Ⅱ卷)在△ABC 中，cos ＝ ，BC＝1，AC＝5，则 AB＝( 2 5 A.4 2
解析
)
B. 30
C. 29
D.2 5
52 5 3 C 2 C －1＝－ . 因为 cos 2 ＝ 5 ，所以 cos C＝2cos 2 －1＝2× 5 5
2 2
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2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式
(1)正弦定理 a b c 在△ABC 中， ＝ ＝ ＝2R(R 为△ABC 的外接圆半径)； sin A sin B sin C a 变形：a＝2Rsin A，sin A＝ ， 2R a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C 等.
解
5 2 BD AB (1)在△ABD 中，由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ， sin 45° sin∠ADB sin∠A sin∠ADB
2 2 23 所以 sin∠ADB＝ 5 .由题设知，∠ADB<90° ，所以 cos∠ADB＝ 1－25＝ 5 . 2 (2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝ 5 . 在△BCD中，由余弦定理得 2 2 2 2 BC ＝BD ＋DC －2· BD· DC· cos∠BDC＝25＋8－2× 5× 2 2× ＝25. 5 所以BC＝5.