【初三数学】南宁市九年级数学上期末考试检测试卷及答案

最新九年级上册数学期末考试题(含答案)
一、选择题（每小题4分，共48分．）
1．下列立体图形中，俯视图是正方形的是（）
A．B．C．D．
2．（4分）一种零件的长是2毫米，在一幅设计图上的长是40厘米，这幅设计图的比例尺是（）A．200：1B．2000：1C．1：2000D．1：200
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cos A的值是（）
A．B．C．D．
4．a、b是实数，点A（2，a）、B（3，b）在反比例函数y＝﹣的图象上，则（）A．a＜b＜0B．b＜a＜0C．a＜0＜b D．b＜0＜a
5．将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A（1，4）的方法是（）A．向左平移1个单位B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位D．向下平移1个单位
6．制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）
A．360元B．720元C．1080元D．2160元
7．如图，下列四个选项不一定成立的是（）
A．△COD∽△AOB B．△AOC∽△BOD C．△DCA∽△BAC D．△PCA∽△PBD 8．如图，⊙O的直径AB经过CD的中点H，cos∠CDB＝，BD＝5，则OH的长度为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．如图，已知点E 是矩形ABCD 的对角线AC 上的一动点，正方形EFGH 的顶点G 、H 都在边AD 上，若AB ＝3，BC ＝4，则tan ∠AFE 的值（ ）
A ．等于
B ．等于
C ．等于
D ．随点
E 位置的变化而变化
10．在平面直角坐标系内，直线AB 垂直于x 轴于点C （点C 在原点的右侧），并分别与直线y ＝x 和双曲线y ＝相交于点A 、B ，且AC +BC ＝4，则△OAB 的面积为（ ） A ．2
+3或2
﹣3B ．
+1或
﹣1 C ．2
﹣3
D ．
﹣1
11．二次函数y ＝﹣x 2+mx 的图象如图，对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t ＝0（t 为实数）在1＜x ＜5的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）
A ．t ＞﹣5
B ．﹣5＜t ＜3
C ．3＜t ≤4
D ．﹣5＜t ≤4
12．如图，△ABC 和△DEF 的各顶点分别在双曲线y ＝，y ＝，y ＝在第一象限的图象上，若∠C ＝∠F ＝90°，AC ∥DF ∥x 轴，BC ∥EF ∥y 轴，则S △ABC ﹣S △DEF ＝（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．若反比例函数y＝﹣的图象经过点A（m，3），则m的值是．
14．如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT＝40°，则∠ATB＝．
15．如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，一辆小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？；（填“是”或“否”）请简述你的理由．
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
16．如图，与抛物线y＝x2﹣2x﹣3关于直线x＝2成轴对称的函数表达式为．
17．如图所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为（﹣1，1），点C的坐标为（﹣4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是．
18．手机上常见的wifi标志如图所示，它由若干条圆心相同的圆弧组成，其圆心角为90°，最小的扇形半径为1．若每两个相邻圆弧的半径之差为1，由里往外的阴影部分的面积依次记为S1、S2、S3…，则S1+S2+S3+…+S20＝．
三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（6分）（）2﹣（2018﹣2019）0+（+1）（﹣1）+tan30°
20．（6分）已知抛物线的顶点A（1，﹣4），且与直线y＝x﹣3交于点B（3，0），点C（0，﹣3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）当直线高于抛物线时，直接写出自变量x的取值范围是多少？
21．（6分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E是AB边上的一个动点，过点E作EF⊥DE 交BC边于点F，当BE＝2AE时，求BF的长．
22．（8分）为推进我市生态文明建设，某校在美化校园活动中，设计小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用30m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm．
（1）若花园的面积为216m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是17m和8m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．
23．（8分）如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）证明：DE为⊙O的切线；
（2）连接OE，若BC＝4，求△OEC的面积．
24．（10分）如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中AB＝300cm，AB的倾斜角为30°，BE＝CA＝50cm，FE⊥AB于点E．点D、F到地面的垂直距离均为30cm，点A到地面的垂直距离为50cm．求CD和EF的长度各是多少cm（结果保留根号）．
25．（10分）（1）如图1，△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝m，延长CB至点D，使BD＝AB．
①求∠D的度数；
②求tan75°的值．
（2）如图2，点M的坐标为（2，0），直线MN与y轴的正半轴交于点N，∠OMN＝75°．求直线MN的函数表达式．
26．（12分）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象相交于点A （﹣1，2）、点B（﹣4，n）．
（1）求此一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在x轴上存在一点P，使△P AB的周长最小，求点P的坐标．
27．（12分）已知直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A、C，抛物线y＝﹣+bx+c过点A、C，且与x轴交于另一点B，在第一象限的抛物线上任取一点D，分别连接CD、AD，作DE⊥AC于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求△ACD面积的最大值；
（3）若△CED与△COB相似，求点D的坐标．
参考答案
一、选择题
1．下列立体图形中，俯视图是正方形的是（）
A．B．C．D．
【分析】俯视图是从物体上面看，所得到的图形．
【解答】解：A、圆柱的俯视图是圆，故此选项错误；
B、正方体的俯视图是正方形，故此选项正确；
C、三棱锥的俯视图是三角形，故此选项错误；
D、圆锥的俯视图是圆，故此选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
2．一种零件的长是2毫米，在一幅设计图上的长是40厘米，这幅设计图的比例尺是（）A．200：1B．2000：1C．1：2000D．1：200
【分析】图上距离和实际距离已知，依据“比例尺＝”即可求得这幅设计图的比例尺．
【解答】解：因为2毫米＝0.2厘米，
则40厘米：0.2厘米＝200：1；
所以这幅设计图的比例尺为200：1；
故选：A．
【点评】此题主要考查比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cos A的值是（）
A．B．C．D．
【分析】根据锐角的余弦等于邻边比斜边求解即可．
【解答】解：∵AB＝5，BC＝3，
∴AC＝4，
∴cos A＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边
4．a、b是实数，点A（2，a）、B（3，b）在反比例函数y＝﹣的图象上，则（）A．a＜b＜0B．b＜a＜0C．a＜0＜b D．b＜0＜a
【分析】根据反比例函数的性质可以判断a、b的大小，从而可以解答本题．
【解答】解：∵y＝﹣，
∴反比例函数y＝﹣的图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵点A（2，a）、B（3，b）在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴a＜b＜0，
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比例函数的性质．5．将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A（1，4）的方法是（）A．向左平移1个单位B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位D．向下平移1个单位
【分析】根据平移规律，可得答案．
【解答】解：A、平移后，得y＝（x+1）2，图象经过A点，故A不符合题意；
B、平移后，得y＝（x﹣3）2，图象经过A点，故B不符合题意；
C、平移后，得y＝x2+3，图象经过A点，故C不符合题意；
D、平移后，得y＝x2﹣1图象不经过A点，故D符合题意；
故选：D．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．6．制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）
A．360元B．720元C．1080元D．2160元
【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．
【解答】解：3m×2m＝6m2，
∴长方形广告牌的成本是120÷6＝20元/m2，
将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
则面积扩大为原来的9倍，
∴扩大后长方形广告牌的面积＝9×6＝54m2，
∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20＝1080m2，
故选：C．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题
的关键．
7．如图，下列四个选项不一定成立的是（）
A．△COD∽△AOB B．△AOC∽△BOD C．△DCA∽△BAC D．△PCA∽△PBD
【分析】利用圆周角定理、园内接四边形的性质一一判断即可；
【解答】解：∵∠OCD＝∠OAB，∠COD＝∠AOB，
∴△COD∽△AOB．
同法可证：△AOC∽△BOD．
∵∠PCA+∠ACD＝180°，∠ACD+∠ABD＝180°，
∴∠PCA＝∠PBD，
∵∠P＝∠P，
∴△PCA∽△PBD，
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．如图，⊙O的直径AB经过CD的中点H，cos∠CDB＝，BD＝5，则OH的长度为（）
A．B．C．D．
【分析】连接OD，由垂径定理得出AB⊥CD，由三角函数求出DH＝4，由勾股定理得出BH＝＝3，设OH＝x，则OD＝OB＝x+3，在Rt△ODH中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：连接OD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，
∴AB⊥CD，
∴∠OHD＝∠BHD＝90°，
∵cos∠CDB＝＝，BD＝5，
∴DH＝4，
∴BH＝＝3，
设OH＝x，则OD＝OB＝x+3，
在Rt△ODH中，由勾股定理得：x2+42＝（x+3）2，
解得：x＝，
∴OH＝；
故选：B．
【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理以及三角函数．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．
9．如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB＝3，BC＝4，则tan∠AFE的值（）
A．等于
B．等于
C．等于
D．随点E位置的变化而变化
【分析】根据题意推知EF∥AD，由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD，结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答．
【解答】解：∵EH∥CD，
∴△AEH∽△ACD，
∴＝＝．
设EH＝3x，AH＝4x，
∴HG＝GF＝3x，
∵EF∥AD，
∴∠AFE＝∠F AG，
∴tan∠AFE＝tan∠F AG＝＝＝．
故选：A．
【点评】考查了正方形的性质，矩形的性质以及解直角三角形，此题将求∠AFE的正切值转化为求∠F AG的正切值来解答的．
10．在平面直角坐标系内，直线AB垂直于x轴于点C（点C在原点的右侧），并分别与直线y ＝x和双曲线y＝相交于点A、B，且AC+BC＝4，则△OAB的面积为（）
A．2+3或2﹣3B．+1或﹣1C．2﹣3D．﹣1
【分析】根据题意表示出AC，BC的长，进而得出等式求出m的值，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：设点C的坐标为（m，0），则A（m，m），B（m，），
所以AC＝m，BC＝．
∵AC+BC＝4，
∴可列方程m+＝4，
解得：m＝2±．
故＝2±，
所以A（2+，2+），B（2+，2﹣）或A（2﹣，2﹣），B（2﹣，2+），∴AB＝2．
∴△OAB的面积＝×2×（2±）＝2±3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，正确表示出各线段长是解题关键．11．二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx ﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（）
A ．t ＞﹣5
B ．﹣5＜t ＜3
C ．3＜t ≤4
D ．﹣5＜t ≤4
【分析】如图，关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t ＝0的解就是抛物线y ＝﹣x 2+mx 与直线y ＝t 的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题．
【解答】解：如图，关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t ＝0的解就是抛物线y ＝﹣x 2+mx 与直线y ＝t 的交点的横坐标，
当x ＝1时，y ＝3，
当x ＝5时，y ＝﹣5，
由图象可知关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t ＝0（t 为实数）在1＜x ＜5的范围内有解， 直线y ＝t 在直线y ＝﹣5和直线y ＝4之间包括直线y ＝4，
∴﹣5＜t ≤4．
故选：D ．
【点评】本题考查抛物线与x 轴的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，画出图象是解决问题的关键，属于中考选择题中的压轴题．
12．如图，△ABC 和△DEF 的各顶点分别在双曲线y ＝，y ＝，y ＝在第一象限的图象上，若∠C ＝∠F ＝90°，AC ∥DF ∥x 轴，BC ∥EF ∥y 轴，则S △ABC ﹣S △DEF ＝（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】设点C （a ，），点F （b ，），由AC ∥DF ∥x 轴、BC ∥EF ∥y 轴利用反比例函数图
象上点的坐标特征即可求出点A 、B 、D 、E 的坐标，从而得出AC 、BC 、DF 、EF 的长度，再利用三角形的面积公式即可求出S △ABC ﹣S △DEF 的值．
【解答】解：设点C （a ，），点F （b ，），则点A （，）、B （a ，）、D （，）、
E （b ，），
∴AC ＝，BC ＝，DF ＝，EF ＝，
∴S △ABC ﹣S △DEF ＝AC •BC ﹣DF •EF ＝﹣＝
． 故选：A ．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，根据点C 、F 的坐标表示出点A 、B 、D 、E 的坐标是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上） 13．若反比例函数y ＝﹣的图象经过点A （m ，3），则m 的值是 ﹣2 ．
【分析】直接把A （m ，3）代入反比例函数y ＝﹣，求出m 的值即可．
【解答】解：∵反比例函数y ＝﹣的图象经过点A （m ，3），
∴3＝﹣，解得m ＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
14．如图，AT 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径．若∠ABT ＝40°，则∠ATB ＝ 50° ．
【分析】根据切线的性质即可求出答案．
【解答】解：∵AT 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径，
∴∠BAT ＝90°，
∵∠ABT ＝40°，
∴∠ATB ＝50°，
故答案为：50°
【点评】本题考查切线的性质，解题的关键是根据切线的性质求出∠ATB ＝90°，本题属于基础题型．
15．如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，一辆小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？否；（填“是”或“否”）请简述你的理由点A到OB的距离小于OB与墙MN 之间距离．
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
【分析】过点A作AC⊥OB，垂足为点C，解三角形求出AC的长度，进而作出比较即可．【解答】解：过点A作AC⊥OB，垂足为点C，
在Rt△ACO中，
∵∠AOC＝40°，AO＝1.2米，
∴AC＝sin∠AOC•AO≈0.64×1.2＝0.768，
∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，
∴车门不会碰到墙（点A到OB的距离小于OB与墙MN之间的距离），
故答案为：否，点A到OB的距离小于OB与墙MN之间的距离；
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确添加辅助线，此题难度不大．16．如图，与抛物线y＝x2﹣2x﹣3关于直线x＝2成轴对称的函数表达式为y＝（x﹣3）2﹣4．
【分析】根据抛物线关于直线对称的函数的顶点关于直线对称，可得答案．
【解答】解：y＝x2﹣2x﹣3的顶点是（1，﹣4），
（1，﹣4）关于x＝2的对称点是（3，﹣4），
y＝x2﹣2x﹣3关于直线x＝2成轴对称的函数表达式为y＝（x﹣3）2﹣4，
故答案为：y＝（x﹣3）2﹣4．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用抛物线关于直线对称的函数的顶点关于直线对称得出抛物线的顶点是解题关键．
17．如图所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为（﹣1，1），点C的坐标为（﹣4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是（2，0）或（﹣，）．
【分析】两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．则位似中心就是两对对应点的延长线的交点，本题分两种情况讨论即可．【解答】解：①当两个位似图形在位似中心同旁时，位似中心就是CF与x轴的交点，
设直线CF解析式为y＝kx+b，将C（﹣4，2），F（﹣1，1）代入，得，
解得即y＝﹣x+，
令y＝0得x＝2，
∴O′坐标是（2，0）；
②当位似中心O′在两个正方形之间时，
可求直线OC解析式为y＝﹣x，直线DE解析式为y＝x+1，
联立，解得，
即O′（﹣，）．
故答案为：（2，0）或（﹣，）．
【点评】本题主要考查位似图形的性质，难度一般，注意掌握每对位似对应点与位似中心共线，另外解答本题注意分情况讨论，避免漏解．
18．手机上常见的wifi标志如图所示，它由若干条圆心相同的圆弧组成，其圆心角为90°，最小的扇形半径为1．若每两个相邻圆弧的半径之差为1，由里往外的阴影部分的面积依次记为S1、S2、S3…，则S1+S2+S3+…+S20＝195π．
【分析】先利用扇形的面积公式分别计算出S1＝π；S2＝π+π；S3＝π+2π，则利用此规律得到S20＝π+19π，然后把它们相加即可．
【解答】解：S1＝π•12＝π；
S2＝π•（32﹣22）＝π+π；
S3＝π•（52﹣42）＝π+2π；
…
S20＝π+19π；
∴S1+S2+S3+…+S20＝5π+（1+2+3+…+19）π＝195π．
故答案为195π．
【点评】本题考查了扇形面积的计算：阴影面积常用的方法：直接用公式法；和差法；割补法．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（6分）（）2﹣（2018﹣2019）0+（+1）（﹣1）+tan30°
【分析】根据零指数幂、特殊角的三角函数值和平方差公式计算．
【解答】解：原式＝4﹣1+2﹣1+×
＝4+1
＝5．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20．（6分）已知抛物线的顶点A（1，﹣4），且与直线y＝x﹣3交于点B（3，0），点C（0，﹣3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）当直线高于抛物线时，直接写出自变量x的取值范围是多少？
【分析】（1）设顶点式为y＝a（x﹣1）2﹣4，然后把B点坐标代入求出a即可；
（2）利用函数图象得到在点B、C之间直线高于抛物线，从而得到对应自变量的范围．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
把B（3，0）代入得a（3﹣1）2﹣4＝0，解得a＝1，
所以抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4；
（2）如图，
当0＜x＜3时，直线高于抛物线．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
21．（6分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E是AB边上的一个动点，过点E作EF⊥DE 交BC边于点F，当BE＝2AE时，求BF的长．
【分析】由同角（等角）的余角相等可得出∠ADE＝∠BEF，结合∠DAE＝∠EBF＝90°可证出△DAE∽△EBF，由正方形的边长及BE＝2AE可得出AD，AE，BE的长，再利用相似三角形的性质即可求出BF的长．
【解答】解：∵∠ADE+∠AED＝90°，∠AED+∠BEF＝180°﹣∠DEF＝90°，
∴∠ADE＝∠BEF．
又∵∠DAE＝∠EBF＝90°，
∴△DAE∽△EBF．
∵正方形ABCD的边长为6，BE＝2AE，
∴AD＝6，AE＝2，BE＝4，
∴＝，即＝，
∴BF＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质，利用“两角对应相等，两个三角形相似”找出△DAE∽△EBF．
22．（8分）为推进我市生态文明建设，某校在美化校园活动中，设计小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用30m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），
设AB＝xm．
（1）若花园的面积为216m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是17m和8m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．
【分析】（1）根据AB＝xm，就可以得出BC＝30﹣x，由矩形的面积公式就可以得出关于x的方程，解之可得；
（2）根据题意建立不等式组求出结论，根据取值范围由二次函数的性质就可以得出结论．【解答】解：（1）根据题意知AB＝xm，则BC＝30﹣x（m），
则x（30﹣x）＝216，
整理，得：x2﹣30x+216＝0，
解得：x1＝12，x2＝18；
（2）花园面积S＝x（30﹣x）
＝﹣x2+30x
＝﹣（x﹣15）2+225，
由题意知，
解得：8≤x≤13，
∵a＝﹣1，
∴当x＜15时，S随x的增大而增大，
∴当x＝13时，S取得最大值，最大值为221．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，熟知矩形的面积公式及二次函数的增减性是解答此题的关键．
23．（8分）如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）证明：DE为⊙O的切线；
（2）连接OE，若BC＝4，求△OEC的面积．
【分析】（1）首先连接OD，CD，由以BC为直径的⊙O，可得CD⊥AB，又由等腰三角形ABC 的底角为30°，可得AD＝BD，即可证得OD∥AC，继而可证得结论；
（2）首先根据三角函数的性质，求得BD，DE，AE的长，然后求得△BOD，△ODE，△ADE 以及△ABC的面积，继而求得答案．
【解答】（1）证明：连接OD，CD，
∵BC为⊙O直径，
∴∠BDC＝90°，
即CD⊥AB，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AD＝BD，
∵OB＝OC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵D点在⊙O上，
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：∵∠A＝∠B＝30°，BC＝4，
∴CD＝BC＝2，BD＝BC•cos30°＝2，
∴AD＝BD＝2，AB＝2BD＝4，
∴S
＝AB•CD＝×4×2＝4，
△ABC
∵DE⊥AC，
∴DE＝AD＝×2＝，
AE＝AD•cos30°＝3，
＝OD•DE＝×2×＝，
∴S
△ODE
S
＝AE•DE＝××3＝，
△ADE
∵S △BOD ＝S △BCD ＝×S △ABC ＝×4
＝， ∴S △OEC ＝S △ABC ﹣S △BOD ﹣S △ODE ﹣S △ADE ＝4﹣﹣﹣＝．
【点评】此题考查了切线的判定、三角形中位线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理以及
三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
24．（10分）如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中AB ＝300cm ，AB 的倾斜角为30°，BE ＝CA ＝50cm ，FE ⊥AB 于点E ．点D 、F 到地面的垂直距离均为30cm ，点A 到地面的垂直距离为50cm ．求CD 和EF 的长度各是多少cm （结果保留根号）．
【分析】过A 作AG ⊥CD 于G ，连接FD 并延长，与BA 的延长线交于H ，在Rt △CDH 和Rt △EFH 中通过解直角三角形，即可得到CD 和EF 的长度．
【解答】解：过A 作AG ⊥CD 于G ，则∠CAG ＝30°，
在Rt △ACG 中，CG ＝AC sin30°＝50×＝25，
∵GD ＝50﹣30＝20，
∴CD ＝CG +GD ＝25+20＝45，
连接FD 并延长，与BA 的延长线交于H ，则∠H ＝30°，
在Rt △CDH 中，CH ＝＝2CD ＝90，
∴EH ＝EC +CH ＝AB ﹣BE ﹣AC +CH ＝300﹣50﹣50+90＝290，
在Rt △EFH 中，EF ＝EH •tan30°＝290×
＝， 答：CD 和EF 的长度分别是45cm 和cm ．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题，构造直角三角形并解直角三角形．
25．（10分）（1）如图1，△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝m，延长CB至点D，使BD＝AB．
①求∠D的度数；
②求tan75°的值．
（2）如图2，点M的坐标为（2，0），直线MN与y轴的正半轴交于点N，∠OMN＝75°．求直线MN的函数表达式．
【分析】（1）在直角三角形中利用角和边之间的关系求角的度数及边长即可；
（2）分别求得点M和N的坐标，利用待定系数法求函数的解析式即可．
【解答】解：（1）①∵BD＝AB，
∴∠D＝∠BAD，
∴∠ABC＝∠D+∠BAD＝2∠D＝30°，
∴∠D＝15°，
②∵∠C＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠D＝90°﹣15°＝75°，
∵∠ABC＝30°，AC＝m，
∴BD＝AB＝2m，BC＝m，
∴CD＝CB+BD＝（2+）m，
∴tan∠CAD＝2+，
∴tan75°＝2+；
∴ON ＝OM •tan ∠OMN ＝OM •tan75°＝2×（2+
）＝4+2，
∴点N 的坐标为（0，4+2）， 设直线MN 的函数表达式为y ＝kx +b ，
∴，
解得：，
∴直线MN 的函数表达式为y ＝（﹣2﹣
）x +4+2． 【点评】本题考查了解直角三角形及待定系数法求函数的解析式的知识，解题的关键是选择正确的边角关系解直角三角形．
26．（12分）如图，一次函数y ＝k 1x +b 的图象与反比例函数y ＝
（x ＜0）的图象相交于点A
（﹣1，2）、点B （﹣4，n ）．
（1）求此一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB 的面积；
（3）在x 轴上存在一点P ，使△P AB 的周长最小，求点P 的坐标．
【分析】（1）先根据点A 求出k 2值，再根据反比例函数解析式求出n 值，利用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）利用三角形的面积差求解．S △AOB ＝S △AOC ﹣S △BOC ．
（3）作点A 关于x 轴的对称点A ′，连接A ′B ，交x 轴于点P ，此时△P AB 的周长最小，设直线A ′B 的表达式为y ＝ax +c ，根据待定系数法求得解析式，令y ＝0，即可求得P 的坐标．
【解答】解：（1）∵反比例y ＝
（x ＜0）的图象经过点A （﹣1，2），
∴k 2＝﹣1×2＝﹣2，
∴反比例函数表达式为：y ＝﹣，
∵反比例y ＝﹣的图象经过点B （﹣4，n ），
∴﹣4n ＝﹣2，解得n ＝，
∵直线y＝k1x+b经过点A（﹣1，2），点B（﹣4，），∴，
解得：，
∴一次函数表达式为：y＝+．
（2）设直线AB与x轴的交点为C，如图1，
当y＝0时，x+＝0，x＝﹣5；
∴C点坐标（﹣5，0），∴OC＝5．
S
△AOC
＝•OC•|y A|＝×5×2＝5．
S
△BOC
＝•OC•|y B|＝×5×＝．
S
△AOB ＝S
△AOC
﹣S
△BOC
＝5﹣＝；
（3）如图2，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点P，此时△P AB的周长最小，
∵点A′和A（﹣1，2）关于x轴对称，
∴点A′的坐标为（﹣1，﹣2），
设直线A′B的表达式为y＝ax+c，
∵经过点A′（﹣1，﹣2），点B（﹣4，）
∴，
解得：，
∴直线A′B的表达式为：y＝﹣x﹣，
当y＝0时，则x＝﹣，
【点评】主要考查了反比例函数与一次函数的交点．熟练掌握用待定系数法确定函数的解析式是解题的关键．
27．（12分）已知直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A、C，抛物线y＝﹣+bx+c过点A、C，且与x轴交于另一点B，在第一象限的抛物线上任取一点D，分别连接CD、AD，作DE⊥AC于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求△ACD面积的最大值；
（3）若△CED与△COB相似，求点D的坐标．
【分析】（1）根据题意求得点A、C的坐标，将它们分别代入函数解析式，列出关于系数b、c 的方程组，通过解方程组求得它们的值；
（2）如图1，过点D作DG⊥x轴于点G，交AC于点F．利用三角形的面积公式得到二次函数关系式，由二次函数最值的求法解答；
（3）需要分类讨论：①当∠DCE＝∠BCO时，∠DCE＝∠OAC；②当∠DCE＝∠CBO时，∠DCE＝∠OCA．根据相似三角形的对应边成比例求得相关线段的长度，从而得到点D的坐标．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A、C，
将A （4，0），C （0，2）分别代入y ＝﹣
+bx +c 中，
解得，
∴y ＝﹣
+x +2；
（2）如图1，过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，交AC 于点F ，
设D （t ，﹣t 2+t +2），其中0＜t ＜4，则F （t ，﹣t +2）
∴DF ＝﹣t 2+t +2﹣（﹣t +2）＝﹣t 2+2t
S △ACD ＝S △CDF +S △ADF
＝DF •OG +DF •AG
＝DF •（OG +AG ）
＝DF •OA
＝×4×（﹣t 2+2t ）
＝﹣（t ﹣2）2+4．
∴当t ＝2时，S △ACD 最大＝4．
（3）设y ＝0，则﹣t 2+t +2＝0，
解得x 1＝4，x 2＝﹣1，
∴B （﹣1，0），OB ＝1
∵tan ∠OCB ＝＝，tan ∠OAC ＝＝＝
∴∠OCB ＝∠OAC
∴∠OCA ＝∠OBC ；
①当∠DCE ＝∠BCO 时，∠DCE ＝∠OAC ，
∴CD ∥OA ，点D 的纵坐标与点C 纵坐标相等，
令y ＝2，则﹣t 2+t +2＝2，
②如图2，当∠DCE＝∠CBO时，∠DCE＝∠OCA，
将△OCA沿AC翻折得△MCA，点O的对称点为点M，
过点M作MH⊥y轴于点H，AN⊥MH于点N，
则CM＝CO＝2，AM＝AO＝4，
设HM＝m，MN＝HN﹣HM＝OA﹣HM＝4﹣m，
由∠AMC＝∠AOC＝∠ANM＝∠MHC＝90°易证△CHM∽△MNA，且相似比＝，∴AN＝2MH＝2m，CH＝MN＝2﹣m，
在Rt△CMH中，由勾股定理得：m2+（2﹣m）2＝22，
解得m1＝0，m2＝
∴MH＝，OH＝，M（，）．
设直线CM的表达式为y＝kx+n，则，
解得，
∴y＝x+2，
由
解得，
∴D2（，）
综上所述，点D的坐标为D1（3，2）、D2（，）．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数最值的求法，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质．解答（3）题时，采用了“分类讨论”的数学思想，以防漏解．
最新九年级上册数学期末考试题(含答案)
一、选择题（每小题4分，共48分．）
1．下列立体图形中，俯视图是正方形的是（）
A．B．C．D．
2．（4分）一种零件的长是2毫米，在一幅设计图上的长是40厘米，这幅设计图的比例尺是（）A．200：1B．2000：1C．1：2000D．1：200
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cos A的值是（）
A．B．C．D．
4．a、b是实数，点A（2，a）、B（3，b）在反比例函数y＝﹣的图象上，则（）A．a＜b＜0B．b＜a＜0C．a＜0＜b D．b＜0＜a
5．将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A（1，4）的方法是（）A．向左平移1个单位B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位D．向下平移1个单位
6．制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）
A．360元B．720元C．1080元D．2160元
7．如图，下列四个选项不一定成立的是（）
A．△COD∽△AOB B．△AOC∽△BOD C．△DCA∽△BAC D．△PCA∽△PBD 8．如图，⊙O的直径AB经过CD的中点H，cos∠CDB＝，BD＝5，则OH的长度为（）
A．B．C．D．
9．如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB＝3，BC＝4，则tan∠AFE的值（）
A．等于
B．等于
C．等于
D．随点E位置的变化而变化
10．在平面直角坐标系内，直线AB垂直于x轴于点C（点C在原点的右侧），并分别与直线y ＝x和双曲线y＝相交于点A、B，且AC+BC＝4，则△OAB的面积为（）
A．2+3或2﹣3B．+1或﹣1C．2﹣3D．﹣1
11．二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx ﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（）
12．如图，△ABC 和△DEF 的各顶点分别在双曲线y ＝，y ＝，y ＝在第一象限的图象上，若∠C ＝∠F ＝90°，AC ∥DF ∥x 轴，BC ∥EF ∥y 轴，则S △ABC ﹣S △DEF ＝（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．若反比例函数y ＝﹣的图象经过点A （m ，3），则m 的值是 ．
14．如图，AT 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径．若∠ABT ＝40°，则∠ATB ＝ ．
15．如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB 与墙MN 平行且距离为0.8米，一辆小汽车车门宽AO 为1.2米，当车门打开角度∠AOB 为40°时，车门是否会碰到墙？ ；（填“是”或“否”）请简述你的理由 ．
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
16．如图，与抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3关于直线x ＝2成轴对称的函数表达式为 ．
17．如图所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为（﹣1，1），点C的坐标为（﹣4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是．
18．手机上常见的wifi标志如图所示，它由若干条圆心相同的圆弧组成，其圆心角为90°，最小的扇形半径为1．若每两个相邻圆弧的半径之差为1，由里往外的阴影部分的面积依次记为S1、S2、S3…，则S1+S2+S3+…+S20＝．
三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（6分）（）2﹣（2018﹣2019）0+（+1）（﹣1）+tan30°
20．（6分）已知抛物线的顶点A（1，﹣4），且与直线y＝x﹣3交于点B（3，0），点C（0，﹣3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）当直线高于抛物线时，直接写出自变量x的取值范围是多少？
21．（6分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E是AB边上的一个动点，过点E作EF⊥DE 交BC边于点F，当BE＝2AE时，求BF的长．
22．（8分）为推进我市生态文明建设，某校在美化校园活动中，设计小组想借助如图所示的直。