典型环节传递函数

θ 1 θ 2
u(t ) K1[1 (t ) 2 (t )] K1 (t )
K1 2 K11 图2-9 电位器
U(t)
K1是单个电位器的传递函数， (t ) 1 (t ) 2 (t ) 是两个电位器电刷角位移之差，称误差角。
U (s) K1 ( s )
5 振荡环节
n 1 G( s) 2 2 2 2 T S 2TS 1 S 2 n S n
2
T
1
式中 ξ－阻尼比 , (0 1) n -自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率）
n
振荡环节的单位阶跃响应曲线
特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其
电位器的负载效应一般要求rl17测速发电机测量角速度并将它转换成电压量的装置直流测速发电机交流测速发电机dt图210测速发电机转子角速度radsktktsk18电枢控制直流伺服电动机例29中求得电枢控制直流电动机简化后的微分方程为tmk2tmk1tmk1stm图212两相伺服电动机两相定子线圈和一个高电阻值的转子组成
（b)
(t ) 转子角速度（rad/s）
Kt
Ω (s)
H (s)
Kt SKt 图2-11
U(s)
输出斜率（v/rad/s）
U ( s) Kt S ( s)
U(s)
G( s)
G( s)
U ( s) Kt ( )
18
电枢控制直流伺服电动机 例2-9中求得电枢控制直流电动机简化后的微分方程为
G (s) C (s) R( s)
如果将
S
d dt
置换 传递函数 微分方程
8
性质7
传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t) 脉冲响应（脉冲过渡函数）g(t)是系统在单位脉冲输 入时的输出响应。
R( s) L[ (t )] 1
c(t ) L1[C (s)] L1[C (s) R(s)] r (t ) g (t )d r (t ) g ( )d
性质1 传递函数是复变量s的有理真分式函数， m≤n，且所 具有复变量函数的所有性质。 性质2 G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的 形式（幅度与大小）无关。
R(s) G(s) C(s)
图2-6
7
性质3 G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的 物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。
F (s) L[ f (t )] f (t )e st dt
0
L[a1 f1 (t ) a2 f 2 (t )] a1 F1 (s) a2 F2 (s)
L[e at f (t )] F (s a)
L[ f (t )] e s F (s)
t
B( s) br [ ( s p1 ) r ] s p1 A( s)
br j 1 d j B( s ) { j[ ( s p1 ) r ]}s p1 j! ds A( s)
br 1 {
d B( s ) [ ( s p1 ) r ]}s p1 ds A( s)
Zi
(i 1,2, , m)
9
-1.33 -2 z2 -1
-0.5 z1
图2-7 传递函数的零极点图
零点距极点的距离越远，该极点所产生的模
态所占比重越大 零点距极点的距离越近，该极点所产生的模 态所占比重越小 如果零极点重合－该极点所产生的模态为零， 因为分子分母相互抵消。
电位器的负载效应，一般要求
Rl 10R p
17
测速发电机－测量角速度并将它转换成电压量的装置
直流测速发电机 交流测速发电机
ω
U(t)
TG
ω
激磁绕组 ～ TG
～
永磁铁 (a)
输出绕组、相互垂直 U(t)
d (t ) U (t ) K t (t ) K t dt
图2-10 测速发电机
19
M(s)
K2 Tm s 1 K1 Tm s 1 K1 s(Tm s 1)
d 2 f (t ) L[ ] s 2 F ( s) sf (0) f ' (0) 2 dt
L[
F ( s) f 1 (0) f 2 (0) f (t )dt] 2 s s2 s
⑶ 拉氏反变换
F(s)化成下列因式分解形式：
B(s) k ( s z1 )(s z 2 ) (s z m ) F ( s) A(s) ( s p1 )(s p2 ) (s pn )
输出信号的拉氏变换 C ( s) 传递函数 输入信号的拉氏变换零初始条件 R(s)
5
设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) a n 1 c(t ) a n c(t ) dt dt dt dm d m1 d b0 m r (t ) b1 m1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
a.F(s)中具有不同的极点时，可展开为
F ( s) an a1 a2 s p1 s p2 s pn
ak [
B( s) ( s p k )]s pk A( s)
3
b.F(s)含有共扼复数极点时，可展开为
F ( s) a3 an a1 s a2 (s p1 )(s p2 ) s p3 s pn
B( s ) ( s p1 )(s p 2 )]s p1 A( s)
[a1 s a 2 ] s p1 [
c.F(s)含有多重极点时，可展开为
F ( s) an br br 1 b1 ar 1 (s p1 ) r ( s p1 ) r 1 ( s p1 ) ( s pr 1 ) (s pn )
10
2.3.4典型元部件的传递函数 电位器－将线位移或角位移变换为电压量的装置。 单个电位器用作为信号变换装置。
E -电位器电源(v)
max －电位器最大工作角(rad)
11
图2-8 电位器
E
U (t )
U(t)
θ
-∏
∏
(t )
(b)
(a)
U (t ) K1 (t )
E E K1 2
特点： 输出量正比输入量变化的速度，能预示输入
信号的变化趋势。 实例： 测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数 14 即为微分环节。
4 积分环节
1 G (s) TS
特点： 输出量与输入量的积分成正比
例，当输入消失，输出具有记忆功能。 实例： 电动机角速度与角度间的传递 函数，模拟计算机中的积分器等。
1 d r 1 B( s) b1 { r 1 [ ( s p1 ) r ]}s p1 (r 1)! ds A( s)
4
其余各极点的留数确定方法与上同。
2.3 控制系统的复域数学模型 2.3.1 传递函数
是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的
概念。 微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给 定外作用和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出 响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦。 用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控制系统在复数 域的数学模型－传递函数。 定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初使条件下， 系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
2 惯性环节
1 G ( s) TS 1
13
式中 T-时间常数 特点：含一个储能元件，对突变的输入,其输出 不能立即复现，输出无振荡。 实例：一阶RC网络，直流伺服电动机的传递函 数也包含这一环节。 3 微分环节 理想微分 G(s) KS 一阶微分 G(s) S 1 二阶微分 G(s) 2 S 2 2S 1
(Tm S 1) m (s) K1U a (s)
m ( s) K1 U a ( s) Tm S 1
由传递函数定义 B 令 U a (t ) 0
G( s)
Tm Sm (s) m (s) K 2 M c (s)
Gm( s) m ( s) K2 M c ( s) Tm S 1
lim f (t ) lim sF ( s )
s 0
2
数学工具－拉普拉斯变换与反变换续
初值定理
微分定理 积分定理
t 0
lim f (t ) lim sF ( s )
s
df (t ) L[ ] sF ( s ) f (0) dt
F ( s) f 1 (0) L[ f (t )dt] s s
式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，和
是与系统结构和参数有关的常系数。 设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是的值均为零， 即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换， 并令R(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代 数方程为：
[a0 s n a1s n1 an1s an ]C(s) [b0 s m b1s m1 bm1s am ]R(s)
Tm d m (t ) m (t ) K1U a (t ) K 2 M c (t ) dt
M c (t ) 可视为负载扰动转矩。根据线性系统的叠加原理，分别求
U a (t )
到
m (t )
和 M c (t ) 到
m (t )
的传递函数。
A 令 M c (t ) ＝0
Tm S m (s) m (s) K1U a (s)
0 0 t t
2.3.2 传递函数的极点和零点对输出的影响 G( s) M ( s) K * ( S Z i ) i 1
n j j 1 m
为传递函数的零点 N ( s) (S P ) Pj ( j 1,2, , n) 为传递函数的极点 极点是微分方程的特征跟，因此，决定了所描述系 统自由运动的模态。
传递函数及其性质
典型元部件的传递函数
1
数学工具－拉普拉斯变换与反变换
⑴ 拉氏变换定义 设函数f(t)满足 ①t<0时 f(t)=0
f (t )e st dt 0 则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作
② t>0时，f(t)分段连续


⑵拉氏变换基本定理
线性定理 位移定理 延迟定理 终值定理
性质4
如果G(s)已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用 下的输出响应。 性质5 如果系统的G(s)未知，可以给系统加上已知的输入，研 究其输出，从而得出传递函数，一旦建立G(s)可以给出 该系统动态特性的完整描述，与其它物理描述不同。 传递函数数学模型 是（表示）输出变量和输入变量 微分方程的运算模型（operational mode） 性质6 传递函数与微分方程之间有关系。
输出出现振荡。 实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。
15
6 延迟环节
c(t ) r (t )
G(s) e s
式中
－延迟时间
特点： 输出量能准确复现输入量，但须延迟一
固定的时间间隔。 实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学 模型就包含有延迟环节。
16
一对电位器可组成误差检测器
于是，由定义得系统传递函数为：
6
C (s) b0 s m b1 s m1 bm1 s bm M (s) G( s ) n n 1 R(s) a0 s a1 s an1 s an N ( s)
M (s) b0 s m b1s m1 bm1s bm N (s) a0 s n a1s n1 an1 s an
m
2
m
U (s) K1(s)
U ( s) G( s) K1 ( s)
H(s) K1 (c)
U(s)
12
2.3.5典型环节及其传递函数 任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。
典型环节通常分为以下六种： 1 比例环节
G( s) K
式中 K-增益 特点：输入输出量成比例，无失 真和时间延迟。 实例：电子放大器，齿轮，电阻 (电位器)，感应式变送器等。