贵州省思南中学高二数学上学期期中试题

思南中学2015——2016学年度第一学期期中考试
高二年级数学试题
一、选择题（每小题5分，共60分）
1、执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（ ）
A.4
B.5
C.6
D.7
2、学校为了了解高二年级教学情况，对全省班、实验班、普通班、中加班的学生做分层抽样调查．假设我校高二年级总人数为N ，其中全省班有学生96人．若在全省班、实验班、普通班、中加班抽取的人数分别为12,21,25,43，则总人数N 为( ) A ．801； B ．808； C ．853； D ．912.
3、把100个个体分成10组，编号后分别为第1组：00，01，02，…，09；第2组：10，11，12，…，19；…；第10组：90，91，92，…，99．现在从第
k 组中抽取其号码的个位数与()1k m +-的个位数
相同的个体，其中m 是第1组随机抽取的号码的个位数，则当5m =时，从第7组中抽取的号码是（ ）
A ．75
B ． 71
C ．65
D ． 61
4、某调查机构调查了某地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图所示)，则新生婴儿的体重(单位：kg)在[3.2,4.0)的人数是( ) A ．30； B ．40； C ．50； D ．55.
5、某车间生产一种玩具,为了要确定加工玩具所需要的时间,进行了10次实验,数据如下:
玩具个数 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 加工时间
4
7
12
15
21
25
27
31
37
41
则该回归方程a x b y +=中，a b 满足的关系是( )
A. a ^
＝11b ^
－22； B. a ^
＝11－22b ^
； C. a ^
＝22－11b ^
； D. a ^
＝22b ^
－11 6、在区域}40
020
0|),{(⎩⎨
⎧<<<<=Ωy x y x 内随机撒100粒黄豆，则黄豆落在区域
（第4题图） 是
开始
k=0
S=0
S=S+2S
结束
S<100?
输出k
k=k+1 否
}040|),{(⎪⎩
⎪
⎨⎧>><+=x x y y x y x M 内的粒数约为( )
A 、50
B 、75
C 、25
D 、60
7、一个袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八张卡片，现从中无放回地每次抽一张卡片，共抽2次，则取得两张卡片的编号和不小于．．．14的概率为 （ ） A.
561； B.563； C.141； D.28
1
. 8、在命题“当0≠a 时，若抛物线2
y ax bx c =++的开口向下，则集合
{}2
|0x ax
bx c φ++<≠”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（ ）
（A ）都真 （B ）都假 （C ）否命题真 （D ）逆否命题真
9、若R b a ∈,，则
3
31
1b
a >成立的一个充分不必要条件是（ ） A 、0>a
b B 、a b > C 、0<<b a D 、0)(<-b a ab
10、已知命题p ：,R x ∈∀都有03422
≤++x x ；命题q ：),0(π∈∃x ，x x cos sin >.则下列命题为真命题的是（ ）
A 、q p ∧
B 、)(q p ⌝∨
C 、q p ∧⌝)(
D 、q ⌝
11、思南县在创建全国文明城市工作验收时，国家文明委有关部门对我校高二年级6名学生
进行了问卷调查，6人得分情况分别如下：5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体．如果用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本，则该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为 ( ) A. 35
； B.4
15
； C.
715
；
D. 815
.
12、设圆36)2(2
2
=+-y x 的圆心为C ，A (-2,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为（ ）
159.22=-y x A 159.22=+y x B 195.22=-y x C 19
5.22=+y x D 二、填空题（每小题5分，共20分）
13、命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是________________________. 14、用计算机软件电子表格（Excel ）产生[6,8]区间上的一个均匀随机数，打开Excel 软件后，选定A1格产生均匀随机数，应在A1格键入的程序函数为__________________.
15、在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则b a >是B A cos cos <的___________________条件.(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“非充分非必要”)
16、已知AB u u u r =3 , A,B 分别在x 轴和y 轴上运动，O 为原点，1233
OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r
,则动点
P 的轨迹方程是_________________.
三、解答题（共70分） 17、（10分）已知23
2
1:≤--
x p ，)0(012:22>≤-+-m m x x q ,且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 18、（12分）某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六组[40，50），[50，60） ．．．[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求成绩落在[70，80）上的频率，并补全这个频率分布直方图；（6分） （2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分.（6分）
19、（12分）已知0>a .
设命题p ：函数023cos 322sin )(2
>-++-=a x x x f 在]2
,4[
π
π∈x 时恒成立；命题q ：关于x 的方程01241
=+⋅-+x x a 有解，若q p ∨是真命题，q p ∧是假命题，求实
数a 的取值范围．
20、(12分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身
高数据的茎叶图如图．
(1)计算甲班的样本方差；（6分）
(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高都不低于173 cm 的同学，求身高为176 cm 的同学被抽中的概率．（6分）
21、（12分）已知向量).,(),1,2(y x b a =-=
(1)若y x ,分别表示将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次时第一次、第二次面朝上出现的点数，求满足1-=⋅a 的概率. （6分）
(2)若y x ,在连续区间[1,6]上取值，求满足0<⋅b a 的概率. （6分） 22、（12分）本题理科生做A 题，文科生做B 题.
A 题:（理科生做）已知直线2y =-上有一个动点Q ,过点Q 作直线1l 垂直于x 轴,动点P 在
1l 上,且满足OP OQ ⊥(O 为坐标原点),记点P 的轨迹为C .
（1）求曲线C 的方程；（4分）
（2）若直线2l 是曲线C 的一条切线, 当点()0,2到直线2l 的距离最短时,求直线2l 的方程. （8分）
B 题:（文科生做）已知椭圆
C 的两焦点分别为()()
1200F F 、，长轴长为6.
（1）求椭圆C 的标准方程；（4分）
（2）已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C 于A 、B 两点,求线段AB 的长度.（8分）
思南中学2015——2016学年度第一学期期中考试
高二年级数学试题(答案)
一、选择题（每小题5分，共60分）
1、执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（ A ）
A.4
B.5
C.6
D.7
2、学校为了了解高二年级教学情况，对全省班、实验班、普通班、中加班的学生做分层抽样调查．假设我校高二年级总人数为N ，其中全省班有学生96人．若在全省班、实验班、普通班、中加班抽取的人数分别为12,21,25,43，则总人数N 为( B ) A 、801 B 、808 C 、853 D 、912
3、把100个个体分成10组，编号后分别为第1组：00，01，02，…，09；第2组：10，11，12，…，19；…；第10组：90，91，92，…，99．现在从第
k 组中抽取其号码的个位数与()1k m +-的个位数
相同的个体，其中m 是第1组随机抽取的号码的个位数，则当5m =时，从第7组中抽取的号码是（ D ）
A ．75
B ． 71
C ．65
D ． 61
4、某调查机构调查了某地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图所示)，则新生婴儿的体重(单位：kg)在[3.2,4.0)的人数是( B ) A ．30； B ．40； C ．50； D ．55.
5、某车间生产一种玩具,为了要确定加工玩具所需要的时间,进行了10次实验,数据如下:
玩具个数 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 加工时间
4
7
12
15
21
25
27
31
37
41
则该回归方程a x b y +=中，a b 满足的关系是( C )
A. a ^
＝11b ^
－22； B. a ^
＝11－22b ^
； C. a ^
＝22－11b ^
； D. a ^
＝22b ^
－11
6、在区域}40020
0|),{(⎩
⎨
⎧<<<<=Ωy x y x 内随机撒100粒黄豆，则黄豆落在区域（第4题图） 是
开始
k=0
S=0
S=S+2S
结束
S<100?
输出k
k=k+1 否
}040|),{(⎪⎩
⎪
⎨⎧>><+=x x y y x y x M 内的粒数约为( A )
A 、50
B 、75
C 、25
D 、60
7、一个袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八张卡片，现从中无放回地每次抽一张卡片，共抽2次，则取得两张卡片的编号和不小于．．．14的概率为 （ C ） A.
561； B.563； C.141； D.28
1
. 8、在命题“当0≠a 时，若抛物线2
y ax bx c =++的开口向下，则集合
{}2
|0x ax
bx c φ++<≠”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（ D ）
（A ）都真 （B ）都假 （C ）否命题真 （D ）逆否命题真
9、若R b a ∈,，则
3
31
1b
a >成立的一个充分不必要条件是（ C ） A 、0>a
b B 、a b > C 、0<<b a D 、0)(<-b a ab
10、已知命题p ：,R x ∈∀都有03422
≤++x x ；命题q ：),0(π∈∃x ，x x cos sin >.则下列命题为真命题的是（ C ）
A 、q p ∧
B 、)(q p ⌝∨
C 、q p ∧⌝)(
D 、q ⌝
11、思南县在创建全国文明城市工作验收时，国家文明委有关部门对我校高二年级6名学生
进行了问卷调查，6人得分情况分别如下：5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体．如果用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本，则该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为 ( C ) A. 35
； B.4
15
； C.
715
；
D. 815
.
12、设圆36)2(2
2
=+-y x 的圆心为C ，A (-2,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为（ B ）
159.22=-y x A 159.22=+y x B 195.22=-y x C 19
5.22=+y x D 一、选择题答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B D B C A C D C C C B 二、填空题（每小题5分，共20分）
13、命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是________________________. (存在一个能被5整除的整数不是奇数.)
14、用计算机软件电子表格（Excel ）产生[6,8]区间上的一个均匀随机数，打开Excel 软件后，选定A1格产生均匀随机数，应在A1格键入的程序函数为__________________.(=2*RAND()+6)
15、在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则b a >是B A cos cos <的___________________条件.(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“非充分非必要”)（充要）
16、已知AB u u u r =3 , A,B 分别在x 轴和y 轴上运动，O 为原点，1233OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r
,则动点
P 的轨迹方程是_________________.(14
2
2
=+y x ) 二、填空题答案
13、存在一个能被5整除的整数不是奇数. 14、=2* RAND()+6
15、充要 16、14
2
2
=+y x 三、解答题（共70分） 17、（10分）已知23
2
1:≤--
x p ，)0(012:22>≤-+-m m x x q ,且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.
解：设]11,1[}23
2
1|{-=≤--
=x x A ， ]1,1[)}0(012|{22+-=>≤-+-=m m m m x x x B
因为，p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，所以，q 是p 的必要不充分条件。

所以，A B ≠
⊂
则⎩⎨
⎧≥+-≤-11
11
1m m ，解得10≥m ,经检验10=m 符合题意.
所以，m 的取值范围是10≥m .
18、（12分）某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六组[40，50），[50，60） ．．．[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求成绩落在[70，80）上的频率，并补全这个频率分布直方图；（6分） （2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分.（6分）
解：（1）成绩落在[70，80）上的频率是0.3； 频率分布直方图如下图．
（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格） =1-0．01×10-0．015×10=75﹪
平均分约为：45×0．1+55×0．15+65×0．15+75×0．3+85×0．25+95×0．05=71 19、（12分）已知0>a .
设命题p ：函数023cos 322sin )(2
>-++-=a x x x f 在]2
,4[
π
π∈x 时恒成立；命题q ：关于x 的方程01241
=+⋅-+x x a 有解，若q p ∨是真命题，q p ∧是假命题，求实
数a 的取值范围．
解：a x a x x x f -+-
=-++-=2)3
2sin(223cos 322sin )(2
π
当命题p 为真时, “函数023cos 322sin )(2
>-++-=a x x x f 在]2
,4[
π
π∈x 时恒成立”等价于“)32sin(22π
-<-x a 在]2
,4[π
π∈x 时恒成立”. ∵]2,4[
π
π∈x ，]3
2,6[32π
ππ∈-x ， ∴2)3
2sin(21≤-≤π
x
∴12<-a
∴命题p 为真时：30<<a 由方程01241
=+⋅-+x x
a 有解得
，令t=2x
得
在t ∈（0，+∞）上有解，
∵t∈（0，+∞）时，t+≥2， ∴2a≥2，a≥1．
∴命题q 为真时：a≥1
（1）若p 真q 假时，0＜a ＜1； （2）若q 真p 假时，a≥3；
分数
综上：0＜a ＜1或a≥3．
20、(12分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身
高数据的茎叶图如图．
(1)计算甲班的样本方差；（6分）
(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高都不低于173 cm 的同学，求身高为176 cm 的同学被抽中的概率．（6分） 解：(1)x ＝
158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋182
10
＝170.
甲班的样本方差2
s ＝
110
[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2
＋(168－170)2
＋(170－170)2
＋(171－170)2
＋(179－170)2
＋(179－170)2
＋(182－170)2
]＝57.2.
(2)设“身高为176 cm 的同学被抽中”为事件A .
从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm 的同学有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)，共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件：(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)．所以P (A )＝410＝2
5.
21、（12分）已知向量).,(),1,2(y x b a =-=
(1)若y x ,分别表示将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次时第一次、第二次面朝上出现的点数，求满足1-=⋅b a 的概率. （6分）
(2)若y x ,在连续区间[1,6]上取值，求满足0<⋅b a 的概率. （6分）
解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36
个；由1-=⋅b a 有－2x ＋y ＝－1，所以满足1-=⋅b a 的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个；故满足1-=⋅b a 的概率为336＝112
.
(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，
y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}；满足0<⋅b a 的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6
且－2x ＋y ＜0}；画出图形如下图，
矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－1
2×2×4＝21，
故满足0<⋅b a 的概率为21
25
.
22、（12分）本题理科生做A 题，文科生做B 题.
A 题:（理科生做）已知直线2y =-上有一个动点Q ,过点Q 作直线1l 垂直于x 轴,动点P 在
1l 上,且满足OP OQ ⊥(O 为坐标原点),记点P 的轨迹为C .
（1）求曲线C 的方程；（4分）
（2）若直线2l 是曲线C 的一条切线, 当点()0,2到直线2l 的距离最短时,求直线2l 的方程. （8分）
解:（1）设点P 的坐标为(),x y ,则点Q 的坐标为(),2x -. ∵OP OQ ⊥,∴1-=⋅OQ OP k k . 当0x ≠时,得
12
-=-⋅x
x y ,化简得22x y =. 当0x =时, P 、O 、Q 三点共线,不符合题意,故0x ≠.
∴曲线C 的方程为2
2x y =()0x ≠. (2) 解法1:∵ 直线2l 与曲线C 相切,∴直线2l 的斜率存在.
设直线2l 的方程为y kx b =+,
由2,2,
y kx b x y =+⎧⎨=⎩ 得2220x kx b --=. ∵ 直线2l 与曲线C 相切,∴2
480k b ∆=+=,即2
2k b =-. 点()0,2到直线2l
的距离d =142122++⋅=k
k 12⎫=+ 3≥ .
=
即k =,等号成立.此时1b =-.
∴直线2l
10y --=
10y ++=.
B 题:（文科生做）已知椭圆C
的两焦点分别为(
)()1200F F 、，长轴长为6.
（1）求椭圆C 的标准方程；（4分）
（2）已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C 于A 、B 两点,求线段AB 的长度.（8分）
解：（1
）由(
)()12F F 、，长轴长为6
得：3c a ==所以1b = ∴椭圆方程为2
219
x y += …………5分 （2）直线AB 的方程为2y x =+ ……………………………6分 代入2
219
x y +=得21036270x x ++= 设1122(,),(,)A x y B x y ,∴12
121827,510x x x x +=-=……………………10分 又
AB ===
==……………………12分。