黄冈2013高考数学【三角函数】复习讲义

三角函数
【知识导读】
【方法点拨】
三角函数是一种重要的初等函数，它与数学的其它部分如解析几何、立体几何及向量等有着广泛的联系，同时它也提供了一种解决数学问题的重要方法——“三角法”．这一部分的内容，具有以下几个特点：
1．公式繁杂.公式虽多，但公式间的联系非常密切，规律性强.弄清公式间的相互联系和推导体系，是记住这些公式的关键.
2．思想丰富.化归、数形结合、分类讨论和函数与方程的思想贯穿于本单元的始终，类比的思维方法在本单元中也得到充分的应用.如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等.
3．变换灵活.有角的变换、公式的变换、三角函数名称的变换、三角函数次数的变换、三角函数表达形式的变换及一些常量的变换等，并且有的变换技巧性较强.
4．应用广泛.三角函数与数学中的其它知识的结合点非常多，它是解决立体几何、解析几何及向量问题的重要工具，并且这部分知识在今后的学习和研究中起着十分重要的作用，比如在物理学、天文学、测量学及其它各门科学技术都有广泛的应用.
任意角 的概念
角度制与 弧度制
任意角的 三角函数
弧长与扇形 面积公式 三角函数的 图象和性质 和 角 公 式 差 角 公 式
几个三角 恒等式
倍 角 公 式 同角三角函数关系 诱 导公 式 正弦定理与余弦定理 解斜三角形及其应用
化简、计算、
求值 与证明
第1课 三角函数的概念
【考点导读】
1． 理解任意角和弧度的概念，能正确进行弧度与角度的换算．
角的概念推广后，有正角、负角和零角；与α终边相同的角连同角α本身，可构成一
个集合{}
Z k k S ∈⋅+==,360
αββ；把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为1弧
度的角，熟练掌握角度与弧度的互换，能运用弧长公式r l α=及扇形的面积公式S ＝lr
2
1（l 为弧长）解决问题.
2． 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.
角的概念推广以后，以角的顶点为坐标原点，角的始边为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，在角的终边上任取一点(,)P x y （不同于坐标原点），设OP r =（220r x y =+>），
则α的三个三角函数值定义为：sin ,cos ,tan y x y
r r x
ααα=
==． 从定义中不难得出六个三角函数的定义域：正弦函数、余弦函数的定义域为R ；正切函数的定义域为{|,,}2
R k k Z π
αααπ∈≠+
∈．
3． 掌握判断三角函数值的符号的规律，熟记特殊角的三角函数值．
由三角函数的定义不难得出三个三角函数值的符号，可以简记为：一正（第一象限内全为正值），二正弦（第二象限内只有正弦值为正），三切（第三象限只有正切值为正），四余弦（第四象限内只有余弦值为正）．另外，熟记0、6π、4π、3π、2
π
的三角函数值，对快速、准确地运算很有好处.
4． 掌握正弦线、余弦线、正切线的概念．
在平面直角坐标系中，正确地画出一个角的正弦线、余弦线和正切线，并能运用正弦线、余弦线和正切线理解三角函数的性质、解决三角不等式等问题． 【基础练习】
1． 885-
化成2(02,)k k Z πααπ+≤≤∈的形式是 ．
2．已知α为第三象限角，则2α
所在的象限是 ． 3．已知角α的终边过点(5,12)P -，则cos α= ， tan α= ．
4．
tan(3)sin 5
cos8
-的符号为 ．
13612ππ-+
第二或第四象限 513-
125- 正
5．已知角θ的终边上一点(,1)P a -（0≠a ），且a -=θtan ，求θsin ，θcos 的值．
解：由三角函数定义知，1a =±，当1a =时，2sin 2θ=-
，2
cos 2
θ=； 当1a =-时，2sin 2θ=-，2
cos 2
θ=-． 【范例解析】
例1.（1）已知角α的终边经过一点(4,3)(0)P a a a -≠，求2sin cos αα+的值； （2）已知角α的终边在一条直线3y x =上，求sin α，tan α的值． 分析：利用三角函数定义求解．
解：（1）由已知4x a =，5r a =．当0a >时，5r a =，3sin 5α=-
，4
cos 5
α=，则2
2sin cos 5
αα+=-；
当0a <时，5r a =-，3sin 5α=
，4cos 5α=-，则22sin cos 5
αα+=． （2）设点(,3)(0)P a a a ≠是角α的终边3y x =上一点，则tan 3α=；
当0a >时，角α是第一象限角，则3
sin 2α=
； 当0a <时，角α是第三象限角，则3sin 2
α=-． 点评：要注意对参数进行分类讨论．
例2.（1）若sin cos 0θθ⋅>，则θ在第_____________象限． （2）若角α是第二象限角，则sin 2α，cos 2α，sin 2α，cos 2α，tan 2
α
中能确定是正值的有____个．
解：（1）由sin cos 0θθ⋅>，得sin θ，cos θ同号，故θ在第一，三象限． （2）由角α是第二象限角，即
222
k k π
παππ+<<+，得
4
2
2
k k π
α
π
ππ+<
<
+，
4224k k ππαππ+<<+，故仅有tan
2
α
为正值．
点评：准确表示角的范围，由此确定三角函数的符号．
例3. 一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少时，这个扇形的面积最大？最大
面积是多少？
分析：选取变量，建立目标函数求最值．
解：设扇形的半径为x ㎝，则弧长为(202)l x =-㎝，故面积为
21
(202)(5)252
y x x x =-=--+，
当5x =时，面积最大，此时5x =，10l =，2l
x
α=
=， 所以当2α=弧度时，扇形面积最大252
cm ．
点评：由于弧度制引入，三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数．
【反馈演练】
1．若sin cos θθ>且sin cos 0θθ⋅<则θ在第_______象限． 2．已知6α=，则点(sin ,tan )A αα在第________
象限． 3．已知角θ是第二象限，且(,5)P m 为其终边上一点，若2
cos 4
m θ=，则m 的值为_______．
4．将时钟的分针拨快30min ，则时针转过的弧度为 ．
5．若46παπ<<，且α与23
π
-终边相同，则α= ． 6．已知1弧度的圆心角所对的弦长2，则这个圆心角所对的弧长是_______，这个圆心角所
在的扇形的面积是___________．
7．（1）已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积．
（2）若扇形的面积为82
cm ，当扇形的中心角α(0)α>为多少弧度时，该扇形周长最小． 简解：（1）该扇形面积22cm ；
（2）2182
r l y
rl +=⎧⎪
⎨=⎪⎩，得16282y r r =+≥，当且仅当22r =时取等号．此时，42l =，2l
r
α=
=．
二 三 3-
12
π
-
163π
11
sin
2
11cos1-
第2课同角三角函数关系及诱导公式
【考点导读】
1.理解同角三角函数的基本关系式；同角的三角函数关系反映了同一个角的不同三角函数间的联系．
2.掌握正弦，余弦的诱导公式；诱导公式则揭示了不同象限角的三角函数间的内在规律，起着变名，变号，变角等作用．
【基础练习】
1. tan600°=______．
2. 已知α是第四象限角，
5
tan
12
α=-，则sinα=______．
3.已知
3
cos
22
π
ϕ
⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭
，且
2
π
ϕ<，则tanϕ＝______．
4.sin15°cos75°+cos15°sin105°=___1___．【范例解析】
例1.已知
8
cos()
17
πα
-=，求sin(5)
απ
-，tan(3)
πα
+的值．
分析：利用诱导公式结合同角关系，求值．
解：由
8
cos()
17
πα
-=，得
8
cos0
17
α=-<，α
∴是第二，三象限角．3
5
13
-
－3
若α是第二象限角，则15sin(5)sin 17απα-=-=-
，15tan(3)tan 8παα+==-； 若α是第三象限角，则15sin(5)sin 17απα-=-=，15
tan(3)tan 8
παα+==．
点评：若已知正弦，余弦，正切的某一三角函数值，但没有确定角所在的象限，可按角的象限进行分类，做到不漏不重复．
例2.已知α是三角形的内角，若1
sin cos 5
αα+=
，求tan α的值． 分析：先求出sin cos αα-的值，联立方程组求解． 解：由
1sin cos 5
αα+=
两边平方，得1
12sin cos 25
αα+⋅=
，即24
2sin cos 025
αα∴⋅=-
<． 又α是三角形的内角，cos 0α∴<，2
π
απ∴<<．
由2
49(sin cos )25αα-=
，又sin cos 0αα->，得7sin cos 5
αα-=． 联立方程组1sin cos 57sin cos 5αααα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得4sin 5
3
cos 5αα⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，得4tan 3α=-．
点评：由于2(sin cos )12sin cos αααα±=±⋅，因此式子sin cos αα-，sin cos αα+，
sin cos αα⋅三者之间有密切的联系，知其一，必能求其二．
【反馈演练】
1．已知5sin 5
α=,则44
sin cos αα-的值为_____．
2．“2
1
s i n =
A ”是“A =30º”的必要而不充分条件． 3．设02x π≤≤,且1sin 2sin cos x x x -=-，则x 的取值范围是
544
x π
π
≤≤
4．已知1sin cos 5θθ+=，且324
θππ≤≤，则cos 2θ的值是 ．
5．（1）已知1cos 3α=-
，且02πα-<<，求2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+-+-的值． （2）已知1sin()6
4x π
+
=
，求25sin(
)sin ()63
x x ππ
-+-的值． 解：（1）由1
cos 3
α=-
，得tan 22α=-． 53
- 725-
原式=2cos 3sin 23tan 4cos sin 4tan ααα
ααα
-+-+=
--5222=-． （
2
）
1
sin()64
x π+=
，
225sin(
)sin ()sin[()]sin [()]63626x x x x πππππ
π∴-+-=-++-+ 219
sin()cos ()6616
x x ππ=+++=．
6．已知4
tan 3
α=-，求
（I ）6sin cos 3sin 2cos αααα
+-的值；
（II ）21
2sin cos cos ααα
+的值．
解：（I ）∵ 4tan 3α=-；所以6sin cos 3sin 2cos αααα+-=6tan 13tan 2
αα+-=46()1
7346
3()23
-+=--．
（II ）由4
tan 3α=-，
于是212sin cos cos ααα+2222
sin cos tan 15
2sin cos cos 2tan 13
ααααααα++===-++．
第3课 两角和与差及倍角公式（一）
【考点导读】
1.掌握两角和与差，二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系；
2.能运用上述公式进行简单的恒等变换；
3.三角式变换的关键是条件和结论之间在角，函数名称及次数三方面的差异及联系，然后通过“角变换”，“名称变换”，“升降幂变换”找到已知式与所求式之间的联系；
4.证明三角恒等式的基本思路：根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简，左右归一，变更命题等方法将等式两端的“异”化“同”． 【基础练习】
1.sin163sin 223sin 253sin313+=
___________．
2. 化简2cos 6sin x x -=_____________
． 3. 若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝___________
． 1
2 3＋cos2x 22cos()3x π
+
4.化简：
sin sin 21cos cos 2αααα
+=++___________ ． 【范例解析】
例 .化简：（1）
4221
2cos 2cos 22tan()sin ()
44
x x x x ππ-+
-+； （2）
(1sin cos )(sin cos )
22(0)22cos θθ
θθθπθ
++-<<+． （1）分析一：降次，切化弦． 解法一
：
原
式
=
2221
(2cos 1)2
2sin()
4cos ()
4cos()4
x x x x π
ππ----22
(2cos 1)4sin(
)cos(
)
4
4
x x x π
π
-=
--2cos 22sin(2)
2
x x π
=-1
cos 22
x =
． 分析二：变“复角”为“单角”． 解法二
：原式
221
(2cos 1)21tan 222(sin cos )1tan 22
x x x x x -=
-⋅++2
2c o
s 2c o s
s 2(s
i
c o s
s
x x x x x x x
=-
⋅++
1c o
s
2
x =
．
（
2
）
原
式
=22
(2sin cos 2cos )(sin cos )222224cos 2
θθθθθθ+-22cos (sin cos )cos cos 2222cos cos 22θθθθ
θ
θθ--⋅==
0θπ<< ，022θπ∴<<，cos 02
θ
>，∴原式=cos θ-．
点评：化简本质就是化繁为简，一般从结构，名称，角等几个角度入手．如：切化弦，“复
角”变“单角”，降次等等． 【反馈演练】
1．化简
22sin 2cos 1cos 2cos 2⋅=+αα
αα
tan 2α． 2．若sin tan 0x x ⋅<，化简1cos2x +=_________． 3．若0＜α＜β＜
4
π
，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b ，则a 与b 的大小关系是_________．
4．若sin cos tan (0)2
π
αααα+=<<
，则α的取值范围是___________． 5．已知α、β均为锐角，且cos()sin()αβαβ+=-，则tan α= 1 .
)3
,4(π
π
2cos x - a b < tan α
6．化简：
222cos 12tan()sin ()
44
αππ
αα--⋅+．
解：原式=
222cos 12sin()
4cos ()
4cos()4
απ
απαπα--⋅--cos 22sin()cos()
44
α
ππ
αα=
-⋅-cos 21cos 2α
α
=
=．
7．求证：2
2
2
sin 22cos cos 22cos x x x x +=．
证明：左边=2
2
2
4sin cos 2cos cos 2x x x x +22222cos (2sin 12cos )2cos x x x x =+-==右边．
8．化简：22sin sin 2sin sin cos()αβαβαβ+++．
解：原式=22sin sin 2sin sin (cos cos sin sin )αβαβαβαβ++-
2222sin sin 2sin sin cos cos 2sin sin αβαβαβαβ=++- 2222sin (1sin )sin (1sin )2sin sin cos cos αββααβαβ=-+-+ 2222sin cos sin cos 2sin sin cos cos αββααβαβ=++ 2(sin cos sin cos )αββα=+ 2sin ()αβ=+．
第4课 两角和与差及倍角公式（二）
【考点导读】
1.能熟练运用两角和与差公式，二倍角公式求三角函数值；
2.三角函数求值类型：“给角求值”，“给值求值”，“给值求角” ． 【基础练习】
1．写出下列各式的值：
（1）2sin15cos15︒︒=_________；
（2）2
2
cos 15sin 15︒-︒=_________； （3）2
2sin
151︒-=_________；
（4）22
sin 15cos 15︒+︒=____1_____．
1
2 2
3
32
-
1
2．已知3(,),sin ,25π
απα∈=则tan()4π
α+=_________． 3．求值：（1）1tan151tan15-︒=+︒_______；（2）5cos cos 1212
ππ
=_________． 4．求值：tan10tan 203(tan10tan 20)︒⋅︒+︒+︒=____1____．
5．已知tan 32
α
=，则cos α=________．
6．若cos 22
π2sin 4αα=-
⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭，则cos sin αα+=_________． 【范例解析】
例1.求值：（1）sin 40(tan103)︒︒-；
（2）
2sin50sin80(13tan10)
1cos10︒+︒+︒+︒
．
分析：切化弦，通分． 解：
（
1
）
原
式
=sin10sin 40(
3)cos10︒︒-︒=sin103cos10sin 40cos10︒-︒
︒⋅︒2sin(1060)sin 40cos10︒-︒=︒⋅︒
2cos 40sin 40cos10︒=-︒⋅
︒sin 801cos10-︒
==-︒
．
（
2
）
sin10cos103sin102sin 4013tan1013
cos10cos10cos10︒︒+︒︒
+︒=+==
︒︒︒
，又
1c o s 102c o s 5
+︒=︒．
原式=
2sin 402sin 50sin 802(sin 50sin 40)cos102cos52cos5︒
︒+︒⋅
︒+︒︒=︒︒22cos522cos5︒==︒
．
点评：给角求值，注意寻找所给角与特殊角的联系，如互余，互补等，利用诱导公式，和与差公式，二倍角公式进行转换． 例2.设4cos()5αβ-=-
，12cos()13αβ+=，且(,)2παβπ-∈，3(
,2)2
π
αβπ+∈，求cos 2α，cos 2β．
分析：2()()ααβαβ=-++， 2()()βαβαβ=+--．
1
4
33 －54 12
解：由4cos()5αβ-=-
，(,)2παβπ-∈，得3s i n ()5αβ-=，同理，可得5sin()13
αβ+=- 33
cos 2cos[()()]65
ααβαβ∴=-++=-，同理，得63cos 265β=-．
点评：寻求“已知角”与“未知角”之间的联系，如：2()()ααβαβ=-++，
2()()βαβαβ=+--等．
例3.若3cos()45x π
+=，177124x ππ<<，求2sin 22sin 1tan x x
x
+-的值．
分析一：(
)4
4x x π
π
=+-
．
解法一：177124x ππ<< ，5234x ππ
π∴<+<， 又3cos()45x π+=，4sin()45x π∴+=-，4tan()43
x π+=-．
2
cos cos[()]4410
x x ππ=+-=-
，72sin 10x ∴=-，tan 7x =． 所以，原式=2
722722()()2()
281010101775⨯-
⨯-+⨯-=--．
分析二：22(
)42
x x ππ
=+-
．
解法二：原式=
sin 2sin 2tan 1tan x x x x +⋅-sin 2(1tan )sin 2tan()1tan 4x x x x x π
+==⋅+- 又27sin 2sin[2()]cos 2()[2cos ()1]424425x x x x ππππ=+-=-+=--+-=， 所以，原式7428()25375
=⋅-=-． 点评：观察“角”之间的联系以寻找解题思路．
【反馈演练】
1．设)2,0(π
α∈，若3sin 5α=，则)4cos(2π
α+=__________． 5
1
4- 1
-
2．已知tan 2α=2，则tanα的值为_______，tan ()4
π
α+的值为___________ ． 3．若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则⎪⎭
⎫ ⎝⎛+απ232cos =___________
． 4．若13
cos(),cos()55αβαβ+=-=，则tan tan αβ= ．
5．求值：
11
sin 20tan 40-=︒︒
_________． 6．已知232,534cos παππα<≤=⎪
⎭⎫
⎝
⎛+
．求⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+42cos πα的值 解：().2sin 2cos 2
2
4sin 2sin 4cos 2cos 42cos ααπαπαπα-=-=⎪
⎭⎫
⎝
⎛
+
又
3cos 0,2
24π
ππαα⎛
⎫≤<
+> ⎪⎝
⎭且,47443ππαπ<+≤ 544cos 14sin 2-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴παπα
从而25244cos 4sin 222sin 2cos -=⎪
⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=⎪⎭⎫
⎝
⎛
+
=παπαπαα， 2574cos 2122cos 2sin 2=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=παπαα 5023125725242242cos -
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛
+∴πα
三角函数B
第5课 三角函数的图像和性质（一）
【考点导读】
1.能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在
[0,2]π，正切函数在(,)22
ππ
-
上的性质； 2.了解函数sin()y A x ωϕ=+的实际意义，能画出sin()y A x ωϕ=+的图像；
97- 12 3
3.了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 【基础练习】
1. 已知简谐运动()2sin(
)()32
f x x ππ
ϕϕ=+<的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T =_____6____；初相ϕ=__________．
2. 三角方程2sin(2
π
－x )=1的解集为_______________________． 3. 函数),2
,0)(sin(R x x A y ∈π
<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为
______________________
．
4. 要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛
⎫=- ⎪3⎝
⎭的图象向右平移__________个单位． 【范例解析】
例1.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+．
（Ⅰ）用五点法画出函数在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上的图象，长度为一个周期；
（Ⅱ）说明()2sin (sin cos )f x x x x =+的图像可由sin y x =的图像经过怎样变换而得到． 分析：化为sin()A x ωϕ+形式．
解：（I ）由x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2+-=+= )4
2s i n (21)4
s i n 2c o s 4c o s 2(s i n 21π
ππ-
+=-⋅+=x x x ．
列表，取点，描图：
x 8
3π-
8
π
-
8
π 83π 8
5π y
1
21- 1
21+
1
6π {2,}3
x x k k Z π
π=±∈ )48sin(4π+π-=x y
第3题
π6
故函数)(x f y =在区间]2
,2[π
π-上的图象是：
（Ⅱ）解法一：把sin y x =图像上所有点向右平移
4π个单位，得到sin()4
y x π
=-的图像，再把sin()4
y x π
=-的图像上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到
sin(2)4y x π=-的图像，然后把sin(2)4
y x π
=-的图像上所有点纵坐标伸长到原来的2
倍（横坐标不变），得到2sin(2)4y x π=-的图像，再将2sin(2)4
y x π
=-的图像上所
有点向上平移1个单位，即得到12sin(2)4
y x π
=+-的图像．
解法二：把sin y x =图像上所有点的横坐标缩短为原来的1
2
（纵坐标不变），得到sin 2y x
=的图像，再把sin 2y x =图像上所有点向右平移8π个单位，得到sin(2)4
y x π
=-的图像，
然后把sin(2)4y x π
=-的图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到
2sin(2)4y x π=-的图像，再将2sin(2)4
y x π
=-的图像上所有点向上平移1个单位，
即得到12sin(2)4
y x π
=+-的图像．
例2.已知正弦函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的图像如右图所示． （1）求此函数的解析式1()f x ；
（2）求与1()f x 图像关于直线8x =对称的曲线的解析式2()f x ； （3）作出函数12()()y f x f x =+的图像的简图．
2
x =8
y
分析：识别图像，抓住关键点． 解：（1）由图知，2A =，22(62)16π
ω
=⨯+= ，8
π
ω∴=
，即2sin(
)8
y x π
ϕ=+．
将2x =，2y =
代入，
得2sin()24πϕ+=，解得4πϕ=，即1()2s i n ()84
f x x ππ
=+． （2）设函数2()f x 图像上任一点为(,)M x y ，与它关于直线8x =对称的对称点为(,)M x y '''，
得8,2.
x x
y y '+⎧=⎪
⎨⎪'=⎩解得16.x x y y '=-⎧⎨'=⎩代
入1()2s i n ()84f x x ππ''=
+中，
得2()2s i n ()
84
f x x ππ
=--． （3）12()()2sin()2sin()2cos 84848
y f x f x x x x πππππ
=+=+--=，简图如图所示．
点评：由图像求解析式，A 比较容易求解，困难的是待定系数求ω和ϕ，通常利用周期确定ω，代入最高点或最低点求ϕ．
【反馈演练】
1．为了得到函数R x x y ∈+=),6
3sin(2π
的图像，只需把函数2sin y x =，x R ∈的图像上所
有的点
①向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31
倍（纵坐标不变）；
②向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31
倍（纵坐标不变）；
③向左平移6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）；
④向右平移
6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）． 其中，正确的序号有_____③______．
2
4
x
y
O
－4
12
2．为了得到函数)6
2sin(π
-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向右平移__3
π__
个单位长度．
3．若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ
<）的最小正周期是π，且
(0)3f =，则ω=__2____；ϕ=__________．
4．在()π2,0内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为____________________． 5．下列函数： ①sin 6y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
； ②sin 26y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
； ③cos 43y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
； ④cos 26y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
． 其中函数图象的一部分如右图所示的序号有_____④_____．
6．如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω （1）求这段时间的最大温差； （2）写出这段时间的函数解析式． 解：（1）由图示，这段时间的最大温差是201030=-℃
（2）图中从6时到14时的图象是函数b x A y ++=)sin(ϕω的半个周期
∴
614221-=⋅ω
π
，解得8πω=
由图示，10)1030(21=-=A 20)3010(2
1
=+=b
这时，20)8
sin(
10++=ϕπ
x y
将10,6==y x 代入上式，可取43π
ϕ=
综上，所求的解析式为20)4
38sin(10++
=π
πx y （]14,6[∈x ） 7．如图，函数π
2cos()(00)2
y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤
≤的图象与y 轴相交于点(03)，，且该函数的最小正周期为π．
（1）求θ和ω的值；
（2）已知点π
02
A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA
的中点， 当032y =
，0ππ2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，时，求0x 的值． 第6题 3
π
5,44
ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
第5题
y x
3
O P
A
解：（1）将0x =，3y =代入函数2cos()y x ωθ=+得3
cos 2
θ=， 因为02
θπ
≤≤
，所以6θπ=．
又因为该函数的最小正周期为π，所以2ω=， 因此2cos 26y x π⎛
⎫=+
⎪⎝⎭． （2）因为点02
A π
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，00()Q x y ，是PA 的中点，032
y =
， 所以点P 的坐标为0232x π⎛⎫-
⎪⎝⎭
，． 又因为点P 在2cos 26y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象上，所以053cos 462x π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭． 因为
02x ππ≤≤，所以075194666
x πππ-≤≤， 从而得0511466x ππ-=或0513466
x ππ-=． 即023
x π
=或034x π=．
第6课 三角函数的图像和性质（二）
【考点导读】
1.理解三角函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的性质，进一步学会研究形如函数
sin()y A x ωϕ=+的性质；
2.在解题中体现化归的数学思想方法，利用三角恒等变形转化为一个角的三角函数来研究． 【基础练习】
1.写出下列函数的定义域： （1）sin
3
x y =的定义域是______________________________
； （2）sin 2cos x y x
=的定义域是____________________． 2．函数f (x ) = | sin x +cos x |的最小正周期是____________．
3．函数 2
2sin sin 44f x x x ππ
=+--（
）（）（）的最小正周期是_______
． 4. 函数y =sin(2x +3
π
)的图象关于点_______________对称． 5. 已知函数tan y x ω= 在（－2π，2
π
）内是减函数，则ω的取值范围是______________．
【范例解析】
例1.求下列函数的定义域： （1）sin 2sin 1tan x
y x x =
++；（2）12
2log tan y x x =++． 解：（1）,2tan 0,2sin 10.x k x x ππ⎧≠+⎪⎪≠⎨⎪+≥⎪⎩即,2,722.
66x k x k k x k πππππππ⎧≠+⎪⎪
≠⎨⎪⎪-≤≤+⎩
，
故函数的定义域为7{226
6
x k x k π
π
ππ-
≤≤+
且,x k π≠,}2x k k Z ππ≠+∈
（2）122log 0,tan 0.x x +≥⎧⎪⎨⎪≥⎩即04,.2
x k x k πππ<≤⎧⎪⎨≤<+⎪⎩
{663,}x k x k k Z πππ≤≤+∈ {,}2x x k k Z ππ≠+∈ π π （3
π
，0） 10ω-≤<
故函数的定义域为(0,
)[,4]2
π
π⋃．
点评：由几个函数的和构成的函数，其定义域是每一个函数定义域的交集；第（2）问可用数轴取交集．
例2．求下列函数的单调减区间：
（1）sin(
2)3
y x π
=-； （2）2cos sin()
42
x
y x π=
-；
解：（1）因为222232
k x k πππ
ππ-≤-≤+，故原函数的单调减区间为
5[,]()1212
k k k Z ππ
ππ-+∈．
（2）由sin(
)042x π
-≠，得{2,}2
x x k k Z π
π≠+∈， 又2cos 4sin()24sin()42
x x y x π
π=
=+-，
所以该函数递减区间为3222242x k k πππππ+<+<+，即5(4,4)()22
k k k Z ππ
ππ++
∈． 点评：利用复合函数求单调区间应注意定义域的限制． 例3．求下列函数的最小正周期： （1）5tan(21)y x =+；（2）sin sin 32y x x ππ⎛
⎫
⎛
⎫=+
+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
． 解：（1）由函数5tan(21)y x =+的最小正周期为π2，得5tan(21)y x =+的周期2
T π
=． （2）sin()sin()(sin cos cos sin )cos 3233
y x x x x x π
πππ
=+
+=+
213131cos 2sin cos cos sin 222422
x
x x x x +=+=+⋅
31sin(2)423
x π
=
++ T π∴=． 点评：求三角函数的周期一般有两种：（1）化为sin()A x ωϕ+的形式特征，利用公式求解；（2）利用函数图像特征求解．
【反馈演练】
1．函数x x y 2
4cos sin +=的最小正周期为 _____________． 2．设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝
⎭R ，则()f x 在[0,2]π上的单调递减区间
为___________________．
3．函数()sin 3cos ([,0])f x x x x π=-∈-的单调递增区间是________________．
4．设函数()sin3|sin3|f x x x =+，则()f x 的最小正周期为_______________． 5．函数22()cos 2cos 2
x f x x =-在[0,]π上的单调递增区间是_______________． 6．已知函数π12cos 24()πsin 2x f x x ⎛
⎫+- ⎪
⎝⎭=⎛⎫
+ ⎪
⎝
⎭． （Ⅰ）求()f x 的定义域； （Ⅱ）若角α在第一象限且3
cos 5
α=，求()f α． 解：（Ⅰ） 由πsin 02x ⎛⎫
+
≠ ⎪⎝
⎭
得ππ2x k ≠-+，即ππ2x k ≠-()k ∈Z ． 故()f x 的定义域为π|π2
x x k k ⎧
⎫∈≠-∈⎨⎬⎩
⎭
R Z ，．
（Ⅱ）由已知条件得2
2
34sin 1cos 155αα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭
．
2
π [,0]6
π
-
3
2π
[,]3
π
π 2[,]63ππ，75[,]63ππ
从而π12cos 24()πsin 2f ααα⎛
⎫+- ⎪
⎝⎭=⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭ ππ12cos 2cos sin 2sin 44cos ααα
⎛
⎫++ ⎪
⎝⎭= 21cos 2sin 22cos 2sin cos cos cos ααααααα+++==
14
2(cos sin )5
αα=+=
． 7． 设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8
π
=x ．
（Ⅰ）求ϕ；
（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间； （Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像
解：（Ⅰ）)(8
x f y x ==
是函数π
的图像的对称轴，,1)8
2sin(±=+⨯∴ϕπ
,.4
2
k k Z π
π
ϕπ∴
+=+
∈ .4
3,0π
ϕϕπ-
=<<- （Ⅱ）由（Ⅰ）知).4
32sin(,43ππϕ-=-
=x y 因此 由题意得.,2
243222Z k k x k ∈+≤-
≤-π
ππππ 所以函数.],85,8[)432sin(Z k k k x y ∈++-=πππππ的单调增区间为 （Ⅲ）由知)4
32sin(π-=x y x 0
8π 83π 85π 8
7π π
y
2
2-
－1 0 1 0
2
2
- 故函数上图像是在区间
],0[)(πx f y =
-1-32
32112-12
π
7π8
3π45π8π23π8
π4
π8o
y
x
第7课 三角函数的值域与最值
【考点导读】
1.掌握三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决实际问题；
2.求三角函数值域与最值的常用方法：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法或图像法求解；（3）借助直线的斜率的关系用数形结合求解；（4）换元法． 【基础练习】
1.函数x x y cos 3sin +=在区间[0,
]2π
上的最小值为 1 ． 2.函数)(2cos 21
cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 ．
3.函数tan(
)2
y x π
=-(4
4
x π
π
-
≤≤
且0)x ≠的值域是___________________
． 4.当20π
<<x 时，函数x
x
x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 4 ．
【范例解析】
例1.（1）已知1sin sin 3
x y +=
，求2
sin cos y x -的最大值与最小值． （2）求函数sin cos sin cos y x x x x =⋅++的最大值． 分析：可化为二次函数求最值问题．
43
(,1][1,)-∞-⋃+∞
解：（1）由已知得：1sin sin 3y x =
-，sin [1,1]y ∈- ，则2
sin [,1]3
x ∈-． 22111sin cos (sin )212
y x x ∴-=--，当1sin 2x =时，2
sin cos y x -有最小值1112-；当
2
sin 3
x =-时，2sin cos y x -有最小值49．
（2）设sin cos x x t +=(22)t -≤≤，则21
sin cos 2t x x -⋅=，则21122y t t =+-，当
2t =时，y 有最大值为1
22
+．
点评：第（1）小题利用消元法，第（2）小题利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题；但要注意变量的取值范围． 例2.求函数2cos (0)sin x
y x x
π-=
<<的最小值．
分析：利用函数的有界性求解．
解法一：原式可化为s i n c o s 2(0y x x
x π+=<<，得21s i n ()2y x ϕ++=，
即2
2s i n ()
1x y
ϕ+=+，
故
2
211y
≤+，解得3y ≥或3y ≤-（舍）
，所以y 的最小值为3． 解法二：2cos (0)sin x
y x x
π-=
<<表示的是点(0,2)A 与(sin ,cos )B x x -连线的斜率，其
中点B 在左半圆2
2
1(0)a b a +=<上，由图像知，当AB 与半圆相切时，y 最小，此时
3AB k =，所以y 的最小值为3．
点评：解法一利用三角函数的有界性求解；解法二从结构出发利用斜率公式，结合图像求解． 例3.已知函数2
π()2sin 3cos 24f x x x ⎛⎫
=+-
⎪⎝⎭
，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．
（I ）求()f x 的最大值和最小值；
（II ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，上恒成立，求实数m 的取值范围．
分析：观察角，单角二次型，降次整理为sin cos a x b x +形式．
解：（Ⅰ）π()1cos 23cos 21sin 23cos 22f x x x x x ⎡⎤
⎛⎫=-+-=+-
⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
∵ π12sin 23x ⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭．
又ππ42x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π
2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ⎛
⎫
+- ⎪⎝
⎭≤≤，
max min ()3()2f x f x ==，∴．
（Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ42
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，，
max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，
14m <<∴，即m 的取值范围是(14)，．
点评：第（Ⅱ）问属于恒成立问题，可以先去绝对值，利用参数分离转化为求最值问题．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．
【反馈演练】 1．函数))(6
cos(
)3
sin(
2R x x x y ∈+--=π
π
的最小值等于____－1_______．
2．当04x π
<<时，函数22
cos ()cos sin sin x
f x x x x
=-的最小值是______4 _______． 3．函数sin cos 2
x y x =+的最大值为_______，最小值为________. 4．函数cos tan y x x =⋅的值域为 .
5．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最小值是2-，则ω的最小值等于_________．
6．已知函数()2cos (sin cos )1
f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；
32
33
33- (1,1)-
（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上的最小值和最大值．
解：（Ⅰ）π()2cos (sin cos )1sin 2cos 22sin 24f x x x x x x x ⎛
⎫=-+=-=- ⎪⎝
⎭
． 因此，函数()f x 的最小正周期为π．
（Ⅱ）因为π()2sin 24f x x ⎛⎫=
- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，在区间3π3π84⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，上为减
函数，又π08f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭，3π28f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，3π3πππ2sin 2cos 14244f ⎛⎫⎛⎫
=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上的最大值为2，最小值为1-．
第８课 解三角形
【考点导读】
1.掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形；
2.解三角形的基本途径：根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角互化． 【基础练习】
1．在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝
. 2．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是______________.
3．在ABC △中，若1tan 3
A =，150C =
，1BC =，则AB = ． 【范例解析】
例1. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，已知20a c +=，
2C A =，3
cos 4
A =． 46 3π 102
（1）求
c
a
的值；（2）求b 的值． 分析：利用2C A =转化为边的关系．
解：（1）由sin sin 23
2cos sin sin 2
c C A A a A A =
===． （2）由20,
3.2
a c c a +=⎧⎪⎨=⎪⎩得8,12.a c =⎧⎨=⎩．由余弦定理222
2cos a b c bc A =+-
得： 2
18800b b -+=，解得：8b =或10b =， 若8b =，则A B =，得4
A π
=
，即23
cos 24
A =
≠矛盾，故10b =． 点评：在解三角形时，应注意多解的情况，往往要分类讨论．
例2.在三角形ABC 中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，试判断该三角形的形状．
解法一：(边化角)由已知得：22[sin()sin()][sin()sin()]a A B A B b A B A B --+=---+， 化简得2
2
2cos sin 2cos sin a A B b B A =， 由
正
弦
定
理
得
：
22sin cos sin sin cos sin A A B B B A
=，即
s i n s i n (s i A B A A B B
-=，
又,(0,)A B π∈，sin sin 0A B ∴⋅≠，sin 2sin 2A B ∴=．
又2,2(0,2)A B π∈，22A B ∴=或22A B π=-，即该三角形为等腰三角形或直角三角形．
解法二：(角化边)同解法一得：2
2
2cos sin 2cos sin a A B b B A =，
由正余弦定理得：222222
2
222b c a a c b a b b a bc ac
+-+-=，
整理得：22222
()()0a b c a b ---=，即a b =或222c a b =+，
即该三角形为等腰三角形或直角三角形． 点评：判断三角形形状主要利用正弦或余弦定理进行边角互化，从而利用角或边判定三角形形状．
例3.如图，D 是直角△ABC 斜边BC 上一点，AB =AD ，记∠CAD =α，∠ABC =β.
（1）证明：sin cos 20αβ+=；
α
A
（2）若AC =3DC ，求β．
分析：识别图中角之间的关系，从而建立等量关系. （1）证明：C βα=+ ，2
C B π
=
-，22
π
βα∴=
+，
sin cos 20αβ∴+=
（2）解： AC =3DC ，2sin 3sin 3cos223sin 3βαββ∴==-=-.
(0,)2πβ∈ ，3
sin 2
β∴=，3πβ∴=.
点评：本题重点是从图中寻找到角之间的等量关系，从而建立三角函数关系，进而求出β的值.
【反馈演练】
1．在ABC ∆中，,75,45,300===C A AB 则BC =_____________
． 2．ABC ∆的内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且2c a =，
则cos B =_____．
3．在ABC ∆中，若2a b c =+，2
sin sin sin A B C =，则ABC ∆的形状是____等边___三
角形．
4．若ABC ∆的内角A 满足2
sin 23
A =，则sin cos A A += ．
5．在ABC ∆中，已知2AC =，3BC =，4
cos 5
A =-．
（Ⅰ）求sin B 的值； （Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的值．
解：（Ⅰ）在ABC ∆中，2
2
43sin 1cos 155A A ⎛⎫
=-=--= ⎪⎝⎭
，由正弦定理，
sin sin BC AC A B =．所以232
sin sin 355
AC B A BC ==⨯=． （Ⅱ）因为4
cos 5
A =-，所以角A 为钝角，从而角
B 为锐角，于是
2
2
221cos 1sin 155B B ⎛⎫
=-=-= ⎪⎝⎭
，
33- 34
153
222117cos 22cos 12(
)1525
B B =-=⨯-=， 221421
sin 22sin cos 25525
B B B ==⨯⨯=
． sin 2sin 2cos cos 2sin 666B B B πππ⎛
⎫+=+ ⎪⎝⎭
4213171252252=
⨯+⨯1271750+=． 6．在ABC ∆中，已知内角A π
=
3
，边23BC =．设内角B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值． 解：（1）ABC ∆的内角和A B C ++=π，由00A B C π=
>>3，，得20B π
<<3
．
应用正弦定理，知23
sin sin 4sin sin sin BC AC B x x A =
==π3
，
2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫
=
=- ⎪3⎝⎭
． 因为y AB BC AC =++，
所以224sin 4sin 2303y x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=+-+<<
⎪ ⎪3⎝⎭⎝
⎭，
（2）因为1
4sin cos sin 232y x x x ⎛⎫3=+++ ⎪ ⎪2⎝⎭
543s i n 23x x ππ
ππ⎛
⎫⎛⎫=+
+<+< ⎪ ⎪66
66⎝⎭⎝⎭，
所以，当x ππ
+
=62
，即x π=3时，y 取得最大值63．
7．在ABC ∆中，1tan 4A =
，3tan 5
B =． （Ⅰ）求角
C 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆最大边的边长为17，求最小边的边长．
解：（Ⅰ）π()C A B =-+ ，13
45tan tan()113145
C A B +
∴=-+=-=--⨯．
又0πC << ，3
π4
C ∴=．
（Ⅱ）3
4
C =
π ，AB ∴边最大，即17AB =． 又tan tan 0A B A B π⎛⎫<∈ ⎪2⎝⎭
，，，，∴角A 最小，BC 边为最小边．
由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧
==⎪⎨⎪+=⎩
，，
且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，
得17
sin 17
A =
．由sin sin AB BC C A =得：sin 2sin A BC AB C == ． 所以，最小边2BC =．
第9课 解三角形的应用
【考点导读】
1.运用正余弦定理等知识与方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
2.综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题，深化对三角公式和基础知识的理解，进一步提高三角变换的能力．
【基础练习】
1．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为
_________m ．
3400
北 1B
2B
1
A
2A
120
105 乙
甲
例1（1）
2．某人朝正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好
3km ，那么
x 的值为_______________ km ． 3．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60 ，行驶4h
后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15 ，这时船与灯塔的距离为 km ．
4．如图，我炮兵阵地位于A 处，两观察所分别设于B ，D ，已知ABD ∆为边长等于a 的正三角形，当目标出现于C 时，测得45BDC ∠=
，75CBD ∠=
，求炮击目标的距离AC 解：在BCD ∆中，由正弦定理得：
sin 60sin 45a BC
=︒︒
∴63
BC a =
在ABC ∆中，由余弦定理得：2
2
2
2cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠
∴523
3
AC a +=
答：线段AC 的长为523
3
a +． 【范例解析】
例 .如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105
方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120
方向的2B 处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？
分析：读懂题意，正确构造三角形，结合正弦定理或余弦定理求解．
解法一：如图(2)，连结12A B ，由已知22102A B =，
1220
30210260
A A =⨯
=，1222A A A B ∴=， 又12218012060A A B =-=
∠，122A A B ∴
△是等边三角形， 1212102A B A A ∴==，
北
1B
2B
1A
2
A
120 105
A B
C D
第4题
23或3 302
由已知，1120A B =，1121056045B A B =-=
∠，
在121A B B △中，由余弦定理，
22212111211122cos45B B A B A B A B A B =+- 222
20(102)2201022
=+-⨯⨯⨯
200=． 12102B B ∴=．因此，乙船的速度的大小为
102
6030220
⨯=（海里/小时）
． 答：乙船每小时航行302海里． 解法二：如图（3），连结21A B ， 由已知1120A B =，1220
30210260
A
A =⨯=，112105
B A A = ∠， cos105cos(4560)=+ cos 45cos60sin 45sin 60=- 2(13)
4-=
，
sin105sin(4560)=+ sin 45cos60cos 45sin 60=+ 2(13)
4
+=
．
在211A A B △中，由余弦定理，
222
21111211122cos105A B A B A A A B A A =+-
222(13)
(102)202102204
-=+-⨯⨯⨯
100(423)=+．
2110(13)A B ∴=+．
由正弦定理1112111221202(13)2
sin sin 4210(13)
A B A A B B A A A B +=
==
+ ∠∠， 12145A A B ∴= ∠，即121604515B A B =-= ∠，2(13)
cos15sin1054
+==
．
在122B A B △中，由已知22102A B =，由余弦定理，
22212212221222cos15B B A B A B A B A B =+-
2222(13)
10(13)(102)210(13)1024
+=++-⨯+⨯⨯
200=．
北 1B
2B
1A
2
A
120 105
乙 甲
例1（3）
12102B B ∴=，乙船的速度的大小为
102
6030220
⨯=（海里/小时）
． 答：乙船每小时航行302海里．
点评：解法二也是构造三角形的一种方法，但计算量大，通过比较二种方法，学生要善于利用条件简化解题过程．
【反馈演练】
1．江岸边有一炮台高30m ，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45︒和30︒，而且
两条船与炮台底部连线成30︒角，则两条船相距____________m ． 2．有一长为1km 的斜坡，它的倾斜角为20︒，现要将倾斜角改为10︒，则坡底要伸长____1___km ．
3．某船上的人开始看见灯塔在南偏东30︒方向，后来船沿南偏东60︒方向航行45海里后，
看见灯塔在正西方向，则此时船与灯塔的距离是
__________海里． 4．把一根长为30cm 的木条锯成两段，分别作钝角三角形ABC 的两边AB 和BC ，且120ABC ∠=︒，则第三条边AC 的最小值是____________cm ．
5．设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t .下表是该港口某一天
从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(ϕω++=t A k y 的图象.下面的函数中,
最能近似表示表中数据间对应关系的函数是
（ A ）
A ．]24,0[,6
sin 312∈+=t t y π
B ．]24,0[),6
sin(312∈++=t t y ππ
C ．]24,0[,12
sin
312∈+=t t y π
D ．]24,0[),2
12
sin(
312t t y π
π
+
+=
103 153 153。