2020年中考数学二轮专题——特殊三角形(名校资料——含详解答案)

2020年中考数学二轮专题——特殊三角形
基础过关
1. (2018滨州)在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
2. 如图，在△ABC 中，AD ＝DB ＝BC ，若∠C ＝54°，则∠A 的度数为( ) A. 27°
B. 30°
C. 36°
D. 45°
第2题图 第3题图
3. 如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，BC 的垂直平分线交AB 于点E ，垂足为D ，如果CE ＝8，则ED 的长为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
4. (2019抚顺)若一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则第三边的长为( ) A. 2
B. 3
C. 4
D. 2或4
5. (2019天水)如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为( ) A. (1，1)
B. (1，3)
C. (3，1)
D. (3，3)
第5题图 第6题图
6. (2019宁夏)如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，点D 和E 分别在AB 和AC 上，且AD ＝AE .连接DE ，过点A 的直线GH 与DE 平行，若∠C ＝40°，则∠GAD 的度数为( )
A. 40°
B. 45°
C. 55°
D. 70°
7. (2019张家界)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，DC ＝13AD ，BD 平分∠ABC ，则点D 到AB 的
距离等于( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
第7题图第8题图
8. 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，BD的延长线交AC于点F，E为BC的中点，则DE的长为()
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
9. (2019郴州)我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全．等．的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形ADOF的边长是()
A. 2
B. 2
C. 3
D. 4
第9题图第10题图
10. (2017成都黑白卷)如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为()
A. 3
B. 4.5
C. 6
D. 7.5
11. 如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有()
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
第11题图第12题图
12. 如图，在△ABC中，点M是AC边上一个动点．若AB＝AC＝10，BC＝12，则BM的最小值为()
A. 8
B. 9.6
C. 10
D. 45
13. 如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接P A, PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是()
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
第13题图第14题图
14.如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，该三角形的面积为15，点O是边BC上任意一点，则点O到AB，AC边的距离之和等于()
A. 5
B. 7.5
C. 9
D. 10
15. (2019怀化)若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为________．
16. (2019成都黑白卷) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D为AB的中点，则线段CD的长为________．
第16题图第17题图
17. (2019株洲)如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、BC的中点，若EF＝1，则AB＝________．
18. (2019东营)已知等腰三角形的底角是30°，腰长为23，则它的周长是________．
19. (2019绥化)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A＝________度．
第19题图第20题图
20. (2019贵州三州联考)如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接
A D.若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为________ .
21. (2019铜仁)如图，在△ABC中，D是AC的中点，且BD⊥AC，ED∥BC，ED交AB于点E，BC＝7 cm，AC＝6 cm，则△AED的周长等于______cm.
第21题图
22. (2019枣庄)把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝2，则CD ＝________．
23. (2019重庆B卷)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D.
(1)若∠C＝42°，求∠BAD的度数；
(2)若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F.求证：AE＝FE. 第22题图
第23题图
24. 如图，△ABC是等边三角形，BD是△ABC的高，延长BC至点E，使CE＝C D.
(1)判断△DBE的形状，并说明理由；
(2)过点A作AF∥BC，交ED的延长线于点F，连接BF，求证：AB垂直平分DF.
第24题图
能力提升
1. (2019青岛)如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F.若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE 的度数为()
A. 35°
B. 40°
C. 45°
D. 50°
第1题图
2. (2019龙东地区)一张直角三角形纸片ABC ，∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处，当△BDE 是直角三角形时，则CD 的长为________．
3. (2019徐州)函数y ＝x ＋1的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 在x 轴上，若△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 共有________个．
4. (2019新都区一诊)如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝12，BC ＝13，△ABD 、△ACE 、△BCF 都是等边三角形，则四边形AEFD 的面积为________．
第4题图
5. (2018泸州)如图，等腰△ABC 的底边BC ＝20，面积为120，点F 在边BC 上，且BF ＝3FC ，EG 是腰AC 的垂直平分线，若点D 在EG 上运动，则△CDF 周长的最小值为________．
第5题图
6. 如图，在等边三角形ABC 中，AB ＝2 3 cm .点M 为边BC 的中点，点N 为边AB 上的任意一点(不与点A 、B 重合)，若点B 关于直线MN 的对称点B ′恰好落在等边三角形ABC 的边上，则BN 的长为________cm.
第6题图
满分冲关
1. (2019聊城)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，DE 为△ABC 的中位线，延长BC 至F ，使CF ＝1
2
BC ，连接FE 并延长交AB 于点M ，若BC ＝a ，则△FMB 的周长为________．
第1题图
2. (2019广州)如图，等边△ABC中，AB＝6，点D在BC上，BD＝4，点E为边AC上一动点(不与点C 重合)，△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE.
(1)当点F在AC上时，求证：DF∥AB；
(2)设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S＝S1－S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)当B，F，E三点共线时，求AE的长．
第2题图
参考答案
基础过关
1. A
2. A
3. C 【解析】∵DE 垂直平分BC ，∴BE ＝CE ＝8.在Rt △BED 中，∠B ＝30°，BE ＝8，∴ED ＝1
2BE ＝
4.
4. C 【解析】当2是这个等腰三角形的腰时，其三边长为2，2，4，∵2＋2＝4，此时不能构成三角形，不合题意；当4为这个等腰三角形的腰时，其三边长为4，4，2，可以构成三角形，则第三边的长为4.
5. B 【解析】如解图，过点B 作BD ⊥OA 于点D ，∵△OAB 为等边三角形，边长为2，∴∠BOA ＝60°，OA ＝OB ＝2.∴OD ＝1，BD ＝OB ·sin60°＝2×32
＝ 3.∴点B 的坐标为(1，3)．
第5题解图
6. C 【解析】∵AC ＝CB ，∠C ＝40°，∴∠BAC ＝∠B ＝1
2×(180°－40°)＝70°，∵AD ＝AE ，∴∠ADE
＝∠AED ＝1
2
×(180°－70°)＝55°，∵GH ∥DE ，∴∠GAD ＝∠ADE ＝55°.
7. C 【解析】∵DC ＝13AD ，∴DC ＝14AC .∵AC ＝8，∴DC ＝1
4×8＝2.如解图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，
∵∠C ＝90°，∴BC ⊥CD .又∵BD 平分∠ABC ，∴DE ＝DC ＝2.即点D 到AB 的距离为2.
第7题解图
8. A 【解析】∵AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD ，∴AF ＝AB ＝6，BD ＝DF ，∴CF ＝AC －AF ＝4，∵BD ＝DF ，E 为BC 的中点，∴DE 是△BCF 的中位线，∴DE ＝1
2
CF ＝2.
9. B 【解析】设正方形ADOF 的边长为x ，则AB ＝x ＋4，AC ＝x ＋6.∵△BOD ≌△BOE ，∴BE ＝BD ＝4，∵△COE ≌△COF ，∴CE ＝CF ＝6.∴BC ＝BE ＋CE ＝4＋6＝10.∵∠A ＝90°，∴AB 2＋AC 2＝BC 2，∴(x ＋4)2＋(x ＋6)2＝102，解得x 1＝2，x 2＝－12(舍去)．∴正方形ADOF 的边长为2.
10. C 【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠C ＝60°，AB ＝BC ＝AC ，∵DE ⊥BC ，∴∠CDE ＝30°，∵CE ＝1.5，∴CD ＝2CE ＝3，∵BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，∴AD ＝CD ＝3，∴AB ＝AC ＝AD ＋
CD ＝6.
11. D 【解析】①∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等腰三角形；②∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC ＝∠C ＝72°，∵BD 是△ABC 的角平分线，∴∠ABD ＝∠DBC ＝12∠ABC ＝36°，∴∠A ＝∠ABD ＝36°，∴BD ＝AD ，∴△ABD
是等腰三角形；③在△BCD 中，∵∠BDC ＝180°－∠DBC －∠C ＝180°－36°－72°＝72°，∴∠C ＝∠BDC ＝72°，∴BD ＝BC ，∴△BCD 是等腰三角形；④∵BE ＝BC ，∴BD ＝BE ，∴△BDE 是等腰三角形；⑤∵∠BED ＝(180°－36°)÷2＝72°，∴∠ADE ＝∠BED －∠A ＝72°－36°＝36°，∴∠A ＝∠ADE ，∴DE ＝AE ，∴△ADE 是等腰三角形；∴图中的等腰三角形有5个．
12. B 【解析】如解图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则∠ADB ＝90°，∵AB ＝AC ，∴BD ＝1
2BC ＝6，由
勾股定理得AD ＝AB 2－BD 2＝102－62＝8，当BM ⊥AC 时，BM 最小，此时，∠BMC ＝90°，∴△ABC 的面积＝12AC ·BM ＝12BC ·AD ，即12×10×BM ＝12
×12×8，解得BM ＝9.6.即BM 的最小值为9.6.
第12题解图
13. B 【解析】如解图，使△ABP 为等腰直角三角形的点P 的个数是3个．
第13题解图
14. A 【解析】如解图，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，OF ⊥AC 于点F ，连接AO ，∵在△ABC 中，AB ＝AC ＝6，该三角形的面积为15，∴S △ABC ＝S △ABO ＋S △ACO ＝12AB ·OE ＋12AC ·OF ＝12AB ·(OE ＋OF )＝1
2×6×(OE
＋OF )＝15，解得OE ＋OF ＝5.
第14题解图
15. 36° 【解析】该等腰三角形的顶角为180°－72°－72°＝36°.
16. 5
2 【解析】∵在Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝5，∵点D 为AB 的中点，∴CD
＝12AB ＝52
. 17. 4 【解析】在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，CM 是斜边AB 上的中线，∴AB ＝2MC ，∵E 、F 分别
为MB 、BC 的中点，∴EF 是△CMB 的中位线．又∵EF ＝1，∴MC ＝2EF ＝2.∴AB ＝2MC ＝4.
18. 6＋43 【解析】∵底角为30°，腰长为23，∴底边的一半为3.∴底为6，则周长为6＋23＋23＝6＋4 3.
19. 36 【解析】由等腰三角形的性质等边对等角可得∠C ＝∠ABC ＝∠BDC ＝2∠A ，设∠A ＝x ，则∠C ＝∠ABC ＝2x ，可得方程x ＋2x ＋2x ＝180°，解得x ＝36°，即∠A ＝36°.
20. 34° 【解析】根据作图可知AB ＝BD , ∴∠BAD ＝∠BDA , ∵∠B ＝40°， ∴∠BAD ＝∠BDA ＝70°， ∵∠C ＝36°，∴∠DAC ＝∠BDA －∠C ＝70°－36°＝34°.
21. 10 【解析】∵BD ⊥AC ，AD ＝CD ，∴BD 垂直平分AC ，∴AB ＝BC ＝7 cm ，∵DE ∥BC ，∴AE ＝BE ＝3.5 cm ，且DE ＝1
2
BC ＝3.5 cm ，∴△AED 的周长为AE ＋ED ＋AD ＝3.5＋3.5＋3＝10 cm.
22. 6－2 【解析】如解图，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，∵AB ＝AC ，∴BF ＝CF .∵在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝2，∴BC ＝2 2.∴AF ＝BF ＝CF ＝ 2.∵两个三角尺大小相同，∴AD ＝BC ＝22，在Rt △ADF 中，FD ＝AD 2－AF 2＝（22）2－（2）2＝ 6.∴CD ＝FD －FC ＝6－ 2.
第22题解图
23. (1)解：∵∠C ＝42°，AD ⊥BC ， ∴∠CAD ＝90°－42°＝48°， ∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴∠BAD ＝∠CAD ＝48°； (2)证明：∵EF ∥AC ， ∴∠F ＝∠CAD ， ∴∠BAD ＝∠CAD ＝∠F ， ∴AE ＝FE .
24. (1)解：△DBE 是等腰三角形，理由如下： ∵△ABC 是等边三角形，BD 是高， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∠DBC ＝30°. 又∵CE ＝CD ，
∴∠CDE ＝∠CED ＝1
2∠BCD ＝30°.
∴∠DBC ＝∠DEC . ∴DB ＝DE .
∴△DBE 是等腰三角形； (2)证明：∵AF ∥BE ，
∴∠AFD ＝∠CED ， ∵BD 是等边△ABC 的高， ∴AD ＝DC ，
在△AFD 和△CED 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧∠AFD ＝∠CED ∠ADF ＝∠CDE AD ＝CD
， ∴△AFD ≌△CED (AAS)，
∴AF ＝CE ＝CD ＝AD ，DF ＝DE ＝BD ， ∵∠FDB ＝∠DBE ＋∠E ＝60°， ∴△BDF 是等边三角形， ∴BF ＝BD ， 又∵AF ＝AD ， ∴AB 垂直平分DF .
能力提升
1. C 【解析】如解图，∵BD 平分∠ABC ，∴∠1＝∠
2.∵AE ⊥BD ，∴AF ＝EF .∴BD 为AE 的垂直平分线．∴AD ＝DE ，∴∠3＝∠4.∴∠CDE ＝2∠
3.∵∠ABC ＝35°，∠C ＝50°，∴∠BAC ＝180°－∠ABC －∠C ＝95°，∠1＝∠2＝12∠ABC ＝17.5°.∵AE ⊥BD ，∴∠6＝90°－∠1＝72.5°.∴∠3＝∠BAC －∠6＝95°－72.5°
＝22.5°.∴∠CDE ＝2∠3＝45°.
第1题解图
2. 3或24
7 【解析】如解图①，沿着虚线AD 折叠使得点C 落在AB 边的E 处，此时△BDE 是直角三角
形，设CD ＝x ，在Rt △ABC 中，AB ＝10，AC ＝6，则BC ＝8，∴DB ＝8－x ，DE ＝x ，EB ＝AB －AC ＝4，在Rt △BDE 中有x 2＋42＝(8－x )2，解得x ＝3；如解图②，当点C 沿着DF 折叠时，此时△BDE 是直角三角形，四边形CDEF 是正方形，设CD ＝x ，则△AEF ∽△EBD ，∴AF ED ＝EF BD ，∴6－x x ＝x 8－x ，解得x ＝24
7，综上可
知，CD 的长是3或24
7
.
第2题解图
3. 4 【解析】△ABC 是等腰三角形有三种情况，如解图：AB ＝AC 1，AB ＝AC 4；AB ＝BC 3；AC 2＝BC 2，则满足条件的点C 有4个．
第3题解图
4. 30 【解析】∵△ABD ，△ACE ，△BCF 为等边三角形，∴易证：△DBF ≌△ABC (SAS)，△ECF ≌△ACB (SAS)，∴∠BDF ＝∠BAC ＝∠FEC ＝90°，S 五边形BCEFD ＝S △DBF ＋S △BFC ＋S △EFC ＝S △ABD ＋S △ABC ＋S △ACE ＋S 四边形AEFD .∴S 四边形AEFD ＝34×132＋12×5×12＋12×5×12－34×52－12×5×12－34
×122＝30. 5. 18 【解析】∵BC ＝20，BF ＝3FC ，∴BF ＝15，FC ＝5.∵△CDF 周长＝CD ＋DF ＋FC ＝CD ＋DF ＋5，∴当CD ＋DF 最小时，△CDF 的周长有最小值，如解图，连接AF 交EG 于点D ，此时CD ＋DF ＝AD ＋DF ＝AF .即最小值为AF ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，∵BC ＝20，△ABC 的面积为120，∴AH ＝12.∵AB
＝AC ，∴BH ＝CH ＝12
BC ＝10，∴HF ＝15－10＝5.在Rt △AHF 中，根据勾股定理得，AF ＝HF 2＋AH 2＝52＋122＝13，∴CD ＋DF 的最小值为13，∴△CDF 周长的最小值为13＋5＝18.
第5题解图
6. 32或3 【解析】∵点M 是BC 的中点，∴BM ＝CM ＝12
BC ＝ 3 cm ，①当点B ′落在AB 上时，连接B ′M ，如解图①，根据轴对称的性质可得∠BNM ＝90°，在Rt △BNM 中，BN ＝BM ·cos60°＝3×12＝32
cm ；②当点B ′落在AC 上时，连接B ′N ，B ′M ，如解图②，根据轴对称的性质可得BN ＝B ′N ，BM ＝B ′M ，∠BMN ＝∠B ′MN ，∵BM ＝CM ，∴B ′M ＝CM ，∵∠C ＝60°，∴△B ′MC 是等边三角形，∴∠B ′MC ＝60°，∴∠BMN ＋∠B ′MN ＝120°，∴∠BMN ＝∠B ′MN ＝60°，∴△BMN 是等边三角形，∴BN ＝BM ＝ 3 cm ；③当点B ′落在BC 上时，点N 与点A 重合，不符合题意．综上所述，BN 的长为32
cm 或 3 cm .
图① 图②
第6题解图
满分冲关 1. 92a 【解析】∵BC ＝a ，CF ＝12BC ，∴CF ＝a 2
.在Rt △ABC 中，∠B ＝60°，∴AB ＝2BC ＝2a ，AC ＝3a .∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ＝a 2，AD ＝BD ＝12AB ＝a ，CE ＝12AC ＝32
a ，∴∠EDM ＝60°，∠AED ＝90°.∴在Rt △ECF 中，EF ＝CE 2＋CF 2＝a ，∴∠CEF ＝30°，∴∠AEM ＝∠CEF ＝30°，∴∠MED ＝60°，
∴△EMD 是等边三角形，∴ME ＝MD ＝ED ＝a 2，∴△FMB 的周长为MD ＋DB ＋BC ＋CF ＋EF ＋ME ＝a 2
＋a ＋a ＋a 2＋a ＋a 2＝92
a . 2. (1)证明：当点F 在AC 上时，如解图①，
∵△ABC 为等边三角形，
∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°.
由对称得，∠DFC ＝∠C ＝60°，
∴∠DFC ＝∠A .
∴DF ∥AB ；
第2题解图①
(2)解：存在，
如解图②，过点A 作AG ⊥BC 于点G ，
∵△ABC 为等边三角形，
∴BC ＝AB ＝6.
∴AG ＝AB ·sin60°＝3 3.
∵BD ＝4，
∴CD ＝BC －BD ＝6－4＝2.
∴S 1＝12
CD ·AG ＝33， 由对称得，FD ＝DC ＝2，
∴点F 在以D 点为圆心，半径为2的圆上．
过点F 作FH ⊥AB 于点H ，
则S 2＝12
·AB ·FH ＝3FH ，
∴S＝S1－S2＝33－3FH，
∴当FH取最小值时，S有最大值．
∵DF＋FH≥DH，
∴当D，F，H三点共线时，FH取最小值．
此时，FH＝BD·sin∠ABD－DF＝23－2，
∴S＝33－3FH＝33－3×(23－2)＝6－33，
∴S的最大值为6－33；
第2题解图②
(3)解：由对称得，∠EFD＝∠ECD＝60°，DF＝DC＝2，
当B、F、E三点共线时，∠BFD＝180°－∠EFD＝120°，
如解图③，过点D作DG⊥BE交BE于点G，过点B作BH⊥AC交AC于点H. 在Rt△DFG中，FG＝DF·cos∠DFG＝1，DG＝DF·sin∠DFG＝3，
在Rt△BGD中，由勾股定理得，BG＝BD2－GD2＝13，
∴BF＝BG－FG＝13－1.
在Rt△BHC中，CH＝BC·cos C＝3，BH＝BC·sin C＝33，
设CE＝EF＝x，
则HE＝CH－CE＝3－x，BE＝BF＋EF＝13－1＋x，
在Rt△BHE中，由勾股定理得BH2＋EH2＝BE2，
即(33)2＋(3－x)2＝(13－1＋x)2，
解得x＝13－1，
∴AE＝AC－CE＝7－13.
第2题解图③。