精品学习2018年秋九年级数学上册第4章锐角三角函数4.4解直角三角形的应用教案新版湘教版

4．4 解直角三角形的应用
第1课时俯角和仰角问题
教学目标
【知识与技能】
比较熟练地应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题．
【过程与方法】
通过学习进一步掌握解直角三角形的方法．
【情感态度】
培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．
【教学重点】
应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题．
【教学难点】
选用恰当的直角三角形，分析解题思路．
教学过程
一、情景导入，初步认知
海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁．今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的？与同伴进行交流．
【教学说明】经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题中的应用．
二、思考探究，获取新知
1．某探险者某天到达如图所示的点A处，他准备估算出离他的目的地——海拔为3500m 的山峰顶点B处的水平距离．你能帮他想出一个可行的办法吗？
分析：如图，BD表示点B的海拔，AE表示点A的海拔，AC⊥BD，垂足为点C.先测量出海拔AE，再测出仰角∠BAC，然后用锐角三角函数的知识就可以求出A、B之间的水平距离AC.
【归纳结论】当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，在水平线下方的角叫作俯角．
2．如图，在离上海东方明珠塔底部1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角为25°，仪器距地面高为1.7m.求上海东方明珠塔的高度．(结果精确到1m)
解：在Rt△ABC 中，∠BAC ＝25°，AC ＝1000m ，因此tan25°＝BC AC ＝BC
1000
∴BC ＝1000×tan25°≈466.3(m)，
∴上海东方明珠塔的高度(约)为466.3＋1.7＝468米．
【教学说明】利用实际问题承载数学问题，提高了学生的学习兴趣．教师要帮助学生学会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而解决问题．
三、运用新知，深化理解
1．如图，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC ＝1200米，从飞机上看地平面控制点B 的俯角α＝16°31′，求飞机A 到控制点B 的距离．(精确到1米)
分析：利用正弦可求． 解：在Rt△ABC 中sin B ＝AC AB
∴AB ＝
AC
sin B ＝12000.2843
≈4221(米) 答：飞机A 到控制点B 的距离约为4221米．
2．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?
分析：在Rt△ABD 中，α＝30°，AD ＝120.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD ；类似地可以求出CD ，进而求出BC .
解：如图，α＝30°，β＝60°，AD ＝120.
∵tan α＝BD AD ，tan β＝CD AD
，
∴BD ＝AD tan α＝120×tan30°＝120×
3
3
＝403，CD ＝AD tan β＝120×tan60°＝120×3＝120 3.
∴BD ＝BD ＋CD ＝403＋1203＝1603≈227.1 答：这栋高楼约高277.1m. 3．如图，在离树BC 12米的A 处，用测角仪测得树顶的仰角是30°，测角仪AD 高为1.5米，求树高BC .(计算结果可保留根号)
分析：本题是一个直角梯形的问题，可以通过过点D 作DE ⊥BC 于E ，把求CB 的问题转化求BE 的长，从而可以在△BDE 中利用三角函数．
解：过点D 作DE ⊥BC 于E ，则四边形DECA 是矩形，∴DE ＝AC ＝12米．CE ＝AD ＝1.5米．在直角△BED 中，∠BDE ＝30°，
tan30°＝BE DE
，
∴BE ＝DE ·tan30°＝43米．
∴BC ＝BE ＋CE ＝(43＋3
2
)米．
4．广场上有一个充满氢气的气球P ，被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分别站在E 、F 处，他们看气球的仰角分别是30°、45°，E 点与F 点的高度差AB 为1米，水平距离CD 为5米，FD 的高度为0.5米，请问此气球有多高？(结果保留到0.1米)
分析：由于气球的高度为PA ＋AB ＋FD ，而AB ＝1米，FD ＝0.5米，故可设PA ＝h 米，根据题意，列出关于h 的方程可求解．
解：设AP ＝h 米，∵∠PFB ＝45°， ∴BF ＝PB ＝(h ＋1)米，
∴EA ＝BF ＋CD ＝h ＋1＋5＝(h ＋6)米， 在Rt△PEA 中，PA ＝AE ·tan30°， ∴h ＝(h ＋6)tan30°，
∴气球的高度约为PA ＋AB ＋FD ＝8.2＋1＋0.5＝9.7米．
【教学说明】巩固所学知识．要求学生学会把实际问题转化成数学问题；根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么．
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充． 课后作业
布置作业：教材“习题4.4”中第2、4、5题． 教学反思
本节课我们学习了有关仰角、俯角的解直角三角形的应用题，对于这些问题，一方面要把它们转化为解直角三角形的数学问题，另一方面，针对转化而来的数学问题应选用适当的数学知识加以解决．
第2课时 坡度和方位角问题
教学目标
【知识与技能】
1．了解测量中坡度、坡角的概念；
2．掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题．
【过程与方法】
通过对例题的学习，使学生能够利用所学知识解决实际问题． 【情感态度】
进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力． 【教学重点】
能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长有关的实际问题． 【教学难点】
能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题． 教学过程
一、情景导入，初步认知
如图所示，斜坡AB 和斜坡A 1B 1，哪一个倾斜程度比较大？显然，斜坡A 1B 1的倾斜程度比较大，说明∠A 1＞∠A .
从图形可以看出，
B 1
C 1A 1C 1＞BC
AC
，即tan A 1＞tan A . 【教学说明】通过实际问题的引入，提高学生学习的兴趣． 二、思考探究，获取新知
1．坡度的概念，坡度与坡角的关系．
如上图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平前进的距离的比叫作坡度(或坡比)，记作i ，即i ＝AC BC
，坡度通常用l ∶m 的形式，例如上图中的1∶2的形式．坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α.从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i ＝tan B ，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡．
2．如图，一山坡的坡度为i ＝1∶2，小刚从山脚A 出发，沿山坡向上走了240米到达点C ，这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？(角度精确到0.01°，长度精确到0.1米)
3．如图，一艘船以40km/h 的速度向正东航行，在A 处测得灯塔C 在北偏东60°方向上，继续航行1h 到达B 处，这时测得灯塔C 在北偏东30°方向上，已知在灯塔C 的四周30km 内有暗礁．问这艘船继续向东航行是否安全？
【教学说明】教师引导学生分析题目中的已知条件分别代表的是什么，将图形中的信息转化为图形中的已知条件，再分析图形求出问题．学生独立完成．
三、运用新知，深化理解
1．如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m ，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．
分析：引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形．
解：已知：在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5.5，∠A ＝24°，求AB . 在Rt△ABC 中，cos A ＝AC AB
， ∴AB ＝
AC
cos A ＝ 5.50.9135
≈6.0(米)． 答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．
2．同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶3，斜坡CD 的坡度i ＝1∶2.5，求斜坡AB 的坡面角α，坝底宽AD 和斜坡AB 的长(精确到0.1m)．
解：作BE ⊥AD ，CF ⊥AD ， 在Rt△ABE 和Rt△CDF 中，
BE AE ＝13，CF FD ＝12.5
∴AE ＝3BE ＝3×23＝69(m)．
FD ＝2.5CF ＝2.5×23＝57.5(m)．
∴AD ＝AE ＋EF ＋FD ＝69＋6＋57.5＝132.5(m)． 因为斜坡AB 的坡度i ＝tan α＝1
3≈0.3333，
所以α≈18°26′. ∵BE AB
＝sin α， ∴AB ＝
BE
sin α
＝
23
0.3162
≈72.7(m)． 答：斜坡AB 的坡角α约为18°26′，坝底宽AD 为132.5米，斜坡AB 的长约为72.7米．
3．庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C 处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B 处出发．如图，已知小山北坡的坡度i ＝1∶3，山坡长为240米，
南坡的坡角是45°.问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A ？(将山路AB 、AC 看成线段，结果保留根号)
解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，
在Rt△ADC 中，由i ＝1∶3得tan C ＝
13＝33
， ∴∠C ＝30°.∴AD ＝12AC ＝1
2×240＝120(米)．
在Rt△ABD 中，∠B ＝45°，
∴AB ＝2AD ＝1202(米)．
1202÷(240÷24)＝1202÷10＝122(米/分钟)
答：李强以122米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A .
4．某公园有一滑梯，横截面如图所示，AB 表示楼梯，BC 表示平台，CD 表示滑道．若点
E ，
F 均在线段AD 上，四边形BCEF 是矩形，且sin∠BAF ＝2
3
，BF ＝3米，BC ＝1米，CD ＝6米．求：
(1)∠D 的度数；(2)线段AE 的长．
解：(1)∵四边形BCEF 是矩形，
∴∠BFE ＝∠CEF ＝90°，CE ＝BF ，BC ＝FE ， ∴∠BFA ＝∠CED ＝90°， ∵CE ＝BF ，BF ＝3米，
∴CE ＝3米，∵CD ＝6米，∠CED ＝90°， ∴∠D ＝30°. (2)∵sin∠BAF ＝2
3
，
∴BF AB ＝23，∵BF ＝3米，∴AB ＝9
2
米， ∴AF ＝
（92）2－32
＝352
米， ∴AE ＝35＋2
2
米．
5．日本福岛发生核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻
的海检船，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估．如图，上午9时，海检船位于A 处，观测到某港口城市P 位于海检船的北偏西67.5°方向，海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B 处，这时观察到城市P 位于海检船的南偏西36.9°方向，求此时海检船所在B 处与城市P 的距离．
(参考数据：sin36.9°≈35，tan36.9°≈34，sin67.5°≈1213，tan67.5°≈12
5
)
分析：过点P 作PC ⊥AB ，构造直角三角形，设PC ＝x 海里，用含有x 的式子表示AC ，BC 的值，从而求出x 的值，再根据三角函数值求出BP 的值即可解答．
解：过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C ，设PC ＝x 海里．
在Rt△APC 中，∵tan A ＝PC AC
， ∴AC ＝PC
tan67.5°＝5x 12
在Rt△PCB 中，∵tan B ＝PC BC
， ∴BC ＝
x
tan36.9°＝4x 3
∵从上午9时到下午2时要经过五个小时， ∴AC ＋BC ＝AB ＝21×5， ∴5x 12＋4x
3＝21×5， 解得x ＝60. ∵sin∠B ＝PC
PB
， ∴PB ＝
PC
sin B ＝60sin36.9°＝60×53
＝100(海里) ∴海检船所在B 处与城市P 的距离为100海里． 【教学说明】通过练习，巩固本节课所学内容． 四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充． 课后作业
布置作业：教材“习题4.1”中第1、6、7题． 教学反思
通过本节课的学习，使学生知道坡度、坡角的概念，能利用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决．
复习与提升
教学目标
【知识与技能】
1．了解锐角三角函数的概念，熟记30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值． 2．能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角的度数．
3．会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题． 【过程与方法】
通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想． 【情感态度】
通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用． 【教学重点】
会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题． 【教学难点】
会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题． 教学过程 一、知识结构
【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系． 二、释疑解惑，加深理解 1．正弦的概念： 在直角三角形中，我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦．记作sin α，即： sin α＝角α的对边斜边
.
2．余弦的概念：
在直角三角形中，我们把锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦．记作cos α.即 cos α＝角α的邻边
斜边
.
3．正切的概念： 在直角三角形中，我们把锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切．记作tan α，即： tan α＝角α的对边角α的邻边
4．特殊角的三角函数值：
5.我们把锐角α的正弦、余弦、正切统称为角α的锐角三角函数． 6．解直角三角形的概念：
在直角三角形中，利用已知元素求其余未知元素的过程，叫作解直角三角形． 7．仰角、俯角的概念：
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，在水平线下方的角叫作俯角．
8．坡度的概念：坡面的铅垂线高度与水平前进的距离的比叫作坡度(或坡比)；记作i ，坡度通常用l ∶m 的形式；坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α.坡度越大，坡角越大，坡面就越陡．
【教学说明】引导学生回忆本章所学的有关概念，知识点．加深学生的印象． 三、运用新知，深化理解
1．已知，如图，D 是△ABC 中BC 边的中点，∠BAD ＝90°，tan B ＝2
3
，求sin∠DAC .
解：过D 作DE ∥AB 交AC 于E ， 则∠ADE ＝∠BAD ＝90°， 由tan B ＝23，得AD AB ＝2
3，
设AD ＝2k ，AB ＝3k ，
∵D 是△ABC 中BC 边的中点，∴DE ＝3
2k
∴在Rt△ADE 中，AE ＝5
2k ，
∴sin∠DAC ＝DE AE ＝32k 52
k ＝3
5
.
2．计算：tan 2
30°＋cos 2
30°－sin 2
45°tan45° 解：原式＝(33)2＋(32)2－(22
)2
×1 ＝13＋34－12
＝712
3．如图所示，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，sin A ＝35
，则下列结论正确的个数为( )
①DE ＝3cm ；②BE ＝1cm ；③菱形的面积为15cm 2
；④BD ＝210 cm.
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
分析：由菱形的周长为20cm 知菱形边长是5cm.
在Rt△ADE 中，∵AD ＝5cm ，sin A ＝35
， ∴DE ＝AD ·sin A ＝5×35
＝3(cm)． ∴AE ＝AD 2－DE 2＝4(cm)．
∴BE ＝AB －AE ＝5－4＝1(cm)．
菱形的面积为AB ·DE ＝5×3＝15(cm 2)．
在Rt△DEB 中，BD ＝DE 2＋BE 2＝32＋12＝10(cm)．
综上所述①②③正确．
【答案】C
4．如图所示，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45°方向上的B 处，求此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离(结果保留根号)．
分析：由题意知，在△ABP 中∠A ＝60°，∠B ＝45°，∠APB ＝75°联想到两个三角板拼成的三角形．因此很自然作PC ⊥AB 交AB 于C .
解：过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C ，则∠APC ＝30°，∠BPC ＝45°，AP ＝80，
在Rt△APC 中，cos∠APC ＝PC PA
. ∴PC ＝PA ·cos∠APC ＝403， 在Rt△PCB 中，cos∠BPC ＝
PC PB ， ∴PB ＝PC
cos∠BPC ＝403cos45°＝40 6 ∴当轮船位于灯塔P 南偏东45°方向时，轮船与灯塔P 的距离是406海里．
【教学说明】通过上面的解题分析，再对整个学习过程进行总结，能够促进理解，提高认知水平，从而促进数学观点的形成和发展．
四、复习训练，巩固提高
1．如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q .若BF ＝2，则PE 的长为( )
A ．2
B ．2 3
C ．3 3
D ．3
分析：∵△ABC 是等边三角形，点P 是∠ABC 的平分线上一点，∴∠EBP ＝∠QBF ＝30°，
∵BF ＝2，FQ ⊥BP ，∴BQ ＝BF ·cos30°＝2×32
＝ 3. ∵FQ 是BP 的垂直平分线，
∴BP ＝2BQ ＝2 3.
在Rt△BEP 中，∵∠EBP ＝30°，
∴PE ＝12
BP ＝ 3. 【答案】C
2．如图，为了测量某山AB 的高度，小明先在山脚下C 点测得山顶A 的仰角为45°，然后沿坡角为30°的斜坡走100米到达D 点，在D 点测得山顶A 的仰角为30°，求山AB 的高度．(参考数据：3≈1.73)
解：过D 作DE ⊥BC 于E ，作DF ⊥AB 于F ，
设AB ＝x ，在Rt△DEC 中，∠DCE ＝30°，
CD ＝100，∴DE ＝20，CE ＝50 3.
在Rt△ABC 中，∠ACB ＝45°，∴BC ＝x .
则AF ＝AB －BF ＝AB －DE ＝x －50，
DF ＝BE ＝BC ＋CE ＝x ＋50 3.
在Rt△AFD 中，∠ADF ＝30°，
tan30°＝AF
FD ，∴x －50x ＋503＝33
. ∴x ＝50(3＋3)≈236.6.
答：山AB 的高度约为236.6米．
3．如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB 的高度，在C 处测得∠ADG ＝30°，在E 处测得∠AFG ＝60°，CE ＝8米，仪器高度CD ＝1.5米，求这棵树AB 的高度(结果保留两位有效数字，3≈1.732)．
解：根据题意得：四边形DCEF 、DCBG 是矩形，
∴GB ＝EF ＝CD ＝1.5米，DF ＝CE ＝8米．
设AG ＝x 米，GF ＝y 米，
在Rt△AFG 中，
tan∠AFG ＝tan60°＝AG FG ＝x y ＝3，
在Rt△ADG 中，
tan∠ADG ＝tan30°＝AG DG ＝x y ＋8＝33
， 二者联立，解得x ＝43，y ＝4.
∴AG ＝43米，FG ＝4米．
∴AB ＝AG ＋GB ＝43＋1.5≈8.4(米)．
∴这棵树AB 的高度约为8.4米．
五、师生互动，课堂小结
师生共同总结，对于本章的知识．你掌握了多少？还存在哪些疑惑？同学之间可以相互交流．
课后作业
布置作业：教材“复习题4”中第1、3、6、8、12、14题．
教学反思
根据学生掌握的情况，对掌握不够好的知识点、题型多加练习、讲解．力争更多的学生学好本章内容．。