宁夏六盘山高级中学2016届高三数学第三次模拟考试试题 文(扫描版)

宁夏六盘山高级中学2016届高三数学第三次模拟考试试题文（扫描版）
2015-2016学年第二学期高三第三次模拟答案
13. (-1，1) 14．9 15．5:1 16．288 三、解答题：
17.解析
176sin 12S =⨯⨯⨯∠= sin 1∴∠= 。

4分
12∠=∠ sin 2∴∠=
又0
60B ∠==。

8分
解得 5BC =又22
1
4925252
AC AB AB ==+-⨯⨯⨯ 解得8AB =或3AB =-（舍）。

12分 18.解析
19.解析 (1)证明 证法一 ∵PD ⊥底面ABCD ，
∴PD ⊥AD .
600
2 1
D
C
B A
又由于CP ∥AB ，CP ⊥CB ，AB ＝BC ，∴正方形ABCD ，∴AD ⊥CD ，又PD ∩CD ＝D ，故AD ⊥底面PCD ，因AD ⊂平面PAD ，所以PAD ⊥底面PCD . 。

4分
证法二 由于CP ∥AB ，CP ⊥CB ，AB ＝BC ，∴正方形ABCD ，∴AD ⊥PC ，折叠后，AD ⊥CD ，AD ⊥PD ，又P D ∩CD ＝D ，故AD ⊥底面PCD ， 因AD ⊂平面PAD ，所以PAD ⊥底面PCD .
(2)∵AD ∥BC ，又BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，所以AD ∥平面PBC .
∴点A 到平面PB C 的距离即为点D 到平面PBC 的距离．又∵PD ＝DC ，E 是PC 的中点，∴DE ⊥PC . 。

7分 由(1)知有AD ⊥底面PCD ，所以有AD ⊥DE . 由题意得AD ∥BC ，故BC ⊥DE .
于是，由BC ∩PC ＝C ，可得DE ⊥底面PBC .
∴DE ＝2，PC ＝22， 。

9分 又∵AD ⊥底面PCD ，∴AD ⊥CP ，∵AD ∥BC ，
∴AD ⊥BC . 。

11分 ∴S △PEB ＝12S △PBC ＝12×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12×BC ×PC ＝2，
∴V A －PEB ＝V D －PEB ＝13×DE ×S △PEB ＝2
3.. 。

12分
20.解析 (1)依题意，设抛物线方程为y 2
＝－2px (p >0)，由准线x ＝p
2
＝1，得p ＝2，
所以抛物线方程为y 2
＝－4x ，
设直线PQ 的方程为x ＝my －2，代入y 2
＝－4x ， 消去x ，整理得y 2
＋4my －8＝0，
从而y 1y 2＝－8. 。

5分 (2)证明 设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，
则k 1k 2＝y 1－y 2x 1－x 2×x 3－x 4y 3－y 4＝y 1－y 2
y 21－4－
y 22
－4
×y 23
－4－
y 24
－4y 3－y 4＝y 3＋y 4y 1＋y 2. 。

7分 设直线PM 的方程为x ＝ny －1，代入y 2
＝－4x ，消去x ，整理得y 2
＋4ny －4＝0，所以y 1y 3＝－4，同理y 2y 4＝－4. 。

10分 故k 1k 2＝y 3＋y 4y 1＋y 2＝－4y 1
＋
－4
y 2y 1＋y 2＝－4y 1y 2＝－4－8＝12，为定值． 。

12分 21.解析 (1)由f (x )＝x 3
＋ax 2
－x ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2
＋2ax －1.
22题图
当x ＝23时，得a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23×⎝ ⎛⎭
⎪⎫23－1，解之，得a ＝－1. 因为f (x )＝x 3－x 2－x ＋c ，从而f ′(x )＝3x 2
－2x －1＝3⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋13(x －1)，则f ′(x )，f (x )的变化
情况如下表.
↗
↘
↗
所以f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3和(1，＋∞)，f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，1. 。

5分
(2)函数g (x )＝[f (x )－x 3
]·e x ＝(－x 2－x ＋c )·e x
，
有g ′(x )＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c )e x ＝(－x 2－3x ＋c －1)e x
.
令h (x )＝－x 2
－3x ＋c －1，则函数h (x )的图象的对称轴方程是x ＝－32 。

7
分
若g (x )在区间[－3,2]上单调递增，则h (x )＝－x 2
－3x ＋c －10≥在[－3,2]上恒成立，因此只
要h (2)≥0，解得c ≥11， 。

9分
若g (x )在区间[－3,2]上单调递减，则h (x )＝－x 2
－3x ＋c －10≤在[－3,2]上恒成立，因此只
需h (－3
2)，解得54
c ≤- 。

11
分
综上所述c 的取值范围是c 11≥或5
4
c ≤-。

12分 22．解析 证明：（Ⅰ）由已知条件，可得BAE CAD ∠=∠ 因为AEB ACB ∠∠与是同弧上的圆周角，所以AEB ACD ∠∠= 故△ABE∽△ADC. ……5分 （Ⅱ）因为△ABE∽△A DC ，所以
AB AD
AE AC
=，即AB·AC=AD·AE. 又S=12AB·ACsin BAC ∠，且S=1
2
AD·AE，故AB·ACsin BAC ∠= AD·AE.
则sin BAC ∠=1，又BAC ∠为三角形内角，所以BAC ∠=90°. ……10分
23. 解析 (1) C 1的普通方程为：x 2＋y 2
＝1.
C 1的参数方程为：⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝cos θ
y ＝sin θ.(θ为参数)．
(2)C 2
的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝12
cos θ
y ＝32sin θ.
(θ为参数)．故点P 的坐标是
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12cos θ，32sin θ，从而点P 到直线ℓ的距离是d ＝
⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪
32cos θ－32sin θ－32
＝
3
4
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋2 由此当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－1时，d 取得最小值，且最小值为64(2－1)．
24.解析 (1)∵a >0，b >0，
∴(a ＋b )⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2b ＋b 2a ＝a 2＋b 2＋a 3b ＋b 3
a ≥a 2＋
b 2
＋2ab
＝(a ＋b )2
.
∴a 2b ＋b 2
a
≥a ＋b ，当且仅当a ＝b 时等号成立． (2)∵0<x <1，∴1－x >0，由(1)的结论，函数y ＝(1－x )2
x ＋x
2
1－x ≥(1－x )＋x ＝1.
当且仅当1－x ＝x ， 即x ＝1
2
时等号成立．
∴函数y ＝(1－x )2
x ＋x
2
1－x (0<x <1)的最小值为1.。