一元二次函数、方程和不等式常见典型考题赏析

ʏ徐文晖
相等关系与不等关系是高中数学最近的数量关系㊂本章的学习重点是利用二次函数㊁方程和不等式的关系解决一元二次不等式的有关问题,从而进一步体会用函数观点解题的思想方法㊂下面就一元二次函数㊁方程和不等式问题的常见题型举例分析,供大家学习与提高㊂
题型一:作差(商)法比较大小
作差法适用于整式形式的代数式的比较大小问题,是解决比较大小问题的基本方法㊂作商法适用于幂指数形式的代数式以及整式的比较大小问题㊂
例1已知a,b为正数,且aʂb,比较a3+b3与a2b+a b2的大小㊂
解:(a3+b3)-(a2b+a b2)=a3+b3-a2b-a b2=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b)㊂
因为a>0,b>0,且aʂb,所以(a-b)2>0,a+b>0,所以(a3+b3)-(a2b+ a b2)>0,即a3+b3>a2b+a b2㊂
题型二:利用不等式的基本性质判断命题的真假
解答这类问题的关键是熟练掌握不等式的基本性质,灵活应用不等式的基本性质㊂例2若a,b,c为实数,判断下列命题的真假㊂
(1)若a>b,则a c<b c㊂
(2)若a>b,a bʂ0,则1a<1b㊂
(3)若a<b<0,则a2>a b>b2㊂
(4)若c>a>b>0,则a c a>b c b㊂
解:(1)因为c可以是正数㊁负数或零,不等式两边都乘c,所以a c与b c的大小关系不确定,即此命题是假命题㊂
(2)当a>0>b,a bʂ0时,1a<1b不成立,如a=5,b=-5,这时15>-15,此命题是假命题㊂
(3)由a<b<0,a<0得a2>a b,由a< b<0,b<0得a b>b2,所以a2>a b>b2,此命题是真命题㊂
(4)因为a>b>0,所以-a<-b,所以c-a<c-b㊂又c>a>b>0,所以1
(c-a)(c-b)>0㊂不等式c-a<c-b两边同乘以1
(c-a)(c-b),可得
1
c-a>
1
c-b> 0㊂又因为a>b>0,所以a c-a>b c-b,此命题是真命题㊂
题型三:利用不等式的性质求参数的取值范围
利用不等式的性质求参数取值范围时,一要注意题设中的条件,二要正确使用不等式的性质㊂切忌想当然,以免出现错误,如两个不等式相减,不等式两边同乘(或除以)一个实数,会导致错误结果㊂
例3已知10<a<30,15<b<20,则3a-b的取值范围是()㊂
A.(10,50)
B.(10,75)
C.(15,50)
D.(-10,50)
解:依题意可得,30<3a<90,-20< -b<-15,所以10<3a-b<75,所以3a-b 的取值范围是(10,75)㊂应选B㊂
题型四:对基本不等式的理解
在理解基本不等式时,要从形式到内涵中理解,特别要关注条件㊂运用基本不等式比较大小时,要注意不等式成立的条件:a+ bȡ2a b成立的条件是a>0,b>0,等号成
立的条件是a =b ;a 2+b 2ȡ2a b 成立的条件
是a ,b ɪR ,等号成立的条件是a =b ㊂
例4 给出下列三种说法:①∀a ,b ɪR ,
都有-a 2+b 22ɤa b ɤa 2+b
2
2
,②∀a ,b ɪR ,
都有4a b ɤ(a +b )2
ɤ2(a 2
+b 2
),③不等式
b a +a
b
ȡ2成立的充要条件是a >0,b >0
㊂其中说法正确的序号是
㊂
解:∀a ,b ɪR ,都有(a -b )2
ȡ0
,(a +b )2
ȡ0
,{
据此可得
a 2+
b 2ȡ2a b ,
a 2
+b 2
ȡ-2a b ,
{
所以-a 2
+b
2
2ɤa b ɤa 2
+b 2
2
,①正确㊂2(a 2+b 2)=(a 2+b 2
)+(a 2+b 2)ȡ(a 2+b 2)+2a b =(a +b )2,(a +
b )2=a 2+b 2+2a b ȡ2a b +2a b =4a b ,②正确㊂b a +a b ȡ2成立的充要条件是b
a >0,③
错误㊂答案为①②㊂
题型五:利用基本不等式证明不等式观察题中要证明的不等式的结构特征,若不能直接使用基本不等式证明,则考虑对代数式进行拆项㊁变形㊁配凑等,使之达到能使用基本不等式的形式㊂当已知条件中含有
1 时,要注意 1 的代换,同时要时刻注意等号能否取到的情况㊂
例5 已知a ,b ,c 都是正数,且a +b +
c =1㊂求证:1
a
-1
()1
b
-1(
)1
c
-1(
)
ȡ
8㊂证明:因为a ,b ,c 都是正数,a +b +c =1
,所以1a -1=1-a a =b +c a ȡ
2b c
a
㊂同理可得,1b -1ȡ
2a c b ,1
c -1ȡ2a b
c ㊂上述三个不等式两边均为正,分别相乘得
1
a
-1(
)1b
-1(
)1
c
-1(
)
ȡ
2b c a ㊃2a c b ㊃2a b c =8,当且仅当a =b =c =1
3时等号成立㊂故原式成立㊂
题型六:解含参数的一元二次不等式解含参数的一元二次不等式的三个注意
点:若二次项系数含有参数,则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论;若求对应一元二次方程的根需用公式,则应对判别式Δ进行讨论;若求出的根中含有参数,则应对两根的大小进行讨论㊂
例6 解关于x 的不等式x 2-a x -2a 2
<0(a ɪR )
㊂解:原不等式转化为(x -2a )(x +a )<
0,对应的一元二次方程的根为x 1=2a ,x 2=-a ㊂
①当a >0时,x 1>x 2,
原不等式的解集为{x |-a <x <2a };②当a =0时,原不等式化为x 2<0,即原不等式的解集为⌀;③当
a <0时,x 1<x 2,原不等式的解集为{x |2a <x <-a }
㊂综上所述,当a >0时,原不等式的解集为{x |-a <x <2a };当a =0时,原不等式的解集为⌀;当a <0时,原不等式的解集为
{x |2a <x <-a }
㊂题型七:三个 二次 关系的应用
一元二次不等式a x 2+b x +c >0(a ʂ0
)的解集的端点值是一元二次方程a x 2+b x +
c =0的根,也是二次函数y =a x 2+b x +c 的图像与x 轴交点的横坐标㊂二次函数y =
a x 2+
b x +
c (a ʂ0)的图像在x 轴上方的部分,是由不等式a x 2+b x +c >0的x 值构成的;图像在x 轴下方的部分,是由不等式a x 2+b x +c <0的x 值构成的㊂三个 二次 之间相互依存㊁相互转化㊂
例7 若不等式a x 2+b x +c ȡ0的解集
是x -
1
3
ɤx ɤ2{}
,
求不等式c x 2+b x +a <0的解集㊂
解:由a x 2+b x +c ȡ0的解集是x
-1
3
ɤx ɤ2{)
知a <0
,且2,-13为方程a x 2+b x +c =0的两个根,
所以-b a =5
3
,c a =-23,所以b =-53a ,c =-2
3a ㊂所以
不等式c x 2+b x +a <0可化为-23
a (
)
x 2
+-53a ()
x +a <0,即2a x 2
+5a x -3a >0㊂
又a <0,所以2x 2+5x -3<0
,所以所求不等式的解集为x -3<x <
1
2
{
}
㊂题型八:简单的分式不等式的解法对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意分母不为零㊂对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项,再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零的不等式,然后用上述方法求解㊂
例8 不等式3-x
2x +5
>0的解集是
㊂
解:由3-x 2x +5>0,可得x -3
2x +5
<0
,所以(x -3)(2x +5)<0,解得-5
2<x <3
,所以不等式3-x 2x +5>0的解集是x -52
<x <3{}
㊂
题型九:高次不等式的解法
高次不等式的求解方法:因式分解(分式化整),数轴标根(依序排列),穿针引线(奇穿偶回),写出解集㊂
例9 求解下列分式不等式㊂(1)x (x -1
)x +2
>0
㊂(2)x 2-3x -4x 2
-1ɤ0㊂(3)4x -1
ɤx -1
㊂解:(1)原不等式可化为x (x -1)(x +
2)>0,根据穿针引线可得解集为{x |-2<x <0或x >1
}㊂(2)由不等式
x 2-3x -4
x 2
-1
ɤ0,可得(x +1)2
(x -1)(x -4)ɤ0
,x 2
-1ʂ0
,{
根据穿针引线
可得解集为{x |1<x ɤ4
}㊂(3)原不等式可化为4
x -1
-(x -1)ɤ0
,化简整理可得
(x -3)(x +1
)x -1
ȡ0
,所以(x +1)(x -1)(x -3)ȡ0
,x -1ʂ0
,{
根据穿针引线可
得解集为{x |-1ɤx <1或x ȡ3
}㊂题型十:一元二次不等式的恒成立问题一元二次不等式恒大于零就是相应的二次函数的图像在给定区间上全部在x 轴上方,一元二次不等式恒小于零就是相应的二次函数的图像在给定区间上全部在x 轴下方,从而确定x 的取值范围,进而求出参数㊂解决恒成立问题,一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数㊂
例10 已知函数y =x 2+2a x +4
,如果对任意x ɪ{x |1ɤx ɤ2},y <
0恒成立,则实数a 的取值范围是
㊂
解:已知函数y =x 2+2a x +4
,可知图像开口向上㊂因为存在y <0,所以Δ>0,即
4a 2
-16>0,所以a >2或a <-2
㊂画出函数y =x 2+2a x +4的大致图像,
如图1所示
㊂
图1
令y =x 2+2a x +4=0,解得x 1=-a +
a 2-4,x 2=-a -a 2
-4㊂只有当x 1>
2,x 2<1时,可以保证:当1ɤx ɤ2时,y <0恒成立㊂所以
-a +a 2
-4>2
,-a -a 2
-4<1
,{
化简得
4a +8<0
,2a +5>0,{
解得a <-2
,a >-52
㊂
{
由上可得,-
5
2
<a <-2
,即所求实数a ɪ-
5
2
,-2(
)
㊂1.若a >0,且a ʂ7,则( )
㊂A .77a a <7a a
7B .77a a =7a a 7
C .77a a >7a a
7
D .77a a 与7a a 7的大小不确定
提示:77a a 7a a 7=7
7-a a a -7
=7a
()
7-a
,当a >7
时,0<7a <1,7-a <0
,则7
a
()7-a
>1
,可得77a a >7a a 7
;当0<a <7时,7a
>1,7-a >0
,则
7
a
()
7-a
>1
,可得77
a a >7a
a 7
㊂综上可得,77a a >7a a 7
㊂应选C ㊂
2.已知-12ɤx <y ɤ12,
试求x -y 3
的取值范围㊂
提示:因为-12ɤx <y ɤ
1
2
,所以-
16ɤx 3<16,-16<y 3ɤ16,所以-1
6
ɤ-y 3<16,所以-13ɤx -y 3<
1
3
㊂又因为x <y ,
所以x -y 3<0㊂故-13ɤx -y 3
<0㊂3.关于x 的不等式(1+m )x 2+m x +
m <x 2+1对x ɪR 恒成立,求实数m 的取值范围㊂
提示:原不等式等价于m x 2+m x +m -1<0对x ɪR 恒成立㊂当m =0时,显然不等式对x ɪR 恒成立㊂当m ʂ0时,由题意可得
m <0
,Δ=m 2
-4m (m -1)<0
,{
化简整理可得
m <0
,3m 2-4m >0,{
解得m <0
,m <0或m >43
,
{
所以
m <0㊂综上可得m ɤ0,即所求实数m ɪ(-ɕ,0
]㊂4.
某小微企业为新能源汽车生产厂家提供配件,其中一种配件的投入成本为100元/件,出厂价为120元/件,年销售量为10000件㊂本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本㊂若每件配件投入成本增加的比例为x (0<x <1),则出厂价相应提高的比例为0.75x ,同时预计年销售量增加的比例为0.6x ㊂设年利润=(出厂价-投入成本)ˑ年销售量㊂
(1
)写出本年度预计的年利润y (元)与投入成本增加的比例x 的关系式㊂
(2
)为使本年度的年利润比上年有所增加,问投入成本增加的比例x 应在什么范围内㊂
提示:(1)依题意得y =[120(1+0.75x )-
100(1+x )]ˑ10000ˑ(1+0.6x )=
10000(-6x 2
+2x +20
),所以所求关系式为y =
10000(-6x 2
+2x +20)(0<x <1)㊂(2)依题意得10000(-6x 2+2x +20)>
(120-100)ˑ10000,化简得3x 2-x <0,解得0<x <
1
3
㊂所以投入成本增加的比例x 的范围是0<x <
13
㊂5.
某物流公司购买了一块长A M =30m ,宽A N =20m 的矩形地块,计划建设如图2所示的矩形A B C D 仓库,其余地方为道路和停车场,要求顶点C 在地块对角线MN 上,B ,D 分别在边A M ,A N 上,设A B
的长度为x m ㊂
图2
(1)求矩形A B C D 的面积S 关于x 的函数解析式㊂
(2)要使仓库A B C D 的占地面积不少于144m 2
,A B 的长度应在什么范围内
提示:(1)依题意得,әN D C 与әN A M
相似,所以D C A M =N D N A ,即x 30=
20-A D
20,解得A D =20-
2
3
x ㊂所以矩形A B C D 的面积S 关于x 的函数解析式为S =20x -23
x 2
(0<x <30
)㊂(2)要使仓库A B C D 的占地面积不少于
144m 2,则20x -
23
x 2
ȡ144
,化简得x 2-30x +216ɤ0,解得12ɤx ɤ18㊂所以A B 的长度应不小于12m 且不大于18m ㊂
作者单位:江西省永丰县永丰中学
(责任编辑 郭正华)。