2017-2018学年高中数学人教B版 选修1-1教师用书：第2

2.2.2双曲线的几何性质
1．了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等)．2．理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程．(重点)
)
3．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．(难点
[基础·初探]
教材整理双曲线的简单几何性质
阅读教材P51～P52例1以上部分，完成下列问题．
1．双曲线的简单几何性质
(1)定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．其方程的一般形式为x2－y2＝λ(λ≠0)．
(2)性质：①渐近线方程为：y＝±x.
②离心率为：e＝ 2.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)双曲线是中心对称图形．()
(2)双曲线方程中a，b分别为实、虚轴长．()
(3)方程y2
a2－
x2
b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±
b
a x.()
(4)离心率e越大，双曲线x2
a2－
y2
b2＝1的渐近线的斜率绝对值越大．()
【答案】(1)√(2)×(3)×(4)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_____________________________________________________ 解惑：______________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：______________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_______________________________________________________
[小组合作型]
()
A.1
2 B.
2
2
C．1 D. 2
(2)(2014·广东高考)若实数k满足0<k<5，则曲线x2
16－
y2
5－k
＝1与曲线
x2
16－k
－
y2
5＝1的()
A．实半轴长相等B．虚半轴长相等
C．离心率相等D．焦距相等
(3)已知F1，F2分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为() 【导学号：25650067】
A.3＋1
B.2＋1
C．2 3 D．2 2
【自主解答】(1)双曲线x2－y2＝1的顶点坐标为(±1,0)，渐近线为y＝±x，
∴x±y＝0，∴顶点到渐近线的距离为d＝|±1±0|
2
＝
2
2.
(2)因为0<k<5，所以两曲线都表示双曲线，在x2
16－
y2
5－k
＝1中a2＝16，b2＝5
－k；在
x2
16－k
－
y2
5＝1中a
2＝16－k，b2＝5.由c2＝a2＋b2知两双曲线的焦距相等，
故选D.
(3)不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a.∵△PF1F2是等腰直角三角形，∴只能是∠PF2F1＝90°，
∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，
∴|PF1|＝2a＋|PF2|＝2a＋2c，
∴(2a＋2c)2＝2·(2c)2，
即c2－2ac－a2＝0，两边同除以a2，
得e2－2e－1＝0.
∵e＞1，∴e＝2＋1.
【答案】(1)B(2)D(3)B
由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤
[再练一题]
1．(1)已知双曲线x 2
－y 2
b 2＝1(b >0)的一条渐近线的方程为y ＝2x ，则b ＝
________.
【解析】 由双曲线x 2－y 2b 2＝1，得a ＝1，∴b
1＝2，b ＝2.
【答案】 2
(2)求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程. 【导学号：25650068】
【解】 将原方程转化为x 29－y 24＝1，即x 232－y 2
22＝1，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13， 因此顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)， 焦点坐标为F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝133， 渐近线方程y ＝±
2
3x .
(1)虚轴长为12，离心率为5
4；
(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±
3
2x ；
(3)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)．
【精彩点拨】 用待定系数法求双曲线的标准方程时，注意先定位再定量，充分利用题中所给出的双曲线的几何性质．
【自主解答】 (1)设双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由题意知2b ＝12，
c a ＝5
4且c 2＝a 2＋b 2， ∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.
∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 2
36＝1. (2)当焦点在x 轴上时，由b a ＝32且a ＝3得b ＝9
2. ∴所求双曲线的标准方程为x 29－4y 2
81＝1. 当焦点在y 轴上时，由a b ＝3
2且a ＝3得b ＝2. ∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 2
4＝1.
(3)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2
＝k ，将点(2，－2)代入得k ＝22
2－(－2)2＝－2.
∴双曲线的标准方程为y 22－x 2
4＝1.
1．一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a ，b 的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得．再结合c 2＝a 2＋b 2及e ＝c
a 列关于a ，
b 的方程(组)，解方程(组)可得标准方程．
2．如果已知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，那么此双曲线方程可设为x 2a 2－y 2
b 2
＝λ(λ≠0)．
[再练一题]
2．求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：【导学号：25650069】
(1)双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)；
(2)双曲线过点(3,92)，离心率e＝10 3.
【解】(1)设双曲线方程为x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)．
由已知得a＝3，c＝2，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.
故双曲线C的方程为x2
3－y
2＝1.
(2)由e2＝10
9，得
c2
a2＝
10
9，设a
2＝9k(k>0)，
则c2＝10k，b2＝c2－a2＝k.
于是，设所求双曲线方程为x2
9k－
y2
k＝1，①
或y2
9k－
x2
k＝1，②
把(3,92)代入①，得k＝－161与k>0矛盾；把(3,92)代入②，得k＝9，
故所求双曲线方程为y2
81－
x2
9＝1.
[探究共研型]
【提示】判断直线与双曲线的位置关系，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x或y的一元二次方程，再根据一元二次方程去讨论直线和双曲线的位置关系．这时首先要看二次项的系数是否等于0.当二次项系数等于0时，就转化成x或y的一元一次方程，只有一个解．这时直线与双曲线相交只有一个交点．当二次项系数不为零时，利用根的判别式，判断直线和双曲线的位置关系．
探究2 直线和双曲线只有一个公共点，直线和双曲线一定相切吗？ 【提示】 直线和双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点．
已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1. (1)如果直线与双曲线有两个公共点，求a 的取值范围； (2)如果直线与双曲线只有一个公共点，求a 的取值范围； (3)如果直线与双曲线没有公共点，求a 的取值范围．
【精彩点拨】 将直线与双曲线方程联立用判别式Δ判断方程组解的个数，并注意对二次项系数的讨论．
【自主解答】 把y ＝ax ＋1代入3x 2－y 2＝1， 整理得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0. (1)∵直线与双曲线有两个公共点， ∴判别式Δ＝4a 2＋8(3－a 2)＝24－4a 2＞0， 且3－a 2≠0，得－6＜a ＜6，且a ≠±3.
故当－6＜a ＜6，且a ≠±3时，直线与双曲线有两个公共点． (2)∵直线与双曲线只有一个公共点，
∴⎩⎨⎧
Δ＝24－4a 2
＝0，3－a 2
≠0
或3－a 2＝0， ∴a ＝±6或a ＝±3.故当a ＝±6或a ＝±3时，直线与双曲线只有一个公共点．
(3)∵直线与双曲线没有公共点，
∴3－a 2≠0，且Δ＝24－4a 2＜0.∴a ＞6或a ＜－ 6. 故当a ＞6或a ＜－6时，直线与双曲线没有公共点．
1．研究直线与双曲线位置关系的一般解法仍然是联立二者方程，解方程组或者转化为一元二次方程，依据根的判别式和根与系数的关系求解．
2．直线与双曲线有三种位置关系
(1)无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线．
(2)有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过
双曲线一个顶点，且垂直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点．
(3)有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一点．
[再练一题]
3．(1)已知过点P (1,1)的直线l 与双曲线x 2
－y 2
4＝1只有一个公共点，则直线
l 的斜率k 的取值为________．
【解析】 设直线l 的斜率为k ，则l ：y ＝k (x －1)＋1，代入双曲线方程，得到(4－k 2)x 2－(2k －2k 2)x －k 2＋2k －5＝0.
若4－k 2＝0，即k ＝±2，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；
若4－k 2≠0，则Δ＝[－(2k －2k 2)]2－4(4－k 2)·(－k 2＋2k －5)＝0，解得k ＝52. 综上可得，直线l 的斜率k 的取值为52或±2. 【答案】 52或±2
【解】 ①当a ＝1
2时，双曲线C 的方程为4x 2－y 2＝1， 联立⎩⎨⎧
x ＋y ＝1，4x 2－y 2＝1，消去y 得3x 2＋2x －2＝0.
设两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝－23，x 1x 2＝－2
3， 于是|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(x 1－x 2)2＋(x 2－x 1)2 ＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2×289
＝2143.
②将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a 2－y 2
＝1中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，
∴⎩⎨⎧
1－a 2
≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2
)＞0，
解得0＜a ＜2且a ≠1. 又双曲线的离心率e ＝1＋a 2
a ＝1
a 2＋1，
∴e ＞6
2且e ≠2，
即离心率e 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫
62， 2∪(2，＋∞)．
[构建·体系]
1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．22 C ．4
D ．4 2
【解析】 双曲线标准方程为x 24－y 2
8＝1，故实轴长为4. 【答案】 C
2．下列双曲线中离心率为6
2的是( ) A.x 22－y 2
4＝1 B.x 24－y 2
2＝1 C.x 24－y 2
6＝1
D.x 24－y 2
10＝1
【解析】 双曲线x 24－y 22＝1中a ＝2，b ＝2，∴c ＝6，e ＝6
2. 【答案】 B
3．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为
5∶4，则双曲线的标准方程为________．
【解析】 由题意得双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c ∶b ＝5∶4，解得c ＝5，b ＝4，∴双曲线的标准方程为x 29－y 2
16＝1.
【答案】 x 29－y 2
16＝1
4．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与双曲线C 2：x 24－y 2
16＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________.
【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
b 2a 2＝4，
a 2＋
b 2＝5，
解得a 2＝1，b 2＝4.
又a ＞0，b ＞0，故a ＝1，b ＝2. 【答案】 1 2
5．求中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，经过点(3，－2)，且一条渐近线的倾斜角为π
6的双曲线的方程. 【导学号：25650071】
【解】 渐近线方程为y ＝±3
3x ，设双曲线方程为x 2－3y 2＝λ.将(3，－2)代入求得λ＝－3，所以双曲线方程为y 2
－x 2
3＝1.。