湖南省蓝山二中高二数学《第5讲 函数的值域与最值(一)》学案 文 人教版

湖南省蓝山二中高二数学《第5讲 函数的值域与最值（一）》学
案 文 人教版
● 知识要点
1. 函数的值域与最值
(1)函数的值域是____函数值____的集合，它是由定义域和对应法则共同确定的，所以求值域时应注意函数的___定义域______.
设函数的f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： (Ⅰ)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；
(Ⅱ)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ，则称M 是函数y ＝f (x )的__最大值___.类似地可定义f (x )的最小值.
(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域：
当a ＞0，值域为),44[2+∞-a b ac ;当a ＜0，值域为]44,(2a
b a
c --∞ (3)反比例函数y ＝x
k (k ≠0)的值域为{ y | y ∈R ，且 y ≠0 } (4)指数函数y ＝a x (a ＞0,a ≠1)的值域为(0,＋∞)
(5)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域为R.
(6)正、余弦函数y ＝sin x (x ∈R )，y ＝cos x (x ∈R )的值域为____[－1，1]； 正、余切函数),2(tan Z k k x x y ∈+≠=π
π 的值域为___R___；
3. 求函数的值域（最值）常用的方法
(1)二次函数用配方法.
(2)单调性法.
(3)导数法.
(4)复合函数的值域由中间变量的范围确定.
此外还有换元法、数形结合法、基本不等式法等.
4. 若f (x )为闭区间[a ,b ]上的连续函数，则f (x )在[a ,b ]上一定有最大、最小值.
● 课前演练
.5
2
2])6,2[(12)( .1，最小值是的最大值是函数∈-=x x x f .18])4,0[(2)( .22-∈-=，最小值是的最大值是函数x x x x f
的值域是函数)(11)( .32
R x x x f ∈+=（ B ） A.(0,1) B.(0,1] C.[1,0) D.[0,1]
.]8,0()21()( .4142的值域是函数+-=x x x f
.
20]30[3)( .53=---=N M N M a x x x f ，则、别是上的最大值和最小值分，在区间若函数 例1.. ]5,3[,1
12 的值域求函数∈+-=
x x x y
例2.的求函数) 2
5(4254 2≥-+-=x x x x y 值域.
变式
.北京市某企业为迎接2008奥运会，拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外围周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元(池壁厚度不记)，池底建造单价为每平方米60元.问污水处理池的长为 多少米时(但不少于18米)，可使总造价最低.
例3.求下列函数的值域：
.1212 )2(; 4log )1(2
21
-+=-=x x y x y
.)()()(0],3(31)(1 )( .4的积函数和为函数，令函数且为常数，，其中，，函数设函数例x h x g x f a a a x x x h x x g >-∈+=
+=
● 走进高考
1. (2004·山东卷)设函数f (x )＝,)
1( 14)1( )1(2⎩⎨⎧≥--<+x x x x
则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为___________(－∞,－2)∪[0,10]___ _.
2. (2005·海南卷)设f (x )＝使得*,*,,2
2
N b N a ax x ∈∈-,1)(,)(b b f b b f -<-= . )( 的表达式求函数x f
● 课后作业
《学海导航》第5讲 课后练习.。