燕尾定理.例题精讲

第三章第九讲：燕尾定理.例题精
讲(总5页)
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燕尾定理：
在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．
O
F
E D
C
B
A
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.
通过一道例题证明一下燕尾定理：
如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DC ==
S 3
S 1S 4S 2E
D
C
B
A
【解析】 三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，
所以有14::S S BD DC =；三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =；三角形ACE 与三角形CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；综上可得1423:::S S S S BD DC ==.
【例 1】 （2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中
点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等
于 ．
F
E
D C
B
A
【例 2】 如图所示，在四边形ABCD 中，3AB BE =，3AD AF =，四边形AEOF 的面积是12，那么
平行四边形BODC 的面积为________．
O
F
E D
C
B
A
【例 3】
ABCD 是边长为12厘米的正方形，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，AF 与CE 交于G
，则四边形AGCD 的面积是_________平方厘米．
G
F
E D
C
B
A
【例 4】 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形
BGHF
的面积是_____平方厘米．
E
D
C
B
【例 5】 如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中点，那么:AF FC = ．
F
E D
C
B A
【例 6】 （2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、BC
上的点，且13AE AB =，1
4
CF BC =，AF 与CE 相交于G ，若矩形ABCD 的面积为120，则
AEG ∆与CGF
∆的面积之和为 ．
B
E
【例 7】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．
O F E
D
C
B
A
【例 8】 (2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图，三角形ABC 中，
:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．
I H
G
F
E
D
C
B
A
【例 9】 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分
别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少
【例 10】 如图，三角形ABC 被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形
ABC 的面积是多少
35
30
4084
O F
E
D C
B
A
【例 11】
三角形ABC 的面积为15平方厘米，D 为AB 中点，E 为AC 中点，F 为BC 中点，求阴影部分的面积．
F C
B
【例 12】
如右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米
N M G
A B
C
D E
F
【例 13】
如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC 被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少
G
F
E D C
B
A
【例 14】
如右图，面积为1的ABC △中，::1:2:1BD DE EC =，::1:2:1CF FG GA =，::1:2:1AH HI IB =，求阴影部分面积．
C
B
【例 15】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等
分点,求阴影部分面积.
G
C
B
【例 16】
如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.
G
C
B
A
【例 17】
（2009年数学解题能力大赛六年级初试试题）正六边形1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，6
A 的面积是2009平方厘米，1
B ，2B ，3B ，4B ，5B ，6B 分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米．
A 4
B 5A 3
【例 18】
已知四边形ABCD ，CHFG 为正方形，:1:8S S =乙甲，a 与b 是两个正方形的边长，
求:?a b =
b
a
E
D。