高考总复习专项演练：第六章 数列 6-4 Word版含解析

6-4
A 组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于( ) A ．n 2＋1－12n B ．2n 2－n ＋1－12n C ．n 2＋1－12
n －1 D ．n 2－n ＋1－12n 【解析】 该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ， 则S n ＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n ＝n 2＋1－12n . 【答案】 A
2．已知函数f (n )＝n 2cos n π，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )
A ．0
B ．－100
C ．100
D ．10 200
【解析】 f (n )＝n 2cos n π＝⎩
⎪⎨⎪⎧－n 2（n 为奇数）n 2（n 为偶数）＝(－1)n ·n 2， 由a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝(－1)n ·n 2＋(－1)n ＋
1·(n ＋1)2
＝(－1)n n 2－(n ＋1)2]＝(－1)n ＋1·(2n ＋1)，
得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100
＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)
＝50×(－2)＝－100.
【答案】 B
3．数列a 1＋2，…，a k ＋2k ，…，a 10＋20共有十项，且其和为240，则a 1＋…＋a k ＋…＋a 10的值为
( )
A ．31
B ．120
C ．130
D ．185
【解析】 a 1＋...＋a k ＋...＋a 10＝240－(2＋...＋2k ＋ (20)
＝240－（2＋20）×102
＝240－110＝130. 【答案】 C
4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n 等于( )
A ．6n －n 2
B ．n 2－6n ＋18
C.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2（1≤n ≤3），n 2－6n ＋18（n >3）
D.⎩
⎪⎨⎪⎧6n －n 2（1≤n ≤3），n 2－6n （n >3） 【解析】 ∵由S n ＝n 2－6n 得{a n }是等差数列，
且首项为－5，公差为2.
∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7，
∴n ≤3时，a n <0，n >3时，a n >0，
∴T n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧6n －n 2（1≤n ≤3），n 2－6n ＋18（n >3）. 【答案】 C
5．数列a n ＝1n （n ＋1）
，其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )
A ．－10
B ．－9
C ．10
D ．9
【解析】 数列的前n 项和为
11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝910
， ∴n ＝9，∴直线方程为10x ＋y ＋9＝0.
令x ＝0，得y ＝－9，∴在y 轴上的截距为－9.
【答案】 B
6．(·西安模拟)数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12
(n ∈N *)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝________．
【解析】 由a n ＋a n ＋1＝12
＝a n ＋1＋a n ＋2，∴a n ＋2＝a n ， 则a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 21，a 2＝a 4＝a 6＝…＝a 20，
∴S 21＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 20＋a 21)
＝1＋10×12
＝6. 【答案】 6
7．已知数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝（－1）n ＋
12(n ∈N *)，a 1＝－12
，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 2 015＝________．
【解析】 由题意知，a 1＝－12，a 2＝1，a 3＝－32
， a 4＝2，a 5＝－52，a 6＝3，…，
所以数列{a n }的奇数项构成了首项为－12
， 公差为－1的等差数列，偶数项构成了首项为1，
公差为1的等差数列，通过分组求和可得
S 2 015＝⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫－12×1 008＋1 008×1 0072×（－1）＋ ⎝⎛⎭
⎫1×1 007＋1 007×1 0062×1＝－504. 【答案】 －504
8．设f (x )＝4x 4x ＋2
，若S ＝f ⎝⎛⎭⎫12 015＋f ⎝⎛⎭⎫22 015＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0142 015，则S ＝________． 【解析】 ∵f (x )＝4x
4x ＋2
， ∴f (1－x )＝41－x
41－x ＋2＝22＋4x
， ∴f (x )＋f (1－x )＝4x 4x ＋2＋22＋4x
＝1. S ＝f ⎝⎛⎭⎫12 015＋f ⎝⎛⎭⎫22 015＋…＋f ⎝⎛⎭
⎫2 0142 015，① S ＝f ⎝⎛⎭⎫2 0142 015＋f ⎝⎛⎭⎫2 0132 015＋…＋f ⎝⎛⎭
⎫12 015，② ①＋②得， 2S ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫12 015＋f ⎝⎛⎭⎫2 0142 015＋⎣⎡⎦
⎤f ⎝⎛⎭⎫22 015＋f ⎝⎛⎭⎫2 0132 015 ＋…＋⎣⎡⎦
⎤f ⎝⎛⎭⎫2 0142 015＋f ⎝⎛⎭⎫12 015＝2 014， ∴S ＝2 0142
＝1 007. 【答案】 1 007
9．(·湖北)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q .已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.
(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；
(2)当d >1时，记c n ＝a n b n
，求数列{c n }的前n 项和T n . 【解析】 (1)由题意有⎩
⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2， 即⎩
⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29
.
故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1或⎩
⎪⎨⎪⎧a n ＝19（2n ＋79），b n ＝9·⎝⎛⎭⎫29n －1. (2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，
故c n ＝2n －12
n －1， 于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12
n －1，① 12T n ＝12＋322＋523＋724＋…＋2n －32
n －1＋2n －12n .② ①－②可得
12T n ＝2＋12＋122＋…＋12
n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ， 故T n ＝6－2n ＋32
n －1. 10．(·天津)已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列．
(1)求q 的值和{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝log 2a 2n a 2n －1
，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和． 【解析】 (1)由已知，有(a 3＋a 4)－(a 2＋a 3)＝(a 4＋a 5)－(a 3＋a 4)，即a 4－a 2＝a 5－a 3，所以a 2(q －1)＝a 3(q －1)．
又因为q ≠1，所以a 3＝a 2＝2.
由a 3＝a 1·q ，得q ＝2.
当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝2k －1＝2n －12；
当n ＝2k (k ∈N *)时，a n ＝a 2k ＝2k ＝2n 2.
所以{a n }的通项公式为a n
＝⎩⎨⎧a n －12，n 为奇数，a n 2，n 为偶数. (2)由(1)得b n ＝log 2a 2n a 2n －1＝n 2
n －1，n ∈N *. 设{b n }的前n 项和为S n ，则
S n ＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋(n －1)×12n －2＋n ×12
n －1，12S n ＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋(n －1)×12
n －1＋n ×12n ，
上述两式相减，得12S n ＝1＋12＋122＋…＋12
n －1－n 2n ＝1－12n 1－12
－n 2n ＝2－22n －n 2n ， 整理，得S n ＝4－n ＋22
n －1，n ∈N *. 所以，数列{b n }的前n 项和为4－n ＋22
n －1，n ∈N *. B 组 专项能力提升
(时间：30分钟)
11．已知数列2 008，2 009，1，－2 008，－2 009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 014项之和S 2 014等于( )
A ．2 008
B ．2 010
C ．1
D ．0
【解析】 由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，
∴a n ＋1＝a n －a n －1.
故数列的前8项依次为2 008，2 009，1，－2 008，－2 009，－1，2 008，2 009.
由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0.
∵2 014＝6×335＋4，∴S 2 014＝S 4
＝2 008＋2 009＋1＋(－2 008)＝2 010.
【答案】 B
12．1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2等于( )
A.n （n ＋1）2 B ．－n （n ＋1）2
C ．(－1)n ＋1n （n ＋1）2
D ．以上答案均不对 【解析】 当n 为偶数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2
＝－3－7－…－(2n －1)
＝－n 2（3＋2n －1）2＝－n （n ＋1）2
； 当n 为奇数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2
＝－3－7－…－2(n －1)－1]＋n 2
＝－n －12[3＋2（n －1）－1]2＋n 2＝n （n ＋1）2
， 综上可得，原式＝(－1)n ＋1n （n ＋1）2
.
【答案】 C
13．(·江苏)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 前10项的和为________． 【解析】 先利用累加法求a n ，再利用裂项法求⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 的前10项和． 由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)． 以上各式相加，得
a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝（n －1）（2＋n ）2＝n 2＋n －22
. 又∵a 1＝1，∴a n ＝n 2＋n 2
(n ≥2)． ∵当n ＝1时也满足此式，
∴a n ＝n 2＋n 2(n ∈N *)．∴1a n ＝2n 2＋n ＝2⎝⎛⎭
⎫1n －1n ＋1. ∴S 10＝2×⎝⎛⎭⎫11－12＋12－13
＋…＋110－111 ＝2×⎝⎛⎭⎫1－111＝2011
. 【答案】 2011
14．(·山东)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n ＋3.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n .
【解析】 (1)因为2S n ＝3n ＋3，
所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3.
当n ≥2时，2S n －1＝3n －
1＋3，
此时2a n ＝2S n －2S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1， 即a n ＝3n －1，
所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3， n ＝1，3n －1， n ≥2. (2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝13
. 当n ≥2时，b n ＝31－n log 33n －1＝(n －1)·31－
n .
所以T 1＝b 1＝13
； 当n ≥2时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝13
＋1×3－1＋2×3－2＋…＋(n －1)×31－n ]， 所以3T n ＝1＋1×30＋2×3－1＋…＋(n －1)×32－n ]， 两式相减，得
2T n ＝23
＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n )－(n －1)×31－n ＝23＋1－31－
n 1－3－1－(n －1)×31－n ＝136－6n ＋32×3n
， 所以T n ＝1312－6n ＋34×3n
. 经检验，n ＝1时也适合．
综上可得T n ＝1312－6n ＋34×3n
. 15．(.浙江)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋ (1)
b n ＝b n ＋1－1(n ∈N *)．
(1)求a n 与b n ；
(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .
【解析】 (1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n (n ∈N *)． 由题意知：当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2.
当n ≥2时，1n
b n ＝b n ＋1－b n . 整理得b n ＋1n ＋1＝b n n
，所以b n ＝n (n ∈N *)． (2)由(1)知a n b n ＝n ·2n ，
因此T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ， 2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1， 所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1. 故T n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N *)．。