第一讲 模糊数学概论
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2013/2/26
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即使是一些本来有严格定义的特征,为了从宏观上把 握事物的主要特征和便于处理,有时也更多地用模糊 概念来描述。比如按年龄将人分为“年轻人、中年 人、老年人”,按身高分为“高个子、中等个、矮个 子 ”,按体 重分为“ 胖、不胖 不瘦、瘦 ”。 将常规数学方法应用于本质上是模糊系统的分析是 不协调的,它将引起理论和实际之间的很大的差 距。即使仅以推理和判断而论,人们在日常生活中 所运用的推理规则和过程也并不是绝对而严密的, 其中常伴随着某些不精确性成份；但这并不妨碍他 们对事物进行正确的判断。
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2013/2/26
三、模糊数学概述
模糊数学的诞生，得益于用机器去模拟人脑的科 学——人工智能。当用计算机去模拟人脑时，经 典数学在很自然语言具有同一个 词表达各种不同含意的特点，使得词语无须象某 些精密概念所要求的那样界限分明。但语言的上 下文限制又能恰好使它在一个特定的环境中只表 示一种界限分明、意义清楚而非模糊的概念。人 类这种独特的信息处理方式，既高效又可靠，恰 是现代电子计算机所欠缺的。
4
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2013/2/26
2013/2/26
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n
1974年印度裔的英国学者E.H.Mamdani(Queen Mary College US)，将模糊逻辑应用于锅炉和蒸 汽机的控制，并在实验室内作了成功的实验，取 得了比传统PID控制更好的效果，这不仅验证了模 糊理论的有效性,也开创了模糊控制这一新的领 域。 1980年,丹麦的史密斯(F.L.Smith)公司成功地将 模糊控制应用到水泥窑的自动控制中,为模糊理论 的实际应用开辟了崭新的前景。从此后,模糊数学 如异军突起，相关的书刊、论文如雨后春笋。
模糊数学及其应用
主讲人：胡世凯
四川大学数学学院
2013/2/26
1
第一讲 模糊数学概论
OUTLINE
n n n n n n
2013/2/26
模糊数学的历史简介 模糊数学与刘应明院士 模糊数学概述 模糊不确定性与随机不确定性 对经典理论的刺激 教学安排
2
一、模糊数学历史简介
n
模糊集合的模糊一词译自英文单词Fuzzy，有人也译作不清晰(crisp), 或干脆就用原文单词fuzzy。
7
2013/2/26
•1983年,中国在武汉成立了模糊数学与系统学会, 出版发行《模糊系统与数学》杂志。
n
目前，有关模糊理论与应用的杂志、特刊有数十 种，论文数千篇。此外还有数以百计的应用实 例。仅在家用电器方面，就已生产出了模糊热水 器、模糊电饭锅、模糊空调器、模糊洗衣机、模 糊吸尘器、模糊电冰箱、模糊微波炉、模糊摄录 一体机、模糊彩色电视机、模糊空气净化器、模 糊电动剃须刀等等。
2013/2/26
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二、模糊数学与刘应明院士
n
刘应明，1963年毕业于北京大学数学力学系。后 到四川大学工作至今。数学家，中国科学院院士 (数理学部，1995入选)，四川大学教授，博导， 副校长，研究生院院长，九三学社中央副主席兼 九三学社四川省主委，全国人大常委兼教育科学 文化卫生委员会副主任委员，国务院学位委员会 委员，四川省政协副主席。
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随后，刘应明思维的触角又伸了向多元函数的简 单逼近问题。这一问题在此前一个很长的时期内 没有人能够给予解决。刘应明与李中夫经过艰苦 的探索，于90年代初攻克了这一难题。此项成果 在国家自然科学基金重大项目——“模糊信息处 理与机器智能化”——的结题评审会上被评为最 佳结果，国际上也给予了高度评价。
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n n n
1957年，北京大学数学力学系。 1963年，四川大学任数学系基础课的辅导教师。 1965年在世界大数学家米尔洛的工作基础上，解 决了拓扑学中著名的怀特海德问题。这是他的第 一项重要研究成果。当时“政审”不过关及“文 革”的耽搁，这项成果在15年后在《数学学报》 上发表，但仍在国际上引出众多后继工作。 80年代初，他在仿紧空间研究中，独辟蹊径，统 一了几种仿紧空间的基本成果。
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但在当初的十年中，除了极少数专家外，模糊理 论并未受到世人的关注，反而遭到不少学术权威 的嘲讽和批评，认为模糊数学是对科学的精确 性、严格性的冒犯，很多技术人员和管理人员也 误认为模糊就是粗糙、低劣，西方人习惯“Yes， No’二值逻辑，对模糊数学难以理解和接受。 由于东西方文明的差异，日本、中国人、印度等 东方国家就很容易接受模糊数学，认为这是非常 自然的事。补充一点，Zadeh本人出生于前苏联的 阿塞拜疆，也属于亚洲人。
n
1965年,控制论专家扎德(L.A.Zadeh,Univ.of California at Berkeley
USA) 的“Fuzzy sets”(Information and Control)是模糊数学诞生
的标志。
n
Zadeh教授1921年生于苏联巴库(阿塞拜疆)，1942年毕业于伊朗德黑 兰大学电机工程系,1946年获美国麻省理工学院电机工程系硕士学 位，同年又获得美国哥伦比亚大学电机工程系博士学位，而后在该校 任讲师。1950年任助理教授，1953年任副教授(此时他年仅33岁), 1957年任教授。从1959年起,他在加利福尼亚大学电机工程系任教 授。
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2005年8月，在清华召开的第十一届IFSA大会被授 予模糊数学领域的最高荣誉——Fuzzy Fellow称 号。这是第一个发展中国家的科学家在模糊数学领 域 获得该称 号。 川大数学在模糊数学领域是我国水平最高的。在理 论方面，刘应明教授等人就开始了模糊拓扑方面的 工作，并在“有点派”理论方面作出了奠基性的工 作。在其应用方面，李中夫教授则做了许多工作 (专家系统)，现在，我们主要工作是将模糊数学、 神经网络和遗传算法等软计算结合在一起。 目前,中国与美国,日本,西欧并列为模糊数学的国 际 四强 .
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n
1984年，国际模糊系统联合会 (IFSA,International fuzzy system association) 成立，并于1985年召开了首届年会。
n
1992年，IEEE召开了第一届关于模糊系统的国际 会议(FUZZ---IEEE)，并决定以后每年举行一次。 1993年IEEE创办了专刊IEEE Transaction on Fuzzy Systems，当前，模糊理论和应用正向深度 和广度进一步发展，发展的速度越来越快，研究 成果大量涌现，已经成为世界各国高科技竞争的 重要领域之一。
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证明了决定邻属关系更本质属性的是集合论的“择 一原则”。由此，他提出了一种崭新的邻属结构— —重域系。 论文经蒲保明教授细心审阅核对后，在《四川大学 学报》上发表，随后其英文版在美国发表。该论文 立即在国际数学界引起了轰动，苏联《数学进 展》、伦敦数学会丛书(蓝皮书)、美国《数学评 论》等纷纷发表评论，认为这项工作解决了这个学 科中的重要问题，克服了发展的严重障碍，奠定了 不分明拓扑学(即模糊拓扑学)有点化流派的基础。
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扎德教授多年来致力于“计算机”与“大系统”的矛盾研 究，集中思考了计算机为什么不能象人脑那样进行灵 活的思维与判断问题。尽管计算机记忆超人，计算神 速，然而当其面对外延不分明的模糊状态时，却“一 筹莫展”。可是，人脑的思维，在其感知、辨识、推 理、决策以及抽象的过程中，对于接受、贮存、处理 模糊信息却完全可能。计算机为什么不能象人脑思维 那样处理模糊信息呢？
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u模糊性并不完全是消极的、没有价值的. 甚至可以这样 说，有时模糊性比精确性还要好. u例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长头发 戴宽边黑色眼镜的中年男人”. u尽管这里只提供了一个精确信息――男人，而其他信息 ――大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都 是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合 分析判断，就可以接到这个人. u模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个领 域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、 经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的应用.
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“常规数学方法的应用对于本质上是模糊系统的分析来 说是不协调的,它将引起理论和实际之间的很大差距.” 因此,必须寻找到一套研究和处理模糊性的数学方法。 这就是模糊数学产生的历史必然性。 模糊数学用精确的数学语言去描述模糊性现象，“它代 表了一种与基于概率论方法处理不确定性和不精确性 的传统不同的思想，……，不同于传统的新的方法论” 。它能够更好地反映客观存在的模糊性现象。因此， 它给描述模糊系统提供了有力的工具。
112525????????035x??????????????年轻年轻中年中年老年老年20151627ax45202545045xxxx?????351025451455565106565065xxbxxxxx???????05555105565165xcxxxx????????????如果x130x1对的隶属度ax1075这意味着30岁属于年轻的程度是075
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在多变量、非线性、时变的大系统中，复杂性与精确性 形成了尖锐的矛盾。 扎德教授总结出这样一条互克性原理：“当系统的复杂性 日趋增长时，我们作出系统特性的精确然而有意义的描 述的能力将相应降低，直至达到这样一个阈值，一旦超 过它，精确性和有意义性将变成两个几乎互相排斥的特 性。” 即复杂程度越高,有意义的精确化能力便越低。复杂性意 味着因素众多,时变性大,其中某些因素及其变化是人们难 以精确掌握的,而且人们又常常不可能对全部因素和过程 都进行精确的考察,而只能抓住其中主要部分，忽略掉所 谓的次要部分。这样,在事实上就给对系统的描述带来了 模糊性。
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模糊现象
n
精确
答案确定：要么是，要么不是 u f : A → {0,1} u 他是学生？他不是学生？
u
n
模糊
答案不定：也许是，也许不是，也许介于之间 u μA : U → [0,1] u 他是成年人？他不是成年人？他大概是成年人？
u
n
模糊现象比比皆是。人类自然语言中，大量存在 的是有丰富的内涵而无绝对度量标准的概念。诸 如“大”、“小”、“多”、“少”、“大 概”、“也许”和“可能”等词语，它们充斥于 人们的日常语言之中。 比如在健康状况一栏只能填“良好、健康”，至 于什么样的身体属于良好,什么样的属于健康,很 难确切地规定,实际上健康状况是一个综合性的定 性的评估，而且常有个人的主观判断。再如经常 听到议论某人“能干、大方、聪明、漂亮”,这些 人们语言中最常用的词汇更是很模糊的概念。
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例子，一个人到市场去买西红柿，其准则是： “西红柿越红越熟”，那么，当他看到一个非常 红的西红柿时，他马上就会认为这个西红柿非常 熟；而当他拿到一个不太红的西红柿时，他根据 其准则会认为这个西红柿可能还不太熟，尽管对 这一判断他可能还有所保留。 我们日常生活中使用的推理规则常常有正确的一 面，也有其相对的一面。即这些规则一般来讲是 正确的，但若将其绝对化，反而会出现谬误。
2013/2/26
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模糊数学和图像识别
n
是否具有良好的模糊识别的能力，是人和现代计 算机之间存在的很大区别
现代计算机对模糊性语言和信息的处理能力甚至 不及一个婴儿。例如，一个二、三岁的小孩能在 一堆苹果中迅速、准确地挑出最大的那个，而不 需作任何度量。这一点要计算机做，却非常困 难。人脑的思维方式不单纯是传统的数学思维方 式。人类智能的一个重要特点是其思维和行动伴 随着模糊性。人们用模糊的语言谈话，在模糊的 环境中对事物进行判断、推理和决策，高效地传 递着模糊的信息。这一切应归功于人脑对模糊性 的巨大驾驭能力。人们为了探索未来的电脑智能 机器人的雏形，模糊数学便应运而生了。
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90年代初，在Domain理论的拓扑结构方面，解决 了两个长期末决的Lawson－Mislove问题。这项成 果为高级程序语言设计提供了语义模型，解决了 函数运算导致不可计算函数的难题，堪称计算机 科学中的一项重大突破。
最重要的成果却是在模糊数学领域取得的。在他潜 心于经典拓扑学研究期间，国际上萌生了模糊数 学。随着科学与技术的进步，不仅在复杂的工程控 制与机器人工智能化中，而且在经济管理、军事指 挥等高层次决策中，对模糊信息的处理都显得日趋 重要。这一切都有赖于模糊数学理论的支持。
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即使是一些本来有严格定义的特征,为了从宏观上把 握事物的主要特征和便于处理,有时也更多地用模糊 概念来描述。比如按年龄将人分为“年轻人、中年 人、老年人”,按身高分为“高个子、中等个、矮个 子 ”,按体 重分为“ 胖、不胖 不瘦、瘦 ”。 将常规数学方法应用于本质上是模糊系统的分析是 不协调的,它将引起理论和实际之间的很大的差 距。即使仅以推理和判断而论,人们在日常生活中 所运用的推理规则和过程也并不是绝对而严密的, 其中常伴随着某些不精确性成份；但这并不妨碍他 们对事物进行正确的判断。
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三、模糊数学概述
模糊数学的诞生，得益于用机器去模拟人脑的科 学——人工智能。当用计算机去模拟人脑时，经 典数学在很自然语言具有同一个 词表达各种不同含意的特点，使得词语无须象某 些精密概念所要求的那样界限分明。但语言的上 下文限制又能恰好使它在一个特定的环境中只表 示一种界限分明、意义清楚而非模糊的概念。人 类这种独特的信息处理方式，既高效又可靠，恰 是现代电子计算机所欠缺的。
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1974年印度裔的英国学者E.H.Mamdani(Queen Mary College US)，将模糊逻辑应用于锅炉和蒸 汽机的控制，并在实验室内作了成功的实验，取 得了比传统PID控制更好的效果，这不仅验证了模 糊理论的有效性,也开创了模糊控制这一新的领 域。 1980年,丹麦的史密斯(F.L.Smith)公司成功地将 模糊控制应用到水泥窑的自动控制中,为模糊理论 的实际应用开辟了崭新的前景。从此后,模糊数学 如异军突起，相关的书刊、论文如雨后春笋。
模糊数学及其应用
主讲人：胡世凯
四川大学数学学院
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第一讲 模糊数学概论
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模糊数学的历史简介 模糊数学与刘应明院士 模糊数学概述 模糊不确定性与随机不确定性 对经典理论的刺激 教学安排
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一、模糊数学历史简介
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模糊集合的模糊一词译自英文单词Fuzzy，有人也译作不清晰(crisp), 或干脆就用原文单词fuzzy。
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•1983年,中国在武汉成立了模糊数学与系统学会, 出版发行《模糊系统与数学》杂志。
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目前，有关模糊理论与应用的杂志、特刊有数十 种，论文数千篇。此外还有数以百计的应用实 例。仅在家用电器方面，就已生产出了模糊热水 器、模糊电饭锅、模糊空调器、模糊洗衣机、模 糊吸尘器、模糊电冰箱、模糊微波炉、模糊摄录 一体机、模糊彩色电视机、模糊空气净化器、模 糊电动剃须刀等等。
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二、模糊数学与刘应明院士
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刘应明，1963年毕业于北京大学数学力学系。后 到四川大学工作至今。数学家，中国科学院院士 (数理学部，1995入选)，四川大学教授，博导， 副校长，研究生院院长，九三学社中央副主席兼 九三学社四川省主委，全国人大常委兼教育科学 文化卫生委员会副主任委员，国务院学位委员会 委员，四川省政协副主席。
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随后，刘应明思维的触角又伸了向多元函数的简 单逼近问题。这一问题在此前一个很长的时期内 没有人能够给予解决。刘应明与李中夫经过艰苦 的探索，于90年代初攻克了这一难题。此项成果 在国家自然科学基金重大项目——“模糊信息处 理与机器智能化”——的结题评审会上被评为最 佳结果，国际上也给予了高度评价。
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1957年，北京大学数学力学系。 1963年，四川大学任数学系基础课的辅导教师。 1965年在世界大数学家米尔洛的工作基础上，解 决了拓扑学中著名的怀特海德问题。这是他的第 一项重要研究成果。当时“政审”不过关及“文 革”的耽搁，这项成果在15年后在《数学学报》 上发表，但仍在国际上引出众多后继工作。 80年代初，他在仿紧空间研究中，独辟蹊径，统 一了几种仿紧空间的基本成果。
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但在当初的十年中，除了极少数专家外，模糊理 论并未受到世人的关注，反而遭到不少学术权威 的嘲讽和批评，认为模糊数学是对科学的精确 性、严格性的冒犯，很多技术人员和管理人员也 误认为模糊就是粗糙、低劣，西方人习惯“Yes， No’二值逻辑，对模糊数学难以理解和接受。 由于东西方文明的差异，日本、中国人、印度等 东方国家就很容易接受模糊数学，认为这是非常 自然的事。补充一点，Zadeh本人出生于前苏联的 阿塞拜疆，也属于亚洲人。
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1965年,控制论专家扎德(L.A.Zadeh,Univ.of California at Berkeley
USA) 的“Fuzzy sets”(Information and Control)是模糊数学诞生
的标志。
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Zadeh教授1921年生于苏联巴库(阿塞拜疆)，1942年毕业于伊朗德黑 兰大学电机工程系,1946年获美国麻省理工学院电机工程系硕士学 位，同年又获得美国哥伦比亚大学电机工程系博士学位，而后在该校 任讲师。1950年任助理教授，1953年任副教授(此时他年仅33岁), 1957年任教授。从1959年起,他在加利福尼亚大学电机工程系任教 授。
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2005年8月，在清华召开的第十一届IFSA大会被授 予模糊数学领域的最高荣誉——Fuzzy Fellow称 号。这是第一个发展中国家的科学家在模糊数学领 域 获得该称 号。 川大数学在模糊数学领域是我国水平最高的。在理 论方面，刘应明教授等人就开始了模糊拓扑方面的 工作，并在“有点派”理论方面作出了奠基性的工 作。在其应用方面，李中夫教授则做了许多工作 (专家系统)，现在，我们主要工作是将模糊数学、 神经网络和遗传算法等软计算结合在一起。 目前,中国与美国,日本,西欧并列为模糊数学的国 际 四强 .
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1984年，国际模糊系统联合会 (IFSA,International fuzzy system association) 成立，并于1985年召开了首届年会。
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1992年，IEEE召开了第一届关于模糊系统的国际 会议(FUZZ---IEEE)，并决定以后每年举行一次。 1993年IEEE创办了专刊IEEE Transaction on Fuzzy Systems，当前，模糊理论和应用正向深度 和广度进一步发展，发展的速度越来越快，研究 成果大量涌现，已经成为世界各国高科技竞争的 重要领域之一。
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证明了决定邻属关系更本质属性的是集合论的“择 一原则”。由此，他提出了一种崭新的邻属结构— —重域系。 论文经蒲保明教授细心审阅核对后，在《四川大学 学报》上发表，随后其英文版在美国发表。该论文 立即在国际数学界引起了轰动，苏联《数学进 展》、伦敦数学会丛书(蓝皮书)、美国《数学评 论》等纷纷发表评论，认为这项工作解决了这个学 科中的重要问题，克服了发展的严重障碍，奠定了 不分明拓扑学(即模糊拓扑学)有点化流派的基础。
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扎德教授多年来致力于“计算机”与“大系统”的矛盾研 究，集中思考了计算机为什么不能象人脑那样进行灵 活的思维与判断问题。尽管计算机记忆超人，计算神 速，然而当其面对外延不分明的模糊状态时，却“一 筹莫展”。可是，人脑的思维，在其感知、辨识、推 理、决策以及抽象的过程中，对于接受、贮存、处理 模糊信息却完全可能。计算机为什么不能象人脑思维 那样处理模糊信息呢？
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u模糊性并不完全是消极的、没有价值的. 甚至可以这样 说，有时模糊性比精确性还要好. u例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长头发 戴宽边黑色眼镜的中年男人”. u尽管这里只提供了一个精确信息――男人，而其他信息 ――大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都 是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合 分析判断，就可以接到这个人. u模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个领 域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、 经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的应用.
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“常规数学方法的应用对于本质上是模糊系统的分析来 说是不协调的,它将引起理论和实际之间的很大差距.” 因此,必须寻找到一套研究和处理模糊性的数学方法。 这就是模糊数学产生的历史必然性。 模糊数学用精确的数学语言去描述模糊性现象，“它代 表了一种与基于概率论方法处理不确定性和不精确性 的传统不同的思想，……，不同于传统的新的方法论” 。它能够更好地反映客观存在的模糊性现象。因此， 它给描述模糊系统提供了有力的工具。
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在多变量、非线性、时变的大系统中，复杂性与精确性 形成了尖锐的矛盾。 扎德教授总结出这样一条互克性原理：“当系统的复杂性 日趋增长时，我们作出系统特性的精确然而有意义的描 述的能力将相应降低，直至达到这样一个阈值，一旦超 过它，精确性和有意义性将变成两个几乎互相排斥的特 性。” 即复杂程度越高,有意义的精确化能力便越低。复杂性意 味着因素众多,时变性大,其中某些因素及其变化是人们难 以精确掌握的,而且人们又常常不可能对全部因素和过程 都进行精确的考察,而只能抓住其中主要部分，忽略掉所 谓的次要部分。这样,在事实上就给对系统的描述带来了 模糊性。
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模糊现象
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精确
答案确定：要么是，要么不是 u f : A → {0,1} u 他是学生？他不是学生？
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模糊
答案不定：也许是，也许不是，也许介于之间 u μA : U → [0,1] u 他是成年人？他不是成年人？他大概是成年人？
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模糊现象比比皆是。人类自然语言中，大量存在 的是有丰富的内涵而无绝对度量标准的概念。诸 如“大”、“小”、“多”、“少”、“大 概”、“也许”和“可能”等词语，它们充斥于 人们的日常语言之中。 比如在健康状况一栏只能填“良好、健康”，至 于什么样的身体属于良好,什么样的属于健康,很 难确切地规定,实际上健康状况是一个综合性的定 性的评估，而且常有个人的主观判断。再如经常 听到议论某人“能干、大方、聪明、漂亮”,这些 人们语言中最常用的词汇更是很模糊的概念。
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例子，一个人到市场去买西红柿，其准则是： “西红柿越红越熟”，那么，当他看到一个非常 红的西红柿时，他马上就会认为这个西红柿非常 熟；而当他拿到一个不太红的西红柿时，他根据 其准则会认为这个西红柿可能还不太熟，尽管对 这一判断他可能还有所保留。 我们日常生活中使用的推理规则常常有正确的一 面，也有其相对的一面。即这些规则一般来讲是 正确的，但若将其绝对化，反而会出现谬误。
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模糊数学和图像识别
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是否具有良好的模糊识别的能力，是人和现代计 算机之间存在的很大区别
现代计算机对模糊性语言和信息的处理能力甚至 不及一个婴儿。例如，一个二、三岁的小孩能在 一堆苹果中迅速、准确地挑出最大的那个，而不 需作任何度量。这一点要计算机做，却非常困 难。人脑的思维方式不单纯是传统的数学思维方 式。人类智能的一个重要特点是其思维和行动伴 随着模糊性。人们用模糊的语言谈话，在模糊的 环境中对事物进行判断、推理和决策，高效地传 递着模糊的信息。这一切应归功于人脑对模糊性 的巨大驾驭能力。人们为了探索未来的电脑智能 机器人的雏形，模糊数学便应运而生了。
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90年代初，在Domain理论的拓扑结构方面，解决 了两个长期末决的Lawson－Mislove问题。这项成 果为高级程序语言设计提供了语义模型，解决了 函数运算导致不可计算函数的难题，堪称计算机 科学中的一项重大突破。
最重要的成果却是在模糊数学领域取得的。在他潜 心于经典拓扑学研究期间，国际上萌生了模糊数 学。随着科学与技术的进步，不仅在复杂的工程控 制与机器人工智能化中，而且在经济管理、军事指 挥等高层次决策中，对模糊信息的处理都显得日趋 重要。这一切都有赖于模糊数学理论的支持。