江苏省泰州市泰兴市2015届高三上学期期中考试数学试卷

2014-2015学年江苏省泰州市泰兴市高三（上）期
中数学试卷
一、填空题（每小题5分，共70分）
1．已知集合A={x|y=lg（2x﹣x2）}，B={y|y=2x，x＞0}，则
A∩B= ．
2．已知
，则
= ．
3．命题P：“若
，则a、b、c成等比数列”，则命题P的否命题是
（填“真”或“假”之一）命题．
4．如果x﹣1+yi，与i﹣3x是共轭复数（x、y是实数），则
x+y= ．
5．在等差数列{a n}中，a7=m，a14=n，则a28= ．
6．已知O、A、B三点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（0，3），且P在线段AB上，
=t
（0≤t≤1）则
•
的最大值为 ．
7．已知a n=
（n∈N*），设a m为数列{a n}的最大项，则m= ．
8．已知实数a≠0，函数
，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为 ．
9．函数
的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于 ．
10．已知AD是△ABC的中线，若∠A=120°，
，则
的最小值是 ．
11．如图，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l3与l2间的距离是2，正△ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，则△ABC的边长是 ．
12．将函数f（x）=2sin（ωx﹣
）（ω＞0）的图象向左平移
个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，
]上为增函数，则ω的最大值为 ．
13．定义f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2．若对任意的x∈[a，a+2]均有f（x+a）≥2f（x），则实数a的取值范围
为 ．
14．对任意的x＞0，总有 f（x）=a﹣x﹣|lgx|≤0，则a的取值范围
是 ．
二、解答题（本大题6小题，共90分）
15．设集合A={x|x2﹣（a+4）x+4a=0，a∈R}，B={x|x2﹣5x+4=0}．求（Ⅰ）若A∩B=A，求实数a的值；
（Ⅱ）求A∪B，A∩B．
16．已知函数f（x）=sin
cos
+
cos2
（1）将f（x）写成Asin（ωx+φ）+b的形式，并求其图象对称中心的横坐标；
（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x 的范围及此时函数f（x）的值域．
17．已知扇形AOB的半径等于1，∠AOB=120°，P是圆弧
上的一点．
（1）若∠AOP=30°，求
的值．
（2）若
，①求λ，μ满足的条件；②求λ2+μ2的取值范围．
18．为合理用电缓解电力紧张，某市将试行“峰谷电价”计费方法，在高峰用电时段，即居民户每日8时至22时，电价每千瓦时为0.56元，其余时段电价每千瓦时为0.28元．而目前没有实行“峰谷电价”的居民户电价为每千瓦时0.53元．若总用电量为S千瓦时，设高峰时段用电量为x 千瓦时．
（1）写出实行峰谷电价的电费y1=g1（x）及现行电价的电费
y2=g2（S）的函数解析式及电费总差额f（x）=y2﹣y1的解析式；（2）对于用电量按时均等的电器（在全天任何相同长的时间内，用电量相同），采用峰谷电价的计费方法后是否能省钱？说明你的理由．
19．已知数列{a n}、{b n}，其中，a1=
，数列{a n}的前n项和S n=n2a n（n∈N*），数列{b n}满足b1=2，
b n+1=2b n．
（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；
（2）是否存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有1+
恒成立？若存在，求出m的最小值；
（3）若数列{c n}满足c n=
，求数列{c n}的前n项和T n．
20．已知函数f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x（a，b不同时为零的常数），
导函数为f′（x）．
（1）当
时，若存在x∈[﹣3，﹣1]使得f′（x）＞0成立，求b的取值范围；（2）求证：函数y=f′（x）在（﹣1，0）内至少有一个零点；
（3）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣
3=0，关于x的方程
在[﹣1，t]（t＞﹣1）上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围．　
2014-2015学年江苏省泰州市泰兴市高三（上）期
中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题5分，共70分）
1．已知集合A={x|y=lg（2x﹣x2）}，B={y|y=2x，x＞0}，则A∩B=　（1，2）　．
考点： 交集及其运算．
专题： 计算题．
分析： 求出A中函数的定义域确定出A，求出B中函数的值域确定出B，找出A与B的交集即可．
解答： 解：由A中的函数y=lg（2x﹣x2），得到2x﹣x2＞0，即x（x﹣2）＜0，
解得：0＜x＜2，即A=（0，2），
由B中的函数y=2x，x＞0，得到y＞1，即B=（1，+∞），
则A∩B=（1，2）．
故答案为：（1，2）
点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．已知
，则
=　
　．
考点： 运用诱导公式化简求值．
专题： 计算题．
分析： 根据诱导公式可知
=sin（
﹣α﹣
），进而整理后，把sin（α+
）的值代入即可求得答案．
解答： 解：
=sin（
﹣α﹣
）=﹣sin（α+
）=﹣
故答案为：﹣
点评： 本题主要考查了运用诱导公式化简求值的问题．属基础题．　
3．命题P：“若
，则a、b、c成等比数列”，则命题P的否命题是　假　
（填“真”或“假”之一）命题．
考点： 命题的真假判断与应用．
专题： 计算题．
分析： 写出命题的否命题，然后判断否命题的真假即可．
解答： 解：命题P：“若
，则a、b、c成等比数列”，
命题P的否命题是：“若
，则a、b、c不成等比数列”．
否命题中，
，可以有ac=b2，a、b、c成等比数列，所以否命题不正确．
故答案为：假．
点评： 本题考查命题的真假的判断，四种命题的关系，考查基本知识的应用．
4．如果x﹣1+yi，与i﹣3x是共轭复数（x、y是实数），则x+y=　
　．
考点： 复数的基本概念．
专题： 数系的扩充和复数．
分析： 利用共轭复数的定义即可得出．
解答： 解：∵x﹣1+yi，与i﹣3x是共轭复数，
∴﹣3x=x﹣1，﹣y=1，
解得x=
，y=﹣1．
∴x+y=
．
故答案为：﹣
．
点评： 本题考查了共轭复数的定义，属于基础题．
5．在等差数列{a n}中，a7=m，a14=n，则a28=　3n﹣2m　．
考点： 等差数列的性质．
专题： 计算题；等差数列与等比数列．
分析： 由等差数列的性质可得a28=3a14﹣2a7，代入已知的值可求．
解答： 解：等差数列{a n}中，由性质可得：a28=a1+27d，
3a14﹣2a7=3（a1+13d）﹣2（a1+6d）=a1+27d，
∴a28=3a14﹣2a7，
∵a7=m，a14=n，
∴a28=3n﹣2m．
故答案为：3n﹣2m．
点评： 本题为等差数列性质的应用，熟练利用性质是解决问题的关键，属基础题．
6．已知O、A、B三点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（0，3），且P在线段AB上，
=t
（0≤t≤1）则
•
的最大值为　9　．
考点： 平面向量数量积的含义与物理意义．
专题： 计算题．
分析： 先利用响亮的三角形法则将
用
表达，再由数量积的坐标运算得到关于t的式子求最值即可．
解答： 解：
•
=
=
=
=
=（1﹣t）9
因为0≤t≤1，所以（1﹣t）9≤9，最大值为9，所以
•
的最大值为9
故答案为：9
点评： 本题考查向量的表示、数量积运算等知识，属基本运算运算的考查．
7．已知a n=
（n∈N*），设a m为数列{a n}的最大项，则m=　8　．
考点： 数列的函数特性．
专题： 函数的性质及应用；等差数列与等比数列．
分析： 把数列a n=
=1+
，根据单调性，项的符号判断最大项．
解答： 解：∵a n=
（n∈N*），
∴a n=
=1+
根据函数的单调性可判断：
数列{a n}在[1，7]，[8，+∞）单调递减，
∵在[1，7]上a n＜1，在[8，+∞）上a n＞1，
∴a8为最大项，
故答案为：8
点评： 本题考查了数列与函数的结合，根据单调性求解，属于中档题．
8．已知实数a≠0，函数
，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为　
　．
考点： 函数的值；分段函数的应用．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 对a分类讨论判断出1﹣a，1+a在分段函数的哪一段，代入求出函数值；解方程求出a．
解答： 解：当a＞0时，1﹣a＜1，1+a＞1
∴2（1﹣a）+a=﹣1﹣a﹣2a解得a=
舍去
当a＜0时，1﹣a＞1，1+a＜1
∴﹣1+a﹣2a=2+2a+a解得a=
故答案为
点评： 本题考查分段函数的函数值的求法：关键是判断出自变量所在的范围．
9．函数
的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等
于　4　．
考点： 正弦函数的图象；函数的零点与方程根的关系．
专题： 计算题．
分析：
的图象由奇函数
的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且对称点的横坐标之和为2
解答： 解：函数y1=
=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，当1＜x≤4时，y1≥
，
而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在
上是单调增且为正数函数，
y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在
上是单调减且为正数，
∴函数y2在x=
处取最大值为2≥
，
而函数y2在（1，2）、（3，4）上为负数与y1的图象没有交点，
所以两个函数图象在（1，4）上有两个交点（图中C、D），
根据它们有公共的对称中心（1，0），可得在区间（﹣2，1）上也有两个交点（图中A、B），
并且：x A+x D=x B+x C=2，故所求的横坐标之和为4，
故答案为：4．
点评： 本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查数形结合思想，发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y2=2sinπx 的单调性找出区间（1，4）上的交点个数是本题的难点所在．
10．已知AD是△ABC的中线，若∠A=120°，
，则
的最小值是　1　．
考点： 向量在几何中的应用．
专题： 压轴题；平面向量及应用．
分析： 利用向量的数量积公式，及三角形中线向量的表示，利用基本不等式，即可求
的最小值．
解答： 解：∵
=|
||
|cosA，∠A=120°，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
∴|
||
|=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
∵
=
（
+
），
∴|
|2=
（|
|2+|
|2+2
•
）=
（|
|2+|
|2﹣4）
≥
（2|
||
|﹣4）=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
∴
min=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
故答案为：1．
点评： 本题考查向量的数量积，基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．
11．如图，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l3与l2间的距离是2，正△ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，则△ABC的边长是　
　．
考点： 两点间的距离公式．
专题： 计算题；空间位置关系与距离．
分析： 过A，C作AE，CF垂直于L2，点E，F是垂足，将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L2于点G，由此可得结论．
解答： 解：如图，过A，C作AE，CF垂直于L2，点E，F是垂足，
将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L2于点G．
由作图可知：∠DBG=60°，AD=CF=2．
在Rt△BDG中，∠BGD=30°．在Rt△AEG中，∠EAG=60°，AE=1，AG=2，DG=4．
∴BD=
在Rt△ABD中，AB=
=
故答案为：
点评： 本题考查平行线的性质，等腰三角形，直角三角形的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
12．（5分）（2015•德州一模）将函数f（x）=2sin（ωx﹣
）（ω＞0）的图象向左平移
个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，
]上为增函数，则ω的最大值为　2　．
考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
专题： 计算题．
分析： 函数
的图象向左平移
个单位，得到函数y=g（x）的表达式，然后利用在
上为增函数，说明
，利用周期公式，求出ω的不等式，得到ω的最大值．
解答： 解：函数
的图象向左平移
个单位，
得到函数y=g（x）=2sinωx，y=g（x）在
上为增函数，
所以
，即：ω≤2，所以ω的最大值为：2．
故答案为：2．
点评： 本题是基础题，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，注意函数的周期与单调增区间的关系，考查计算能力，常考题型，题目新颖．
13．定义f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2．若对任意的x∈[a，a+2]均有f（x+a）≥2f（x），则实数a的取值范围为　
　．
考点： 函数恒成立问题．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 利用函数奇偶性和单调性之间的关系，解不等式即可．
解答： 解：∵当x≥0时，f（x）=x2，
∴此时函数f（x）单调递增，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴函数f（x）在R上单调递增，
若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥2f（x）恒成立，
∵2f（x）=2x2=（
x）2=f（
x），
∴f（x+a）≥f（
x）恒成立，
则x+a≥
恒成立，
即a≥﹣x+
=
恒成立，
∵x∈[a，a+2]，
∴（
）max=
（a+2），
即a≥
（a+2），
解得a
，
即实数a的取值范围是故答案为
．
故答案为：
．
点评： 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及不等式恒成立问题，综合考查函数的性质，是中档题．
14．对任意的x＞0，总有 f（x）=a﹣x﹣|lgx|≤0，则a的取值范围
是　（﹣∞，lge﹣lglge]　．
考点： 函数恒成立问题．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 把不等式变形，然后分x≥1和0＜x＜1两种情况讨论，对于0＜x ＜1时，借助于导数求函数的最小值得答案．
解答： 解：由 f（x）=a﹣x﹣|lgx|≤0，得
a≤x+|lgx|．
当x≥1时，化为a≤x+lgx，知a≤1；
当0＜x＜1时，化为a≤x﹣lgx，
令g（x）=x﹣lgx，则
，
由
，得x=lge．
当x∈（0，lge）时，g′（x）＜0，
当x∈（lge，1）时，g′（x）＞0，
∴当x=lge时，g（x）有最小值为lge﹣lglge．
综上，a的取值范围是（﹣∞，lge﹣lglge]．
故答案为：（﹣∞，lge﹣lglge]．
点评： 本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了利用导数求函数的最值，是中档题．
二、解答题（本大题6小题，共90分）
15．设集合A={x|x2﹣（a+4）x+4a=0，a∈R}，B={x|x2﹣5x+4=0}．求（Ⅰ）若A∩B=A，求实数a的值；
（Ⅱ）求A∪B，A∩B．
考点： 交、并、补集的混合运算．
专题： 集合．
分析： 本题考察集合的运算中的交集和并集，先对集合A，B进行化简，然后按运算法则运算即可．
解答： 解：A={x|x=4，或x=a}，B={x|x=1，或x=4}．
（Ⅰ）∵A∩B=A，
∴A⊆B，由此得，a=1或a=4
（Ⅱ）若a=1，则A=B={1，4}，
∴A∪B={1，4}，A∩B={1，4}；
若a=4，则A={4}，
∴A∪B={1，4}，A∩B={4}；
若a≠1、4，则A={4，a}，
∴A∪B={1，4，a}，A∩B={4}．
点评： 本题考查集合运算，属于基础题．注意元素的互异性和确定性．
16．已知函数f（x）=sin
cos
+
cos2
（1）将f（x）写成Asin（ωx+φ）+b的形式，并求其图象对称中心的横坐标；
（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x 的范围及此时函数f（x）的值域．
考点： 余弦定理；两角和与差的正弦函数．
专题： 解三角形．
分析： （1）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，令正弦函数为0求出x的值，即为其图象对称中心的横坐标；
（2）利用余弦定理表示出cosx，把b2=ac代入并利用基本不等式变形，求出cosx的范围，确定出x的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的值域确定出f（x）的值域即可．
解答： 解：（1）f（x）=
sin
+
（1+cos
）=
sin
+
cos
+
=sin（
+
）+
，
由sin（
+
）=0，得
+
=kπ（k∈Z），
解得：x=
，k∈Z，
则对称中心的横坐标为
（k∈Z）；
（2）由已知b2=ac及余弦定理，得：cosx=
=
≥
=
，
∴
≤cosx＜1，即0＜x≤
，
∴
＜
+
≤
，
∴
＜sin（
+
）+
≤1+
，即f（x）的值域为（
，1+
]，
综上所述，x∈（0，
]，f（x）值域为（
，1+
]．
点评： 此题考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
17．已知扇形AOB的半径等于1，∠AOB=120°，P是圆弧
上的一点．
（1）若∠AOP=30°，求
的值．
（2）若
，①求λ，μ满足的条件；②求λ2+μ2的取值范围．
考点： 余弦定理；平面向量数量积的运算．
专题： 解三角形．
分析： （1）由题意确定出∠BOP为直角，即OP与OB垂直，得到数量积为0，原式变形后，利用平面向量数量积运算法则计算即可得到结果；（2）①利用余弦定理列出关系式，利用平面向量的数量积运算法则及特殊角的三角函数值化简，整理即可得到λ，μ满足的条件；②利用基本不等式求出λ2+μ2的取值范围即可．
解答： 解：（1）∵∠AOP=30°，∠AOB=120°，
∴∠BOP=∠AOB﹣∠AOP=120°﹣30°=90°，
∴
•
=0，
则
•
=
•（
﹣
）=
•
﹣
•
=﹣cos30°=﹣
；
（2）①由余弦定理，知
=cos60°=
，
整理得：
=
，即λ2+μ2=1+λμ，
则λ，μ满足的条件为
；
②由λ≥0，μ≥0，知λ2+μ2=1+λμ≥1（当且仅当λ=0或μ=0时
取“=”），
由λ2+μ2=1+λμ≤1+
，得到λ2+μ2≤2（当且仅当λ=μ时取“=”），
则λ2+μ2的取值范围为[1，2]．
点评： 此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
18．为合理用电缓解电力紧张，某市将试行“峰谷电价”计费方法，在高峰用电时段，即居民户每日8时至22时，电价每千瓦时为0.56元，其余时段电价每千瓦时为0.28元．而目前没有实行“峰谷电价”的居民户电价为每千瓦时0.53元．若总用电量为S千瓦时，设高峰时段用电量为x 千瓦时．
（1）写出实行峰谷电价的电费y1=g1（x）及现行电价的电费
y2=g2（S）的函数解析式及电费总差额f（x）=y2﹣y1的解析式；（2）对于用电量按时均等的电器（在全天任何相同长的时间内，用电量相同），采用峰谷电价的计费方法后是否能省钱？说明你的理由．考点： 函数模型的选择与应用．
专题： 应用题．
分析： （1）总用电量为S千瓦时，高锋时段用电量为x千瓦时，则低谷时段用电量为（S﹣x）千瓦时；实行峰谷电价的电费y1=0.56x+（S﹣x）×0.28；现行电价的电费y2=0.53S；作差比较y2﹣y1即可．
（2）省钱时y2﹣y1＞0，可得
＜
；对于用电量按时均等的电器，高峰用电时段的时间与总时间的比为
．所以能省钱．
解答： 解：（1）若总用电量为S千瓦时，设高锋时段用电量为x千瓦时，则低谷时段用电量为（S﹣x）千瓦时；
实行峰谷电价的电费为y1=0.56x+（S﹣x）×0.28=0.28S+0.28x；
现行电价的电费为y2=0.53S；
电费总差额f（x）=y2﹣y1=0.25S﹣0.28x，（0≤x≤S）
（2）可以省钱，因为f（x）＞0，即0.25S﹣0.28x＞0，∴
＜
．
对于用电量按时均等的电器，高峰用电时段的时间与总时间的比为
．
所以用电量按时均等的电器采用峰谷电价的计费方法后能省钱．
点评： 本题考查了与实际生活相关的峰谷用电问题，并通过作差来比
较函数值的大小，属于基础题目．
19．已知数列{a n}、{b n}，其中，a1=
，数列{a n}的前n项和S n=n2a n（n∈N*），数列{b n}满足b1=2，
b n+1=2b n．
（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；
（2）是否存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有1+
恒成立？若存在，求出m的最小值；
（3）若数列{c n}满足c n=
，求数列{c n}的前n项和T n．
考点： 数列与不等式的综合．
专题： 综合题；不等式的解法及应用．
分析： （1）根据题设条件用累乘法能够求出数列{a n}的通项公式．b1=2，b n+1=2b n可知{b n}是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出{b n}的通项公式．
（2）b n=2n．假设存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有1+
恒成立，由此能导出m的最小值．
（3）当n是奇数时，
，当n是偶数时，
，由此能推导出当n是偶数时，求数列{c n}的前n项和T n．
解答： 解：（1）因为
．
当n≥2时，
，
所以
所以（n+1）a n=（n﹣1）a n﹣1，即
． …2分
又
，
所以
=
=
．…4分
当n=1时，上式成立，
因为b1=2，b n+1=2b n，所以{b n}是首项为2，公比为2的等比数列，故
．…6分
（2）由（1）知
，则
．
假设存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有
恒成立，即
恒成立，由
，解得m≥16．…9分
所以存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有
恒成立，
此时，m的最小值为16．…11分
（3）当n为奇数时，
=[2+4+…+（n+1）]+（22+24+…+2n﹣1）=
=
；…13分
当n为偶数时，
=（2+4+…+n）+（22+24+…+2n）
=
=
．…15分
因此
． …16分．
点评： 本题是考查数列知识的综合运用题，难度较大，在解题时要认真审题，仔细作答．
20．已知函数f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x（a，b不同时为零的常数），导函数为f′（x）．
（1）当
时，若存在x∈[﹣3，﹣1]使得f′（x）＞0成立，求b的取值范围；（2）求证：函数y=f′（x）在（﹣1，0）内至少有一个零点；
（3）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣
3=0，关于x的方程
在[﹣1，t]（t＞﹣1）上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围．考点： 利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．
专题： 计算题；证明题；压轴题；转化思想．
分析： （1）当
时，f′（x）=
=
，由二次函数的性质，分类讨论可得答案；
（2）因为f′（x）=3ax2+2bx+（b﹣a），所以f′（0）=b﹣a，f'（﹣1）=2a﹣b，
．再由a，b不同时为零，所以
，故结论成立；
（3）将“关于x的方程
在[﹣1，t]（t＞﹣1）上有且只有一个实数根”转化为“函数f（x）与
的交点”问题解决，先求函数f（x）因为f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x为奇函数，可解得b=0，所以f（x）=ax3﹣ax，再由“f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0”解得a，从而得到f（x），再求导，由
，知f（x
上是増函数，在
上是减函数，明确函数的变化规律，再研究两个函数的相对位置求解．解答： 解：（1）当
时，f′（x）=
=
，
其对称轴为直线x=﹣b，当
，解得
，
当
，b无解，
所以b的取值范围为
；（4分）
（2）因为f′（x）=3ax2+2bx+（b﹣a），
∴f′（0）=b﹣a，f'（﹣1）=2a﹣b，
．
由于a，b不同时为零，所以
，故结论成立．
（3）因为f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x为奇函数，所以b=0，所以f（x）=ax3﹣ax，
又f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0．
所以a=1，即f（x）=x3﹣x．因为
所以f（x）在
上是増函数，
在
上是减函数，由f（x）=0解得x=±1，x=0，
如图所示，当
时，
，即
，解得
；
当
时，
或
，解得
；
当
时，
或
，即
，解得
；
当
时，
或
或
，故
．
当
时，
或
，解可得t=
，
当
时，
，无解．
所以t的取值范围是
或
或t=
．
点评： 本题主要考查利用导数法研究函数的单调性，主要涉及了函数的奇偶性，函数的图象和性质以及方程的根转化为函数图象的交点解决等问题．。