2018版考前三个月高考数学理科(全国通用)总复习文档：中档大题规范练5

5.坐标系与参数方程
1.(2017·江苏)在平面直角坐标系中xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝－8＋t ，y ＝t
2
(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝2s 2
，
y ＝22s
(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离
的最小值.
解 直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0， 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2，
22s )，
从而点P 到直线的距离
d ＝|2s 2－42s ＋8|5＝|2(s －2)2＋4|5
，
当s ＝2时，d min ＝
45
5
. 因此当点P 的坐标为(4，4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值45
5
.
2.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋t cos α，
y ＝2＋t sin α(t 为参数)，在极坐标系(与直
角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝6sin θ.
(1)求圆C 的直角坐标方程；
(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(1，2)，求||P A ＋||PB 的最小值. 解 (1)由ρ＝6sin θ，得ρ2＝6ρsin θ， 化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝6y ， 即x 2＋(y －3)2＝9.
(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，
得t 2＋2(cos α－sin α)t －7＝0， 由Δ＝(2cos α－2sin α)2＋4×7>0， 故可设t 1，t 2是上述方程的两根，
所以⎩⎨⎧
t 1＋t 2＝－2()cos α－sin α，t 1·
t 2＝－7，
又直线l 过点()1，2， 故结合t 的几何意义得
||P A ＋||PB ＝||t 1||＋t 2||＝t 1－t 2＝()t 1＋t 22－4t 1t 2
＝4()cos α－sin α2＋28＝32－4sin 2α≥32－4＝27， 所以||P A ＋||PB 的最小值为27.
3.在直角坐标系xOy 中，已知点P ()0，3，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝2cos φ，
y ＝2sin φ
(φ为参数).
以原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ＝3
2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6.
(1)判断点P 与直线l 的位置关系并说明理由； (2)设直线l 与曲线C 的两个交点分别为A ， B ，求1||P A ＋1
||
PB 的值. 解 (1)点P 在直线上，理由如下： 直线l ：ρ＝3
2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6，
即2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π
6＝3， 即3ρcos θ＋ρsin θ＝3，
所以直线的直角坐标方程为3x ＋y ＝3，易知点P 在直线上.
(2)由题意，可得直线l 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝－12
t ，
y ＝
3＋32
t ，
(t 为参数)，
曲线C 的普通方程为x 22＋y 2
4
＝1，
将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程， 得2⎝⎛⎭⎫－12t 2＋⎝⎛⎭⎫3＋3
2t 2＝4， ∴5t 2＋12t －4＝0，两根为t 1， t 2， ∴t 1＋t 2＝－125，t 1t 2＝－4
5＜0，
故t 1与t 2异号， ∴||P A ＋||PB ＝||t 1－t 2＝
()t 1＋t 22－4t 1t 2＝
414
5
， ∴||P A ||PB ＝|t 1||t 2|＝－t 1t 2＝4
5
，
∴
1||P A ＋1
||PB ＝||P A ＋||PB ||P A ||
PB ＝14. 4.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋2cos φ，
y ＝2sin φ(φ为参数).以原点O 为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；
(2)已知曲线C 3的极坐标方程为θ＝α(0＜α＜π，ρ∈R )，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ， B 均异于原点O ，且||AB ＝42，求α的值.
解 (1)由⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ
消去参数φ可得C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.
∵ρ＝4sin θ， ∴ρ2＝4ρsin θ，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 得曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4. (2)由(1)得曲线C 1：(x －2)2＋y 2＝4， 其极坐标方程为ρ＝4cos θ， 由题意设A (ρ1，α)， B (ρ2，α)， 则||AB ＝||ρ1－ρ2＝4||sin α－cos α
＝42⎪⎪⎪
⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝42， ∴ sin ⎝⎛⎭⎫α－π
4＝±1， ∴ α－π4＝π
2＋k π(k ∈Z )，
又 0＜α＜π， ∴ α＝3π4
.
5.已知曲线C 1：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋cos θ，
y ＝sin θ(θ为参数)，
C 2
：⎩⎨
⎧
x ＝－32t ，
y ＝233＋t 2
(t 为参数).
(1)曲线C 1，C 2的交点为A ，B ，求||AB ；
(2)以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，过极点的直线l 1与曲线C 1交于O ， C 两点，与直线ρsin θ＝2交于点D ，求
||
OC ||
OD 的最大值. 解 (1)方法一 曲线C 1：(x －1)2＋y 2＝1， 将C 2的参数方程代入，得⎝
⎛⎭⎫－
32t －12＋⎝⎛⎭
⎫233＋t 22＝1，
化简得，t 2＋533t ＋4
3＝0，
所以||AB ＝||t 1－t 2＝
()t 1＋t 22－4t 1t 2＝
3.
方法二 曲线C 2的直角坐标方程为y ＝－
33x ＋23
3
， 过点()2，0， C 1过点()2，0，不妨令A ()2，0， 则∠OBA ＝90°， ∠OAB ＝30°， 所以||AB ＝2×
3
2
＝ 3. (2)C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ， 令l 1的极角为α，
则||OD ＝ρ1＝2
sin α
，||OC ＝ρ2＝2cos α，
||OC ||
OD ＝sin αcos α＝12sin 2α≤1
2，
当α＝π4时取得最大值1
2
.
6.(2017·四川大联盟三诊)已知α∈[)0，π，在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)；在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 2的极坐标方程是ρcos ()θ－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π
6. (1)求证：l 1⊥l 2；
(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π
3， P 为直线l 1， l 2的交点，求||OP ·||AP 的最大值. (1)证明 易知直线l 1的普通方程为x sin α－y cos α＝0. 又ρcos ()θ－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π
6可变形为 ρcos θcos α＋ρsin θsin α ＝2sin ⎝⎛⎭
⎫α＋π
6，
即直线l 2的直角坐标方程为 x cos α＋y sin α－2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π
6＝0. 因为sin α·cos α＋()－cos αsin α＝0， 根据两直线垂直的条件可知， l 1⊥l 2. (2)解 当ρ＝2， θ＝π
3
时，
ρcos ()θ－α＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6， 所以点A ⎝⎛⎭⎫2，π3在直线ρcos ()θ－α＝2sin ⎝⎛⎭
⎫α＋π
6上. 设点P 到直线OA 的距离为d ，由l 1⊥l 2可知， d 的最大值为
||
OA 2
＝1.
于是||OP ·
||AP ＝d ·||OA ＝2d ≤2， 所以||OP ·
||AP 的最大值为2.。