2011中考数学压轴题特训详解

中考数学压轴题精选精析
25．（2010广东广州，25，14分）如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为
（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y
＝－
1
2
x ＋b 交折线OAB 于点E ． （1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式； （2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形OA 1B 1C 1，
试探究OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.
【分析】（1）要表示出△ODE 的面积，要分两种情况讨论，①如果点E 在OA 边上，只需求出这个三角形的底边OE 长（E 点横坐标）和高（D 点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E 在AB 边上，这时△ODE 的面积可用长方形OABC 的面积减去△OCD 、△OAE 、△BDE 的面积；
（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA 边上的线段长度是否变化．
【答案】（1）由题意得B （3，1）．
若直线经过点A （3，0）时，则b ＝3
2 若直线经过点B （3，1）时，则b ＝5
2
若直线经过点C （0，1）时，则b ＝1
①若直线与折线OAB 的交点在OA 上时，即1＜b ≤
3
2
，如图25-a ，
此时E （2b ，0）
∴S ＝
12OE ·CO ＝12
³2b ³1＝b ②若直线与折线OAB 的交点在BA 上时，即
32＜b ＜5
2
，如图2 图1
D
E
x
y
C
B A
O
C D
B
A
E O
x
y
此时E （3，32
b -
），D （2b －2，1） ∴S ＝S 矩－(S △OCD ＋S △OAE ＋S △DBE )
＝ 3－[
12(2b －1)×1＋12×(5－2b )²(52b -)＋12³3(32b -)]＝252
b b - ∴2312
535222
b b S b b b ⎧
<≤⎪⎪=⎨⎪-<<
⎪⎩
（2）如图3，设O 1A 1与CB 相交于点M ，OA 与C 1B 1相交于点N ，则矩形OA 1B 1C 1与
矩形OABC 的重叠部分的面积即为四边形DNEM 的面积。

本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！
由题意知，DM ∥NE ，DN ∥ME ，∴四边形DNEM 为平行四边形 根据轴对称知，∠MED ＝∠NED
又∠MDE ＝∠NED ，∴∠MED ＝∠MDE ，∴MD ＝ME ，∴平行四边形DNEM 为菱形． 过点D 作DH ⊥OA ，垂足为H ， 由题易知，tan ∠DEN ＝
1
2
，DH ＝1，∴HE ＝2， 设菱形DNEM 的边长为a ，
则在Rt △DHM 中，由勾股定理知：222(2)1a a =-+，∴54
a = ∴S 四边形DNEM ＝NE ²DH ＝
54
∴矩形OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为
54
． 【涉及知识点】轴对称 四边形 勾股定理
【点评】本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．
【推荐指数】★★★★★
图3
H
N M
C 1
A 1
B 1
O 1
D
E
x
y C
B
A O
D
E
x
y
C B A
O 图2
（10浙江嘉兴）24．如图，已知抛物线y ＝－12
x 2
＋x ＋4交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于
点B ．
（1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式； （2）设P （x ，y ）（x ＞0）是直线y ＝x 上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作正方形PEQF ，若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值．
（10重庆潼南）26.（12分）如图, 已知抛物线c bx x y ++=
2
2
1与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，-1）. （1）求抛物线的解析式；
（2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最
大时，求点D 的坐标；
（3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，
若不存在，说明理由.
A
B
C
E
D
x
y o
题图26A
B
C
x
y o
备用图
（10重庆潼南）26. 解：（1）∵二次函数c bx x y ++=2
2
1的图像经过点A （2，0）C(0,－1)
∴⎩⎨
⎧-==++1
22c c b
解得： b =－2
1
c =－1-------------------2分
∴二次函数的解析式为12
1
212--=x x y --------3分
（2）设点D 的坐标为（m ，0） （0＜m ＜2） ∴ OD=m ∴AD=2-m 由△ADE ∽△AOC 得，OC
DE AO AD = --------------4分 ∴
122DE
m =- ∴DE=2
2m ------------------------------------5分
∴△CDE 的面积=21³22m
-³m
=2
42m
m +-
=41)1(412+--m 当m =1时，△CDE 的面积最大
∴点D 的坐标为（1，0）--------------------------8分 （3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为12
1
212--=
x x y 设y=0则12
1
2102--=
x x 解得：x 1=2 x 2=－1 ∴点B 的坐标为（－1，0） C （0，－1）
设直线BC 的解析式为：y =kx ＋b
∴ ⎩
⎨⎧-==+-10b b k 解得：k =-1 b =-1
∴直线BC 的解析式为: y =－x －1
在Rt △AOC 中，∠AOC=900
OA=2 OC=1 由勾股定理得：AC=5
∵点B(－1,0) 点C （0，－1）
∴OB=OC ∠BCO=450
①当以点C 为顶点且PC=AC=5时， 设P(k, －k －1)
过点P 作PH⊥y 轴于H
∴∠HCP=∠BCO=450
CH=PH=∣k ∣ 在Rt △PCH 中
k 2
+k 2
=
()2
5 解得k 1
=
210， k 2=－2
10 ∴P 1（210，－1210-） P 2（－210，
12
10
-）---10分
②以A 为顶点，即AC=AP=5 设P(k , －k －1)
过点P 作PG ⊥x 轴于G
AG=∣2－k ∣ GP=∣－k －1∣
在Rt △APG 中 AG 2＋PG 2=AP 2
（2－k )2+(－k －1)2
=5 解得：k 1=1,k 2=0(舍)
∴P 3(1, －2) ----------------------------------11分 ③以P 为顶点，PC=AP 设P(k , －k －1) 过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q PL ⊥x 轴于点L ∴L(k ,0)
∴△QPC 为等腰直角三角形 PQ=CQ=k 由勾股定理知
CP=PA=2k
∴AL=∣k -2∣, PL=｜－k －1｜ 在Rt △PLA 中
(2k)2
=(k －2)2
＋(k ＋1)2
解得：k =
25∴P 4(25,－2
7
) ------------------------12分 综上所述： 存在四个点：P 1（210，－12
10
-）
P 2（-210，12
10
-） P 3(1, －2) P 4(25,－27)
（10四川宜宾）24．(本题满分l2分)将直角边长为6的等腰Rt △AOC 放在如图所示的平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点C 、A 分别在x 、y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点A 、C 及点B (–3，0)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P 是线段BC 上一动点，过点P 作AB 的平行线交AC 于点E ，连接AP ，当 △APE 的面积最大时，求点P 的坐标；
(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G ，使△AGC 的面积与（2）中△APE 的最 大面积相等?若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．
y A
（10浙江宁波）26、如图1、在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，□ABCD 的顶点A 的坐标为（－2，0），点D 的坐标为（0，32），点B 在x 轴的正半轴上，点E 为线段AD 的中点，过点E 的直线l 与x 轴交于点F ，与射线DC 交于点G 。

（1）求DCB ∠的度数;
（2）连结OE ，以OE 所在直线为对称轴，△OEF 经轴对称变换后得到△F OE '，记直线F E '
与射线DC 的交点为H 。

①如图2，当点G 在点H 的左侧时，求证：△DEG∽△DHE;
②若△EHG 的面积为33，请直接写出点F 的坐标。

25、解：（1）︒60
（2）（2，32） （3）①略
②过点E 作EM ⊥直线CD 于点M ∵CD ∥AB
∴︒=∠=∠60DAB EDM
∴32
3
260sin =⨯=︒⋅=DE Em
∵3332
1
21=⋅⋅=⋅⋅=∆GH ME GH S EGH
∴6=GH
∵△DHE ∽△DEG
∴
DE
DH DG DE =即DH DG DE ⋅=2
当点H 在点G 的右侧时，设x DG =，6+=x DH ∴)6(4+=x x
解：11321331-=++-=x
∴点F 的坐标为（113+-，0）
当点H 在点Ｇ的左侧时，设x DG =，6-=x DH ∴)6(4-=x x
y x C D A O B E
G F （图1） x
C
D A O B
E G H
F F ' y （图2）
x
C
D
A
O B
E
y
（图3）
x C
D A
O B
E y （图3）
Ｍ
解：1331+=x ，1331-=x （舍） ∵△ＤＥＧ≌△ＡＥＦ ∴133+==DG AF
∵5132133+=++=+=AF AO OF ∴点Ｆ的坐标为（513--，0）
综上可知，点Ｆ的坐标有两个，分别是1F （113+-，0），2F （513--，0）
（10江苏南通）28．（本小题满分14分）已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 经过A （－4，3）、B （2，0）两点，当x =3和x =－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C （0，－2）的直线l 与 x 轴平行，O 为坐标原点．
（1）求直线AB 和这条抛物线的解析式；
（2）以A 为圆心，AO 为半径的圆记为⊙A ，判断直线l 与⊙A 的位置关系，并说明理由； （3）设直线AB 上的点D 的横坐标为－1，P （m ，n ）是抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 上的动点，
当
△PDO 的周长最小时，求四边形CODP 的面积．
（10浙江义乌）24．如图1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O （0，0）、A （2，0）、B （6，
3）．
（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；
（2）将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移，
分别交抛物线于点O 1、A 1、C 1、B 1，得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1．设梯形O 1A 1B 1C 1的面积为S ，A 1、 B 1的坐标分别为 (x 1，y 1)、(x 2，y 2)．用含S 的代数式表示2x －1x ，并求出当S =36时点A 1的坐标；
（3）在图1中，设点D 坐标为(1，3)，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度
沿着线段BC 运动，动点Q 从点D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动．P 、Q 两点同时出发，当点Q 到达点M 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 两点的运动时间为t ，是否存在某一时刻t ，使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴．．．围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．
－1 y
x O （第28题） 1 2 3 4
－2
－4 －3 3 －1
－2 －3 －4 4 1 2
（10浙江义乌）24．解：（1）对称轴：直线1x =……………………………………………………..…
1分
解析式：21184y x x =-或211
(1)88
y x =--……………………………….2分
顶点坐标：M （1，1
8
-）……….…………………………………………..3分
（2）由题意得 213y y -=
222122111111
8484
y y x x x x -=
--+=3……………………………………..1分 得：212111
()[()]384
x x x x -+-=①…………….………………….……2分
12122(11)3()62x x s x x -+-⨯3==+-
得：1223
s
x x +=+ ②….………………………………………..………..3分
把②代入①并整理得：2172
x x s -=(S ＞0) (事实上，更确切为S ＞66)4
分
当36s =时，2121142x x x x +=⎧⎨
-=⎩ 解得：126
8
x x =⎧⎨=⎩(注：S ＞0或S ＞66不写
不扣
分) 把16x =代入抛物线解析式得13y = ∴点A 1（6，3） (5)
分
（3）存在………………………………………………………………….…..……1分
解法一：易知直线AB 的解析式为33
42
y x =-，可得直线AB 与对称轴的
交点E 的坐标为31,4⎛⎫
- ⎪⎝⎭
∴BD =5，DE =15
4
，DP =5－t ，DQ = t
当PQ ∥AB 时，DQ DP DE DB
=
51554
t t -=
得 15
7t =………2分 下面分两种情况讨论: 设直线PQ 与直线AB 、x 轴的交点分别为点F 、G
图2 O 1 A 1
O y x
B 1
C 1 D
M C B A O y x
图1
D
M C
B A O y x E P Q F G
①当0<15
7
t <
时，如图1-1 ∵△FQE ∽△FAG ∴∠FGA ＝∠FEQ ∴∠DPQ ＝∠DEB 易得△DPQ ∽△DEB ∴
DQ DP
DB DE
=
∴515
54
t t -= 得201577t =>
∴20
7t =(舍去)…………………………3分
② 当
157<1
8
t <3时，如图1-2 ∵△FQE ∽△FAG ∴∠FAG ＝∠FQE
∵∠DQP ＝∠FQE ∠FAG ＝∠EBD
∴∠DQP ＝∠DBE 易得△DPQ ∽△DEB ∴DQ DP
DB DE
=
∴515
54t t -=， ∴20
7t =
∴当20
7
t =秒时，使直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、
直线AB 、抛物线的对称轴围成的三角形相似………………………………4分
(注:未求出15
7
t =能得到正确答案不扣分)
解法二：可将284x x y =-向左平移一个单位得到21
88
x y =-,再用解法一
类似的方法可求得
2172x x S ''-= , 1(5,3)A ', 20
7t =
∴2172x x S -= 1(6,3)A , 20
7
t =.
（10安徽省卷）23.如图，已知△ABC ∽△111C B A ，相似比为k （1>k ），且△ABC 的三边
长分别为a 、b 、c （c b a >>），△111C B A 的三边长分别为1a 、1b 、1c 。

⑴若1a c =，求证：kc a =；
⑵若1a c =，试给出符合条件的一对△ABC 和△111C B A ，使得a 、b 、c 和1a 、1b 、1c 进都是正整数，并加以说明；
⑶若1a b =，1b c =，是否存在△ABC 和△111C B A 使得2=k ？请说明理由。

（10山东聊城）25．（本题满分12分）如图，已知抛
物线y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A （—1，0）、B （0，—3）两点，与x 轴交于另一点B ．
x
y
O x ＝1 第25题 A C B E N
M
D C B A O y
x
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）在抛物线的对称轴x ＝1上求一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，
并求出此时点M 的坐标；
（3）设点P 为抛物线的对称轴x ＝1上的一动点，求使∠PCB ＝90°的点P 的坐标．
（10四川眉山）26．如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半
轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线2
23
y x bx c =++经过B 点，且顶点在直线5
2
x =
上． （1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C
和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD
于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．
26．解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为225()32
y x m =-+ …（1分） ∴2254()32
m =⨯-+
∴16
m =- ……………………………………………………………（3分） ∴所求函数关系式为：22251210
()432633
y x x x =--=-+ …………（4分） （2）在Rt △ABO 中，OA =3，OB =4，
∴225AB OA OB =+=
∵四边形ABCD 是菱形
∴BC =CD =DA =AB =5 ……………………………………（5分）
E N M D C
B A O y
x ∴C 、D 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）． …………（6分）
当5x =时，2210
554433y =⨯-
⨯+=
当2x =时，2210
224033
y =⨯-⨯+=
∴点C 和点D 在所求抛物线上． …………………………（7分） （3）设直线CD 对应的函数关系式为y kx b =+，则
54
20k b k b +=⎧⎨
+=⎩
解得：48
,33k b ==-．
∴4833
y x =- ………（9分） ∵MN ∥y 轴，M 点的横坐标为t ，
∴N 点的横坐标也为t ．
则2210433M y t t =-+， 48
33
N y t =-，……………………（10分）
∴22248210214202734()3333333322N M l y y t t t t t t ⎛⎫
=-=---+=-+-
=--+ ⎪⎝⎭
∵203-<， ∴当7
2
t =时，32l =最大，
此时点M 的坐标为（72，1
2
）． ………………………………（12分）
（10浙江杭州）24. (本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y =
2
4
1x +1， 点C 的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物 线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q (x ，y )在抛物线上，点
P (t ，0)在x 轴上.
(1) 写出点M 的坐标；
(2) 当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时.
① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围； ② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1：2时，求t 的值.
24. (本小题满分12分)
(1) ∵OABC 是平行四边形，∴AB∥OC，且AB = OC = 4， ∵A，B 在抛物线上，y 轴是抛物线的对称轴， ∴ A，B 的横坐标分别是2和– 2，
（第24题）
（第24题）
代入y =2
4
1x +1得， A(2, 2 )，B(– 2，2)， ∴M (0
，
2)
，
---2分
(2) ① 过点Q 作QH ⊥ x 轴，设垂足为H ， 则HQ = y ，HP = x –t ， 由△HQP ∽△OMC ，得：
4
2t x y -=, 即： t = x – 2y , ∵ Q(x ,y ) 在y = 241x +1上， ∴ t = –22
1x + x –2. ---2分
当点P 与点C 重合时，梯形不存在，此时，t = – 4，解得x = 1±5, 当Q 与B 或A 重合时，四边形为平行四边形，此时，x = ± 2 ∴x 的取值范围是
x ≠ 1±5, 且x ≠± 2的所有实数.
---2分
② 分两种情况讨论：
1）当CM > PQ 时，则点P 在线段OC 上， ∵ CM ∥PQ ，CM = 2PQ ，
∴点M 纵坐标为点Q 纵坐标的2倍，即2 = 2(2
4
1x +1)，解得x = 0 ， ∴t =
–
202
1+ 0 –2
=
–2
.
--- 2分
2）当CM < PQ 时，则点P 在OC 的延长线上， ∵CM ∥PQ ，CM =
2
1
PQ ， ∴点Q 纵坐标为点M 纵坐标的2倍，即
2
4
1x +1=2⨯2，解得： x = ±32. ---2分
当x = –32时，得t = –2)32(2
1
–32–2 = –8 –32, 当x =
32时
，
得
t =
3
2–8.
---2分
（10浙江温州）24．(本题l4分)如图，在RtAABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B
作射线BBl ∥AC ．动点D 从点A 出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E 从点C 出发沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D 作DH ⊥AB 于H ，过点E 作EF 上AC 交射线BB 1于F ，G 是EF 中点，连结DG ．设点D 运动的时间为t 秒． (1)当t 为何值时，AD=AB ，并求出此时DE 的长度； (2)当△DEG 与△AC B 相似时，求t 的值；
(3)以DH 所在直线为对称轴，线段AC 经轴对称变换后的图形为A ′C ′． ①当t>
5
3
时，连结C ′C ，设四边形ACC ′A ′的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式； ②当线段A ′C ′与射线BB ，有公共点时，求t 的取值范围(写出答案即可)．
（10重庆）26．已知：如图（1），在平面直角坐标xOy 中，边长为2的等边△OAB 的顶点
B 在第一象限，顶点A 在x 轴的正半轴上．另一等腰△OCA 的顶点
C 在第四象限，OC ＝AC ，∠C ＝120°．现有两动点P 、Q 分别从A 、O 两点同时出发，点Q 以每秒1个单位的速度沿OC 向点C 运动，点P 以每秒3个单位的速度沿A →O →B 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.
（1）求在运动过程中形成的△OPQ 的面积S 与运动的时间t 之间的函数关系，并写出自变量t 的取值范围；
（2）在等边△OAB 的边上（点A 除外）存在点D ，使得△OCD 为等腰三角形，请直接写出
所有符合条件的点D 的坐标；
（3）如图（2），现有∠MCN ＝60°，其两边分别与OB 、AB 交于点M 、N ，连接MN ．将∠
MCN 绕着C 点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M 、N 始终在边OB 和边AB 上．试判断在这一过程中，△BMN 的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．
（10安徽芜湖）24．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO ，其
顶点为A （0，1）、B （－33，1）、C （－33，0）、O （0，0）．将此矩形沿着过E （－
3，1）、F （－43
3
，0）的直线EF 向右下方翻折，B 、C 的对应点分别为B ′、C ′．
（1）求折痕所在直线EF 的解析式；
（2）一抛物线经过B 、E 、B ′三点，求此二次函数解析式；
（3）能否在直线EF 上求一点P ，使得△PBC 周长最小？如能，求出点P 的坐标；若不能，说明理由． 解：
（10甘肃兰州）28.（本题满分11分）如图1，已知矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、
AB 分别在x 轴、y 轴上，且AD=2，AB=3；抛物线
c bx x y ++-=2
经过坐标原点O 和x 轴上另一点E （4,0）
（1）当x 取何值时，该抛物线的最大值是多少？
（2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速平
行移动，同时一动点P 也以相同的速度从点A 出发向B 匀速移动.设它们运动的时间为t 秒（0≤t ≤3），直线AB 与该抛物线的交点为N （如图2所示）.
① 当
411
=
t 时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由；
② 以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N 点的坐标；若无可能，请说明理由．
图1 第28题图 图2
28. （本题满分11分）
解：（1）因抛物线
c bx x y ++-=2
经过坐标原点O （0,0）和点E （4,0） 故可得c=0,b=4
所以抛物线的解析式为
x x y 42
+-=…………………………………………1分 由x x y 42
+-=()2
24
y x =--+
得当x =2时，该抛物线的最大值是4. …………………………………………2分
（2）① 点P 不在直线ME 上. 已知M 点的坐标为(2,4)，E 点的坐标为(4,0)， 设直线ME 的关系式为y=kx +b .
于是得⎩⎨⎧=+=+4204b k b k ，解得⎩⎨⎧=-=82b k
所以直线ME 的关系式为y=-2x +8. …………………………………………3分
由已知条件易得，当
411=
t 时，OA=AP=411，)
411
,411(P …………………4分
∵ P 点的坐标不满足直线ME 的关系式y=-2x +8.
∴ 当
411
=
t 时，点P 不在直线ME 上. ……………………………………5分
②以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积可能为5 ∵ 点A 在x 轴的非负半轴上，且N 在抛物线上， ∴ OA=AP=t .
∴ 点P ，N 的坐标分别为(t ,t )、(t ,-t 2
+4t ) …………………………………6分
∴ AN=-t 2
+4t (0≤t ≤3) ,
∴ AN -AP=(-t 2
+4 t )- t=-t 2
+3 t=t (3-t )≥0 , ∴ PN=-t 2
+3 t …………………………………………………………………………………7分 （ⅰ）当PN=0，即t=0或t =3时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形是三角形，此三角形
的高为AD ，∴ S=21DC ²AD=21
³3³2=3. （ⅱ）当PN ≠0时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形是四边形
∵ PN ∥CD ，AD ⊥CD ，
∴ S=21(CD+PN )²AD=21
[3+(-t 2+3 t )]³2=-t 2
+3 t +3…………………8分 当-t 2
+3 t +3=5时，解得t=1、2…………………………………………………9分 而1、2都在0≤t ≤3范围内，故以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积为5 综上所述，当t=1、2时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形面积为5， 当t=1时，此时N 点的坐标（1,3）………………………………………10分
1 -
2 1 A
x
y O B P
M
C Q E
D 当t=2时，此时N 点的坐标（2,4）………………………………………11分
说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合.（故在阅卷时没有（ⅰ），只有（ⅱ）也可以,不扣分）
（10江苏盐城）28．（本题满分12分）已知：函数y =ax 2
+x +1的图象与x 轴只有一个公共点． （1）求这个函数关系式；
（2）如图所示，设二次．．函数y =ax 2
+x +1图象的顶点为B ，与y 轴的交点为A ，P 为图象上的一点，若以线段PB 为直径的圆与直线AB 相切于点B ，求P 点的坐标；
（3）在(2)中，若圆与x 轴另一交点关于直线PB 的对称点为M ，试探索点M 是否在抛物
线y =ax 2
+x +1上，若在抛物线上，求出M 点的坐标；若不在，请说明理由．
28．解：（1）当a = 0时，y = x +1，图象与x 轴只有一个公共点………(1分)
当a ≠0时，△=1- 4a =0，a = 1
4 ，此时，图象与x 轴只有一个公共点．
∴函数的解析式为：y =x +1 或`y =14
x 2
+x +1……（3分）
（2）设P 为二次函数图象上的一点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ． ∵y =ax 2
+x +1 是二次函数，由（1）知该函数关系式为： y =1
4
x 2+x +1，则顶点为B （-2，0），图象与y 轴的交点 坐标为A （0，1）………（4分）
∵以PB 为直径的圆与直线AB 相切于点B ∴PB ⊥AB 则∠PBC =∠BAO ∴Rt △PCB ∽Rt △BOA
∴AO
BC OB
PC ，故PC =2BC ，……………………………………………………（5分）
设P 点的坐标为(x ，y )，∵∠ABO 是锐角，∠PBA 是直角，∴∠PBO 是钝角，∴x <-2 ∴BC =-2-x ，PC =-4-2x ，即y =-4-2x ， P 点的坐标为(x ，-4-2x )
∵点P 在二次函数y =14 x 2+x +1的图象上，∴-4-2x =14
x 2
+x +1…………………（6分）
解之得：x 1=-2，x 2=-10
∵x <-2 ∴x =-10，∴P 点的坐标为：(-10，16)…………………………………（7分）
（3）点M 不在抛物线y =ax 2
+x +1 上……………………………………………（8分） 由（2）知：C 为圆与x 轴的另一交点，连接CM ，CM 与直线PB 的交点为Q ，过点M 作
x 轴的垂线，垂足为D ，取CD 的中点E ，连接QE ，则CM ⊥PB ，且CQ =MQ
A
x y
O
B
∴QE ∥MD ，QE =1
2
MD ，QE ⊥CE
∵CM ⊥PB ，QE ⊥CE PC ⊥x 轴 ∴∠QCE =∠EQB =∠CPB
∴tan ∠QCE = tan ∠EQB = tan ∠CPB =1
2
CE =2QE =2³2BE =4BE ，又CB =8，故BE =85 ，QE =16
5
∴Q 点的坐标为(-185 ，16
5 )
可求得M 点的坐标为(145 ，32
5
)…………………………………………………（11分）
∵14(145)2+(145)+1 =14425 ≠325 ∴C 点关于直线PB 的对称点M 不在抛物线y =ax 2
+x +1 上……………………（12分） (其它解法，仿此得分)
（10浙江台州）24．如图，Rt△ABC 中，∠C =90°，BC =6，AC =8．点P ，Q 都是斜边AB 上的动点，点P 从B 向A 运动（不与点B 重合），点Q 从A 向B 运动，BP=AQ ．点D ，E 分别是点A ，B 以Q ，P 为对称中心的对称点， HQ ⊥AB 于Q ，交AC 于点H ．当点E 到达顶点A 时，
P ，Q 同时停止运动．设BP 的长为x ，△HDE 的面积为y ．
（1）求证：△DHQ ∽△ABC ；
（2）求y 关于x 的函数解析式并求y 的最大值； （3）当x 为何值时，△HDE 为等腰三角形？
24．（14分）（1）∵A 、D 关于点Q 成中心对称，HQ ⊥AB ，
∴C HQD ∠=∠=90°，HD =HA ， ∴A HDQ ∠=∠，…………………………………………………………………………3分 ∴△DHQ ∽△ABC ． ……………………………………………………………………1分
（2）①如图1，当5.20≤<x 时，
ED =x 410-，QH =x A AQ 4
3
tan =
∠， 此时x x x x y 4
15
2343)410(212+-=⨯-=． …………………………………………3分
当4
5=x 时，最大值3275
=y ．
（第24题） D
E
Q
B A
C
P
H
D H
Q
E
B
A C P （图1） H Q D E P
B A
C （图2）
②如图2，当55.2≤<x 时，
ED =104-x ，QH =x A AQ 4
3
tan =
∠， 此时x x x x y 4
15
2343)104(212-=⨯-=． …………………………………………2分
当5=x 时，最大值4
75
=y ．
∴y 与x 之间的函数解析式为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<+-=).
55.2(415
2
3),
5.20(415
2322x x x x x x y
y 的最大值是
4
75
．……………………………………………………………………1分 （3）①如图1，当5.20≤<x 时，
若DE =DH ，∵DH =AH =x A QA 4
5
cos =∠， DE =x 410-，
∴x 410-=x 45，21
40
=x ．
显然ED =EH ，HD =HE 不可能； ……………………………………………………1分 ②如图2，当55.2≤<x 时，
若DE =DH ，104-x =
x 45
，11
40=x ； …………………………………………1分 若HD =HE ，此时点D ，E 分别与点B ，A 重合，5=x ； ………………………1分
若ED =EH ，则△EDH ∽△HDA ，
∴AD DH DH ED =，x x x x 2454
5104=
-，103320=x ． ……………………………………1分 ∴当x 的值为103
320
,
5,1140,2140时，△HDE 是等腰三角形. （其他解法相应给分）
（10浙江金华）24. (本题12分)
如图，把含有30°角的三角板ABO 置入平面直角坐标系中，A ，B 两点坐标分别为 （3，0）和(0，33）.动点P 从A 点开始沿折线AO-OB-BA 运动，点P 在AO ，OB ，
BA 上运动的速度分别为1，3，2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l 从x 轴的位置
开 始以
3
3
(长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l ∥x 轴），且分别与OB ，
AB 交于E ，F 两点﹒设动点P 与动直线l 同时出发，运动时间为t 秒，当点P 沿折线
AO -OB -BA 运动一周时，直线l 和动点P 同时停止运动．
请解答下列问题：
（1）过A ，B 两点的直线解析式是 ▲ ；
（2）当t ﹦4时，点P 的坐标为 ▲ ；当t ﹦ ▲ ，点P 与点E 重合； （3）① 作点P 关于直线EF 的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F 为
菱形，则t 的值是多少？
② 当t ﹦2时，是否存在着点Q ，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q 的
坐标；
若不存在，请说明理由．
24．(本题12分)
解：（1）333+-=x y ；………4分 （2）（0,3），2
9
=
t ；……4分（各2分） （3）①当点P 在线段AO 上时，过F 作FG ⊥x 轴，G 为垂足（如图1
） ∵FG OE =,FP EP =,∠=EOP ∠=FGP 90° ∴△EOP ≌△FGP ，∴PG OP =﹒
又∵t FG OE 33
==,∠=A 60°,∴t FG AG 3160tan 0== 而t AP =，∴t OP -=3,t AG AP PG 32
=-=
由t t 3
23=-得 59
=t ； (1)
分
当点P 在线段OB 上时，形成的是三角形，不存在菱形； 当点P 在线段BA 上时，
过P 作PH ⊥EF ，PM ⊥OB ，H 、M 分别为垂足（如图2） ∵t OE 33=
,∴t BE 33
33-=,∴3360tan 0t BE EF -== ∴6
921t
EF EH MP -===， 又∵)6(2-=t BP
在Rt △BMP 中，MP BP =⋅060cos
B
F
A
P E O x
y l
(第24题图)
B
F A P E
O
x y G P′
(图1) B
F A
P
E O x
y M P′
H （图2)
即6921)6(2t t -=
⋅-，解得7
45
=t ．…………………………………………………1分
②存在﹒理由如下：
∵2=t ，∴33
2
=OE ,2=AP ，1=OP
将△BEP 绕点E 顺时针方向旋转90°，得到 △EC B '（如图3）
∵OB ⊥EF ，∴点B '在直线EF 上，
C 点坐标为（332，33
2
－1）
过F 作FQ ∥C B '，交EC 于点Q ,
则△FEQ ∽△EC B ' 由3=='=QE CE FE E B FE BE ，可得Q 的坐标为（－3
2
，33）………………………1分
根据对称性可得，Q 关于直线EF 的对称点Q '（－
3
2
，3）也符合条件．……1分
（10山东烟台）26、（本题满分14分）
如图，已知抛物线y=x 2
+bx-3a 过点A （1,0），B(0,-3),与x 轴交于另一点C 。

（1）求抛物线的解析式；
（2）若在第三象限的抛物线上存在点P ，使△PBC 为以点B 为直角顶点的直角三角形，求点P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q ，使以P,Q,B,C 为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。

（10江苏泰州）27.（12分）
y B
F
A
P
E O
x
Q′ B′ Q C
C 1
D 1 (图3)
y
x
1
2
345-1-2
-312345
-1
-2-3-4o
y
x
1
234
5-1-2
-31
2
3
45
-1
-2-3-4C
D
o
B
A
P
（10江苏泰州）28.（14分）如图，⊙O 是O 为圆心，半径为5的圆，直线y kx b =+交坐标轴于A 、B 两点。

(1)若OA=OB
①求k
②若b=4，点P 为直线AB 上一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别这C 、D ，若∠CPD=90°，求点P 的坐标； (2)若1
2
k =-，且直线y kx b =+分⊙O 的圆周为1：2两部分，求b.
（10江苏淮安）28．(本小题满分12分)
如题28(a)图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为(12，0)，点B 坐标为(6，8)，点C 为OB 的中点，点D 从点O 出发，沿△OAB 的三边按逆时针方向以2个单位长度／秒的速度运动一周．
(1)点C 坐标是( ， )，当点D 运动8.5秒时所在位置的坐标是
( ， )； (2)设点D 运动的时间为t 秒，试用含t 的代数式表示△OCD 的面积S,并指出t 为何值 时，S 最大；
(3)点E 在线段AB 上以同样速度由点A 向点B 运动，如题28(b)图，若点E 与点D 同时 出发，问在运动5秒钟内，以点D ，A ，E 为顶点的三角形何时与△OCD 相似(只考虑以 点A ．O 为对应顶点的情况)：
题28(a)图 题28(b)图
（10江苏扬州）28．（本题满分12分）在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，CD 是斜
边AB 上的高，点E 在斜边AB 上，过点E 作直线与△ABC 的直角边相交于点F ，设AE ＝x ，△AEF 的面积为y ． （1）求线段AD 的长；
（2）若EF ⊥AB ，当点E 在线段AB 上移动时，
①求y 与x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围） ②当x 取何值时，y 有最大值？并求其最大值；
（3）若F 在直角边AC 上（点F 与A 、C 两点均不重合），点E 在斜边AB 上移动，试问：是否存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线EF ，求出x 的值；若不存在直线EF ，请说明理由．
（10湖南衡阳）23．（11分）已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒．
（1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积；
（2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形
MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．
C
P
Q
B
A
M N C
P
Q
B
A
M
N
（10江苏苏州）29．(本题满分9分)如图，以A
为顶点的抛物线与y 轴交于点B ．已知A 、B 两点的坐标分别为(3，0)、(0，4)． (1)求抛物线的解析式；
(2)设M(m ，n)是抛物线上的一点(m 、n 为正整数)，且它位于对称轴的右侧．若以M 、B 、O 、A 为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M 的坐标；
(3)在(2)的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P ，PA 2+PB 2+PM 2
＞28是
否总成立?请说明理由．
1． 已知：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠，顶点(1,4)C -，与x 轴交于A 、B 两点，(1,0)A -。

（1） 求这条抛物线的解析式；
（2） 如图，以AB 为直径作圆，与抛物线交于点D ，与抛物线的对称轴交于点F ，依
次连接A 、D 、B 、E ，点Q 为线段AB 上一个动点（Q 与A 、B 两点不重合），过点
Q 作QF AE ⊥于F ，QG DB ⊥于G ，请判断
QF QG
BE AD
+是否为定值；若是，请求出此定值，若不是，请说明理由；
（3） 在（2）的条件下，若点H 是线段EQ 上一点，过点H 作MN EQ ⊥，MN 分别
与边AE 、BE 相交于M 、N ，（M 与A 、E 不重合，N 与E 、B 不重合），
请判断
QA EM
QB EN
=是否成立；若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由。

C P
Q
B A M N
（10云南楚雄）24、（本小题13分）已知：如图，⊙A 与y 轴交于C 、D 两点，圆心A 的坐标为（1，0），
⊙A 的半径为5，过点C 作⊙A 的切线交x 于
点B （－4，0）。

（1）求切线BC 的解析式；
（2）若点P 是第一象限内⊙A 上一点，过点P 作⊙A 的切线与直线BC 相交于点G ，且∠CGP=120°，求点G 的坐标；
（3）向左移动⊙A （圆心A 始终保持在x 上），与直线BC 交于E 、F ，在移动过程中是否存在点A ，使得△AEF 是直角三角形？若存在，求出点A 的坐标，若不存在，请说明理由。

（10上海）25．如图9，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°.半径为1的圆A 与边AB 相交于点D ，
与边AC 相交于点E ，连结DE 并延长，与线段BC 的延长线交于点P . （1）当∠B ＝30°时，连结AP ，若△AEP 与△BDP 相似，求CE 的长； （2）若CE=2，BD=BC ，求∠BPD 的正切值；
第26题图 A
B
x
G F M
H E
N
Q
O
D C y
（3）若1
tan 3
BPD ∠=，设CE=x ，△ABC 的周长为y ，求y 关于x 的函数关系式.
图9 图10(备用)
图11(备用)
（10辽宁丹东）26．如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ，点H 的坐标为（－8，0），
点N 的坐标为（－6，－4）． （1）画出直角梯形OMNH 绕点O 旋转180°的图形OABC ，并写出顶点A ，B ，C 的坐标（点M 的对应点为A ， 点N 的对应点为B ， 点H 的对应点为C ）； （2）求出过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式；
（3）截取CE =OF =AG =m ，且E ，F ，G 分别在线段CO ，OA ，AB 上，求四边形．．．BEFG 的面积
S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；面积S 是否存在最小值?若
存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
（4）在（3）的情况下，四边形BEFG 是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接．．
写出此时m 的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．
26．（1） 利用中心对称性质，画出梯形OABC ． ²²²²²²²²²²²²²²²² 1分
∵A ，B ，C 三点与M ，N ，H 分别关于点O 中心对称，
∴A （0，4），B （6，4），C （8，0） ²²²²²²²²²²²²²²²²²²² 3分 （写错一个点的坐标扣1分）
x
y
O
M
N（-6，-4）
H（-8，0）
第26题图
（2）设过A ，B ，C 三点的抛物线关系式为2y ax bx c =++， ∵抛物线过点A （0，4），
∴4c =．则抛物线关系式为24y ax bx =++． ²²²²²²²²²²²²² 4分 将B （6，4）， C （8，0）两点坐标代入关系式，得
3664464840a b a b ++=⎧⎨
++=⎩
，
． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²² 5分 解得1432
a b ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²² 6分 所求抛物线关系式为：213
442
y x x =-++． ²²²²²²²²²²²²²²² 7分
（3）∵OA =4，OC =8，∴AF =4－m ，OE =8－m ． ²²²²²²²²²²²²²²² 8分
∴AGF EOF BEC EFGB ABCO S S S S S =---△△△四边形梯形 2
1=OA （AB +OC ）12-AF ²AG 12-OE ²OF 1
2-CE ²OA
m m m m m 421
)8(21)4(2186421⨯-----+⨯⨯=
）（ 2882
+-=m m （ 0＜m ＜4） ²²²²²²²²²²²²² 10分
∵2(4)12S m =-+． ∴当4m =时，S 的取最小值．
又∵0＜m ＜4，∴不存在m 值，使S 的取得最小值． ²²²²²²²²²²²² 12分 （4）当226m =-+时，GB =GF ，当2m =时，BE =BG ． ²²²²²²²²²²² 14分
（10湖南益阳）20.如图9，在平面直角坐标系中，已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A （－2，
0），B （6，0），C （0，3）.
(1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；
(2)过Ｃ点作CD 平行于x 轴交抛物线于点D ，写出D 点的坐标，并求AD 、BC 的交点E 的坐标；
(3)若抛物线的顶点为Ｐ，连结ＰC 、ＰD ，判断四边形CEDP 的形状，并说明理由.
O M
N H
A C E
F
D
B
↑
→ －8
(－6，－4)
x
y
20．解：⑴ 由于抛物线经过点)3,0(C ，可设抛物线的解析式为)0(32≠++=a bx ax y ，
则⎩⎨⎧=++=+-036360324b a b a ，
解得⎪⎩⎪⎨⎧
=-=1
41b a
∴抛物线的解析式为34
12
++-
=x x y ……………………………4分 ⑵ D 的坐标为)3,4(D ……………………………5分
直线AD 的解析式为121
+=
x y 直线BC 的解析式为32
1
+-=x y
由⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=+=321121x y x y
求得交点E 的坐标为)2,2( ……………………………8分 ⑶ 连结PE 交CD 于F ，P 的坐标为)4,2(
又∵
E )2,2(，)3,4(),3,0(D C
∴,1==EF PF 2==FD CF ，且PE CD ⊥
∴四边形CEDP 是菱形 ……………………………12分
（10江苏连云港）28．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，⊙C
的圆心坐标为（－2，－2），半径为2．函数y ＝－x ＋2的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点P 为AB 上一动点 （1）连接CO ，求证：CO ⊥AB ；
P
A
C
D
E
B
o
x
y
1
-1
1
9
图
A
B
x
P O
² ²
C y （2）若△POA 是等腰三角形，求点P 的坐标；
（3）当直线PO 与⊙C 相切时，求∠POA 的度数；当直线PO 与⊙C 相交时，设交点为E 、
F ，点M 为线段EF 的中点，令PO ＝t ，MO ＝s ，求s 与t 之间的函数关系，并写出t
的取值范围．
（10江苏宿迁）28．（本题满分12分）已知抛物线c bx x y ++=2交x 轴于)0,1(A 、)0,3(B ，交y 轴于点C ，其顶点为D ．
（1）求b 、c 的值并写出抛物线的对称轴； （2）连接BC ，过点O 作直线BC OE ⊥交抛物线的对称轴于点E ．求证：四边形ODBE 是等腰梯形； （3）问Q 抛物线上是否存在点Q ，使得△OBQ 的面积等于四边形ODBE 的面积的3
1
？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
28、（1）求出：4-=b ，3=c ，抛物线的对称轴为：x=2 ………………3分
(2) 抛物线的解析式为342+-=x x y ，易得C 点坐标为（0，3），D 点坐标为（2，-1）
设抛物线的对称轴DE 交x 轴于点F ，易得F 点坐标为（2，0），连接OD ，DB ，BE ∵∆OBC 是等腰直角三角形，∆DFB 也是等腰直角三角形，E 点坐标为（2，2）， ∴∠BOE= ∠OBD=
45 ∴OE ∥BD
∴四边形ODBE 是梯形 ………………5分 在ODF Rt ∆和EBF Rt ∆中，
OD=5122222=+=+DF OF ，BE=5122222=+=+FB EF ∴OD= BE
∴四边形ODBE 是等腰梯形 ………………7分
(3) 存在， ………………8分
由题意得：2
9
332121=⨯⨯=⋅=DE OB S ODBE 四边形 ………………9分 设点Q 坐标为（x ，y ），
x y
O D
C B A （第28题） E M x
y
O
D
C
B A
（第28题2）。