高考数学第一轮复习系列讲座10反函数

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(3)y x1(x0);(4)y2x3(xR,且 x1) x1
解：⑷
由 y2 x 3(x 1 )解 得 ： xy 3(y2 ),
x 1
y 2
原 函 数 的 反 函 数 为 ： y x 3 (x R ,x 2 ),. x 2
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王新敞 w xckt@126. com
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二、知识点归纳
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例 3已 知 f(x)2x3, 求 f 1(x).
3x
3
分析： 先由 f ( x )求得
3 再求 f 1 ( x ),
再求复合函数
解： 由f ( x ) 2x＋3 解得f ( x) 2 1
1．求下列函数的反函数：
（1）
y
ax ax
b b
反函数为 yபைடு நூலகம்xb(x1) aax
（2）
x2 2x(x0) yx2 2x(x0)
1 x1(x0) 反函数为 y
1 1x(x0) 新疆 源头学子 小屋 http:// w w w . xj ktyg . com/ w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@126. com
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2.反函数定义
一般地，函数y=f(x) (x ∈A),设它的值域为
C,我们根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示
出，得到x= φ(y) ,如果对于 y在 C中的任何一个
值，通过x= φ(y) ,x在A中都有唯一的值和它对应，
那么，x= φ(y) 就表示y是自变量，x是自变量y的
(1)y3x1(xR);(2)yx31(xR);
(3)y x1(x0);(4)y2x3(xR,且 x1) x1
解：⑶ 由 y x 1 ( x 0 ) ,解 得 ： x (y 1 ) 2 (y 1 ) ,
原 函 数 的 反 函 数 为 ： y ( x 1 ) 2 ( x 1 ) .
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此时 有 0 ≤ x 2 ＜ 1
－1 ≤ x 2 －1 ＜0 －1 ≤ y ＜0
②当 －1 ≤ x ＜ 0 时，由 y = x 2 得 x y
此时 有 0 ＜ x 2 ≤ 1
0＜y≤1
故所求反函数为
y
x1
x
1 x 0 0 x1
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函数，这样的函数x= φ(y) （y ∈C)叫做函数 y=f(x)(x∈A)的反函数.记作：x=f-1(y).
反函数x=f-1(y)中，x为因变量，y为自变量，
为和习惯一致，将x,y互换得： y=f-1(x) ( x∈C).
并非所有的函数都有反函数.
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例1 求下列函数的反函数：
(1)y3x1(xR);(2)yx31(xR);
(3)y x1(x0);(4)y2x3(xR,且 x1) x1
解：⑵ 由 yx31解得 x3： y1,
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三、题型讲解
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例1 求下列函数的反函数：
(1)y3x1(xR);(2)yx31(xR);
(3)y x1(x0);(4)y2x3(xR,且 x1) x1
解：⑴ 由 y3x1解得 xy： 1, 3
原函数的反y函 x数 1(为 x： R). 3
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三、题型讲解
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3.求反函数的方法步骤：
①求出原函数的值域；即求出反函数的定义域；
②由 y = f ( x ) 反解出 x = f －1 ( y )(把 x 用 y 表 示
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三、题型讲解
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像上，那么点(b,a)必然在它的反函 数y=f-1(x)的图像上。换言之，如果
函数y=f(x)的图像上有点(a,b)，那么
它的反函数y=f-1(x)的图像上必然有
其增减性相同.
点(b,a).
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5.原来函数与反函数的联系
函数 yf(x) 反函数 yf1(x)
定义域
A
C
值域
C
A
6.互为反函数的函数图象间的关系
一般地，函数 释意：如果点(a,b)在函数y=f(x)的图
y=f(x)的图像和它的 反函数y= f-1(x) 的图 像关于直线y=x对称.
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四、自我操练
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三、题型讲解
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出来)；
③将 x = f －1 ( y ) 改写成 y = f －1 ( x )，并写出反
函数的 定义域(对调 x = f －1 ( y ) 中的 x、y).
4.分段函数的反函数的求法：
逐段求出每段的反函数及反函数的定义域，
再合成分段函数.
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原函数的反函数 y为 3 x： 1(xR).
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例2 求 f ( x ) =
x
2 x2
1（0 x 1）
（ 1 x 0）的反函数.
解：①当0 ≤ x ＜ 1 时，由 y = x 2 －1 得 x y1
∴又有 2ab1…②
解联立①②的方程组得 a=-3,b=7.
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《高考数学第一轮复习系列讲座》
（人教版）
(第10讲)反函数
二、知识点归纳 新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj /w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@
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例1 求下列函数的反函数：
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例4 若点A(1,2)既
在函数f(x)= ax b
的图象上，又在 f(x)的反函数的图 象上，求a,b的值.
解：由A(1,2)在f(x)= ax b上
则有 ab2 …①
由A(1,2)在其反函数图象上，可
知A’(2,1)也在函数f(x)= ax b
图象上
分析：求a,b，就要 有两个关于a,b的方 程，如何寻求？
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例1 求下列函数的反函数：
(1)y3x1(xR);(2)yx31(xR);
f ( x )，
3
x
f 1( x) 1
x
x2
f 1( x ) 3
f
1 (
x )
3
（x 6）
3 x6
说明：注意理解符号 f 1 ( x )
x
3
与 f ( 3 )的反函数的区别.
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