人教版数学必修二2.2.3

研一研·问题探究、课堂更高效
问题探究点一 问题 1 直线与平面平行的性质
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如果一条直线与平面平行，那么这条直线是否与这个
平面内的所有直线都平行？这条直线与这个平面内有多少 条直线平行？
答 如果一条直线与平面平行，这条直线不会与这个平面内 的所有直线都平行，但在这个平面内却有无数条直线与这条 直线平行．
∵点 A 与直线 a 在 α 的异侧， ∴β 与 α 相交，∴面 ABD 与面 α 相交，交线为 EG.
∵BD∥α，BD⊂面 BAD，面 BAD∩α＝EG.
∴BD∥EG，∴△AEG∽△ABD， EG AF ∴BD＝AC， AF 5 20 ∴EG＝AC· BD＝ ×4＝ . 9 9
练一练·当堂检测、目标达成落实处
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填一填·知识要点、记下疑难点
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直线与平面平行的性质定理： 一条直线与一个平面平行，则 过这条直线的任一平面与
此平面的交线与该直线平行 .
(1)符号语言描述：
a∥α a⊂ β ⇒a∥b β∩α＝b .
(2)性质定理的作用： 可以作为 作 平行线
直线和直线
的方法．
平行的判定方法，也提供了一种
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复习回顾 问题 1 直线与平面的位置关系有哪几种？
答
问题 2
平行、相交、在平面内．
如果直线和平面平行，那么这条直线与这个平面内的
直线的位置关系是怎样的？
答
平行或者异面．
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教室内的日光灯管所在的直线与地面平行，如何在地面
只需由灯管两端向地面引两条平行线，过两条平行线与
上作一条直线与灯管所在的直线平行？
地面的交点的连线就是与灯管平行的直线．
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例 2 如图所示的一块木料中，棱 BC 平行于面 A′C′. (1)要经过面 A′C′内的一点 P 和棱 BC 将木料锯开,应怎样画线？ (2)所画的线与平面 AC 是什么位置关系？
问题 2 如果一条直线 a 与平面 α 平行，在什么条件下直线 a 与平面 α 内的直线平行？为什么？ 答 由于 a 与平面 α 内的任何直线无公共点，所以过直线 a
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的某一平面， 若与平面 α 相交， 则直线 a 就平行于这条交线．
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例1 如图，a∥α，a⊂β，α∩β＝b.求证：a∥b.
所以四边形 ABCD 是梯形．
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(2)解
设 DC 的中点为 G，EF 的中点为 O，
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AB 的中点为 O′，连接 GO，OO′，GO′， 则梯形的高 GO′＝ 2 2 3 2 a ＋ a ＝ a. 4 4
2
1 2 3 2a 9 2 所以梯形的面积为 ( a＋ 2a)× ＝ a. 2 2 4 8
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跟踪训练 3 如图，a∥α,A 是 α 另一侧的点， B、C、D∈a,线段 AB、AC、AD 交 α 于 E、 F、G 点,若 BD＝4,CF＝4,AF＝5,求 EG.
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解 A∉a，∴A、a 确定一个平面， 设为 β.∵B∈a，∴B∈β，又 A∈β， ∴AB⊂β.同理 AC⊂β，AD⊂β，
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直线与平面平行的性质
【读一读学习要求，目标更明确】 1．掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出 线线平行； 2．结合具体问题体会化归与转化的数学思想． 【看一看学法指导，学习更灵活】 通过观察与类比，借助实物模型得到直线与平面平行的 性质定理和探索其他的一些性质，以及性质定理的应用，提 高想象能力、思维能力，体会类比的作用，进一步渗透等价 转化的思想．
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所以 BC∥B′C′.
由(1)知，EF∥BC，因此 EF∥BC EF⊄平面AC ⇒EF∥平面 AC. BC⊂平面AC
BE、CF 显然都与平面 AC 相交．
小结 平面外的一条直线只要和平面内的任一条直线平行，
则就可以得到这条直线和这个平面平行；但是若一条直线与 一个平面平行，则这条直线并不是和平面内的任一条直线平 行，它只与该平面内与它共面的直线平行．
问题 3
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线面平行、面面平行判定定理的内容是什么？判定定
理中的线与线、面与面应具备什么条件？
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答
直线和平面平行的判定定理是：平面外一条直线与此平
面内一条直线平行，则该直线与此平面平行．定理中的线与 线、线与面应具备的条件是：一线在平面外，一线在平面内； 两直线互相平行．平面和平面平行的判定定理是：一个平面 内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平 行．定理中的线与线、线与面应具备的条件是：两条直线必 须相交，且两条直线都平行于另一个平面．
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直线与平面平行判定定理和直线与平面平行性质定理 经常交替使用，也就是通过线线平行推出线面平行，再通过 线面平行推出新的线线平行，复杂的题目还可继续推下 去．可有如下示意图：
因为 a∥α，a⊂β，α∩β＝c，所以 a∥c，
因为 a∥b，所以 b∥c， 又因为 c⊂α，b⊄α， 所以 b∥α.
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小结
直线和平面的平行问题，常常转化为直线和直线的平
行问题，而直线和直线的平行问题也可以转化为直线与平面 的平行问题，要作出命题的正确转化，就必须熟记线面平行 的定义、判定定理和性质定理．
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解
(1)如图，在平面 A′C′，
过点 P 作直线 EF,使 EF∥B′C′,
并分别交棱 A′B′,C′D′于点 E, F.
连接 BE，CF. 则 EF、BE、CF 就是应画的线．
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(2)因为棱 BC 平行于平面 A′C′， 平面 BC′与平面 A′C′ 交于 B′C′，
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问题 3
线面平行性质定理如何用符号语言表示？线面平行性
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质定理有何用途？
答
符号表示：
a∥α a⊂β ⇒a∥b，可证明两直线平行． α∩β＝b
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跟踪训练 1 如图，平面 α、β、γ 两两相交，a，b，c 为三条交 线，且 a∥b.那么，a 与 c，b 与 c 有什么关系？为什么？
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例3 证明：已知平面外的两条平行直线
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中的一条平行于这个平面， 求证：另一条也平行于这个平面．
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已知
如右图，已知直线 a、b,平面 α，
且 a∥b，a∥α，a、b 都在平面 α 外．
求证：b∥α.
证明 过 a 作平面 β,使它与平面 α 相交, 交线为 c.
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1．已知直线 l∥平面 α，l⊂平面 β，α∩β＝m，则直线 l，m 的 位置关系是 A．相交 C．异面 B．平行 D．相交或异面 ( B )
解析
由直线与平面平行的性质定理知 l∥m.
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2．两条直线都和一个平面平行，则这两条直线的位置关系是 ( D ) A．平行 C．异面 B．相交 D．以上均可能
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证明
因为 α∩β＝b，所以 b⊂α.因为 a∥α，
所以 a 与 b 无公共点． 又因为 a⊂β，b⊂β，所以条直线与一个平面平行，则过
这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．简记 为：线面平行则线线平行．
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解
a 与 c，b 与 c 的关系为：a∥b∥c.
因为 γ∩α＝a，β∩γ＝b，α∩β＝c，且 a∥b，
由 b⊂β，α⊄β，得 a∥β；
又 a⊂α，a⊄β，β∩α＝c，
得 a∥c， 所以 a∥b∥c.
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问题探究点二 问题
答
直线与平面平行性质的应用
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跟踪训练 2 如图，正方体的棱长是 a，C， D 分别是两条棱的中点． (1)证明：四边形 ABCD(图中阴影部分) 是一个梯形． (2)求四边形 ABCD 的面积．
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(1)证明
如图，CD∥EF，EF∥AB，
故 CD∥AB. 又 CD≠AB，