5.4 数列求和

第四节数列求和
1．公式法
(1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n
a 1＋a n 2
＝na 1＋n
n －d 2
．
推导方法：倒序相加法．
删学生时注意(2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
na 1
，q ＝1，a 1－q n 1－q ，q ≠1.
推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝
n
n ＋2
；
②2＋4＋6＋…＋2n ＝_______； ③1＋3＋5＋…＋2n －1＝_______． 2．几种数列求和的常用方法
(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．
(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．常用的裂项公式有：
①1n n ＋＝1n －1n ＋1； ②1
n －n ＋
＝12⎝⎛⎭
⎫1
2n －1－12n ＋1； ③1
n ＋n ＋1
＝n ＋1－n ．
(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．
(4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．
[小题体验]
1．若S n ＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n －
1·n ，则S 50＝________．
2．(教材习题改编)数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋1
2n ，…的前n 项和S n 的值等于________．
1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．
2．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如a n ，a n
＋1
的式子应进行合并．
3．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．
[小题纠偏]
1．设f (n )＝2＋24＋27＋210＋…＋23n ＋10
(n ∈N *)，则f (3)＝________．
2．已知数列{a n }的前n 项和为S n 且a n ＝n ·2n ，则S n ＝________．
考点一 公式法求和基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
1．(2017·重庆适应性测试)在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，a 2＝5，则数列{a n }的前4项和为( ) A ．9 B ．22 C ．24
D ．32
2．若等比数列{a n }满足a 1＋a 4＝10，a 2＋a 5＝20，则{a n }的前n 项和S n ＝________．
3．已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝9
2．
(1)求{a n }的通项公式；
(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n ．
[谨记通法]
数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之．
考点二分组转化法求和重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
(2016·北京高考)已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4．
(1)求{a n}的通项公式；
(2)设c n＝a n＋b n，求数列{c n}的前n项和．
[由题悟法]
分组转化法求和的常见类型
[提醒]某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．
[即时应用]
(2017·兰州实战考试)在等差数列{a n}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设数列{a n＋b n}是首项为1，公比为q的等比数列，求{b n}的前n项和S n．
考点三错位相减法求和重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
(2016·山东高考)已知数列{a n}的前n项和S n＝3n2＋8n，{b n}是等差数列，且a n＝b n＋b n＋1．(1)求数列{b n}的通项公式；
(2)令c n＝a n＋n＋1
b n＋n
，求数列{c n}的前n项和T n．
[由题悟法]
用错位相减法求和的3个注意事项
(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
(2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n－qS n”的表达式；
(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
[即时应用]
(2017·泉州调研)已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3＝6，S5＝15．
(1)求{a n}的通项公式；
(2)设b n＝a n
2a n，求数列{b n}的前n项和T n．
考点四裂项相消法求和题点多变型考点——多角探明
[锁定考向]
裂项相消法求和是历年高考的重点，命题角度凸显灵活多变，在解题中要善于利用裂项相消的基本思
想，变换数列a n的通项公式，达到求解目的．常见的命题角度有：
(1)形如a n＝1
n n＋k
型；
(2)形如a n＝
1
n＋k＋n
型；
(3)形如a n＝n＋1
n2n＋2
型．
[题点全练]
角度一：形如a n＝1
n n＋k
型
1．(2017·西安质检)等差数列{a n}的各项均为正数，a1＝1，前n项和为S n；数列{b n}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝6，b2＋S3＝8．
(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式；
(2)求1
S1＋
1
S2＋…＋
1
S n．
角度二：形如a n＝
1
n＋k＋n
型
2．(2017·江南十校联考)已知函数f(x)＝xα的图象过点(4,2)，令a n＝1
f n＋＋f n
，n∈N*．记数列{a n}的前n项和为S n，则S2 017＝()
A． 2 016－1B． 2 017－1
C． 2 018－1 D． 2 018＋1
角度三：形如a n＝n＋1
n2n＋2
型
3．正项数列{a n}的前n项和S n满足：S2n－(n2＋n－1)S n－(n2＋n)＝0．(1)求数列{a n}的通项公式a n；
(2)令b n＝
n＋1
n＋2a2n
，数列{b n}的前n项和为T n．证明：对于任意的n∈N*，都有T n<
5
64．
[通法在握]
利用裂项相消法求和的注意事项
(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；
(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{a n}
是等差数列，则
1
a n a n＋1
＝
1
d⎝
⎛
⎭
⎫
1
a n－
1
a n＋1，
1
a n a n＋2
＝
1
2d⎝
⎛
⎭
⎫
1
a n－
1
a n＋2．
[演练冲关]
(2016·石家庄一模)已知等差数列{a n}中，2a2＋a3＋a5＝20，且前10项和S10＝100．(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若b n＝1
a n a n＋1
，求数列{b n}的前n项和．
n
2n＋1
．
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S5＝25，则S7＝() A．41B．48
C．49 D．56
2．数列{1＋2n－1}的前n项和为()
A ．1＋2n
B ．2＋2n
C ．n ＋2n －1
D ．n ＋2＋2n
3．(2017·江西新余三校联考)数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (2n －1)，则该数列的前100项之和为( )
A ．－200
B ．－100
C ．200
D ．100
4．已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ．若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．
5．(2017·广西高三适应性测试)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则数列⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫
1a n ＋1－1的前n 项和T n ＝
________．
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 的前5项和为( )
A ．15
8或5
B ．3116或5
C ．3116
D ．158
2．已知数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝( )
A ．1－4n
B ．4n －1
C ．1－4n 3
D ．4n －13
3．(2017·江西重点中学联考)已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 16等于( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．16
4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2sin ⎝⎛⎭⎫
2n ＋12π，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 018＝( )
A ．2 017×2 0182
B ．2 018×2 0192
C ．2 017×2 0172
D ．2 018×2 0182
5．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，数列{a n }的“差数列”的通项为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( )
A ．2
B ．2n
C ．2n ＋
1－2
D ．2n －
1－2
6．在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意正整数m ，k ，总有a m ＋k ＝a m ＋a k ，则{a n }的前n 项和S n ＝________． 解析：依题意得a n ＋1＝a n ＋a 1，即有a n ＋1－a n ＝a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项、2为公差的等差数列，a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝
n ＋2n
2
＝n (n ＋1)． 7．(2016·浙江高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．
8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 017＝________．
9．已知等比数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，公比为q ；等差数列{b n }中，b 1＝3，且{b n }的前n 项和为S n ，a 3＋S 3＝27，q ＝S 2
a 2
．
(1)求{a n }与{b n }的通项公式；
(2)设数列{c n }满足c n ＝3
2S n ，求{c n }的前n 项和T n ．
10．(2017·广州综合测试)已知数列{a n }是等比数列，a 2＝4，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝2log 2a n －1，求数列{a n b n }的前n 项和T n ．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2017·云南师大附中检测)已知数列{a n }中，a 1＝2，a 2n ＝a n ＋1，a 2n ＋1＝n －a n ，则{a n }的前100项和
为________．
2．(2017·湖南省东部六校联考)已知等比数列{a n}满足2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2，a4的等差中项．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若b n＝a n＋log21
a n，S n＝b1＋b2＋…＋
b n，求使S n－2
n＋1＋47<0成立的n的最小值．
n1n
A．d<0B．d>0
C．a1d<0 D．a1d>0
2．(2014·全国卷Ⅱ)数列{a n}满足a n＋1＝1
1－a n
，a8＝2，则a1＝________．
3．(2014·安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝22．过点A作BC的垂线，垂足
为A1；过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；…，
依此类推．设BA＝a1，AA1＝a2, A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则a7＝________．
n10100
A．100 B．99
C．98 D．97
2．(2015·全国卷Ⅱ)设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝()
A ．5
B ．7
C ．9
D ．11
3．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21 B ．42 C ．63
D ．84
4．(2015·全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( ) A ．172
B ．192
C ．10
D ．12
5．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________．
6．(2016·全国乙卷)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0．
(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．
7．(2016·全国甲卷)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
8．(2015·全国卷Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3． (1)求{a n }的通项公式；
(2)设b n＝1
a n a n＋1
，求数列{b n}的前n项和．
9．(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n－1，其中λ为常数．
(1)证明：a n＋2－a n＝λ；
(2)是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．
1．(2016·天津高考)已知{a n}是等比数列，前n项和为S n(n∈N*)，且1
a1－
1
a2＝
2
a3，S6＝63．
(1)求{a n}的通项公式；
(2)若对任意的n∈N*，b n是log2a n和log2a n＋1的等差中项，求数列{(－1)n b2n}的前2n项和．
2．(2016·四川高考)已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，S n＋1＝qS n＋1，其中q＞0，n∈N*．(1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{a n}的通项公式；
(2)设双曲线x 2－y 2a 2n
＝1的离心率为e n ，且e 2＝2，求e 21＋e 22＋…＋e 2n ．。