2020版高考数学第2部分 专题5 解析几何 第3讲 圆锥曲线中的综合问题教案 理

第3讲圆锥曲线中的综合问题
求圆锥曲线中的最值范围问题(5年2考)
考向1 构造不等式求最值或范围
［高考解读］以直线与圆锥曲线的位置关系为载体，融函数与方程，均值不等式、导数于一体,重在考查学生的数学建模、数学运算能力和逻辑推理及等价转化能力.
（2019·全国卷Ⅱ）已知点A(－2，0）,B（2,0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为－错误!.记M的轨迹为曲线C.
(1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x 轴,垂足为E，连接QE并延长交C于点G。

①证明：△PQG是直角三角形；
②求△PQG面积的最大值．
切入点：(1)由k AM·k BM＝－错误!求C的方程，并注意x的范围．
(2)①证明k PQ·k PG＝－1即可；②建立面积函数，借助不等式求解．
［解］（1）由题设得错误!·错误!＝－错误!，化简得错误!＋错误!＝1（｜x｜
≠2）,所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左、右顶点．
（2）①设直线PQ的斜率为k,则其方程为y＝kx(k＞0）．
由错误!得x＝±错误!。

记u＝错误!，则P（u，uk)，Q(－u,－uk），E(u，0)．
于是直线QG的斜率为错误!，方程为y＝错误!(x－u）．
由错误!
得（2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0.
设G（x G,y G），则－u和x G是方程①的解,故x G＝错误!，由此得y G ＝错误!。

从而直线PG的斜率为错误!＝－错误!。

所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形．
②由①得|PQ|＝2u错误!，|PG｜＝错误!,所以△PQG的面积
S＝错误!|PQ｜|PG|＝错误!＝错误!。

设t＝k＋错误!，则由k＞0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号．因为S＝错误!在[2，＋∞）单调递减，所以当t＝2，即k＝1时，S 取得最大值，最大值为错误!.
因此，△PQG面积的最大值为错误!。

［点评］ 最值问题一般最终转化为某一个变量的函数，求最值时常用均值不等式,单调性,导数来求，重视一般函数中有分式，高次根式在求最值问题上的应用。

[教师备选题]
（2014·全国卷Ⅰ)已知点A (0，－2)，椭圆E ：错误!＋错误!＝1（a 〉b >0）的离心率为错误!,F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为错误!，O 为坐标原点．
(1）求E 的方程;
(2）设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时,求l 的方程．
切入点：（1)由e ＝错误!,k AF ＝错误!可求a ，b 的值；
(2)设出l 的方程，表示出弦长|PQ ｜及点O 到直线PQ 的距离d ，
由S △OPQ ＝12
|PQ |d 建立函数关系式,并借助不等式求最值． ［解］(1)设F （c,0)，由条件知，错误!＝错误!,得c ＝错误!.又错误!＝错误!,所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1。

故E 的方程为错误!＋y 2＝1。

(2)当l ⊥x 轴时不合题意，
故设l：y＝kx－2，P（x1，y1)，Q(x2，y2),
将y＝kx－2代入错误!＋y2＝1得
（1＋4k2）x2－16kx＋12＝0。

当Δ＝16（4k2－3)>0，
即k2〉错误!时,x1，2＝错误!。

从而｜PQ|＝k2＋1｜x1－x2|＝错误!.
又点O到直线PQ的距离d＝错误!，
所以△OPQ的面积S△OPQ＝错误!d|PQ｜＝错误!.
设错误!＝t，则t>0，S△OPQ＝错误!＝错误!。

因为t＋错误!≥4，当且仅当t＝2,即k＝±错误!时等号成立，且满足Δ>0,
所以，当△OPQ的面积最大时l的方程为y＝错误!x－2或y＝－错误! x－2.
基本不等式求最值的5种典型情况分析
(1)s＝错误!（先换元，注意“元”的范围，再利用基本不等式)．
（2）s＝错误!≥错误!（基本不等式)．
(3)s＝错误!(基本不等式）．
(4)s＝错误!＝错误!(先分离参数，再利用基本不等式)．
（5）s＝错误!＝错误!(上下同时除以k2，令t＝k＋错误!换元，再利用基本不等式）．
（长度的最值问题)若F1，F2分别是椭圆E:错误!＋y2＝1的左、右焦点，F1，F2关于直线x＋y－2＝0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．
(1）求圆C的方程；
(2)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a,b.当ab取最大值时，求直线l的方程．
［解］（1）因为F1（－2，0)，F2(2,0），所以圆C半径为2，圆心C是原点O关于直线x＋y－2＝0的对称点．
设C（p，q)，由错误!得p＝q＝2,所以C（2,2)．
所以圆C的方程为（x－2)2＋（y－2）2＝4.
（2）设直线l的方程为x＝my＋2，则圆心C到直线l的距离d ＝错误!，所以b＝2错误!＝错误!,由错误!得（5＋m2)y2＋4my－1＝0，设直线
l与椭圆E交于两点A(x1，y1）,B（x2，y2），则y1＋y2＝－
4m
5＋m2，
y1·y2
＝错误!，
a＝|AB｜＝1＋m2错误!＝错误!,
ab＝错误!＝错误!≤2错误!，当且仅当错误!＝错误!,即m＝±错误!时等号成立．
所以当m＝±3时，ab取最大值．此时直线l的方程为x±错误!y －2＝0.
考向2 构造函数求最值或范围
（2017·浙江高考)如图，已知抛物线x2＝y，点A错误!，B错误!，抛物线上的点P（x，y）－错误!<x<错误!.过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.
（1）求直线AP斜率的取值范围;
（2）求|PA｜·｜PQ|的最大值．
切入点：(1)直接套用斜率公式，并借助－错误!＜x＜错误!求其范围；
（2)先分别计算｜PA|、｜PQ｜的长，再建立｜PA|·|PQ｜的函数，进而借助导数求其最值．
[解］(1)设直线AP的斜率为k,k＝错误!＝x－错误!，
因为－错误!<x〈错误!，
所以－1＜x－错误!＜1,
即直线AP斜率的取值范围是(－1，1）．
(2）联立直线AP与BQ的方程错误!
解得点Q的横坐标是x Q＝错误!。

因为|PA|＝1＋k2错误!＝错误!（k＋1)，
|PQ｜＝1＋k2（x Q－x）＝－错误!,
所以｜PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1）3。

令f(k)＝－(k－1）（k＋1）3,
因为f′（k)＝－(4k－2）（k＋1）2，
所以f（k）在区间错误!上单调递增,在错误!上单调递减,
因此当k＝错误!时，|PA|·｜PQ|取得最大值错误!.
构造函数法求最值或范围时的策略
解决有关范围、最值问题时,先要恰当地引入变量（如点的坐标、角、斜率等），把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个参数的函数，然后利用函数方法（单调性或导数)进行求解．
(面积最值问题)已知动圆C过定点F2（1，0)，并且内切于定圆F1:(x＋1）2＋y2＝12.
(1）求动圆圆心C的轨迹方程；
（2）若曲线y2＝4x上存在两个点M,N，（1）中曲线上有两个点
P，Q，并且M，N，F2三点共线，P，Q，F2三点共线，PQ⊥MN，求四边形PMQN的面积的最小值．
［解］（1)设动圆的半径为r,则｜CF2｜＝r,|CF1|＝23－r,所以|CF1|＋|CF2｜＝2错误!＞|F1F2|，由椭圆的定义知动圆圆心C的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，且a＝错误!，c＝1,所以b＝错误!，动圆圆心C的轨迹方程是错误!＋错误!＝1。

（2)当直线MN的斜率不存在时，直线PQ的斜率为0,易得｜MN|＝4，｜PQ｜＝23，四边形PMQN的面积S＝4错误!。

当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝k（x－1）(k≠0）,
联立方程得错误!消元得k2x2－（2k2＋4)x＋k2＝0，
设M（x1，y1），N(x2，y2），则错误!｜MN|＝错误!错误!＝错误!＋4。

因为PQ⊥MN，所以直线PQ的方程为y＝－错误!(x－1)，
由错误!得（2k2＋3）x2－6x＋3－6k2＝0。

设P（x3，y3）,Q(x4，y4），则｛x3＋x4＝62k2＋3，，x3x4＝3－6k22k2＋3，
｜PQ｜＝错误!错误!＝错误!。

则四边形PMQN的面积S＝错误!｜MN｜|PQ｜＝错误!错误!错误!＝
错误!。

令k2＋1＝t，t＞1,则S＝错误!＝错误!＝错误!.
因为t＞1，所以0＜错误!＜1，易知－错误!错误!＋错误!的范围是(0,2），所以S＞错误!＝4错误!.
综上可得S≥4错误!，S的最小值为4错误!。

与圆锥曲线有关的定点、定值问题
考向1 定点问题
[高考解读] 由题设条件给出的直线或圆锥曲线运动变化时得到
的几何图形中，探求直线过定点、曲线过定点等一类常考题型．考
查考生的数形结合思想和逻辑推理能力．
（2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C:y＝错误!，D为直线y＝－错误!上的动点,过D作C的两条切线，切点分别为A，B。

（1)证明:直线AB过定点；
(2)若以E错误!为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．
[解](1）证明：设D错误!,A(x1，y1）,则x错误!＝2y1。

由y′＝x,所以切线DA的斜率为x1,故错误!＝x1.
整理得2tx1－2y1＋1＝0。

设B（x2，y2），同理可得2tx2－2y2＋1＝0.
故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.
所以直线AB过定点错误!.
(2)由（1)得直线AB的方程为y＝tx＋错误!.
由错误!可得x2－2tx－1＝0。

于是x1＋x2＝2t,x1x2＝－1，y1＋y2＝t（x1＋x2）＋1＝2t2＋1，
｜AB｜＝错误!｜x1－x2｜＝错误!×错误!＝2(t2＋1）．
设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1＝错误!,d2＝错误!。

因此，四边形ADBE的面积S＝错误!｜AB|(d1＋d2）＝（t2＋3)错误!.
设M为线段AB的中点，则M错误!.
由于错误!⊥错误!，而错误!＝（t，t2－2),错误!与向量(1，t）平行，所以t＋（t2－2）t＝0.
解得t＝0或t＝±1。

当t＝0时,S＝3；当t＝±1时,S＝4错误!。

因此，四边形ADBE的面积为3或4错误!.
［教师备选题]
（2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C:错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）,四点P1(1,1）,P2（0,1)，P3错误!，P4错误!中恰有三点在椭圆C上．(1）求C的方程;
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点．
切入点：（1）结合椭圆的对称性及点与椭圆的关系判断三个点在椭圆上．
(2）设出直线l的方程,利用kP2A＋kP2B＝－1，证明l过定点．［解］（1）由于P3，P4两点关于y轴对称，
故由题设知椭圆C经过P3，P4两点．
又由错误!＋错误!>错误!＋错误!知,
椭圆C不经过点P1,
所以点P2在椭圆C上．
因此错误!解得错误!
故椭圆C的方程为错误!＋y2＝1。

(2）证明:设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2。

如果l与x轴垂直，设l:x＝t，由题设知t≠0,且|t|〈2,可得A，B 的坐标分别为错误!，错误!.
则由k 1＋k 2＝错误!－错误!＝－1，得t ＝2,不符合题设．
从而可设l :y ＝kx ＋m （m ≠1）．
将y ＝kx ＋m 代入错误!＋y 2＝1得
（4k 2＋1）x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.
由题设可知Δ＝16（4k 2－m 2＋1)>0。

设A (x 1,y 1），B (x 2，y 2），
则x 1＋x 2＝－错误!，x 1x 2＝错误!.
而k 1＋k 2＝错误!＋错误!
＝错误!＋错误!
＝错误!。

由题设k 1＋k 2＝－1，
故（2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)（x 1＋x 2)＝0。

即（2k ＋1)·错误!＋（m －1）·错误!＝0.
解得k ＝－m ＋1
2。

当且仅当m >－1时，Δ〉0，于是l :y ＝－m ＋1
2x ＋m ，即
y ＋1＝－错误!（x －2)，所以l 过定点（2，－1)．
定点问题的两大类型及解法
(1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程（斜率存在)为y＝kx＋t,由题设条件将t用k表示为t＝mk,得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0)．
(2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
(与向量交汇直线过定点问题)设M点为圆C：x2＋y2＝4上的动点,点M在x轴上的投影为N.动点P满足2错误!＝错误!错误!，动点P的轨迹为E.
（1)求E的方程;
(2）设E的左顶点为D，若直线l：y＝kx＋m与曲线E交于A，B两点(A,B不是左、右顶点)，且满足|错误!＋错误!｜＝|错误!－错误!｜,求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．
［解］(1）设点M（x0，y0），P（x，y），由题意可知N(x0,0），∵2PN→＝错误!错误!，∴2(x0－x，－y)＝错误!(0，－y0)，
即x0＝x，y0＝错误!y，
又点M在圆C：x2＋y2＝4上，∴x错误!＋y错误!＝4，
将x0＝x，y0＝错误!y代入得错误!＋错误!＝1，
即轨迹E的方程为x2
4
＋错误!＝1。

(2）由(1)可知D(－2，0)，设A（x1,y1)，B（x2,y2)，
联立错误!得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4（m2－3)＝0，
Δ＝（8mk）2－4（3＋4k2)(4m2－12）＝16（12k2－3m2＋9）＞0，即3＋4k2－m2＞0,
∴x1＋x2＝错误!，x1x2＝错误!。

y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m）＝k2x1x2＋mk(x1＋x2）＋m2＝错误!,
∵｜错误!＋错误!|＝｜错误!－错误!｜,∴错误!⊥错误!，即错误!·错误!＝0，即(x1＋2，y1）·(x2＋2，y2）＝x1x2＋2（x1＋x2）＋4＋y1y2＝0,
∴4m2－12
3＋4k2＋2×错误!＋4＋错误!＝0，
∴7m2－16mk＋4k2＝0,
解得m1＝2k，m2＝错误!k，且均满足3＋4k2－m2＞0，
当m1＝2k时，l的方程为y＝kx＋2k＝k（x＋2),直线恒过点(－2,0),与已知矛盾；
当m2＝错误!k时，l的方程为y＝kx＋错误!k＝k错误!，直线恒过点错误!.
∴直线l恒过定点，定点坐标为错误!.
考向2 定值问题
[高考解读] 由题设条件给出的直线或圆锥曲线运动变化时得到的图形中，探求线段长为定值、直线的斜率或斜率之和积等为定值是高考考查圆锥曲线几何性质的一类常见题型，求解时要有数形结合的意识和合情推理的能力。

（2019·全国卷Ⅰ）已知点A，B关于坐标原点O对称，｜AB｜＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．
(1）若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；
（2)是否存在定点P，使得当A运动时，｜MA｜－｜MP｜为定值?并说明理由．
[解]（1）因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a）．
因为⊙M与直线x＋2＝0相切，
所以⊙M的半径为r＝｜a＋2|。

由已知得｜AO｜＝2，又MO⊥AO，
故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4.
故⊙M的半径r＝2或r＝6.
(2)存在定点P（1，0)，使得｜MA|－｜MP｜为定值．
理由如下：
设M(x,y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO｜＝2.
由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，化简得M的轨迹方程为y2＝4x.
因为曲线C：y2＝4x是以点P(1,0）为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以|MP｜＝x＋1.
因为|MA|－|MP｜＝r－｜MP｜＝x＋2－（x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P.
求解定值问题的两大途径
（1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
（2019·惠州调研)如图，椭圆E：错误!＋错误!＝1(a ＞b＞0）经过点A（0，－1)，且离心率为错误!.
(1)求椭圆E的方程；
(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A),证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．［解]（1）由题意知错误!＝错误!,b＝1，所以a＝错误!，
所以椭圆E的方程为错误!＋y2＝1.
（2）设直线PQ的方程为y＝k（x－1）＋1（k≠2），代入错误!＋y2＝1,
得（1＋2k2）x2－4k（k－1）x＋2k(k－2）＝0，
由题意知Δ＞0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2)，且x1x2≠0，
则x1＋x2＝错误!,x1x2＝错误!，
所以k AP＋k AQ＝错误!＋错误!
＝错误!＋错误!＝2k＋(2－k）错误!
＝2k＋(2－k)错误!＝2k－2(k－1）＝2，
故直线AP与AQ的斜率之和为定值2.
［点评] 定值问题建议由特殊情况先求定值斜率k不存在，k ＝0等再推导一般情况，这样易得分且方向目标明确。

圆锥曲线中的证明、存在性问题
考向1 圆锥曲线中的证明问题
[高考解读] 圆锥曲线中的证明一般包括两大方面,一是位置关系的证明：如证明相切、垂直、过定点等。

二是数量关系的证明:如存在定值、恒成立、线段或角相等等。

考查学生的等价转化、逻辑推理及数学运算的能力。

（2018·全国卷Ⅲ）已知斜率为k的直线l与椭圆C：错误!＋错误!＝1交于A,B两点，线段AB的中点为M(1，m）(m＞0)．（1)证明:k＜－错误!；
（2)设F为C的右焦点，P为C上一点,且错误!＋错误!＋错误!＝0。

证明：|错误!|,|错误!｜，｜错误!｜成等差数列,并求该数列的公差．切入点：(1)中点弦问题用“点差法"．
(2)由错误!＋错误!＋错误!＝0表示出点P的坐标,表示出|错误!｜,｜错误!|，|FB，→｜，并证明2|错误!｜＝｜错误!｜＋｜错误!｜即可．［证明］(1)设A（x1,y1）,B(x2，y2），
则错误!＋错误!＝1，错误!＋错误!＝1.
两式相减，并由错误!＝k得错误!＋错误!·k＝0。

由题设知错误!＝1，错误!＝m，于是k＝－错误!。

①
由题设得0＜m＜错误!，故k＜－错误!.
（2）由题意得F（1,0)．设P(x3，y3），则（x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋（x2－1，y2）＝（0，0)．
由(1)及题设得x3＝3－（x1＋x2）＝1，y3＝－(y1＋y2）＝－2m＜0.
又点P在C上，所以m＝错误!，从而P错误!，
|错误!｜＝错误!.
于是|错误!｜＝错误!＝错误!＝2－错误!。

同理|错误!｜＝2－错误!。

所以｜错误!|＋|错误!｜＝4－错误!（x1＋x2)＝3。

故2|错误!｜＝｜错误!|＋|错误!|，即｜错误!｜,｜错误!｜，|错误!|成等差数列．
设该数列的公差为d，则
2|d|＝||错误!|－｜错误!｜|＝错误!|x1－x2｜＝错误!错误!
将m＝错误!代入①得k＝－1。

所以l的方程为y＝－x＋错误!，代入C的方程，并整理得7x2－14x ＋错误!＝0.
故x1＋x2＝2，x1x2＝1
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，代入②解得|d｜＝错误!.
所以该数列的公差为错误!或－错误!。

圆锥曲线中证明题的求解策略
处理圆锥曲线中的证明问题常采用直接法证明，证明时常借助于等价转化思想，化几何关系为数量关系,然后借助函数方程思想、数形结合思想解决．
（证明位置关系)（2019·济南一模）已知点F为抛物线E:y2＝2px(p＞0)的焦点，点A（2，m)在抛物线E上，且|AF｜＝3。

（1）求抛物线E的方程；
(2)已知点G（－1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明:以点F 为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
[解］（1)由抛物线的定义,得｜AF｜＝2＋错误!。

由已知|AF｜＝3,得2＋错误!＝3，解得p＝2，
所以抛物线E的方程为y2＝4x。

（2）如图，因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±2错误!，由抛物线的对称性,不妨设A(2，2错误!)．
由A（2,2错误!)，F（1,0)可得直线AF的方程为
y＝2错误!(x－1)．
由错误!得2x2－5x＋2＝0，
解得x＝2或x＝错误!，从而B错误!.
又G（－1,0)，所以k GA＝错误!＝错误!，
k GB＝错误!＝－错误!，
所以k GA＋k GB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB 相切．
考向2 “肯定顺推法”求解存在性问题
［高考解读] 解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明确化.从命题角度上看，近几年高考在解析几何中涉及研究角相等，角平分线等,常转化为直线斜率互补成相等问题，注意灵活转化.
（2015·全国卷Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝错误!与直线l：y＝kx＋a（a＞0)交于M,N两点．
（1）当k＝0时,分别求C在点M和N处的切线方程;
（2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM＝∠OPN？
说明理由．
[解］(1）由题设可得M(2错误!,a),N（－2错误!，a),或M(－2错误!,a),N （2错误!,a）．
由y＝错误!,得y′＝错误!，故y＝错误!在x＝2错误!处的导数值为错误!，C在点（2a，a)处的切线方程为y－a＝错误!（x－2错误!），即错误!x－y－a＝0.
y＝错误!在x＝－2错误!处的导数值为－错误!，C在点(－2错误!，a)处的切线方程为y－a＝－错误!（x＋2错误!)，即错误!x＋y＋a＝0。

故所求切线方程为错误!x－y－a＝0和错误!x＋y＋a＝0。

（2)存在符合题意的点．证明如下：
设P(0，b)为符合题意的点,M（x1，y1），N(x2，y2)，直线PM，PN 的斜率分别为k1，k2.
将y＝kx＋a代入C的方程，得x2－4kx－4a＝0.
故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a。

从而k1＋k2＝错误!＋错误!
＝错误!＝错误!。

当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN,所以点P(0，－a）符合题意．
探索性问题的求解步骤
假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出,列出关于特定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数）不存在．
提醒:反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．
（与几何图形有关的探索性问题）已知椭圆C:错误!＋错误!＝1(a＞b ＞0)的离心率为错误!,左、右焦点分别为F1，F2,在直线x－y＋错误!＝0上有且只有一个点M满足错误!·错误!＝0.
（1)求椭圆C的方程；
(2)已知点P（1，y0）是椭圆C上且位于第一象限的点，弦AB过椭圆C的右焦点F2，过点P且平行于AB的直线与椭圆C交与另一点Q,问:是否存在A，B，使得四边形PABQ是平行四边形？若存在，求出弦AB所在直线的方程；若不存在，请说明理由．[解］(1）依题意知满足错误!·错误!＝0的点M在以F1F2为直径的圆x2＋y2＝c2上，
又在直线x－y＋错误!＝0上有且只有一个点M满足错误!·错误!＝0，
所以直线x －y ＋错误!＝0与圆x 2＋y 2＝c 2相切，
则错误!＝c ＝1.
又椭圆C 的离心率e ＝错误!＝错误!，则a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3， 于是椭圆C 的方程为错误!＋错误!＝1。

（2）由题意可得P 错误!。

假设存在满足条件的A ，B ，易知直线AB 的斜率一定存在，设为k ，
则直线AB 的方程为y ＝k （x －1），直线PQ 的方程为y －32
＝k （x －1）．
由错误!消去y 并整理，得（3＋4k 2）x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0, 设A （x 1，y 1)，B (x 2,y 2）,则x 1＋x 2＝错误!，x 1x 2＝错误!。

由错误!消去y 并整理，得（3＋4k 2)x 2－(8k 2－12k )x ＋4k 2－12k －3＝0,
设Q （x 3，y 3），又P 错误!,则x 3＋1＝错误!,x 3·1＝错误!,
求得x 3＝错误!.
若四边形PABQ 是平行四边形,则PB 的中点与AQ 的中点重合， 所以错误!＝错误!，即x 1－x 2＝1－x 3，则（x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(1－x 3)2,
所以错误!错误!－4×错误!＝错误!错误!，
化简得16k4－4（k2－3)（3＋4k2）＝9（2k＋1)2，解得k＝错误!。

所以存在A，B，使得四边形PABQ是平行四边形，弦AB所在直线的方程为y＝错误!(x－1),即3x－4y－3＝0。