线段的定比分点教案2

线段的定比分点教案2
教学目标
1．学生通过学习、研究，弄清定比、定比分点的意义，特别是分点的位置与λ的对应关系．
2．培养学生掌握转化、联想和类比等重要数学思想方法，提高学生研究问题的能力．
教学重点与难点
线段定比分点公式的猜想、鉴赏及其应用是教学重点，正确理解线段定比分点中定比λ与分点位置的对应是教学难点．
教学过程
师：请说出：1．有向线段、有向线段的长度、有向线段数量的意义．并举例说明以上三者的表示方法；2．说出有向线段数量公式；3．平行线分线段成比例定理．
生：(略)．
表示这两条有向线段数量的比？
师：请同学们一定要分析清这三者之间的区别与联系．下面我们学习：
1．线段定比分点(板书)这一重要概念．
(用投影片打出)
与以分点P为起点，线段的终点P2为终点的有向线段PP2数量之比，为了记忆，我
2．内分点和外分点(板书)
师：下面我们来分析定比分点P的位置，与之对应的比λ与实数R 之间的一一对应关系．请看下图：
当P从左向右运动至P1点，请同学们猜测λ值的变化情况．
|PP2|所以－1＜λ＜0，当P与P1点重合时，由于P1P=0所以λ=0．
师：很好，如果P点继续向右作靠近P2点的运动．此时P在P1P2上，我们把P
因此λ可取一切实数值．
师：在点P与P2重合时，显然此时|PP2|=0．λ值怎样呢？
生：应该不存在．
师：下面观察当P点继续向右移动的情况，λ值怎样变化．
生：λ应是负值，并且|P1P|＞|PP2|，因此λ值总大于负1，即λ＞－1．
师：观察以上情况，λ能否是－1的值．
生：(议论后得出)λ=－1不可能成立．
师：我们把λ的变化情况总结为下表：
了使有向线段数量比“代数化”的作用．
3．定比分点坐标公式(板书)
师：下面我们研究这个问题，设在数轴上，P1和P2两点坐标分别为2和7，
代数化可得一个关于x的方程：
师：这个方程把x解出来，先暂时不做数的运算：
这个式子中x是分点坐标，2是起点坐标，7是终点坐标，λ是定比分点，你能猜想分点坐标的一般形式吗？
家能否根据λ≠－1猜想一下公式应是什么结构．
生：分母应有1+λ的特征．
师：很好，怎样求出(x，y)的计算公式呢？
x轴上去，再根据平行线分线段成比例定理就可以解决了．
师：这个解题思路很正确，通常将二维问题利用投影法转化为一维问题是研究数学问题的重要方法之一．
过点P1、P2P分别作x轴的垂线P1M1、P2M2、PM，则垂足分别为M1(x1，
如果点P在线段P1P2上，那么点M也在线段M1M2上；如果点P在线段P1P2或P2P1的延长线上，那么点M也在线段M1M2或M2M1的延长线上．因此
因为M1M=x－x1，
MM2＝x2－x，
即(1+λ)x= x1+λx2，当λ≠－1时，
4．例题(板书)
例1 点P1和P2的坐标分别是(－1，－6)和(3，0)，点P的横坐标为
师：根据由投影法得到的关系式．先求出λ的值，再由定比分点公式，求出P点的纵坐标．(学生自己求解)
解由λ的定义，可得，
例2 已知点A(3，－4)与B(2，－1)，延长AB到P，使|BP|＝2|AB|，求P点坐标(x，y)．
师：因为P1，P2和P这3个点的位置已经确定，关键是要在上述3个点中，把哪一个视为分点；其次再定出余下的两个点，哪个是起点，哪个是终点，只有把各个点的位置确定之后，才能按照解题思路、方法和规律得出正确的结果．
因此P点坐标是(0，5)．
y＝5．
因此P点坐标是(0，5)．
师：当然还有其它的选择方法，因此我们在解题时可根据题目的要求选择起点、分点、终点，使我们的解题方法快捷简便．
例3 已知三角形顶点是A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，求△ABC 的重心G的坐标(图1－13)．
师：因为△ABC的3个顶点坐标已经给出，说明三角形重心是固定的，又因为D是BC的中点，因此D点坐标确定了．只要根据重心到顶点的距离是到该顶点对边中点距离的2倍，即求出重心G的坐标．解题前还是应先确定A、G、D谁是分点、起点、终点，避免出错．这题怎样确定呢？
生：定G分AD较好．
师：对，这样λ是正整数，计算简便．
解设BC边的中点为D，则D点坐标是
整理后得重心G的坐标
师：这个重心坐标的结论，使我们见到了数学和谐的对称美．
5．引导学生小结
在使用定比分点公式时，
2)当已知P为P1P2的定比分点时，可通过其一个关系式求λ的值．
3)公式中的λ，当起点、终点、分点确定时也随之确定，但对具体问题，为了计算方便，起点、终点、分点又可视问题灵活选择，使运算简便．
6．作业：
1)课本：第10页练习1，2，3，习题一，5，6(2)，7(2)、(3)，13，14．
2)补充题：
①已知点A(3，－4)与B(－1，2)，点P在直线AB上，且|PA|=2|PB|，求点P坐标．
②已知△ABC的顶点A(4，1)、B(7，5)、C(－4，7)，则∠A的平分线的长
设计说明
定比分点坐标公式是解析几何中的重要公式，通过这个公式的教学，除了在教学中渗透“形数结合”这种解析几何中常用的数学方法外，还应充分展示这个公式的思想价值、联想类比等重要数学思想．如在推导公式过程中利用投影法转化思想，把二维问题转化为一维问题，这种射影手段、转化思想在教学中不可忽视，它是研究数学问题的重要方法．
在今后的学习中可以向学生介绍这样一个重要性质，如果[a，b]是x轴上的区间，[0，1]是y轴上的一区间，点P1(a，0)，P2(b，1)，那么对x∈[a，b]，必存在y
由定比分点公式可得
因为a≤x≤b，所以y'∈[0，1]，取y=y'，即存在y∈[0，1]，使得P(x，y)
在直线参数方程中有：
立体几何中，已知棱台上、下底面积为S1，S2，设P为其高上一点，且将高自上而下分成的比为λ，过P作一平行于底的截面，则截面面积S满足
都可用定比分点公式去解．
因此，通过定比分点教学寻找不同知识点、不同章节以及不同学科之间的规律联系之所在，无疑是培养和提高学生数学思维方法和解题能力的重要手段．。