高二物理竞赛课件：质心(center of mass) 质心运动定理

一、质点对定点的角动量
说角动量时，
t 时刻， 如图 ，
必须指明是对 哪个固定点的
定义 L r P 为质点对固定点o 的角动量
大小：L rP 方向：垂直于
sri，nP
rmv sin
组成的平面
[SI] kgm 2/s
o r
L
P
m
力对定点的力矩
说力矩时，也
t 时 刻,如图,
必须指明是对 哪个固定点的
例 已知1/4圆M, m由静止下滑,求
t1→t2 过程中M移动的距离 S。 解： 选（M+m）为体系
水平方向: 合外力=0，质心静止
t1时刻
m
t2时刻
Mபைடு நூலகம்
M
m
x -R O
体系质心
X1
MxmR Mm
x-S -S O
体系质心
X
2
M
x
M
SmS
m
质心静止 X1 X 2
M
移动的距离
S
m Mm
R
思路:与处理动量定理 动量守恒问题相同
等于质点角动量的增量。
M 和L 是对惯性系中的同一固定点的。
角动量定理 Mdt dL
t2
Mdt ΔL
t1
若 M 0 则 L 0 角动量守恒定律
讨论
1）动量守恒与角动量守恒
是相互独立的定律。 如行星运动
2）有心力—力始终指向一点
直升飞机
动量不守恒 角动量守恒
质点在有心力作用下运动时角动量守恒
M r F 0 角动量守恒
o
F
mi
ri c质心
rc
o
重心是指各质点所受重力的合力作用点。
一个人站在平板车上掷铅球两次，相对于车的出
手速度均为v，仰角均为，第一次平板车固定，第二
次平板车可在水平面无摩擦运动，己知人和车的总质 量为M，球的质量为m，问两次射程之比?
解：车车固动定：：vmSE1
(v cos vmM
)t1
vME
标轴的分量，就叫对轴的角动量（或力矩）。
L
r
P
Lxi
Ly
j
Lz
k
M r F Mxi My j Mzk
Lx 质点对x轴的角动量 M x 质点对x轴的力矩
某一方向的分量怎么求呢？
由定义出发：
L
( xi
yj
zk
)
(
Px
i
Py
j
Pz
k
)
M ( xi yj zk)(Fxi Fy j Fzk)
m3
z
3 . m3
m1. o
1
m. 2
2y
质量连续分布的物体，
x
分成N 个小质元计算：
y dm
N
rc
mi ri
i 1
m
rdm
rc
分量式？
m
o
r
rc
c
x
m dm —物体的质量 z
1）质量均匀分布的物体 质心在几何中心
2）质心是位置的加权平均值 质心处不一定有质量
质心运动定理
1. 质心的速度和动量
例如：角动量
i jk L x y z
Lz xPy yPx
Px Py Pz
由 质牛点二的定角律动量F定理ddPt
用 r 叉乘
rF r
得
M
dL dt
角动量守恒定律
t2
Mdt
dP
t1
dt
t2
Mdt
t1
L dL
L0
ΔL
或 Mdt dL 冲量矩—力矩的时间积累
角动量定理：质点所受合外力矩的冲量矩
定义
M
r
F
为力对定点o
大小：M r F sin
Fd
o
中学就熟知的：力
矩等于力乘力臂
的力矩
r
M F
dm
方向：垂直 r , F 组成的平面
[SI] : Nm
讨论
1）物理量 角动量和力矩均与定点有关，
角动量也称动量矩，力矩也叫角力；
2）对轴的角动量和对轴的力矩
在具体的坐标系中，角动量（或力矩）在各坐
v
水平方向： vmE v cos V V
水平方向动量守恒：
m(v cos V ) MV 0
V mv cos
mM
t1 t2
S2 1 m M
S1
mM M m
S2
vmEt2
(v cos
mv cos
mM
)t2
例如如图，则
yc
m1
2m2 m2
m3
xc
m1 1 m1 m2
m3
zc
m1
3m3 m2
质心(center of mass) 质心 运动定理
质心(center of mass) 质心运动定理
质心是指质量分布中心。质点系的质心，是一
个以质量为权重取平均的特殊点。
一、质心的位置：
N N
rc
mi ri
i 1 N
mi ri
i 1
m
mi
N
i 1
mi xi
上式的分量形式
xc
i1
m
质点系
mi ri
由
rc
i
mi
c
drc dt
i
而 mi m
mii P
i
i
mii
c
i
mi
i
P mc
在任何参考系中，质心的动量等于质点系的总动量。
P mii
i
mc
C
m
质由心运FF 动mdd定Ptdd理tc
而质点系的总动量
F mac
P mc
无论质量如何分布，无论外力作用在什么
位置，质心的运动如同质点系的全部质量集于
质心，所有外力也都作用于质心的一个质点的
运动，且与质点系的内力无关。
若 F 0，c 不变 质心速度不变就是动量守恒！
质心处的质点（质点系总质量）代替质点系整体的平动
质心运动定理描述 了物体质心的运动。
系统内力不会影 响质心的运动。
（如抛掷的物体、 跳水的运动员、爆 炸的焰火等，其质 心的运动轨迹都是 抛物线）