(6)反证法

[ 解析 ]
(1)f(1) ＋ f(3) － 2f(2) ＝ (1 ＋ p ＋ q) ＋ (9 ＋ 3p ＋ q) －
2(4＋2p＋q)＝2. 1 (2)假设原命题不成立， 则|f(1)|， |f(2)|， |f(3)|都小于2， 则|f(1)| ＋2|f(2)|＋|f(3)|<2， 而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2， 这与|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2 相矛盾， 从而假设不成立，原命题成立， 1 即|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于2.
反证法的一般步骤：
(1)假设命题的结论不成立； (2)从假设出发,经过推理论证， 得出矛盾； (3) 由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。
反设
归谬
结论
反证法： 反设——归谬——存真
归缪（难点）：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
¬
（3）自相矛盾。
q

¬p
pq
应用反证法的情形： （1）直接证明比较困难; （2）直接证明需分成很多类, 而对立命题分类较少; （3）结论有“至少”,“至多”, “有无穷多个”之类字样 （4）结论为 “唯一”之类的命题；

练习3：已知0<a≤3,函数f(x)＝x3－ax在区间 [1,＋∞)上是增函数,设当x0≥1,f(x0)≥1 时, f(f(x0))＝x0,求证：f(x0)＝x0.
证明：假设f(x0)≠x0， 则必有f(x0)>x0或f(x0)<x0， 若f(x0)>x0≥1,由f(x)在[1,＋∞)上为增函数, 则f(f(x0))>f(x0),与f(f(x0))＝x0矛盾； 若x0>f(x0)≥1,则f(x0)>f(f(x0)),与f(f(x0))＝x0 矛盾； 综上所述假设不成立，原命题得证
练习4：已知p3＋q3＝2，求证：p＋q≤2.
证明：假设p＋q＞2， 那么p＞2－q， ∴p3＞(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3. 将p3＋q3＝2代入得， 6q2－12q＋6＜0， 即6(q－1)2＜0. 由此得出矛盾．∴p＋q≤2.
总结提炼
1.用反证法证明命题的一般步骤是什么? ①反设 ②归谬 ③结论
练习2:已知a,b,c,d∈R,且a＋b＝c＋d＝1,ac＋bd>1， 求证：a,b,c,d中至少有一个是负数．
证明:假设a,b,c,d都是非负数， ∵a＋b＝c＋d＝1， ∴(a＋b)(c＋d)＝1. 又∵(a＋b)(c＋d) ＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd， ∴ac＋bd≤1. 这与已知ac＋bd>1矛盾， ∴a,b,c,d中至少有一个是负数．
反证法
直接证明：
(1)综合法—— 由因导果 已知条件 … … (2)分析法—— 执果索因 结论
结论
… … 已知条件
反证法：
证明一个命题时，先假设命题不成立，从 假设出发，推出和已知条件矛盾，或者与 定义、公理、定理等矛盾，从而得出假设 不成立，即所求证的命题正确.这种证明方 法叫做反证法。
练习1：已知a,b,c是互不相等的非零实数． 求证：三个方程ax2＋2bx＋c＝0, bx2＋2cx＋a＝0,cx2＋2ax＋b＝0 至少有一个方程有两个相异实根. 练习2：已知a,b,c,d∈R,且a＋b＝c＋d＝1, ac＋bd>1， 求证：a,b,c,d中至少有一个是负数．
练习1: 已知a,b,c是互不相等的非零实数． 求证:三个方程ax2＋2bx＋c＝0,bx2＋2cx＋a＝0, cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根.
例 1:已知 x>0，y>0，且 x＋y>2. 1＋x 1＋y 求证： y ， x 中至少有一个小于 2.
1＋x 1＋y 证明：假设 ， 都不小于 2， y x 1＋x 1＋y 即 ≥ 2， ≥2. y x ∵x，y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x. ∴2＋x＋y≥2(x＋y)， 即 x＋y≤2 与已知 x＋y>2 矛盾． 1＋x 1＋y ∴ ， 中至少有一个小于 2. y x
2 2
2:若a,b,c均为实数,且a = x - 2y + b = y - 2z +
2
2

2
,

3 6 求证:a,b,c中至少有一个大于0.
,c = z - 2x +
Hale Waihona Puke 2,3 已知 f(x)＝x2＋px＋q. (1)求证：f(1)＋f(3)－2f(2)＝2. 1 (2)求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于2.
解:假设三个方程都没有两个相异实根， 则Δ1＝4b2－4ac≤0,Δ2＝4c2－4ab≤0, Δ3＝4a2－4bc≤0. 相加得： a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0 即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，即a=b=c 这与已知a,b,c互不相等矛盾, 所以假设不成立,即三个方程中至少有一个 方程有两个相异实根．
2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些? 用反证法在归谬中所导出的矛盾可以 是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、 公理、定理矛盾，自相矛盾等．
作业
1:若p1 p2 = 2(q1 + q2 ),证明:关于x的方程 x + p1x + q1 = 0与x + p2x + q 2 = 0中至少有一 个有实根.