人教版高三数学下学期多选题单元 期末复习自检题学能测试试题

一、函数的概念与基本初等函数多选题
1．已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()()001
12
f x f x =+=-
，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值.则（ ）
A ．0112f x ⎛⎫
+
=- ⎪⎝
⎭
B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
C ．()f x 的最小正周期为3
D ．()f x 在(0,2019)上的零点个数最少为
1346个 【答案】AC 【分析】
根据正弦函数图象的对称性可判断A ；根据已知三角函数值求角的方法，可得
052,6
x k k Z ωϕππ+=-∈，0(1)2,6
x k k Z π
ωϕπ++=-
∈，两式相减可求出ω，进而求得
周期，从而可判断B 和C 选项；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期，为了算出零点“至少”有多少个，可取(0)0f =，进而可判断D ． 【详解】
解：由题意得，()f x 在()00,1x x +的区间中点处取得最小值， 即0112f x ⎛⎫
+
=- ⎪⎝⎭
，所以A 正确； 因为()()001
12
f x f x =+=-
， 且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值， 所以不妨令05
2,6
k k Z ωϕππ+=-
∈， ()012,6
x k k Z π
ωϕπ++=-∈，
两式相减得，23
πω=， 所以23T π
ω
=
=，即B 错误，C 正确；
因为3T =，
所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期， 当(0)0f =，即k ϕπ=时，
()f x 在区间(0,2019)上的零点个数至少为673211345⨯-=个，即D 错误.
故选:AC . 【点睛】
本题考查与三角函数有关的命题的真假关系，结合三角函数的图象与性质，利用特殊值法以及三角函数的性质是解题的关键，综合性较强．
2．若定义在R 上的函数()f x 满足()
()
0f x f x ，当0x <时，
23
()22
f x x ax a =++(a ∈R )，则下列说法正确的是（ ）
A ．若方程()2
a
f x ax =+有两个不同的实数根，则0a <或48a << B ．若方程()2
a
f x ax =+有两个不同的实数根，则48a << C ．若方程()2
a
f x ax =+有4个不同的实数根，则8a > D ．若方程()2
a
f x ax =+有4个不同的实数根，则4a > 【答案】AC 【分析】
由题知()f x 是R 上的奇函数，则由0x <时的解析式可求出()f x 在R 上的解析式.先讨论特殊情况0x =为方程的根，则可求出0a =，此时方程化为()0f x =，而函数()f x 为R 上的减函数，则方程仅有一个根.当0x ≠时，由分段函数分类讨论得出0x <时，
1(1)2(1)a x x =-++
+-+，0x >时，4
242
a x x =-++-.利用数形结合思想，画出图
象，则可得知方程()2
a
f x ax =+不同的实数根个数分别为2个和4时，参数a 的取值范围. 【详解】 因为()
()
0f x f x 所以()()f x f x -=-，
所以()f x 是R 上的奇函数，(0)0f =， 当0x >时，0x -<，2
3
()22
f x x ax a -=-+， 所以2
3()()22
f x f x x ax a =--=-+-
， 综上2
232,02()0,03
2,0
2x ax a x f x x x ax a x ⎧++<⎪⎪
==⎨⎪⎪-+->⎩
，
若0x =是方程()2
a
f x ax =+
的一个根，
则0a =，此时()2
a
f x ax =+
，即
()0f x =， 而22,0()0,0,0x x f x x x x ⎧<⎪
==⎨⎪->⎩
，在R 上单调递减，
当0a =时，原方程有一个实根. 当0x <时，2
3222
a x ax a ax ++
=+， 所以20x ax a ++=，当1x =-时不满足，
所以21
(1)21(1)
x a x x x =-
=-++++-+， 当0x >时，2
3222
a
x ax a ax -+-
=+， 所以220x ax a -+=，当2x =时不满足，
所以24
2422
x a x x x ==-++--，如图：
若方程()2
a
f x ax =+有两个不同的实数根， 则0a <或48a <<；
若方程()2
a
f x ax =+有4个不同的实数根，则8a >. 故选：AC 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是将方程()2
a
f x ax =+进行参数分离，再借助数形结合法，求出对应的参数的取值范围.
3．对于函数()f x 定义域中任意的()1212,x x x x ≠，有如下结论，当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是（ ）
A ．()()()1212f x x f x f x +=⋅
B ．()()()1212f x x f x f x ⋅=+
C ．1212
()()f x f x x x --＞0
D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<
⎪⎝⎭
【答案】BC 【分析】
由对数的运算性质判断A ，B ，由对数函数的单调性判断C ，由对数的运算结合基本不等式判断D ． 【详解】 对于A ，()()112122lg lg lg f x x x x x x +=+≠⋅，即()()()1212f x x f x f x +≠⋅，故A 错误； 对于B ，()()()()12112122lg lg lg f x x x x x x f x f x ⋅=+=+=，故B 正确； 对于C ，()lg f x x =在定义域中单调递增，()()
1212
0f x f x x x -∴
->，故C 正确；
对于D ，
()1212,0x x x x >≠
，利用基本不等式知
1122lg 22x x x x f +⎛⎫
> ⎪+⎛⎫⎪⎭⎝= ⎝⎭()()
(
)221121lg lg lg 222
f x f x x x x x +=
==+()()12122
2f x f x x x f ++⎛⎫>
⎪⎝⎭
，故D 错误； 故选：BC 【点睛】
关键点点睛：本题考查命题的真假判断，考查对数函数的性质，考查基本不等式的应用，
解决本题的关键点是将对数形式化为根式，即
2
1lg lg 2
x x =+合基本不等式放缩得出答案，并验证取等条件，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．
4．函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[],m n D ⊆使()f x 在区间[]
,m n 上的值域也是
[],m n ，则称区间[],m n 为函数()f x 的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是
（ ） A ．(
)f x =B ．()222f x x x =-+
C ．()1f x x x
=+
D ．()1f x x
=
【答案】ABD
【分析】
根据题意，可知若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[]
,m n ，则()f x 存在“和谐区
间”[],m n ，且m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()
f m n
f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，再对各个选项进行运算求解
,m n ，即可判断该函数是否存在“和谐区间”.
【详解】
解：由题得，若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[]
,m n ，则()f x 存在“和谐区间”[]
,m n ，
可知，m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()
f m n
f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
A ：(
))0f x x =≥，若(
)(
)f m m
f n n
⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得：01m n =⎧⎨=⎩，
所以(
)f x =
“和谐区间”[]0,1；
B ：()()2
22f x x x x R =-+∈，若 ()()
2
2
2222f m m m m
f n n n n ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，解得：12m n =⎧⎨=⎩， 所以()2
22f x x x =-+存在“和谐区间” []1,2；
C ：()()10f x x x x =+≠，若()()11f m m m m
f n n n n ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，得1
010
m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故无解；
若()()11f m m n
m
f n n m
n
⎧
=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩
，即 21111m n m m m n n m n ⎧
+=⎪⎪⎪=⎨+⎪⎪+=⎪⎩
，化简得：22
10(1)m m m m ++=+， 即210m m ++=，由于2141130∆=-⨯⨯=-<，故无解； 若()0112,m n f m m <<<∴=∴= 不成立 所以()1
f x x x
=+
不存在“和谐区间”； D ：()()10f x x x =≠，函数在()()0+-0∞∞，，， 单调递减，则 ()()11f m n m
f n m
n ⎧
==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩
， 不妨令
122
m n ⎧=⎪
⎨⎪=⎩， 所以()1f x x =
存在“和谐区间”1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
； 综上得：存在“和谐区间”的是ABD. 故选：ABD. 【点睛】
关键点点睛：本题以函数的新定义为载体，考查函数的定义域、值域以及零点等知识，解题的关键是理解“和谐区间”的定义，考查运算能力以及函数与方程的思想.
5．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，2()2f x x x =-+，下列说法正确的是（ ）
A ．(0,)x ∈+∞时，函数解析式为2()2f x x x =-
B ．函数在定义域R 上为增函数
C ．不等式(32)3f x -<的解集为(,1)-∞
D ．不等式2()10f x x x -+->恒成立 【答案】BC 【分析】
对于A ，利用奇函数定义求(0,)x ∈+∞时，函数解析式为2
()2f x x x =+；对于B ，研究当(,0)x ∈-∞时，()f x 的单调性，结合奇函数图像关于原点对称，知()f x 在R 上的单调性；对于C ，求出(1)3f =，不等式(32)3f x -<，转化为(32)(1)f x f -<，利用单调性解不等式；对于D ，分类讨论(0,)x ∈+∞与(,0)x ∈-∞两种情况是否恒成立. 【详解】
对于A ，设(0,)x ∈+∞，(,0)x -∈-∞，则2
()2f x x x -=--，
又()f x 是奇函数，所以2
()()2f x f x x x =--=+，
即(0,)x ∈+∞时，函数解析式为2
()2f x x x =+，故A 错；
对于B ，2
()2f x x x =-+，对称轴为1x =，所以当(,0)x ∈-∞时，()f x 单调递增，由
奇函数图像关于原点对称，所以()f x 在R 上为增函数，故B 对；
对于C ，由奇函数在R 上为增函数，则(0,)x ∈+∞时，2
()23f x x x =+=，解得11x =，
23x =-（舍去），即(1)3f =，
所以不等式(32)3f x -<，转化为(32)(1)f x f -<， 又()f x 在R 上为增函数，得321x -<，解得1x <， 所以不等式的解集为(,1)-∞，故C 对； 对于D ，当(,0)x ∈-∞时，2
()2f x x x =-+
2222()121231(21)(1)0f x x x x x x x x x x x -+-=-+-+-=-+-=-+-<，
当(0,)x ∈+∞时，2()2f x x x =+
222()12131f x x x x x x x x -+-=+-+-=-不恒大于0，故D 错；
故选：BC 【点睛】
方法点睛：考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是： （1）把不等式转化为[][]()()f g x f h x >的模型；
（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别. 考查了利用奇偶性求函数解析式，求函数解析式常用的方法： （1）已知函数类型，用待定系数法求解析式； （2）已知函数奇偶性，用奇偶性定义求解析式；
（3）已知()f x 求[()]f g x ，或已知[()]f g x 求()f x ，用代入法、换元法或配凑法； （4）若()f x 与1()f x
或()f x -满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解；
6．已知函数1(),f x x x =+
221
()g x x x
=+则下列结论中正确的是（ ） A ．()()f x g x +是奇函数 B ．()()f x g x ⋅是偶函数 C ．()()f x g x +的最小值为4 D ．()()f x g x ⋅的最小值为2
【答案】BC 【分析】
利用奇偶性的定义可得A 错B 对；利用均值不等式可得C 对；利用换元求导可得D 错. 【详解】
2211()()f x g x x x x x
+=+
++ ()
22
221111()()()f x g x x x x x x x x x ∴-+-=-+
+-+=+++-- ()()()()f x g x f x g x ∴+=-+- ()()f x g x ∴+是偶函数， A 错；
221(1)()x x x
f x x
g x ⎛
⎫+
⋅+ ⎪⎝
⋅=⎭
()()22221
111()()f x x x x x
g x x x x x ⎛⎫⎛
⎫-+
⋅-+=+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝
⎭-⎝∴-⋅-=⎭
()()()()f x g x f x g x ∴-⋅-=⋅
()()f x g x ∴⋅是偶函数，B 对；
2211()()224f x g
x x x x x +=+
++≥+=，当且仅当1
x x =和221=x x 时，等号成立，即当且仅当21x =时等号成立，C 对；
221
(1)()x x x
f x x
g x ⎛
⎫+
⋅+ ⎪⎝
⋅=⎭
令1
t x x
=+
()2t ≥，则()23()()22f t t g t t x x ⋅-=-⋅= []232()()f x g x t '∴=-⋅，令2320t ->，得63t >
或6
3
t <- 2t ∴≥时，()()f x g x ⋅单调递增
∴当2t =有最小值，最小值为4，D 错
故选：BC. 【点睛】
本题综合考查奇偶性、均值不等式、利用导数求最值等，对学生知识的运用能力要求较高，难度较大.
7．已知函数()221,0log 1,0
x
x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则方程()()22
210f x f x a -+-=的根的个数可
能为（ ） A ．2 B ．6 C ．5 D ．4
【答案】ACD 【分析】
先画出()f x 的图象，再讨论方程()()22
210f x f x a -+-=的根，求得()f x 的范围，再
数形结合，得到答案. 【详解】
画出()f x 的图象如图所示：
令()t f x =，则22210t t a -+-=，则2
4(2)a ∆=-，
当0∆=，即22a =时，1t =，此时()1f x =，由图1y =与()y f x =的图象有两个交点，
即方程()()22
210f x f x a -+-=的根的个数为2个，A 正确；
当>0∆时，即22a <时，1t =，则0<≤
故111<+≤111≤<，
当1t =()1f x =-(1,1)∈-，则x 有2解，
当1t =t (1,2]∈，则x 有3解；若t (2,1∈+
，则x 有2解，
故方程()()22
210f x f x a -+-=的根的个数为5个或4个，CD 正确；
故选：ACD 【点睛】
本题考查了函数的根的个数问题，函数图象的画法，考查了分类讨论思想和数形结合思想，难度较大.
8．定义：若函数()F x 在区间[]a b ，上的值域为[]a b ，，则称区间[]
a b ，是函数()F x 的“完美区间”，另外，定义区间()F x 的“复区间长度”为()2b a -，已知函数
()21f x x =-，则（ ）
A ．[]0,1是()f x 的一个“完美区间”
B ．1122⎡-⎢
⎣⎦
是()f x 的一个“完美区间”
C ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+
D ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+【答案】AC 【分析】
根据定义，当[]
0,1x ∈时求得()f x 的值域，即可判断A ；对于B ，结合函数值域特点即可判断；对于C 、D ，讨论1b ≤与1b >两种情况，分别结合定义求得“复区间长度”，即可判断选项. 【详解】
对于A ，当[]
0,1x ∈时，()2
2
11f x x x =-=-，则其值域为[]0,1，满足定义域与值域的
范围相同，因而满足“完美区间”定义，所以A 正确；
对于B ，因为函数()2
10f x x =-≥，所以其值域为[
)0,+∞0<，所以不存在定义域与值域范围相同情况，所以B 错误；
对于C ，由定义域为[
]
a b ，，可知0a b ≤<， 当1b ≤时，[][]0,1a b ，，此时()22
11f x x x =-=-，所以()f x 在[]a b ，内单调递
减，
则满足()()22
11f a a b f b b a
⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，化简可得22a a b b -=-， 即221122a b ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，所以1122a b -=-或1122a b -=-，
解得a b =（舍）或1a b +=，
由2
1
1a b a b +=⎧⎨+=⎩
解得1b =或0b =（舍）， 所以10a b =-=，经检验满足原方程组，所以此时完美区间为[]0,1，则“复区间长度”为
()22b a -=；
当1b >时，①若01a ≤<，则[]1a b ∈，，此时()()min 10f x f ==.当()f x 在[]
a b ，的值域为[]
a b ，，则()0,a f b b ==，因为1b > ，所以()2
1f b b b =-=，即满足
2
10b b --=
，解得b =
b =.
所以此时完美区间为10,2⎡⎢⎣⎦
，则“复区间长度”为(
)12212
b a +-=⨯
=+ ②若1a ≤，则()2
1f x x =-，[]x a b ∈，，此时()f x 在[]
a b ，内单调递增，若()
f x 的值域为[]a b ，，则()()2
2
11f a a a
f b b b
⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，则,a b 为方程210x x --=的两个不等式实数根，
解得1x =
，2x =，
所以12a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，与1a ≤矛盾，所以此时不存在完美
区间.
综上可知，函数()2
1f x x =-的“复区间长度”
的和为213++=C 正确，
D 错误； 故选：AC. 【点睛】
本题考查了函数新定义的综合应用，由函数单调性判断函数的值域，函数与方程的综合应用，分类讨论思想的综合应用，属于难题.
9．狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷函数
()1,0,x Q
f x x Q ∈⎧=⎨∉⎩
（Q 是有理数集）的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，
从研究“算”到研究更抽象的“概念、性质、结构”．关于()f x 的性质，下列说法正确的是（ ）
A ．函数()f x 是偶函数
B ．函数()f x 是周期函数
C ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=
D ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x ⋅= 【答案】ABC 【分析】
利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；验证()()1f x f x +=，可判断B 选项的正误；分1x Q ∈、1x Q ∉两种情况讨论，结合函数()f x 的定义可判断C 选项的正误；取
20x =，1x Q ∉可判断D 选项的正误.
【详解】
对于A 选项，任取x Q ∈，则x Q -∈，()()1f x f x ==-； 任取x Q ∉，则x Q -∉，()()0f x f x ==-.
所以，对任意的x ∈R ，()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，A 选项正确； 对于B 选项，任取x Q ∈，则1x Q +∈，则()()11f x f x +==； 任取x Q ∉，则1x Q +∉，则()()10f x f x +==.
所以，对任意的x ∈R ，()()1f x f x +=，即函数()f x 为周期函数，B 选项正确； 对于C 选项，对任意1x Q ∈，2x ∈Q ，则12x Q x +∈，()()1211f x x f x +==； 对任意的1x Q ∉，2x ∈Q ，则12x x Q +∉，()()1210f x x f x +==. 综上，对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=，C 选项正确； 对于D 选项，取20x =，若1x Q ∉，则()()()12101f x x f f x ⋅==≠，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键在于根据已知函数的定义依次讨论各选项，分自变量为无理数和有理数两种情况讨论，对于D 选项，可取1x Q ∉，20x =验证.
10．已知函数()22,21
ln 1,1x x f x x x e
+-≤≤⎧=⎨
-<≤⎩，若关于x 的方程()f x m =恰有两个不同解
()1212,x x x x <，则
()212)x x f x -（的取值可能是（ ） A ．3- B ．1-
C ．0
D ．2
【答案】BC
【分析】
利用函数的单调性以及已知条件得到1122
,e ,(1,0]2
m m x x m +-=
=∈-，代入()212)x x f x -（，令12
1(),(1,0]2
x g x xe x x x +=-
+∈-，求导，利用导函数的单调性分析原函数的单调性，即可求出取值范围. 【详解】
因为()f x m =的两根为()1212,x x x x <， 所以1122
,e ,(1,0]2
m m x x m +-=
=∈-， 从而()()2
11
212222m m m m x x f x e m me m ++-⎛⎫-=-=-+ ⎪
⎝⎭
． 令1
21
(),(1,0]2
x g x xe
x x x +=-+∈-， 则1
()(1)1x g x x e x +'=+-+，(1,0]x ∈-．
因为(1,0]x ∈-，
所以1010,1,10x x e e x ++>>=-+>， 所以()0g x '>在(1,0]-上恒成立， 从而()g x 在(1,0]-上单调递增． 又5(0)0,(1)2
g g =-=-， 所以5(),02g x ⎛⎤
∈-
⎥⎝⎦
， 即()()212x x f x -⋅的取值范围是5,02⎛⎤
- ⎥⎝⎦
， 故选：BC ． 【点睛】
关键点睛：本题考查利用导数解决函数的范围问题.构造函数
121
(),(1,0]2
x g x xe x x x +=-+∈-，利用导数求取值范围是解决本题的关键.
二、导数及其应用多选题
11．函数()()3
2
0ax bx d a f x cx =+++≠有两个极值点1x 、()212x x x <，则下列结论
正确的是（ ） A ．230b ac ->
B ．()f x 在区间()12,x x 上单调递减
C ．若()10af x <，则()f x 只有一个零点
D ．存在0x ，使得()()()1202f x f x f x +=
【答案】ACD 【分析】
利用极值点与导数的关系可判断A 选项的正误；取0a <，利用函数的单调性与导数的关系可判断B 选项的正误；分0a >、0a <两种情况讨论，分析函数()f x 的单调性，结合图象可判断C 选项的正误；计算出函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛
⎫
⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
对称，可判断D 选项的正误. 【详解】
()()320f x ax bx cx d a =+++≠，则()232f x ax bx c '=++.
对于A 选项，由题意可知，关于x 的二次方程()2
3200ax bx c a ++=≠有两个不等的实
根，
则24120b ac ∆=->，可得230b ac ->，A 选项正确；
对于B 选项，当0a <时，且当()12,x x x ∈时，()0f x '>，此时函数()f x 在区间
()12,x x 上单调递增，B 选项错误；
对于C 选项，当0a >时，由()0f x '>，可得1x x <或2x x >；由()0f x '<，可得12x x x <<.
所以，函数()f x 的单调递增区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递减区间为()12,x x ， 由()10af x <，可得()10<f x ，
此时，函数()f x 的极大值为()10<f x ，极小值为()2f x ，且()()210f x f x <<，如下图所示：
由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内； 当0a <时，由()0f x '<，可得1x x <或2x x >；由()0f x '>，可得12x x x <<. 所以，函数()f x 的单调递减区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递增区间为()12,x x ， 由()10af x <，可得()10f x >，
此时，函数()f x 的极小值为()10f x >，极大值为()2f x ，且()()210f x f x >>，如下图所示：
由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内，C 选项正确；
对于D 选项，由题意可知，1x 、2x 是方程2320ax bx c ++=的两根， 由韦达定理可得1223b
x x a +=-
，123c x x a
=， ()()()()()()()()3232
f t x f t x a t x b t x c t x d a t x b t x c t x d ⎡⎤⎡⎤
-++=-+-+-++++++++⎣⎦⎣⎦
()()()()()(322322
322322332332a t t x tx x b t tx x c t x d a t t x tx x b t tx x c ⎡⎤⎡=-+-+-++-+++++++++⎣⎦⎣
()()322223222a t tx b t x ct d =+++++，
取3b
t a
=-
，则322223222333333b b b b b b f x f x a x b x c d a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
--+-+=-+⨯-+-++⋅-+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
3
2
222223333b b b b a b c d f
a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=-+⋅-+⋅-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
，
所以，函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛
⎫
⎛⎫-
- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
对称， 1223b
x x a
+=-
，()()1223b f x f x f a ⎛⎫
∴+=- ⎪⎝⎭
，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.
12．对于函数2
ln ()x
f x x =，下列说法正确的有（ ）
A ．()f x 在x =12e
B ．()f x 有两个不同的零点
C ．(2)f f f <<
D ．若21
()f x k x
>-
在(0,)+∞上有解，则
2
e k <
【答案】ACD 【分析】
利用导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值可判断A ；利用函数的单调性和函数值的范围判断B ；利用函数的单调性比较出函数值的大小关系判断C ；利用不等式有解问题的应用判断D ． 【详解】
函数2ln ()x f x x =，所以2
431ln 212ln ()(0)x x x
x x f x x x x
⨯-⨯-'==>， 令()0f x '=，即2ln 1x =
，解得x =
当0x <<()0f x '>，故()f x
在上为单调递增函数．
当x >
()0f x '<，故()f x
在)+∞上为单调递减函数．
所以()f x
在x =
1
2f e
=
，故A 正确；
当0x <<
()0f x '>，()f x
在上为单调递增函数，
因为()10f =，所以函数()f x
在上有唯一零点，
当x ≥
2ln ()0x
f x x
=
>恒成立，即函数()f x
在)
+∞上没有零点， 综上，()f x 有唯一零点，故B 错误．
由于当x >
()0f x '<，()f x
在)+∞上为单调递减函数，
因为2>>>
(2)f f f <<，故C 正确；
由于2
1()f x k x >-
在(0,)+∞上有解，故221ln 1()x k f x x x +<+=有解，
所以2ln 1()max x k x +<，设2
ln 1()x g x x +=，则32ln 1
()x g x x --'=，
令()0g x '=
，解得x =
当x >
()0f x '<，故()f x
在)+∞上为单调递减函数．
当0x <<
时，()0f x '>，故()f x
在上为单调递增函数．
所以()22
max e e
g x g e ==-
=． 故2
e
k <
，故D 正确．
故选：ACD ． 【点睛】
方法点睛：本题通过对多个命题真假的判断，综合考查导数的应用，这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
13．下列说法正确的是（ ） A ．函数(
)2
3sin 0,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=+-
∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭的最大值是1 B ．函数()cos sin tan 0,tan 2x f x x x x x π⎛⎫⎛⎫=⋅+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值域为(
C ．函数()1
sin 2cos 2
f x x a x =
+⋅在()0,π上单调递增，则a 的取值范围是(],1-∞- D ．函数(
)222sin 42cos tx x x
f x x x
π⎛
⎫+++ ⎪⎝⎭=
+的最大值为a ，最小值为b ，若2a b +=，则1t = 【答案】ACD 【分析】
化简函数解析式为(
)2
cos 1f x x ⎛=--+ ⎝
⎭，利用二次函数的基本性质可判断A 选项的正误；令sin cos t x x =+，可得()()3
231
t t f x g t t -==-，利用导数法可判断B 选项的正
误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；计算出()()2f x f x t +-=，利用函数的对称性可判断D 选项的正误. 【详解】 A 选项，
(
)2
22311cos cos cos 144f x x x x x x ⎛=--=-+=--+ ⎝
⎭， 又
0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦可得：
[]cos 0,1x ∈，则当cos 2
x =时函数()f x 取得最大值1，A 对； B 选项，()2233sin cos sin cos cos sin sin cos x x x x
f x x x x x
+∴=+=
⋅ ()()22sin cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x
++-⋅=
⋅
()(
)2
sin cos sin cos 3sin cos sin cos x x x x x x x x
⎡⎤
++-⋅⎣⎦=
⋅，
设sin cos 4t x x x π⎛
⎫=+=
+ ⎪⎝
⎭，则()22sin cos 12sin cos t x x x x =+=+，则
21
sin cos 2
t x x -⋅=， 0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，3,
444x πππ⎛⎫∴+
∈ ⎪⎝⎭，sin 42x π⎛⎤⎛
⎫∴+∈ ⎥
⎪ ⎝⎭⎝⎦
，(t ∴∈， 令()223
2
2132311
2
t t t t t g t t t ⎛⎫
--⨯ ⎪
-⎝⎭==--，(
t ∈，()()422301t g t t --'=<-
， ()g t ∴在区间
(
上单调递减，(
)
()3
2
min 1
g t g
==
=-
所以，函数()f x 的值域为)
+∞，B 错； C 选项，
()1
sin 2cos 2
f x x a x =+⋅在区间()0,π上是增函数，
()cos2sin 0f x x a x ∴=-⋅≥'，即212sin sin 0x a x --⋅≥，
令sin t x =，(]
0,1t ∈，即2210t at --+≥，
1
2a t t ∴≤-+，令()12g t t t =-+，则()2120g t t
'=--<，()g t ∴在(]0,1t ∈递减，
()11a g ∴≤=-
，C 对；
D 选项，
(
)2
222cos tx x x x
f x x x
⎫+++⎪⎝⎭=
+ ()()
2222cos sin sin 2cos 2cos t x x t x x t x x t x x
x x
++⋅+⋅+=
=+
++， 所以，()()()()
2
2sin sin 2cos 2cos t x x t x x
f x t t x x
x x --+-=+
=-
+⋅-+-，()()2f x f x t ∴+-=，
所以，函数()f x 的图象关于点()0,t 对称，所以，22a b t +==，可得1t =，D 对. 故选：ACD. 【点睛】
结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：
（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立； （2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立； （3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在异号零点； （4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立； （5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.
14．若存在常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：
()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直
线”．已知函数()2
2
x f x =（x ∈R ），()12g x x =（0x <），()ln h x e x =，（e 为自
然对数的底数），则（ ）
A ．()()()m x f x g x =-在
0x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递减 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为2- C ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]
2,1-
D ．()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”，方程为2
e
y =-
【答案】BD 【分析】
对于A ：令()()()m x f x g x =-，利用导数可确定()m x 单调性，进而作出判断； 对于B 和C ：利用二次函数的性质以及不等式恒成立的知识求出b 、k 的范围，进而作出判断；
对于选项D ：根据隔离直线过()f x 和()h x 的公共点，可假设隔离直线为
2e y kx =-；可得到222
x e
kx ≥-，再利用恒成立得出k 的值，最后尝试利用
导数证明()2
e
h x ≤-
，进而作出判断. 【详解】
对于A ，()()()21
22x m x f x g x x =-=-
， ()322
121
022x m x x x x
+'∴=+=>， 当
x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x '>，()m x ∴单调递增，故A 错误；
对于B ，C ，设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，
2
2
x kx b ≥+对任意x ∈R 恒成立，即2220x kx b --≥对任意x ∈R 恒成立， 所以2
1480k b ∆=+≤，所以0b ≤，
又
1
2kx b x ≤+对任意(),0x ∈-∞恒成立，即22210kx bx +-≤对任意(),0x ∈-∞恒成立，
因为0b ≤，所以0k ≤且2
1480b k ∆=+≤，
所以22k b ≤-且22b k ≤-，4248k b b ≤≤-，解得20k -≤≤，同理20b -≤≤， 所以b 的最小值为2-，k 的取值范围是[]
2,0-， 故B 正确，C 错误； 对于D ，
函数()f x 和()h x
的图象在x =
∴若存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，
设隔离直线的斜率为k
，则隔离直线方程为(2
e y k x -
=
，即2e y kx =-，
则222
x e
kx ≥-（x ∈R
），得2220x kx e -+≥对x ∈R 恒成立，
则()
2
4420k e ∆=-≤
，解得k =，
此时隔离直线方程为：2
e
y =-，
下面证明(
)2
e h x ≤-
， 令(
)(
)ln 22e e G x h x e x =--=--（0x >），则(
)x G x x
'=，
当x =
()0G x '=
；当0x <<()0G x '<
；当x >()0G x '
>；
∴
当x =()G x 取到极小值，也是最小值，即(
)0min G x G
==，
(
)()02e G x h x ∴=--≥在()0,∞+上恒成立，即(
)2
e
h x ≤-，
∴函数()f x 和()h x
存在唯一的隔离直线2
e
y =-
，D 正确. 故选：BD . 【点睛】
关键点睛：本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理解“隔离直线”的定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题，属于难题.
15．已知函数()()2
2
14sin 2
x
x
e
x f x e -=
+，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()y f x =是偶函数，且在(),-∞+∞上不单调 B ．函数()y f x '=是奇函数，且在(),-∞+∞上不单调递增 C ．函数()y f x =在π,02⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递增 D ．对任意m ∈R ，都有()()f m f m =，且()0f m ≥
【答案】AD 【分析】
由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A 、B 、C 、D. 【详解】 解：对A ，
()()
2
22
11
4sin =2cos 2x x x
x e x e f x x e e
-+=
+-，
定义域为R ，关于原点对称，
()2211
=2cos()2cos()()x x x x
e e
f x x x f x e e --++---=-=，
()y f x ∴=是偶函数，其图像关于y 轴对称，
()f x ∴在(),-∞+∞上不单调，故A 正确；
对B ，1
()2sin x
x
f x e x e '=-
+， 11()2sin()=(2sin )()x x
x x
f x e x e x f x e e --''-=-
+---+=-， ()f x '∴是奇函数，
令1
()2sin x
x g x e x e
=-+， 则1
()+
2cos 2+2cos 0x x g x e x x e
'=+≥≥， ()f x '∴在(),-∞+∞上单调递增，故B 错误；
对C ，1
()2sin x x f x e x e
'=-
+，且()'f x 在(),-∞+∞上单调递增， 又
(0)0f '=，
π,02x ⎛⎫
∴∈- ⎪⎝⎭
时，()0f x '<，
()y f x ∴=在π,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递减，故C 错误；
对D ，
()y f x =是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，
()()f m f m ∴=，且()(0)0f m f ≥=，故D 正确.
故选：AD. 【点睛】
用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；
(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
16．已知函数1
()2ln f x x x
=+
，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()()*1N n n a f a n +=∈，则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是（ ）
A ．21a a <
B ．1n a >
C ．100100S <
D ．112n n n a a a +⋅+<
【答案】AB 【分析】
A ．计算出2a 的值，与1a 比较大小并判断是否正确；
B ．利用导数分析()f x 的最小值，由此判断出1n a >是否正确；
C ．根据n a 与1的大小关系进行判断；
D ．构造函数
()()1
ln 11h x x x x
=+
->，分析其单调性和最值，由此确定出1ln 10n n a a +->，将
1
ln 10n n
a a +
->变形可得112n n a a ++>，再将112n n a a ++>变形可判断结果.
【详解】
A 选项，3
221112ln 2ln 4ln 2222
a e =+=+<+=，A 正确； B 选项，因为222121()x f x x x x
='-=-，所以当1x >时，()0f x '>，所以()f x 单增，所以()(1)1f x f >=，
因为121a =>，所以()11n n a f a +=>，所以1n a >，B 正确； C 选项，因为1n a >，所以100100S >，C 错误； D 选项，令1()ln 1(1)h x x x x =+
->，22111
()0x h x x x x
-='=->， 所以()h x 在(1,)+∞单调递增，所以()(1)0h x h >=，所以1
ln 10n n
a a +
->，
则22ln 20n n a a +
->，所以11
2ln 2n n n a a a ⎛⎫++> ⎪⎝
⎭，即112n n a a ++>，
所以112n n n a a a ++>，所以D 错误. 故选：AB. 【点睛】
易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： （1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；
（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.
17．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x f
θ=，
()y g θ=，则下列说法正确的是（ ）
A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；
B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；
C ．()()1f
g θθ+≥在02πθ⎛⎤
∈ ⎥⎝
⎦
，上恒成立；
D ．函数()()22t f g θθ=+.
【答案】ACD 【分析】
依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可
判断A 、B ；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛
⎫+=+ ⎪⎝
⎭，再利用三角函数求值域可
判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可
得当1sin 2θ=
，cos θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解． 【详解】
由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=， 对于A ，函数()cos f
θθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；
对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos f θθ=在()0,π上为减函数，函
数()sin g θθ=在0,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
为增函数，在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
为减函数，故B 错误；
对于C ，当0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦
，时，3,444π
ππθ⎛⎤+
∈ ⎥⎝⎦
()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛
⎫+=+=+∈ ⎪⎝
⎭，故C 正确；
对于D ，函数()()222cos sin2t f
g θθθθ=+=+，
求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+， 令0t '>，则11sin 2θ-<<
；令0t '<，则1
sin 12
θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,
66
ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，
当6
π
θ=
即1sin 2θ=
，cos θ=时，函数取得极大值1222t =⨯=
又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，
所以函数()()22t f g θθ=+取得最大值2
，故D 正确.
故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：
（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域； （2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.
18．函数()ln f x x x =、()()f x g x x
'=
，下列命题中正确的是（ ）.
A ．不等式()0g x >的解集为1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
B ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减
C ．若函数()()2
F x f x ax =-有两个极值点，则()0,1a ∈
D ．若120x x >>时，总有()()()22
12122
m x x f x f x ->-恒成立，则m 1≥ 【答案】AD 【分析】
对A ，根据()ln f x x x =，得到()()ln 1
f x x
g x x x
'+=
=
，然后用导数画出其图象判断；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<判断；对C ，将函数()()2
F x f x ax =-有两个极值点，()ln 1
20x a x
+=
+∞在，有两根判断；对D ，将
问题转化为
22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，再构造函数()2ln 2
m g x x x x =-，用导数研究单调性. 【详解】
对A ，因为()()()ln 1
ln f x x f x x x g x x x
'+==
=
、， ()2ln x
g x x
-'=
， 令()0g x '>，得()0,1x ∈，故()g x 在该区间上单调递增；
令()0g x '<，得()1
x ∈+∞，，故()g x 在该区间上单调递减. 又当1x >时，()0g x >，()10,11g g e ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
， 故()g x 的图象如下所示：
数形结合可知，()0g x >的解集为1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，故正确；
对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<，所以函数
()f x 在()0,e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，错误；
对C ，若函数()()2
F x f x ax =-有两个极值点，
即()2
ln F x x x ax =-有两个极值点，又()ln 21F x x ax '=-+，
要满足题意，则需()ln 2100x ax -+=+∞在，
有两根，
也即()ln 1
20x a x
+=
+∞在，有两根，也即直线()2y a y g x ==与的图象有两个交点. 数形结合则021a <<，解得102
a <<. 故要满足题意，则1
02
a <<
，故错误； 对D ，若120x x >>时，总有()
()()2
212122
m x x f x f x ->-恒成立， 即
22
111222ln ln 22
m m x x x x x x ->-恒成立， 构造函数()2
ln 2
m g x x x x =
-，()()12g x g x >，对任意的120x x >>恒成立， 故()g x ()0+∞，
单调递增，则()ln 10g x mx x '=--≥()0+∞， 恒成立， 也即
ln 1
x m x
+≤，在区间()0,∞+恒成立，则()max 1g x m =≤，故正确. 故选：AD. 【点睛】
本题主要考查导数在函数图象和性质中的综合应用，还考查了数形结合的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于较难题.
19．当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的取值可以是（ ）. A ．2- B ．1-
C ．0
D ．1
【答案】ABC 【分析】
将()41ln ln 3k x x x x --<-+，当1x >时，恒成立，转化为13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭
，.当1x >时，恒成立，令()()3ln ln 1x
F x x x x x
=++>，利用导数法研究其最小值即可. 【详解】
因为当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立， 所以13ln ln 4x k x x x ⎛⎫
<
++ ⎪⎝⎭
，当1x >时，恒成立， 令()()3ln ln 1x
F x x x x x
=++>， 则()222
131ln 2ln x x x F x x x x x ---'=
-+=. 令()ln 2x x x ϕ=--，
因为()1
0x x x
ϕ-'=
>，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增. 因为()10ϕ<，所以()0F x '=在()1,+∞上有且仅有一个实数根0x ， 于是()F x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 所以()()0
00min 00
ln 3ln x F x F x x x x ==++.（*） 因为()1ln 3309F -'=
<，()()21ln 22ln 4401616
F --'==>，
所以()03,4x ∈，且002ln 0x x --=， 将00ln 2x x =-代入（*）式， 得()()0000min 000
231
21x F x F x x x x x x -==-++=+-，()03,4x ∈. 因为00
1
1t x x =+-在()3,4上为增函数， 所以713,34t ⎛⎫∈
⎪⎝⎭，即()min 1713,41216F x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
.
因为k 为整数，所以0k ≤. 故选：ABC 【点睛】
本题主要考查函数与不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难题.
20．关于函数()sin x f x e a x =+，(),x π∈-+∞，下列结论正确的有（ ） A ．当1a =时，()f x 在()0,(0)f 处的切线方程为210x y -+= B ．当1a =时，()f x 存在惟一极小值点0x C ．对任意0a >，()f x 在(),π-+∞上均存在零点 D ．存在0a <，()f x 在(),π-+∞有且只有一个零点 【答案】ABD 【分析】
逐一验证，选项A ，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程；选项B ，通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项C 、D ，通过构造函数，将零点问题转化判断函数的交点问题. 【详解】
对于A ：当1a =时，()sin x
f x e x =+，(),x π∈-+∞，
所以(0)1f =，故切点为()0,1，
()cos x f x e x '=+，所以切线斜(0)2k f '
==，
故直线方程为()120y x -=-，
即切线方程为：210x y -+=，故选项A 正确； 对于B ：当1a =时，()sin x
f x e x =+，(),x π∈-+∞，
()cos x f x e x '=+，()()sin 0,,x
f x e x x π''=->∈-+∞恒成立，
所以()f x '单调递增，又202f π⎛⎫
'=>
⎪⎝⎭
，
3344
33cos 044
2f e e π
π
π
π--⎛⎫⎛⎫'-=+-=-< ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
， 所以存在03,42x ππ⎛⎫
∈-
- ⎪⎝
⎭，使得()00f x '=， 即00cos 0x
e x +=，则在()0,x π-上，()0
f x '<，()f x 单调递减，
在()0,x +∞上，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以存在惟一极小值点0x ，故选项B 正确；
对于 C 、D ：()sin x
f x e a x =+,(),x π∈-+∞，
令()sin 0x
f x e a x =+=得：1sin x x a e
-=， 则令sin ()x x
F x e
=
，(),x π∈-+∞，
)cos sin 4()x
x x x x F x e e π
--'==，令()0F x '=，
得：4
x k π
π=+，1k ≥-，k Z ∈，
由函数)4
y x π
=-图象性质知：
52,244x k k ππππ⎛⎫
∈++ ⎪⎝⎭
)04x π->，sin ()x x F x e =单调递减，
52,2244x k k πππππ⎛⎫
∈+++ ⎪⎝⎭
)04x π-<，sin ()x x F x e =单调递增，
所以当524x k π
π=
+，1k ≥-，k Z ∈时，()F x 取得极小值， 即当35,,44
x ππ=-
时，()F x 取得极小值，
又
354
4
35sin sin 44
e
e
π
πππ-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<
，即3544
F F ππ
⎛⎫⎛⎫
-
<< ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
,
又因为在3,4
π
π⎛⎫
--
⎪
⎝⎭
，sin ()x x F x e =单调递减，
所以343()4
2F x F e π
π⎛⎫
≥=-
⎪⎝⎭
， 所以24
x k π
π=+，0k ≥，k Z ∈时，()F x 取得极大值，
即当944
x ππ
=
、， 时，()F x 取得极大值. 又
944
9sin sin 44e e ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<，即(
)4
42F x F e π
π⎛⎫
≤=
⎪⎝⎭
，
当(),x π∈-+∞
时，34
4
()2e F x e π≤≤，
所以当34
12e a π-<-
，即
34
a e π>时， ()f x 在(),π-+∞上无零点，所以选项C 不正确；
当34
1e a π
-=时，即4a e π=时，
1=-y a 与sin x x
y e
=的图象只有一个交点，
即存在0a <，()f x 在(),π-+∞有且只有一个零点， 故选项D 正确. 故选：ABD 【点睛】
本题考查函数的极值、切线、零点的问题，属于较难题.
三、三角函数与解三角形多选题。