Bootstrap再抽样方法简介

Bootstrap再抽样方法简介
近年来，许多数理统计方法被引入到医学研究中，有些理论在大样本的条件下才能获得稳定的解，如项目反应理论、线性状态空间模型等。

但是在实际中．由于成本或者现场条件的限制而无法获得大样本。

在现有样本代表性好的条件下，可以通过Bootstrap再抽样方法扩大样本量．即在传统的数理统计基础上进行统计模拟。

随着计算机技术的迅猛发展，这一技术已经渗透到许多科学领域．解决了无法采集到大样本的难题。

目前医学中常用的统计软件还没有提供直接产生Bootstrap样本的程序。

本文提供了这一方法的SAS程序．简短、通用，可以方便医学统计工作者的使用。

Bootstrap再抽样方法简介
Bootstrap方法是一种计算机模拟方法，它处理的是实际中可能发生的，但需要大样本来求出的统计量。

一般的统计推断都是基于一个分布，诸如正态分布，但数据分布未知时，或者存在异常值，样本量太小的时候，统计推断的结果可信度不高，这时候用bootstrap方法将是一个很不错的选择。

令X = { x1， x2，x3， x4，…，xn},为一次实际收集的样本， xi(i=1，2，… ，n)是独立同分布的随机变量服从分布F（诸如收集了n个病人的年龄X服从正态分布）。

M为分布F 的一个未知数字特征，例如M为X的均值。

根据经典数理统计理论，要获取M的估计的经验分布（一个样本数据只能得到一个均值，如果想知道均值的95%CI,j就需要知道均值的分布）。

就需要多次重复抽样和大样本。

在小样本条件下，应用Bomtmp方法对x进行模拟重抽样。

就能够在某种意义上获取M的经验分布并确定其置信区间。

程序设计思想
Bootstrap过程的机制是：首先有一个实际观测到的数据集(称之为原始数据集)，它含有n 个观查单位。

从这个数据集中有放回地随机抽取t个组成一个新样本。

称之为Bootstrap样
本。

在这个随机抽样中．原始数据集中的每个观察单位每次被抽到的概率相等，为1／n．这些观察单位有的只被抽到1次，有的超过
1次，也有的没有被抽到。

新的样本再计算一次统计量（诸如均值），这样重复1000次抽样就有一千个样本，就可以计算1000个样本的统计量的均值（均值的均值），这样就可以计算这个统计量的95%CI等等，因计算的结果是1000次重复抽样的结果，可以说包含了样本数据的各种组合，这个组合计算出的均值比我们收集一次的样本数据更稳定，更具有说服力。

实例及SAS程序
在含有150个观察单位的原有样本中．抽出观察单位数为150的新样本。

程序步骤：
(1)产生效组(1～999)和序列号，并对数组进行随机化。

(2)以随机数除以150，取商的余数部分，(随机数小于150商的整数部分为0)。

由于余数部分的变动范围在0～149之间，应再加1，与原有观察单位数相同。

(3)取序列号小于等于150的余数数字所对应的原有样本观察单位组成的新样本即为Bootstrap样本。

data a；
do unit= 1 tO 999：
unitl： unit；
output；
end；
ILia ；
proe plan seed=999998888444；
factors unitl=999；／* unitl为随机数
output data= a out b：
run ；
data c；
set b；
unit2=floor(unitl／150)；
unit3=(unitl—unit2*150)；／* 取unitl
的商作为新的随机数
unitm = unit3+ 1：
keep unit unitm ；
run ；
data one two；
se t C；
if unit< =150 then output one；／*
one为新样本数据集
if unit> 150 then output two；
run ；
讨论
1．实施Bootstrap过程需要满足的一个假设条件是：所观测到的样本能较好地反映总体。

Bootstrap样本的标准差与原有样本的标准差相同。

2．Bootstrap样本数为两位数时，产生随机数为1～99。

样本数为三位数时．产生随机数为1～999，依此类推。

3．改变种子数(” seed)，即可得到不同的Bootstrap样本。

Bootstrap样本也可以小于或等于原有样本量。

4．该方法要求样本间满足独立同分布条件，对于时序数据不能直接采用Bootstrap方法。

5. 一般情况下抽样次数至少1000次。

上面的方法只是告诉大家怎么重抽样，举得例子也仅仅是样本均值，通过重抽样让样本均值更稳定更具有说服力，这一方法适合小样本数据，当然在计算某些指标时（诸如肿瘤评分系统的C-index的95%CI）时，前提条件是通过编程等先将需要计算的统计量计算公式给出来，完了对数据进行Bootstrap，每抽样一次代入已经编写好的程序或公式里计算一次统计量，最终计算1000次个统计量的均值及
95%CI，为最终的报告结果。

SPSS软件19.0以上会有Bootstrap这一方法的嵌入，诸如在计算两样本的t检验时，在对话框中会有boot这一个选项按钮，如果点击了这一按钮，在给出的t检验的统计量结果中会多出bootstrap两列的结果，分别为统计量的95%CI.
因为SPSS只能计算特定的一些统计量，它也只能对特定的一些结果做Bootsrap，使用起来有一定的局限性。

在R软件中有专门的做Bootstrap的包boot，可以实现重抽样技术。

Boot包中提供了做bootstrap的两个十分好用的函数：boot （），boot.ci（）。

下面简单介绍下在R中对单个统计量使用bootstrap方法：
以R中的数据集women为例说明这个问题。

数据集women列出了美国妇女的平均身高和体重。

以体重为响应变量，身高为协变量进行回归，获取斜率项的95%置信区间。

R可以通过以下代码告诉我们答案：
library(boot)beta
输出结果：
BOOTSTRAPCONFIDENCE INTERVAL
CALCULATIONS
Basedon 500 bootstrap replicates
CALL:
boot.ci(boot.out= result)
Intervals:
Level Normal Basic
95% ( 3.218, 3.686 ) ( 3.231, 3.704 )
Level Percentile BCa
95% ( 3.196, 3.669 ) ( 3.199, 3.675 )
Calculationsand Intervals on Original
Scale
他们与传统的估计差别大吗？我们来看看传统的区间估计：
confint(lm(weight~height,data=wom
en))
输出结果：
2.5 % 97.5 %
(Intercept) -100.342655 -74.690679
height 3.253112 3.646888
可以看出，差别并不是很大，究其原因，无外乎正态性得到了很好的满足。

我们在来看一个差别较大的例子：
考虑R中的数据集faithful。

以waiting为响应变量，eruptions 为协变量，建立简单回归模型y=α+βx+e。

考虑β的95%置信区间，重复上面的步骤。

result
输出结果：
BOOTSTRAPCO
NFIDENCE
INTERVAL
CALCULATIONS
Based on
500bootstrap
replicates
CALL :
boot.ci(boot.ou
t= result)
Intervals :
Level Normal
Basic
95% (10.08,
11.30 ) (10.06,
11.26 )
Level Percentile
BCa
95% (10.20,
11.40 ) (10.13,
11.35 )
Calculationsan
d Intervals on
Original Scale
Some
BCaintervals may
be unstable
传统估计：
2.5 % 97.5 %
(Intercept)31.2
0069 35.74810
eruptions
10.10996 11.34932
差别有些大，看qq图发现正态性不是很好。

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