广东省佛山市高明区第一中学2016-2017学年高二数学下

高二周六数学测试理科卷（2017年2月18日）
一．选择题（每小题5分共计60分）
1．已知双曲线2
2
:13
y E x -=的左焦点为F ，直线2x =与双曲线E 相交于A ，B 两点，则
ABF △的面积为（ ）
A.12
B.24
C.
D.
2．若双曲线22
221x y a b
-= ）
A.2y x =±
B.y =
C.1
2
y x =± D.y = 3．圆22(3)(3)9x y -+-=上到直线34110x y ＋－＝的距离等于1的点有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．设命题2:,2n p n N n ∃∈>，则p ⌝为（ ）
A ．2,2n n n ∀∈>
B ．2,2n n n ∃∈≤
C ．2,2n n n ∀∈≤
D ．2,2n n n ∃∈=
5．已知命题:p 若x y >，则x y -<-；命题:q 若x y <，则22
x y >；在下列题中：（1）
p q ∧；（2）p q ∨；（3）()p q ∧⌝；（4）()p q ⌝∨,真命题是（ ）
A ．（1）（3）
B ．（1）（4）
C ．（2）（3）
D ．（2）（4） 6．设0,0a b >>，则“x a >，且y b >”是“x y a b +>+且xy ab >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
7．已知椭圆()222:10525x y C b b
+=<<的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则该椭圆的
方程是（ ）
A ．
221254x y += B ．221259x y += C. 2212516x y += D ．2
2125
x y += 8．过抛物线24y x =的焦点F 作直线l 与其交于,A B 两点，若4AF =，则BF =（ ） A ．2 B ．
4
3
C ．
2
3
D ．1 9．中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不
同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体. 它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣和（牟和）在一起的方形伞（方盖）. 其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线. 其实际直观图中四边形不存在，当正视图和侧视图完全相同时，它的的正视图和俯视图分别可能是（ ）
A ．b a ,
B ．c a , C. b c , D ．d b ,
11．将半径为1的圆分割成面积之比为1:2:3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为1r ，2r ，3r ，那么123r r r ++的值为（ ）
A ．
1
2
B ．2
C ．1 12．若椭圆22
1369
x y +=的弦被点()4,2平分，则此弦所在直线的斜率为（ ）
A ．2
B ．-2
C ．
13 D ．12
- 二．填空题（每小题5分共计20分）
13．如图，在河的一侧有一塔12CD m =，河宽3BC m =，另一侧有点,4A AB m =，则点A 与塔顶D 的距离AD =_________.
14．圆锥的侧面积与过轴的截面积之比为π2,则母线与轴的夹角大小为 15．已知(1,1,)a t t t =--，(3,,)b t t =，则a b -的最小值 16．将一块边长为6cm 的正方形纸片，先按如图（1）
所示的阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，然后将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个正四棱锥模型（底面是正
V
A
B
C
D
方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥），将该四棱锥如图（2）放置，若其正视图为正三角形，则其体积为 3cm ．
三．解答题（本大题50分）
17. （本题12分）如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABC －A 1B 1C 1中， AC ＝AA 1＝2AB ＝2，∠BAC ＝90°，点D 是侧棱CC 1延长线上一点， EF 是平面ABD 与平面A 1B 1C 1的交线.
(1)求证：EF ⊥A 1C ；
(2)当直线BD 与平面ABC 所成角的正弦值为314
14时，求三棱锥
D －EFC 1的体积.
18. （本题12分）在四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD .
(I) 证明：AB ⊥平面VAD ； (II)求二面角A VD B --的余弦值.
19．（本题12分）已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的离心率e =,以上顶点和右焦点为直
径端点的圆与直线20x y +-=相切． (Ⅰ)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)对于直线:l y x m =+和点()0,3Q ,是否椭圆C 上存在不同的两点A 与B 关于直线l 对称,且332QA QB ⋅=,若存在实数m 的值,若不存在,说明理由．
20．（本题14分）如图，抛物线2
1:8C y x =与双曲线
()22
222:10,0x y C a b a b
-=>>有公共焦点2F ，点A 是曲线12
,C C
在第一象限的交点，且25AF =. （Ⅰ）求双曲线2C 的方程；
（Ⅱ）以1F 为圆心的圆M 与双曲线2C 的一条渐近线相切，圆()2
2
:21N x y -+=.已知点
(
P ，过点P 作互相垂直且分别与圆M 、圆N 相交的直线1l 和2l ，设被圆M 截得的
弦长为s ，2l 被圆N 截得的弦长为t .试探索t
s 是否为定值？请说明理由.
高二周六数学测试理科卷（2017年2月18日）答案：
选择题（每小题5分共计60分）：
填空题：（每小题5分共计20分） 13．【答案】13
14．【答案】
3
15．
16．【答案】
三．解答题（本大题50分）
17.【解答】：(1)证明：依题意，有平面ABC ∥平面A 1B 1C 1，
又平面ABC ∩平面ABD ＝AB ，平面A 1B 1C 1∩平面ABD ＝EF ， ∴EF ∥AB .∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，且∠BAC ＝90°， ∴AB ⊥AA 1，AB ⊥AC .而AA 1∩AC ＝A ，∴AB ⊥平面ACC 1A 1. 又A 1C ⊂平面ACC 1A 1，
∴AB ⊥A 1C .∴EF ⊥A 1C . ……………………………5分 (2)设直线BD 与平面ABC 所成的角为θ，
∵直线BD 与平面ABC 所成角的正弦值为31414，∴tan θ＝3
5，
又BC ＝AB 2＋AC 2|＝5， ∴CD ＝3，DC 1＝1，FC 1＝
DC 1tan ∠DFC 1＝135
＝53，EF ＝13，EC 1＝23.
又S △EFC 1＝12×23×13＝19，∴VD －EFC 1＝13×19×1＝1
27.……………………………12分
18. 【解答】：(Ⅰ)因为平面VAD ⊥平面ABCD ，平面VAD ∩平面ABCD=AD ， 又AB 在平面ABCD 内，AD ⊥AB ，
所以AB ⊥平面VAD. ……………………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知AD ⊥AB ，AB ⊥AV.依题意设AB=AD=AV=1，所以
设VD 的中点为E,连结AE 、BE ，则AE ⊥VD ，BE ⊥VD ， 所以∠AEB 是面VDA 与面VDB 所成二面角的平面角. 又
AE=
2，
BE=2
，所以cos ∠AEB=37
1372
+
-. (方法二) (Ⅰ)同方法一.
(Ⅱ)设AD 的中点为O ，连结VO ，则VO ⊥底面ABCD. 又设正方形边长为1，建立空间直角坐标系如图所示. 则，A(
12，0，0)，B(12，1，0)，D( 12，0，0)， V(0
，0，2
)； 13
(0,1,0),
(,1,),(1,1,0)2AB VB BD ==-
-=--
由(Ⅰ)知m =(0,1,0)
-是平面VAD 的法向量.设(1,
,)n y z
=是平面VDB 的法向量，
则1,10,(1,,)(,1,0,(1,1,20,(1,,)(1,1,0)0,y n VB y z n z n BD y z =-⎧⎧⎧∙=∙=⎪⎪⎪⇒⇒⇒=-⎨⎨⎨=∙
=⎪⎪⎪⎩∙
--=⎩
⎩
∴(0,1,0)(1,1,cos ,
m n -⋅-<>=
=
， ∴求二面角A VD B --的余弦值是
7
…………………………12分 19．【解答】(1)由已知条件可知,圆心是(,22c b ),半径是2
a
,圆心到直线
20x y +-=的距离
为半径
2a
,则可得方程组:222
2
a
c a a b c
⎧⎪⎪=
⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎪⎪⎩
解得11c b a ⎧
=⎪=⎨⎪
=
⎩,
因此,所求椭圆的标准方程是2
212
x y +=.………………………………………5分
(2)设AB 直线为AB ：y x n =-+，则A ，B 两点的坐标由方程组确定212
y x n x y =-+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，化简得
2
2
34220x nx n -+-=，则有21212422,33
n n x x x x -+==， 1212122()()()23
n
y y x n x n x x n +=-++-+=-++=
， 22
121212122
()()()3
n y y x n x n x x n x x n -=-+-+=-++=
所以AB 中点坐标为（
2,33
n n ）在直线:l y x m =+上，有233n n
m =+，得30n m +=； 又11223233(,3)(,3)QA QB x y x y ==--⋅--
12121232
3()93
x x y y y y =+-++ 22322222393333n n n --=+-+ 2230n n --=，解得：3n =或1n =-，
当3n =时，代入2
2
34220x nx n -+-=无解，
当1n =-时，代入2
2
34220x nx n -+-=有解，此时，1
3
m =， 因此存在实数1
3
m =
满足条件。

…………………………………12分 20．【解答】(1)由抛物线2
1:8C y
x =知F 2坐标为(2,0) ,又由抛物线定义及方程知A 点坐标为(对双曲线来说,点A 坐标满足双曲线方程及C=2,所以得方程组:
22222924
1
4a b a b c ⎧-=⎪⎨⎪+==⎩
22
92414a a ⇒-=-4237360a a ⇒-+=22(1)(36)0a a ⇒--=,因此,2
1a =,或2
36a =(不合题意),由是2
3b =,
所以,所求双曲线2C 的方程为: 2
2
13
y x -=………………………………………6分 (2)
t
s
是为定值,以下给出说明: 设圆M 的方程为：222(2)x y r ++=，∵圆M
与直线y =相切，∴圆M
的半径为r =故圆M ：22(2)3x y ++=………………………………………………………………7分 显然当直线1l 的斜率不存在时不符合题意，………………………………………8分 设1l
的方程为(1)y k x =-
，即0kx y k -=， 设2l
的方程为1
(1)y x k
=-
-
，即10x ky +-= ∴点F 1到直线1l
的距离为1d =
点F 2到直线2l
的距离为2d =
，………………………………………10分
∴直线1l 被圆M
截得的弦长s ==11分 直线2l 被圆N
截得的弦长t ==12分
∴s t ==t s
14分。