第2章 选频网络

二者的关系可以借助回路中的电流和电压的相量图求
得。 谐振时 V&L0 = jQV&s
Vl0m = Vsm 1 + Q2 ≈ QVsm
O ϕ < 90oV&s V&R = V&s
I&0
L
R
+
Vs –
C
V&C0 = −jQV&s
故：V&l0 超前 I&0 的角度小于 90o
一、基本原理——小结
1. 谐振时，回路阻抗值最小，即Z=R；当信号源为电压
=
1 2
I
2 0
R
⋅
T
=
1 2
I
2 0
R
⋅
1 f0
回路储存能量 每周消耗能量
= wL + wC =
1 2
LI
2 0
= f0L = 1 ω0L = Q
wR
1 2
RI
2 0
1 f0
R 2π R
2π
即
Q
=
2π
回路储存能量 每周消耗能量
表示回路的损耗。
四、能量关系及电源内阻与负载电阻的影响
考虑信号源内阻RS和负载电 阻RL后，由于回路总的损耗增 大，回路Q值将下降，称其为等效
电容和电感的瞬时储能(设起始储能为零)
∫ ∫ wC =
t
0 PCdt = C
t
0vC
dv C dt
dt
=
1 2
CvC
2
∫ ∫ wL =
t 0
PLdt
=
L
t
0 iL
diL dt
dt
=
1 2
LiL 2
四、能量关系及电源内阻与负载电阻的影响
谐振时回路瞬时电流 i = I0 sin ωt
∫ 电容上电压
vC
石英晶体滤波器 各种滤波器 陶瓷滤波器
声表面波滤波器
一、基本原理
阻抗 Z = R + jX = R + j(ωL − 1 ) = Z e jϕ
ωC
Z=
R2
+⎜⎛ωL−
⎝
1
ωC
⎟⎞2 ⎠
ϕ =arctan ωL−ω1C
R
X
电抗
感性
Z
ωL
X=
ω
L－
1 ωC
O
ω0
ω
－
1 ωC
R
容性
L
R
jωL
+ Vs
–
1/(jωC)
⎝
−
1
ωL
⎟⎞ ⎠
式中电导G和电纳B分别为
G = CR L
B = ωC − 1 ωL
L C 高Q
Is
损 耗
Is
电 阻
R
L 1/G
C
=
Rp
=
L CR
一、基本原理及特性
Z=
1
= 1 =1
Y
CR L
+
j⎜⎛ωC
⎝
−
1
ωL
⎟⎞ ⎠
G + jB
Y
并联振荡回路的导纳在某一 G
特定频率上具有最小值（谐振状 O
ω
2.1 串联谐振回路 2.2 并联谐振回路 2.3 串、并联阻抗的等效互换与回路抽头
时的阻抗变换 2.4 耦合回路 2.5 滤波器的其他形式
所谓选频（滤波），就是选出需要的频率分量和 滤除不需要的频率分量。
高频电子线路中常用的选频网络有：
振荡回路（由L、C组成）
单振荡回路 耦合振荡回路
LC集中滤波器
∴V&L0 = jQV&s
R
V&C0 = − jQV&s
ω0CR R C
3.串联谐振时，电感或电容两端的电压达到最大值，且
大小相等，等于外加电压的Q倍，故串联谐振也称为电
压谐振。因此，必须预先注意回路元件的耐压问题。
一、基本原理——谐振特性
注意：损耗是包含在线圈中的，所以电感线圈上的电压
V&l0 ≠ V&L0 = jQV&s
②能量 w 是一个不随着时间变化的常数。这说明整个 回路中储存的能量保持不变，只是在线圈和电容器 之间相互转换，电抗元件不消耗外加电源的能量。
③外加电源只提供回路电阻所消耗的能量，以维持回 路的等幅振荡。谐振时回路中的电流最大。
四、能量关系及电源内阻与负载电阻的影响
回路一个周期的损耗
wR
=
PR
⋅T
源时，回路电流最大，即
I&0
=
V&s R
，具有带通选频特性。
2. 阻抗性质随频率变化的规律：
1) ω < ω0时，X<0呈容性； 2) ω = ω0时，X =0呈纯阻性； 3) ω > ω0时，X >0呈感性。
3.串联谐振时，电感和电容两端的电压模值大小相等， 且等于外加电压的Q倍。
注意：线圈Q与回路Q的区别
可见，Q值愈大，相频特性曲线在谐振频率
ω0附近的变化愈陡峭。但是，线性度变差，或者
说，线性范围变窄。
四、能量关系及电源内阻与负载电阻的影响
电容和电感的伏安特性方程
iC
=
C
dv C dt
电容和电感的瞬时功率
vL
=
L
di L dt
PC
=
iC
⋅vC
=
Cv C
dv C dt
PL
=
iL
⋅v L
=
LiL
diL dt
=
1 C
idt
=
1
ωC
I0
sin(ωt
−
90o )
= −VC cosωt
电容的瞬时储能
wC
=
1 2
CvC 2
=
1 2
CVC2
cos 2
ω
t
=
1 2
CQ 2Vs2
cos 2
ω
t
=
1 2
C
ω02 L2
R2
Vs2
cos 2
ω
t
=
1 2
L
Vs2 R2
cos 2
ω
t
=
1 2
LI
2 0
cos 2
ω
t
电感的瞬时储能
= Q • (ω + ω0 )(ω
− ω0 )
ωω 0
ωω 0
≈Q•
2Δω ω0
= Q0
•
2Δf f0
当谐振时：ξ
=
0。
所以，
I I0
=
1
1+ξ 2
0
ξ
二、串联谐振回路的谐振曲线和通频带
通频带B：回路外加电压的幅值不变时，改变频 率，回路电流I下降到I0的 1/ 2 时所对应的频率范围。 B = 2Δω 0.7 = ω 2 − ω1 或 B = 2Δf0.7 = f 2 − f1
线圈的品质因数 Q = ωL
R
L
R
回路的品质因数 Q = ω0L = 1 = 1 • L = ρ R ω0CR R C R
ω0 =
1 LC
ω0 L
=
1
ω0C
=
L =ρ
C
(回路的特性阻抗)
二者的区别：回路Q限定于谐振时，线圈Q无此限制。
二者的相同点：都表示回路或线圈中的损耗。
二、串联谐振回路的谐振曲线和通频带
串联谐振回路中电流幅值与外加电压频率之间的
关系曲线称为谐振曲线。
失谐处电流 I& 谐振点电流 I&0
= R+
R
j(ωL
−
1
ωC
)
=
1
+
j
ω0
L
1
ω
(
R ω0
−
ω0 ) ω
= 1+ jQ(
1
ω
−
ω0
ω0 ) ω
∴I = I0
1
1+ Q2 ( ω − ω0 )2 ω0 ω
Q值不同即损耗R不同时，对曲线 有很大影响。Q值大曲线尖锐，选择 性好，Q值小曲线钝，通频带宽。
⎟⎞ ⎠
Is
≈
C
=
1
R
+
j⎜⎛ωL
⎝
−
1
ωC
⎟⎞ ⎠
CR L
+
j⎜⎛ωC
⎝
−
1
ωL
⎟⎞ ⎠
LC
损
耗
电 阻
R
通常，损耗电阻R在工作频段内满足：R << ωL 或 高Q
采用导纳分析并联振荡回路及其等效电路比较方 便，为此引人并联振荡回路的导纳。
一、基本原理及特性
回路总导纳
Y
=
G
+
jB
=
CR L
+
j⎜⎛ωC
Y=
G
+
jB
=
CR L
+
j⎜⎛ωC
⎝
−
1
ωL
⎟⎞ ⎠
2.阻抗性质随频率变化的规律：
1) ω < ωp时，B < 0呈感性，电流滞后于电压； 2) ω = ωp时，B =0呈纯阻性，达到并联谐振； 3) ω > ωp时，B > 0呈容性，电流超前于电压。
一、基本原理及特性
I&Cp = V&0
1
jω pC
wL
=
1 2
Li2
=
1 2
LI02
sin2 ω
t
可见，电感和电容储存的瞬时能量的最大值相等。
四、能量关系及电源内阻与负载电阻的影响
回路总的瞬时储能为
w
=
wL
+
wC
=
1 2
LI02
sin2
ωt
+
1 2
LI02
cos2
ω
t
=
1 2
LI02
四、能量关系及电源内阻与负载电阻的影响
结论：
①电感上储存的瞬时能量的最大值与电容上储存的瞬 时能量的最大值相等。
L
R
实际上，谐振时
V&L0
=
I&0 jω0L
=
V&s R
jω0 L
=
j
ω0 L
R
V&s
谐振时回路感抗 值（或+容Vs 抗值） 与回路电– 阻R的比
V&C 0
=
I&0
1
jω0C
= V&s R
1
jω0C
= −jω01CRV&s
值，表示回路损 C 耗的大小。
定义回路的品质因素 Q = ω0L = 1 = 1 L
但是，近代无线电技术中，普遍遇到数字信号与 图像信号的传输问题，在这种情况下，相位特性失真 要严重影响通信质量。
串联振荡回路的相位特性曲线：回路中电流相角 ψ 随频率 ω 变化的曲线。
三、串联谐振回路的相位特性曲线
Q
I& I&o
=
R
+
R
j(ωL
−
1
=1 ) 1+ j X
ωC
R
=
1
+
jQ(
1
ω
−
ω0 )
态），而偏离此频率时将迅速增
ωp
大。
在谐振时 B = ωC − 1 = 0
ωL
，故并联谐振频率为
ωp =
1 LC
fp
=
2π
1 LC
一、基本原理及特性
Is Z
Y
Is
L 1/G
C
G
O
ωp
ω 选频特性曲线
1.谐振时，回路阻抗值最大，即 Rp
=
1 G
=
L； CR
当信号源为电流源时，回路电压最大，
V&0
= Vmax
C
ω0
ω
一、基本原理
电抗
X
O
感性
ωL
X=
ω
L－
1 ωC
ω0
ω
－
1 ωC
容性
Z
R
ω0 谐振频率 ω
串联振荡回路的阻抗在某一特定频率上为纯电阻R，
且为最小值（谐振状态），而偏离此频率时将迅速增大。
在谐振时
X
=
ω0 L
−
1
ω0C
=
0 ，故串联谐振频率为
ω0 =
1 LC
或
f0
=
2π
1 LC
一、基本原理——谐振特性
L
R
X
+
Vs –
VS
⏐Z⏐
Z
R
C
ω0谐振频率
ω
选频特性曲线
1.谐振时，回路阻抗值最小，即Z=R；
当信号源为电压源时，回路电流最大，
I&0
=
I max
= V&S R
，具有带通选频特性。
一、基本原理——谐振特性
L
R
ϕ
电抗
X
感性
ωL
x=
ω
L－
1 ωC
+ Vs
O
ω0
ω
–
O
－
1 ωC
π 2
ω0
ω
容性
C
π
2.阻抗性质随频率变化的规律：
3) ω > ωp时，B >0呈容性。
3.并联谐振时，流经电感和电容的电流模值大小相近， 方向相反，且约等于外加电流的Qp倍。
ω0 ω
∴ψ
=
−arctan
X R
=
−arctanQ⎜⎜⎝⎛
ω ω0
− ω0 ω
⎟⎟⎠⎞
≈
−arctanQ
2Δω ω0
=
−arctan ξ
回路电流相角 ψ 为阻抗幅角 ϕ 的负值，即 ψ = −ϕ 。
回路电流的相角是与外加电压相比较而言的。若电流超
前，则ψ > 0；若电流滞后，则ψ < 0。
三、串联谐振回路的相位特性曲线
2
1) ω < ω0时，X <0呈容性，电流超前于电压，ϕ < 0 ；
2) ω = ω0时，X =0呈纯阻性，达到串联谐振，ϕ = 0 ； 3) ω > ω0时，X >0呈感性，电流滞后于电压，ϕ > 0 。
回路谐振时的感抗或容抗，称为特性阻抗，即
ρ
= ω0L
=
1
ω0C
=
L C
一、基本原理——谐振特性
品质因数QL。
QL
=
R
ω0 L
+ RS +
RL
=
1+
Q0 RS +
RL
RR
L Rs
+ Vs
–
RC RL
为了区别起见，把没有考虑信号源内阻和负载电
阻时回路本身的Q值叫做无载Q值(或空载Q值)，用Q0 表示；而把考虑信号源内阻和负载电阻时的Q值叫做
有载Q值，用QL表示。
四、能量关系及电源内阻与负载电阻的影响
二、串联谐振回路的谐振曲线和通频带
广义失谐（系数）ξ ：表示回路失谐大小 Δω 的