高考数学压轴专题2020-2021备战高考《数列》知识点训练及答案

数学《数列》复习资料
一、选择题
1．数列{a n }，满足对任意的n ∈N +，均有a n +a n +1+a n +2为定值.若a 7=2，a 9=3，a 98=4，则数列{a n }的前100项的和S 100=( ) A ．132 B ．299
C ．68
D ．99
【答案】B 【解析】 【分析】
由12n n n a a a ++++为定值，可得3n n a a +=，则{}n a 是以3为周期的数列，求出123,,a a a ，即求100S . 【详解】
对任意的n ∈+N ，均有12n n n a a a ++++为定值，
()()123120n n n n n n a a a a a a +++++∴++-++=，
故3n n a a +=，
{}n a ∴是以3为周期的数列，
故17298392,4,3a a a a a a ======，
()()()100123979899100123133S a a a a a a a a a a a ∴=+++++++=+++L ()332432299=+++=.
故选：B . 【点睛】
本题考查周期数列求和，属于中档题.
2．数列{}n a 的通项公式为(
)n a n c n N *
=-∈．则“2c <”是“{}n
a 为递增数列”的（ ）
条件． A ．必要而不充分 B ．充要
C ．充分而不必要
D ．即不充分也不必要
【答案】A 【解析】 【分析】
根据递增数列的特点可知10n n a a +->，解得1
2
c n <+
，由此得到若{}n a 是递增数列，则3
2c <
，根据推出关系可确定结果. 【详解】 若“{}n a 是递增数列”，则110n n a a n c n c +-=+--->，
即()()22
1n c n c +->-，化简得：12
c n <+， 又n *∈N ，1322n ∴+≥，32
c ∴<， 则2c <¿
{}n a 是递增数列，{}n a 是递增数列2c ⇒<，
∴“2c <”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件．
故选：A . 【点睛】
本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.
3．已知等差数列{}n a 中，若311,a a 是方程2210x x --=的两根，单调递减数列
{}()*n b n N ∈通项公式为27n b n a n λ=+.则实数λ的取值范围是（ ）
A ．(),3-∞-
B ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
C ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
D ．()3,-+∞
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出71a =，再根据{}n b 是递减数列，得到1
21
n λ<-+对*n N ∈恒成立，即得解. 【详解】
∵311,a a 是方程220x x --=的两根，∴3112a a +=. ∵{}n a 是等差数列，∴311722a a a +==，∴71a =，
∴2
n b n n λ=+，又∵{}n b 是递减数列，
∴10n n b b +-<对*n N ∈恒成立， 则()()()2
2
110n n n
n λλ+++-+<，∴()2110n λ++<，
∴1
21
n λ<-
+对*n N ∈恒成立， ∴13
λ<-.
故选：B. 【点睛】
本题主要考查等差中项的应用，考查数列的单调性和数列不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．设等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ,若105:1:2S S =,则155:S S =( ) A ．
34
B ．
23
C ．
12
D ．
13
【答案】A 【解析】 【分析】
根据等比数列前n 项和的性质求解可得所求结果． 【详解】
∵数列{}n a 为等比数列，且其前n 项和记为n S ， ∴51051510,,S S S S S --成等比数列． ∵105:1:2S S =，即1051 2
S S =， ∴等比数列51051510,,S S S S S --的公比为10551
2
S S S -=-， ∴()151010551
1 24
S S S S S -=--=， ∴15510513 44
S S S S =+=， ∴1553:4
S S =． 故选A ． 【点睛】
在等比数列{}n a 中，其前n 项和记为n S ，若公比1q ≠，则233,,,k k k k k S S S S S --L 成等比数列，即等比数列中依次取k 项的和仍为等比数列，利用此性质解题时可简化运算，提高解题的效率．
5．已知数列2233331131357135
1,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n
，则该数列第2019项是（ ） A ．
1019892 B ．
10
2019
2 C ．
11
1989
2 D ．
11
2019
2 【答案】C 【解析】 【分析】 由观察可得()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
项数为21,1,2,4,8,...,2,...k -，注意到101110242201922048=<<=，第2019项是第12个括号
里的第995项.
【详解】 由数列()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，可发现其项数为 21,1,2,4,8,...,2,...k -，则前11个括号里共有1024项，前12个括号里共有2048项，
故原数列第2019项是第12个括号里的第995项，第12个括号里的数列通项为11
21
2
m -， 所以第12个括号里的第995项是111989
2
. 故选：C. 【点睛】
本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题.
6．数列{}n a 满足12a =，对于任意的*n N ∈，11
1n n
a a +=-，则2018a =（ ） A ．-1 B ．
12
C ．2
D ．3
【答案】A 【解析】 【分析】
先通过递推公式11
1n n
a a +=-，找出此周期数列的周期，再计算2018a 的值. 【详解】
111n n
a a +=-Q ，
21111
11111n n n n
a a a a ++∴===-
---， 32
1
11111n n
n n a a a a ++∴=
=
=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，故有3n n a a +=，
则20183672221
1
11a a a a ⨯+====-- 故选：A 【点睛】
本题考查根据数列递推公式求数列各项的值，属于中档题.
7．等差数列的首项为1
25
，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是（ ）
A ．(0,)+∞
B ．8,75⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
C ．83,7525⎛⎫
⎪⎝
⎭ D ．83,7525⎛⎤
⎥⎝
⎦ 【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意可知101a >，91a ≤，把1a 的值代入列不等式解得即可. 【详解】
由题意，设数列{}n a 的公差为d ，首项11
25a =
，则109
11a a >⎧⎨≤⎩，
即101919181
a a d a a d =+>⎧⎨
=+≤⎩，解得83
7525d <≤. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，要熟练记忆等差数列的通项公式．
8．执行下面程序框图输出S 的值为（ ）
A ．
25
42
B ．
3764
C ．
1730
D ．
67
【答案】A 【解析】 【分析】
模拟执行程序框图，依此写出每次循环得到的,S i 的值并判断5i >是否成立，发现当
6i =，满足5i >，退出循环，输出运行的结果111111324354657
S =
++⨯⨯⨯⨯⨯++，利用裂项相消法即可求出S ． 【详解】 由题意可知， 第1次循环时1
13
S =⨯，2i =，否； 第2次循环111324S =
+⨯⨯，3i =，否； 第3次循环时111132435
S =++⨯⨯⨯，4i =，否； 第4次循环时111113243546
S =
++⨯⨯⨯⨯+，5i =，否；
第5次循环时111111324354657
S =+++⨯⨯⨯⨯⨯+，6i =，是； 故输出
111111324354657
S =
++⨯⨯⨯⨯⨯++111111111112324354657⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦= 111125
1226742
⎛⎫=
+--=
⎪⎝⎭ 故选：A. 【点睛】
本题主要考查程序框图中的循环结构，同时考查裂项相消法求和，属于基础题．
9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若123
111
2a a a ++=，22a =，则3S =（ ） A ．10 B ．7
C ．8
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
根据等比数列的性质可将已知等式变为1233
2
224
a a a S a ++==，解方程求得结果. 【详解】 由题意得：
131233
21231322111124
a a a a a S a a a a a a a +++++=+=== 38S ∴=
本题正确选项：C 【点睛】
本题考查等比数列性质的应用，关键是能够根据下角标的关系凑出关于3S 的方程，属于基础题.
10．已知等比数列{a n }，a n ＞0，a 1=256，S 3=448，T n 为数列{a n }的前n 项乘积，则当T n 取得最大值时，n =（ ） A ．8 B ．9
C ．8或9
D ．8.5
【答案】C 【解析】 【分析】
设等比数列{a n }的公比为q ，由a n ＞0，可得q ＞0．根据a 1＝256，S 3＝448，可得256（1+q +q 2）＝448，解得q ．可得a n ，T n ，利用二次函数的单调性即可得出． 【详解】
设等比数列{a n }的公比为q ，∵a n ＞0，∴q ＞0． ∵a 1＝256，S 3＝448， ∴256（1+q +q 2）＝448， 解得q 12=
． ∴a n ＝2561
1()
2
n -⨯=29﹣n ．
T n ＝28
•27
•……•2
9﹣n
＝2
8+7+…+9﹣n
()217
289[)89242
2
22
n n n ⎛⎤--- ⎥+-⎝
⎦==．
∴当n ＝8或9时，T n 取得最大值时， 故选C ． 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足11a =，2416a a =，则6a =（ ） A ．64 B ．32 C ．16 D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
先根据条件求公比，再根据等比数列通项公式求6.a 【详解】
由2416a a =得24455
16116,1602232.a q q q q a a q ==>∴=∴===Q 选B.
【点睛】
本题考查等比数列通项公式，考查基本分析求解能力，属基本题.
12．等差数列{}n a 中，n S 为它的前n 项和，若10a >，200S >，210S <，则当n =（ ）时，n S 最大. A ．8 B ．9
C ．10
D ．11
【答案】C 【解析】 【分析】
根据等差数列的前n 项和公式与项的性质，得出100a >且110a <，由此求出数列{}n a 的前n 项和n S 最大时n 的值． 【详解】
等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且200S >，210S <， 即()
()120201*********a a S a a +=
=+>，10110a a ∴+>，
()
1212111212102
a a S a +=
=<，所以，110a <，则100a >，
因此，当10n =时，n S 最大. 故选：C. 【点睛】
本题考查了等差数列的性质和前n 项和最值问题，考查等差数列基本性质的应用，是中等题．
13．已知函数()2
f x x mx =+图象在点()()
1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，
若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2018S 的值为（ ）
A ．
20152016 B ．
2016
2017
C ．
2017
2018
D ．
2018
2019
【答案】D 【解析】 【分析】
求出原函数的导函数，得到()y f x =在1x =时的导数值，进一步求得m ，可得函数解析式，然后利用裂项相消法可计算出2018S 的值． 【详解】
由()2
f x x mx =+，得()2f x x m '=+，()12f m '∴=+，
因为函数()2
f x x mx =+图象在点()()
1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，
()123f m '∴=+=，解得1m =，()2f x x x ∴=+，则
()()211111
11
f n n n n n n n ===-+++. 因此，20181111112018112232018201920192019
S =-+-++-=-=L . 故选：D. 【点睛】
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．
14．在数列{}n a 中，111
2,1n n
a a a +=-=-，则2016a 的值为
A ．-2
B ．
13 C ．
12 D ．
32
【答案】B 【解析】
由111n n
a a +=-，得
21111
11111n n n n
a a a a ++=-=-=
--. 所以
32
11
1111n n n n
a a a a ++=-
=-
=-. 即数列{}n a 以3为周期的周期数列. 所以20163111
13
a a a ===-. 故选B.
点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项，本题是通过迭代得到了数列的周期性．
15．在等比数列{}n a 中，已知259,243a a ==，那么{}n a 的前4项和为（ ）. A ．81 B ．120
C ．121
D ．192
【答案】B 【解析】 【分析】
根据3
5
2
a
q
a
=求出公比，利用等比数列的前n项和公式即可求出.【详解】
Q3
5
227
a
q
a
==,∴3
q=
∴
44
1
4
(1)3(13)
120
113
a q
S
q
--
===
--
.故选：B
【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n项和，属于中档题.
16．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（）.（取
lg30.4771
≈，lg20.3010
≈）
A．16 B．17 C．24 D．25
【答案】D
【解析】
【分析】
由折线长度变化规律可知“n次构造”后的折线长度为
4
3
n
a
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，由此得到
4
1000
3
n
⎛⎫
≥
⎪
⎝⎭
，利
用运算法则可知
3
2lg2lg3
n≥
⨯-
，由此计算得到结果.
【详解】
记初始线段长度为a，则“一次构造”后的折线长度为4
3
a，“二次构造”后的折线长度为
2
4 3a
⎛⎫ ⎪⎝⎭，以此类推，“n次构造”后的折线长度为
4
3
n
a
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
若得到的折线长度为初始线段长度的1000倍，则
4
1000
3
n
a a
⎛⎫
≥
⎪
⎝⎭
，即
4
1000
3
n
⎛⎫
≥
⎪
⎝⎭
，
()()44lg lg lg 4lg32lg 2lg3lg1000333n
n n n ⎛⎫∴==-=-≥= ⎪⎝⎭
， 即324.0220.30100.4771
n ≥
≈⨯-，∴至少需要25次构造. 故选：D .
【点睛】 本题考查数列新定义运算的问题，涉及到对数运算法则的应用，关键是能够通过构造原则得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点.
17．已知数列{}n a
的首项112,9n n a a a +==+，则27a =（ ）
A ．7268
B ．5068
C ．6398
D ．4028 【答案】C
【解析】
【分析】
由19n n a a +=+
得2123)n a ++=
，所以构造数列
为等差数列，算出22(31)n a n +=-，求出27a .
【详解】
易知0n a >
，因为19n n a a +=+
，所以2123)n a ++=，
3
，是以3为公差，以2为首项的等差数列.
231,2(31)n n a n =-+=-，即2278026398a =-=.
故选 ：C
【点睛】
本题主要考查由递推公式求解通项公式，等差数列的通项公式，考查了学生的运算求解能力.
18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12n n n a S n ++=
（*n ∈N ），则n S =（ ）
A ．121n -+
B ．2n n ⋅
C ．31n -
D ．123n n -⋅ 【答案】B
【解析】
【分析】 由题得122,1
n n a n a n ++=⨯+再利用累乘法求出1(1)2n n a n -=+⋅，即得n S . 【详解】
由题得111(1)(1),,,2121n n n n n n n na n a na n a S S a n n n n ++---=
∴=∴=-++++（2n ≥） 所以122,1
n n a n a n ++=⨯+（2n ≥） 由题得22166,32a a a =∴
==，所以122,1n n a n a n ++=⨯+（1n ≥）. 所以324123134512,2,2,2,234n n a a a a n a a a a n
-+=⨯=⨯=⨯=⨯L ， 所以11112,(1)22
n n n n a n a n a --+=⋅∴=+⋅. 所以(2)222n n n n S n n n =
⨯+⋅=⋅+. 故选：B
【点睛】
本题主要考查数列通项的求法，考查数列前n 项和与n a 的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
19．在一个数列中，如果*n N ∀∈，都有12n n n a a a k ++=（k 为常数），那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积.已知数列{}n a 是等积数列，且11a =，22a =，公积为8，则122020a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）
A ．4711
B ．4712
C ．4713
D ．4715 【答案】B
【解析】
【分析】
计算出3a 的值，推导出()3n n a a n N
*+=∈，再由202036731=⨯+，结合数列的周期性可
求得数列{}n a 的前2020项和.
【详解】
由题意可知128n n n a a a ++=，则对任意的n *∈N ，0n a ≠，则1238a a a =，312
84a a a ∴==， 由128n n n a a a ++=，得1238n n n a a a +++=，12123n n n n n n a a a a a a +++++∴=，3n n a a +∴=， 202036731=⨯+Q ，因此，
()1220201231673673714712a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++=⨯+=.
故选：B.
【点睛】
本题考查数列求和，考查了数列的新定义，推导出数列的周期性是解答的关键，考查推理
能力与计算能力，属于中等题.
20．已知数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列，且10a >，若数列{}n a 是递增数列，则1a 的取值范围为（ ） A ．(1,2)
B ．(0,3)
C ．(0,2)
D ．(0,1) 【答案】D
【解析】
【分析】
先根据已知条件求解出{}n a 的通项公式，然后根据{}n a 的单调性以及10a >得到1a 满足的不等关系，由此求解出1a 的取值范围.
【详解】 由已知得11111113n n a a -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则111
11113n n a a -=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.
因为10a >，数列{}n a 是单调递增数列，
所以10n n a a +>>，则111111*********n n a a ->⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭， 化简得11
1110113a a ⎛⎫<-<-
⎪⎝⎭，所以101a <<. 故选：D.
【点睛】
本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围，难度一般.已知数列单调性，可根据1,n n a a +之间的大小关系分析问题.。