高考最新-2018广东揭阳一模 精品

试卷类型：A
2018年揭阳市高中毕业班高考第一次模拟考试
数学科试题
本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡密封线内。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 P （A +B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P .那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率
k n k k n n P P C k P --=)1()( . 球的表面积公式：S =4πR 2 ，其中R 表示球的半径
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若条件P ：x A B ∈ 则P ⌝
是
A.x A ∉或x B ∉
B. x A ∉且x B ∉
C.x A B ∈
D. x A ∉或x B ∈ 2
．函数()f x =
A.{|33}x x -≤≤
B.{|311113}x x x x -≤<--<<<≤或或
C.{|31}x x x ≤≠±且
D.{|3113}x x x -≤<-<≤或 3. 已知sin(
4x π
-)＝1
3
，则sin 2x 的值为 A. 79 B. 59 C. 49 D. 29
4． 不等式(1)(21)0x y x y -++-≤在坐标平面内表示的区域（用阴影部分表示）应是下图中的
5．某气象站天气预报准确率是80%，6次预报中至少有5次准确的概率是
A. 5
56(80%)20%C ⋅ B.
56(80%)20%(80%)⋅+
C. 56(80%)(80%)+
D. 5566(80%)20%(80%)C ⋅+
6.已知函数()()()()1
112,3,x
f x y f
x f a f b ---==+=的反函数为若则22a b +的最小值为
A.4
B.8
C.16
D.7．设函数()2
24sin tan 2cos log 2x x x x f x k x ππ⎧⎛⎫-≠ ⎪⎪⎪⎝
⎭=⎨⎛⎫⎪= ⎪
⎪⎝⎭⎩
在点2x π=处连续，则实数k 的值为
A.116
B. 1
2
C. 1
D.2 8．在正三棱锥S —ABC 中，侧棱SC ⊥侧面SAB ，侧棱
A. 2π
B. 4π
C. 6π
D. 8π
9．若方程[]cos 2|cos |,0,2x x k x π+∈＝有4个不同的根，则k 的取值范围是
A. 01k ≤≤
B. 0<k<1
C. 1<k<3
D.k>3
10．若对任意实数x 都有()0,f x >且()()224log 31log f x f x +=++，已知()12,f =则()10f 的值为
A ．128 B.256 C.512 D.1184
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答案卡中的相应横线上.
11．从6个教室中至少安排3个教室供学生上选修课, 则可能安排的情况共有 种.（用数字作答）
12．已知定点A 、B 且|AB|=6，动点P 满足|PB|－|PA|=4，则|PA|的最小值是 . 13.设曲线C 的方程为()y f x =，若lim x y
k x
→∞
=，且lim()x y kx b →∞-=，则y kx b =+是曲线C 的渐近
线.根据以上定义可得曲线1
21y x x
=+
-的一条渐近线方程为 .
14.如图，在一个正方体的表面涂上颜色，若将它的棱（1）都3等分； （2）都n （n ≥3）等分。

然后分别从等分点把正方体锯开，将每次得 到的这些小正方体充分混合后，装入一个口袋中。

在上述操作下从口 袋中任意取出1个小正方体，这个小正方体的表面仅有1个面涂有颜色 的概率第(1)种情况是 ;第（2）种情况是 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分12分）
已知：(
)
)()2
2
2sin cos 2cos (1f x x x x x R =++-+∈
（Ⅰ）请说明函数()y f x =的图象可由函数sin 2y x =的图象经过怎样的变换得到；(7分) （Ⅱ）设函数()y f x =图象位于y 轴右侧的对称中心从左到右依次为A 1、A 2、A 3、A 4、…、n A …、
()n N *∈，试求A 4的坐标。

（5分）
16．（本小题满分13分）
已知229
()(3) ().32
f x x x ax a R =
--∈ （I ）若过函数f （x ）图象上一点P （1，t ）的切线与直线x －2y +b =0垂直，求t 的值；（6分）
（II ）若函数)x (f 在)1,1( -内是减函数，求a 的取值范围.（7分）
17. （本小题满分14分）
在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB=BC=CA=a ，AA 1
（I ）求AB 1与侧面CB 1所成的角；（4分）
（II ）若点P 为侧棱AA 1的中点，求二面角P －BC －A 的大小；(5分) （Ⅲ）在（II ）的条件下，求点A 到平面PBC 的距离.（5分）
18．（本小题满分13分）
甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f(x),g(x)以及任意的0x ≥，当甲公司投入x 万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x 万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g(x)万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险。

（Ⅰ）试解释f(0)=10,g(0)=20的实际意义；（3分） （Ⅱ）设f(x)=
1
4
20,甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司各应投入多少宣传费？(10分)
C 1
B 1
A 1
C
B
A
19. （本小题满分14分）
如图，已知点(4,0)N p -（p >0,p 是常数），点T 在y 轴上，
0MT NT ⋅= ，MT 交x 轴于点Q ，且2TM QM = .
（Ⅰ）当点T 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹E 的方程；(4分) （Ⅱ）设直线l 过轨迹E 的焦点F,且与该轨迹交于A 、B 两点，
过A 、B 分别作该轨迹的对称轴的垂线，垂足分别为12,,A A 求证：OF 分）
(Ⅲ) 对于该轨迹E ，能否存在一条弦CD 被直线l 垂直平分？若存在，求出直线CD 的方程；若不存在，试说明理由。

（5分）
20．（本小题满分14分） 设函数)(x f 的定义域为R ，当0<x 时，0()1f x <<，且对任意的实数x 、R y ∈，有
).()()(y f x f y x f =+
（Ⅰ）求)0(f ；（2分）
(Ⅱ)试判断函数)(x f 在(,0]-∞上是否存在最大值，若存在，求出该最大值，若不存在说明理由；（5分）（Ⅲ）设数列{}n a 各项都是正数，且满足1(0),a f =2
2
111
(),()(32)
n n n n f a a n N f a a *++-=
∈--
又设1
3221211
11,,)2
1(++
++=
+++==n n n n n a
n a a a a a a T b b b S b n ，试比较S n 与 n T 的大小.（7分）
参 考 答 案 及 评 分 说 明
一.选择题： 1．答案B 2．解：由
1||2||1x x +≥-得||3
0||1
x x -≤-1||3,13x x ∴<≤∴<≤或31x -≤<-，故选D.
3．解：2
217sin 2cos 2cos 212sin 1224439x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-=-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.选A.
或由sin(
4x π
-)＝13
得1(cos sin )23x x -=
，cos sin 3x x -=，2
2(cos sin )9x x -= ∴27
sin 2199
x =-
=. 4．解：由(1)(21)0x y x y -++-≤得10210x y x y -+≥⎧⎨
+-≤⎩或10
210
x y x y -+≤⎧⎨+-≥⎩，故选C.
5.根据n 次独立重复试验中事件恰好发生k 次的概率及概率加法公式得答案D
6.解: ∵()()()1
1122log ,log 3,8,f
x x f a f b ab ab ---=∴+===
又2
2
2
2
216a b ab a b +≥∴+≥ 故选C.
7．解：2
22
sin lim tan cos x x x x π
→⎛⎫
- ⎪⎝⎭＝()222222
sin 1sin sin sin lim lim cos cos cos x x x x x x x x x ππ→→-⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 2
sin 1lim
,1sin 2x x x
π→==+由函数()f x 在点2x π=处连续，得4log k ＝1
2，2k =.故选D.
8．解： 依题意，构造球的内接正方体SDBG-FAEC
的性质知(
)2
2
236R =⨯
=（R 为球的半径）
，∴外接球的表面积是2
46,R ππ=选C.
9.解：由图象可知答案应选B.
10.解：解由已知得()()423,f x f x +=+令3x t +=，则有()()12,f t f t +=
∴数列(){}f n 是以2为首项，2为公比的等比数列，()10110221024f -∴=⨯=。

故选D.
二．填空题：
11．42；12．1；13．21y x =-；14．627、2
3
6(2)n n -.
解答或提示：
11.解：可能安排的情况共有：34566012
6666666242C C C C C C C +++=---=(种)
12.解:由|AB|=6， |PB|－|PA|=4，知点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，半焦距为3、实半轴长为2的双曲线
的左支，故|PA|的最小值是：3－2＝1.
13.解：依题目提供的信息有：212111lim lim(2)2x x x x x x x
→∞→∞+-=+-=，且1lim(212)1x x x x →∞+-
-=-，由此可知曲线1
21y x x
=+-的一条渐近线方程为21y x =-.
14．解：（1）当将正方体的棱3等分时；从等分点把正方体锯开，所得的小正方体有33个，其中表面仅有1个面涂色的小正方体有6个，故从口袋中任意取出1个小正方体，这个小正方体的表面仅有1个面涂色的概率为
3
66273
=； （2）当将正方体的棱4等分时；从等分点把正方体锯开，所得的小正方体有43个，其中表面仅有1个面涂色的小正方体有6×22个；当将正方体的棱5等分时；从等分点把正方体锯开，所得的小正方体
有53个，其中表面仅有1个面涂色的小正方体有6×32个；按此规律,当将正方体的棱n （n ≥3）等分时；从等分点把正方体锯开，所得的小正方体有n 3个，其中表面仅有1个面涂色的小正方体有6(n-2)2个；这种情况从口袋中任意取出1个小正方体，这个小正方体的表面仅有1个面涂色的概率为
2
3
6(2)n n
-. 三、解答题：
15．解：（Ⅰ） (
)22sin cos )cos 2f x x x x =
++-
2cos2x x =+ ……………………2分
∴1
()2cos 22
f x x x =
+ cos sin 2sin cos 266x x ππ=+
sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 212x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭…………………5分
所以函数()y f x =的图象可由函数sin 2y x =的图象向左平移
12
π
个单位得到。

…………7分 （Ⅱ）∵函数sin y x =图象的对称中心为(,0)k π，k Z ∈……………………8分
由2,6
x k k Z π
π+
=∈得函数()y f x =的对称中心为(
,0)212
k ππ
-， k Z ∈……10分
D
P
A B
C
A 1
B 1
C 1
k 依次取1，2，3，4……可得A 1、A 2、A 3、A 4……各点，
∴A 4的坐标为23(,0)12π
……………………………………………………12分 16.解: （I ）∵,x 3ax 2x 3
2)x (f 2
3--=∴.3ax 4x 2)x (f 2--='…………1分
则过P （1，t ）的切线斜率为k =()/114f a =--.………2分 又∵它与直线x －2y +b =0垂直， ∴14a --=－2，
即14a =
，∴()32
21332
f x x x x =--…………5分 又∵P （1，t ）在f （x ）的图象上，∴t =17
6
-.……………6分
（II ） 函数)x (f 在)1,1( -内是减函数
∴2()243f x x ax '=--<0对于一切(1,1)x ∈-恒成立。

………（*）………7分
∵二次函数)x (f '的图象开口向上,
∴（*）⇔'(1)2430
(1)2430f a f a '-=+-≤⎧⎨=--≤⎩
……………10分
∴11
44
a -≤≤………12分
17.解：（I ）取BC 中点D,连结AD,B 1D
∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直棱柱
∴侧面CB 1⊥底面ABC,且交线为BC ………………1分 ∵△ABC 为等边三角形∴AD ⊥BC,
∴AD ⊥面CB 1 ∴∠AB 1D 为AB 1与侧面CB 1所成的角………2分 在Rt △ADB 1中 ∵
，AB 1
= ∴sin ∠AB 1D ＝112
AD AB = ∴∠AB 1D=30
………………………………………4分
（II ）连结PB,PC,PD,
∵PA ⊥底面ABC AD ⊥BC
∴PD ⊥BC ∴∠PDA 为二面角P －BC －A 的平面角………………………6分
在Rt △PAD ∵tan ∠PDA
＝3a
PA AD ==……………………………8分 ∴∠PDA ＝
arctan
3
………………………………………………………9分
（Ⅲ）设点A 到平面PBC 的距离为h ，则由P ABC A PBC V V --=得ABC PBC S PA S h ∆∆⋅=⋅
∴ABC PBC
S PA
h S ∆∆⋅=
………………………………………………11分
2
2
2
2223(
)22
PB PA AB a a =+=+=
PD ==
∴212PBC S BC PD ∆=
⋅= ………………………………………13分
∵2
ABC S ∆=
，
∴2h =
=.…………………………………………………14分 (其它解法请参照给分)
18. 解：（Ⅰ）f(0)=10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少
要投入10万元宣传费；
g(0)=20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入
20万元宣传费。

…………………………………………………………3分
（Ⅱ）设甲公司投入宣传费x 万元，乙公司投入宣传费y 万元，…………………………4分
依题意，当且仅当
(1)(2)1()104()20y f x x x g y ⎧
≥=+⎪
⎨
⎪≥=⎩
时，双方均无失败的风险. ……………………8分 由(1)、（2
）得1
20)104
y ≥+………………………………………10分
即4600y ≥
左边因式分解得：15)0≥………………………………………11分
0150∴>
416
y ∴≥
2042024x ∴≥≥+=
min min 24,16.x y ∴==…………………………………………………………………12分
答: 在双方均无失败风险的情况下，甲公司至少要投入24万元，乙公司至少要投入16万元.……13分
19．（Ⅰ）解：(,),(0,),(,0)OM x y OA a OQ b ===
设
∵ NT ⊥TQ 0b
∴≥
2(4,),(,),0,4NT p a TQ b a NT TQ a pb ==-⋅=∴=
则又 ①………………2分 (,),(,),QM x b y TM x y a =-=-
又22x b
TM QM
y a
=⎧=∴⎨
=-⎩ ② 由①②22y px =()0p >……………………4分
（Ⅱ）证明：若直线l 与x 轴不垂直，设其斜率为k ，则直线l 的方程为()2
p
y k x =-
，……5分 设A(x 1，y 1)， B （x 2,y 2）则12||,||OA x OB x == ∵F (
,0)2p ∴||2
p
OF =， 由2()22p y k x y px ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩
消去y 得2222
2(2)04k k x pk p x p -++=………………7分 ∴2
124
p x x = ∴2||||||OF OA OB =⋅……………………………………8分
若直线l 与x 轴垂直，则A 1、A 2与F 重合， 这时122p x x ==，也有22
||||||4
p OF OA OB =⋅=
综上知OF 是1OA 和2OA 的等比中项. ………………………………………………9分 另证：∵ 抛物线2
2y px =()0p >焦点为F ,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
， ∴过焦点F 的直线l 的方程可设为2
p
x my =+， 代入抛物线方程得2
2
20y pmy p --=.
若设()()1122,,,A x y B x y ，则12,y y 是该方程的两个根，
有212y y p =-，由22
11222,2y px y px ==得221212()4y y p x x =
∴2124p x x =，又2
221212,42p p OA OA x x OF ⎛⎫⋅==== ⎪⎝⎭
∴OF 是1OA 和2OA 的等比中项；………………7分 （Ⅲ）假设对于该抛物线，能存在一条弦CD 被直线l 垂直平分，
设()22,,,,22c d C c D d c d p p ⎛⎫⎛⎫
≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
………………………………8分 则C 、D 中点的坐标为22(,)42
c d c d p ++
故l 的方程为22224c d c d c d y x p p
⎛⎫
+++-=-- ⎪⎝⎭
，…………………………10分 又l 过焦点F ,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
，有2202224c d c d p c d p p ⎛⎫
+++-=-- ⎪⎝⎭
，整理得 ()()22220,c d p c d +++=2220,20,0p p c d c d ≠∴++≠∴+= ,………………12分
这时直线l 的方程为y=0，从而直线l 为抛物线px y 22=的对称轴， 这和直线l 与抛物线有两个不同的交点矛盾，所以上假设不成立，故对于该抛物线，不存在一条弦CD 被直线l 垂直平分. ……14分
20．解：（Ⅰ）令0,1(1)(1)(0)y x f f f ==--=-得…………………………1分
(1)[1(0)]0,f f --=
∵.1)0(,0)1(=∴>-f f …………………………2分
(Ⅱ) 又∵0,()0,x f x <>时 ∴当0,x >时由()()()f x x f x f x -=-＝1得1
()0,()
f x f x =>- 故对于.0)(,>∈x f R x ……………………………………………………3分 设,21x x <则120,x x -<由已知得12()1,f x x -<
∴11221222()[()]()()()f x f x x x f x x f x f x =-+=-<……………………5分 ∴函数)(x f 在R 上是单调递增函数. ………………………………………6分 ∴函数)(x f 在(,0]-∞上存在最大值，f(x)max =f(0)=1…………………………7分 (Ⅲ) 由2
2
111(),()(32)
n n n n f a a n N f a a *++-=
∈--得22
11()(32)(0),n n n n f a a f a a f ++---=
即2211(32)(0),()n n n n
f a a a a f n N *
++-+--=∈
∵函数)(x f 是R 上单调函数.
∴2211320n n n n a a a a ++-+--=……………………………………………………8分 2211320n n n n a a a a ++⇒+---=
21111(2)(1
)0(2)(1)0n n n n n n n n a a a a a a a a ++++⇒+-++=⇒++--= ∵数列{}n a 各项都是正数，∴120n n a a +++≠
∴11n n a a +-=()n N *∈
∴数列{}n a 是首项1(0)1a f ==，公差为1的等差数列，且n a n =.……………10分 11111(1)1
n n a a n n n n +==-++
∴1223111111111111(1)()()()12233411
n n n T a a a a a a n n n +=+++=-+-+-++-=-++ 而212111()()222n n n S b b b =+++=+++ 11(1)12211212
n n -==--………………………12分 ∵当n ＝1时，21n n =+ ∴n n T S =
当2n ≥时，(1)2(11)112n n n n n n +=+=++
+>+ ∴
1121
n n <+ ∴n n T S <.……………………………………………………14分。