2021年江苏省常州市高考数学期初试卷(一模)(附答案详解)

2021年江苏省常州市高考数学期初试卷（一模）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1. 已知集合A ={x|x 2+2ax −3a 2=0}，B ={x|x 2−3x >0}，若A ⊆B ，则实数a
的取值范围为( )
A. {0}
B. {−1,3}
C. (−∞,0)∪(3,+∞)
D. (−∞,−1)∪(3,+∞)
2. i 是虚数单位，在复平面内复数√3−i +√3−i 对应的点的坐标为( )
A. (3√32,−1
2
)
B. (3√32,−3
2
)
C. (√32,−1
2
)
D. (√32,−3
2
)
3. 已知a ，b ，c 是实数，则“a ≥b ”是“ac 2≥bc 2”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 设函数f(x)=alnx +bx 2，若函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y =x ，
则函数y =f(x)的增区间为( )
A. (0,1)
B. (0,√2
2) C. (√2
2,+∞) D. (√2
2
,1) 5. 用红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色随机给如图所示的四块三
角形区域涂色，则“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为( ) A. 4
3
53
B. 4453
C. 43
54
D. 44
54
6. 如果在一次实验中，测得(x,y)的四组数值分别是(1,2.2)，
(2,3.3)，(4,5.8)，(5,6.7)，则y 对x 的线性回归方程是( )
A. y ̂
=0.15x +4.05 B. y ̂
=x +1.45 C. y ̂
=1.05x +1.15
D. y ̂
=1.15x +1.05
7. 令(x +1)2020=a 1x 2020+a 2x 2019+a 3x 2018+⋯+a 2020x +a 2021(x ∈R)，则a 2+
2a 3+⋯+2019a 2020+2020a 2021=( )
A. 2019⋅22019
B. 2019⋅22020
C. 2020⋅22019
D. 2020⋅22020
8.函数f(x)=Asin(2x+φ)+kx+b，A>0，φ>0，k，b∈R，则函数f(x)在区间
(−π,π)上的零点最多有()
A. 4个
B. 5个
C. 6个
D. 7个
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
9.已知a⃗，b⃗ 是平面上夹角为π
的两个单位向量，c⃗在该平面上，且(a⃗−c⃗ )⋅(b⃗ −c⃗ )=0，
3
则下列结论中正确的有()
A. |a⃗+b⃗ |=1
B. |a⃗−b⃗ |=1
C. |c⃗|<√3
D. a⃗+b⃗ ，c⃗的夹角是钝角
10.已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布N(110,81)，其中90分为及格线，
则下列结论中正确的有
附：随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.9545()
A. 该校学生成绩的期望为110
B. 该校学生成绩的标准差为9
C. 该校学生成绩的标准差为81
D. 该校学生成绩及格率超过95%
11.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，
3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”，记S n为数列{a n}的前n项和，则下列结论中正确的有()
A. a8=21
B. S7=32
=a2022
C. a1+a3+a5+⋯+a2n−1=a2n
D. a12+a22+⋯+a20212
a2021
12.设函数y=f(x)的定义域为D，若存在常数a满足[−a,a]⊆D，且对任意的x1∈
[−a,a]，总存在x2∈[−a,a]，使得f(x1)⋅f(−x2)=1，称函数f(x)为P(a)函数，则下列结论中正确的有()
A. 函数f(x)=3x是P(1)函数
B. 函数f(x)=x3是P(2)函数
C. 若函数f(x)=log12(x+t)是P(2)函数，则t=4
)函数，则b=±√2
D. 若函数f(x)=tanx+b是P(π
4
三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为500π
的球面上，圆柱底面直径为8，则该圆
3
柱的表面积为______ ．
14.函数f(x)=|sinx+cosx|+|sinx−cosx|的最小正周期为______ ．
15. 已知椭圆C 1：
x 2
m+1
+
y 2m
=1的右焦点F 也是抛物线C 2：y 2=nx 的焦点，且椭圆与抛
物线的交点到F 的距离为5
3，则实数n = ______ ，椭圆C 1的离心率e = ______ ． 16. 已知函数f(x)=1
x 2−4x+5−ln|x −2|，则使不等式f(2t +1)>f(t +2)成立的实数t
的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 设等比数列{a n }的公比为q(q ≠1)，前n 项和为S n ．
(1)若a 1=1，S 6=98S 3，求a 3的值；
(2)若q >1，a m +a m+2=5
2a m+1，且S 2m =9S m ，m ∈N ∗，求m 的值．
18. 已知△ABC 中，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3b 2+3c 2=3a 2+2bc ．
(1)求sin A 的值；
(2)若sinB =2sinC ，求tan C 的值．
19. 已知某射手射中固定靶的概率为3
4，射中移动靶的概率为2
3，每次射中固定靶、移动
靶分别得1分、2分，脱靶均得0分，每次射击的结果相互独立，该射手进行3次打靶射击：向固定靶射击1次，向移动靶射击2次． (1)求“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”的概率； (2)求该射手的总得分X 的分布列和数学期望．
20.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面四边形ABCD是矩
形，AB=AP=2BC，平面PAB⊥平面ABCD，二面角P−BC−A的大小为45°．
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值．
21.已知函数f(x)=x−alnx+b
x
，a，b∈R．
(1)若a>0，b>0，且1是函数f(x)的极值点，求1
a +2
b
的最小值；
(2)若b=a+1，且存在x0∈[1
e
,1]，使f(x0)<0成立，求实数a的取值范围．
22.已知等轴双曲线C：x2
a2−y2
b2
=1(a>0,b>0)经过点(√5
2
,1
2
).
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点B(0,1)．
①过原点且斜率为k的直线与双曲线C交于E，F两点，求∠EBF最小时k的值；
②点A是C上一定点，过点B的动直线与双曲线C交于P，Q两点，k AP+k AQ为定值λ，求点A的坐标及实数λ的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解；已知集合A={x|x2+2ax−3a2=0}={x|(x+3a)(x−a)=0}，
B={x|x2−3x>0}={x|x>3或x<0}，
若A⊆B，
则B集合包含A集合的所有元素，
若a=0时，A={0}，不符合题意舍去，
当a≠0时，A={−3a,a}，
则a>0时，因为A⊆B，则a>3；
a<0时，−3a>0，因为A⊆B，则−3a>3；即a<−1，
故实数a的取值范围为(−∞,−1)∪(3,+∞)．
故选：D．
解出A集合，分类讨论a的范围，结合A⊆B，可得实数a的取值范围．
本题的考点是集合的包含关系，考查两个集合的子集关系和分类讨论，解题的关键是正确判断集合的含义．
2.【答案】A
【解析】解：∵√3−i
3−i =√3−i√3+i)
(3−i)(3+i)
=√3−i+√3+i)
(√3)2+12=√3−i+√3
2
+i
2
=3√3
2
−1
2
i，
∴在复平面内复数√3−i+
√3−i 对应的点的坐标为(3√3
2
,−1
2
).
故选：A．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】A
【解析】解：由“a≥b”⇒“ac2≥bc2”，反之不成立，例如c=0时．
∴“a≥b”是“ac2≥bc2”的充分不必要条件．
故选：A．
由“a≥b”⇒“ac2≥bc2”，反之不成立，即可判断出结论．
本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基
础题．
4.【答案】C
【解析】解：由f(x)=alnx +bx 2，得f′(x)=a
x +2bx ， 又函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y =x ， ∴{f′(1)=a +2b =1f(1)=b =1，则a =−1，b =1． ∴f′(x)=−1
x +2x ，
由f′(x)=−1
x +2x >0，得x 2>1
2， 又x >0，∴x >√2
2
，
即函数y =f(x)的增区间为(√2
2,+∞)．
故选：C ．
求出原函数的导函数，再由已知列关于a ，b 的方程组，求得a 与b 的值，代入导函数解析式，由导函数大于0可得函数f(x)的增区间．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，是中档题．
5.【答案】A
【解析】解：用红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色， 基本事件总数n =54，
其中“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”包含的基本事件个数： m =5×43，
则“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为P =m n
=
5×4354
=
4353
．
故选：A ．
先求出基本事件总数，再求出其中“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”包含的基本事件个数，由此能求出“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率． 本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力、数学应用能力等核心意识，是基础题．
6.【答案】D
【解析】解：x −
=1
4(1+2+4+5)=3，y −
=1
4(2.2+3.3+5.8+6.7)=4.5，
∴b ̂
=
∑x i n i=1y i −nx −y
−
∑x i 2n i=1−nx
−2=
2.2+6.6+4×5.8+5×6.7−4×3×4.5
1+4+16+25−4×9
=
11.510
=1.15，
∴a ̂
=y −
−b ̂
x −
=4.5−1.15×3=1.05，
∴线性回归方程为y ̂
=1.15x +1.05． 故选：D ．
先计算x −
和y −
，再根据a ̂
和b ̂
的计算公式进行运算，即可得解．
本题考查线性回归方程的求法，熟记a ̂
和b ̂
的计算公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由于(x +1)2020=C 20200+C 20201
x +⋯+C 20202020x 2020， 则C 20200=C 20202020，C 20201=C 20202019，…，
∴a 1=a 2021，a 2=a 2020，…，
∴2020a 1+2019a 2+2018a 3+⋯+a 2020=a 2+2a 3+⋯+2019a 2020+2020a 2021， f(x)=(x +1)2020=a 1x 2020+a 2x 2019+a 3x 2018+⋯+a 2020x +a 2021，
∴f′(x)=2020(x +1)2019=2020a 1x 2019+2019a 2x 2018+2018a 3x 2017+⋯+a 2020， 令x =1，可得2020⋅22019=2020a 1+2019a 2+2018a 3+⋯+a 2020=a 2+2a 3+⋯+2019a 2020+2020a 2021． 故选：C ．
先求导，再代值计算即可求出．
本题考查了二项式定理和导数的运算，考查了运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：根据题意，函数f(x)=Asin(2x +φ)+kx +b 在区间(−π,π)上的零点，
就是函数y =Asin(2x +φ)和函数y =−kx −b 在区间(−π,π)的交点， 对于y =Asin(2x +φ)，其周期T =2π2
=π，
区间(−π,π)包含2个周期，
如图：
两个函数在两个周期中最多有5个交点，即函数f(x)在区间(−π,π)上的零点最多有5个， 故选：B ．
根据题意，由函数的零点与方程的关系，可得函数f(x)在区间(−π,π)上的零点就是函数y =Asin(2x +φ)和函数y =−kx −b 在区间(−π,π)的交点，分析y =Asin(2x +φ)的周期，结合正弦函数的图像分析可得答案．
本题考查函数的零点与方程的关系，涉及正弦函数的周期性，属于基础题．
9.【答案】BC
【解析】解：a ⃗ ，b ⃗ 是平面上夹角为π
3的两个单位向量， 如图：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，距离坐标系如图，
c ⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，a ⃗ −c ⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ −c ⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，(a ⃗ −c ⃗ )⋅(b ⃗ −c ⃗ )=0， 可得PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以c ⃗ 的中为P 在以BC 为直径的圆上， 所以|a ⃗ +b ⃗ |=√3.所以A 不正确； |a ⃗ −b ⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，所以B 正确； |AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为：√3
4
+√3
2
=
3√34
<√3，所以C 正确；
a ⃗ +
b ⃗ ，
c ⃗ 的夹角是锐角，所以D 不正确． 故选：BC ．
画出图形，建立坐标系，说明c
⃗ 在该平面上的轨迹，结合选项判断正误即可． 本题考查向量的综合应用，轨迹方程的求解，命题的真假的判断，考查转化思想以及计算能力，是难题．
10.【答案】ABD
【解析】解：由题意，正态分布曲线的对称轴为x =110，σ=9． ∴该市学生数学成绩的期望为110，故A 正确； 该市学生数学成绩的标准差为9，故B 正确，C 错误； ∵P(92<ξ<128)=0.9545，
∴P(ξ≤92)=P(ξ≥128)=12[1−P(P(92<ξ<128)]=1
2(1−0.9545)=0.02275,
则P(ξ<90)<0.02275，P(ξ≥90)>0.97725>0.95，故D 正确． 故选：ABD ．
由已知可得A正确，B正确，C错误；求出学生数学成绩的及格率判断D．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：由题设知：数列{a n}的前8项为：1，1，2，3，5，8，13，21，
∴a8=21，S7=33，故选项A正确，选项B错误；
又a1=a2，a3=a4−a2，a5=a6−a4，…，a2n−1=a2n−a2n−2，
将以上式子相加可得：a1+a3+a5+⋯+a2n−1=a2n，故C选项正确；
斐波那契数列总有a n+2=a n+1+a n，
∴a12=a2a1，
a22=a2(a3−a1)=a2a3−a2a1，
a32=a3a4−a2a3，…，
a2019
2=a2018(a2019−a2017)=a2018a2019−a2017a2018，
a2019
2=a2019a2020−a2019a2018，
a2020
2=a2020a2021−a2020a2019，
a2021
2=a2021a2022−a2021a2020，
将以上式子相加可得：a12+a22+⋯+a2021
2=a2021a2022，故选项D正确，
故选：ACD．
由题意可得数列{a n}满足递推关系a1=1，a2=1，a n=a n−2+a n−1(n≥3)，对照四个选项可得正确选项．
本题主要考查数列的递推关系式在数列的项与和中的应用，属于中档题．
12.【答案】AD
【解析】解：对于A，对任意的x1∈[−1,1]，要使f(x1)⋅f(−x2)=1，
即3x1⋅3−x2=1，只要x2=x1即可，所以f(x)=3x是P(1)函数，所以A对；
对于B，当x1=0时，f(0)⋅f(−x2)=1，此方程无解，所以B错；
对于C，假设C对，则对任意的x1∈[−2,2]，总存在x2∈[−2,2]，
使得f(x1)⋅f(−x2)=1，即log12(x1+4)log12(x1+4)=1，
x1+4∈[2,6]，x1+4∈[2,6]，所以0<log12(x1+4)<1，0<log12(x1+4)<1，于是log12(x1+4)log12(x1+4)<1，于是矛盾，所以C错；
对于D，因为f(x)=tanx+b是P(π
4)函数，所以对任意的x1∈[−π
4
,π
4
]，
总存在x2∈[−π
4,π
4
]，使得f(x1)⋅f(−x2)=1，
即(b+tanx1)(b−tanx2)=1，tanx2=b−1
b+tanx1
∈[−1,1]，
所以−1≤b−1
b+1≤1，且−1≤b−1
b−1
≤1，解得b=±√2，所以D对．
故选：AD．
A用新定义证明；B举反例即可；C用反证法否定结论；D用新定义建立不等式组，解不等式组判断即可．
本题以命题的真假判断为载体，考查了函数与方程的基本应用，属于中档题．
13.【答案】80π
【解析】解：由题意球的体积为：500π
3
，所以球的半径为R，
4π3R3=500π
3
，解得R=5，
所以圆柱底面直径为8，圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为500π
3
的球面上，
所以圆柱的高为：√102−82=6．
可得圆柱的表面积：8π×6+2×42π=80π．
故答案为：80π．
利用球的体积求解球的半径，然后求解圆柱的高，即可求解圆柱的表面积．
本题求解球的体积，求解球的半径，球的内接体的表面积的求法，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．
14.【答案】π
【解析】解：由三角函数公式化简可得：
f(x)=|sinx+cosx|+|sinx−cosx|
=|√2sin(x+π
4)|+|√2sin(x−π
4
)|，
可知函数y=|√2sin(x+π
4)|和y=|√2sin(x−π
4
)|的周期均为π，
∴已知函数的周期为π，故答案为：π．
由三角函数公式化简可得f(x)=|√2sin(x+π
4)|+|√2sin(x−π
4
)|，由三角函数的周期公
式和绝对值对周期的影响可得．
本题考查三角函数的周期性和周期的求法，涉及两角和与差的三角函数公式，属基础题．
15.【答案】4 1
2
【解析】解：椭圆C 1：x 2m+1
+y 2
m =1的右焦点F(1,0)，所以抛物线C 2：y 2=nx 的焦点(1,0)， 所以n =4；
椭圆与抛物线的交点到F 的距离为5
3，不妨设在第一象限的交点为A ，则A(2
3,√8
3)，
由椭圆定义，可得2a =√(2
3−1)2+8
3+√(2
3+1)2+8
3=4，
所以椭圆的离心率为e =c
a =12． 故答案为：4；1
2．
求出椭圆的焦点坐标，得到抛物线的焦点坐标，即可求解n ；求出交点坐标，利用椭圆的定义求解2a ，然后求解椭圆的离心率即可．
本题考查椭圆的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
16.【答案】(1
3,1)
【解析】解：因为f(x)=1
x 2−4x+5−ln|x −2|=1
(x−2)2+1−ln|x −2|， 所以f(4−x)=1
(2−x)2+1−ln|2−x|=f(x)， 所以函数f(x)的图像关于x =2对称，
当x >2时，f(x)=1
x 2−4x+5−ln|x −2|=1
x 2−4x+5−ln(x −2)单调递减， 根据函数的对称性知，f(x)在x <2时单调递增， 因为f(2t +1)>f(t +2)， 所以|2t +1−2|<|t +2−2|， 即|2t −1|<|t|， 所以4t 2−4t +1<t 2， 解得，1
3<t <1． 故答案为：(1
3,1).
由已知可判断函数的图像关系x =2对称，然后检验函数的单调性，结合对称性及单调性即可求解．
本题主要考查不等式的解法，利用函数的对称性和单调性之间的关系是解决本题的关键，
综合考查函数性质的应用．
17.【答案】解：(1)等比数列{a n}的公比为q(q≠1)，前n项和为S n．∵a1=1，S6=9
8
S3，
∴S6=S3+q3S3=S3(1+q3)=9
8
S3，
解得q=1
2
，
∴a3=a1q2=1
4
．
(2)∵q>1，a m+a m+2=5
2
a m+1，且S2m=9S m，m∈N∗，
∴a m=a m q2=5
2a m q，∴q2−5
2
q+1=0，
由q>1，解得q=2，
∵S2m=9S m，∴a1(1−22m)
1−2=9×a1(1−2m)
1−2
，
∵a1≠0，∴1−22m=9(1−2m)，
解得m=3．
【解析】(1)利用等比数列通项公式求出q=1
2
，由此能求出a3．
(2)由q>1，得由q>1，解得q=2，再由S2m=9S m，利用等比数列前n项和公式列方程，能求出m的值．
本题考查等比数列的运算，涉及到等比数列的通项公式、前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识等核心素养，是基础题．
18.【答案】解：(1)△ABC中，3b2+3c2=3a2+2bc，所以b2+c2−a2=2
3
bc，
利用余弦定理知，cosA=b2+c2−a2
2bc =
2
3
bc
2bc
=1
3
，
因为A∈(0,π)，所以sinA=√1−cos2A=√1−1
9=2√2
3
；
(2)△ABC中，B=π−(A+C)，所以sinB=sin(A+C)=2sinC，即sinAcosC+cosAsinC=2sinC，
所以2√2
3cosC+1
3
sinC=2sinC，
解得sinC=2√2
5
cosC，
又cosC ≠0，所以tanC =sinC
cosC =2√2
5
．
【解析】(1)△ABC 中根据题意利用余弦定理求出cos A ，再计算sin A 的值； (2)利用三角形内角和定理与三角恒等变换，即可求得tan C 的值．
本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角函数求值问题，是基础题．
19.【答案】解：(1)记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件D ，射中固
定靶为事件A ，射中移动靶分别为事件B ，C ，
则D =ABC −
+AB −
C ，其中ABC −
+AB −
C 互斥，A ，B ，C ，B −
，C −
相互独立，P(A)=3
4，P(B)=P(C)=23
，
∴P(D)=P(ABC −
)+P(AB −
C)=3
4
×2
3
×(1−2
3
)+3
4
×(1−2
3
)×2
3
=1
3
．
即该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次的概率为1
3． (2)X 的可能取值为0，1，2，3，4，5． P(X =0)=(1−3
4)(1−2
3)(1−2
3)=1
36， P(X =1)=3
4×(1−2
3)×(1−2
3)=1
12， P(X =2)=(1−3
4)×2
3×(1−2
3)×2=1
9，
P(X =3)=3
4×2
3×(1−2
3)×2=1
3， P(X =4)=(1−3
4)×2
3×2
3=1
9， P(X =5)=3
4×2
3×2
3=1
3， 该射手的总得分X 的分布列为：
∴E(X)=0×136+1×1
12+2×1
9+3×1
3+4×1
9+5×1
3=41
12．
【解析】(1)由题意可设该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次为事件D ，射中固定靶为事件A ，射中移动靶分别为事件B ，C ，由互斥事件即可解决；
(2)由题意X 的取值分别为0，1，2，3，4，5，分别计算出对应的概率，即可求解． 本题考查了统计与概率，数学期望，互斥事件的概率，分布列，属于中档题．
20.【答案】(1)证明：∵底面四边形ABCD是矩形，∴BC⊥AB，
又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面PAB，
∵AB⊂平面PAB，PB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB
∴BC⊥AB，BC⊥PB，BC⊥PA，
∴∠PBA为二面角P−BC−A的平面角，
又二面角P−BC−A的大小为45°，∴∠PBA=45°，
∵在△PAB中AB=AP，∴∠PBA=∠BPA=45°，
∴∠PAB=90°，即AB⊥AP，
又BC⊥PA，AB∩BC=B，
∴PA⊥平面ABCD；
(2)解：如右图所示，在底面ABCD内，过点B作BH⊥AC，
垂足为H，连接PH，
由(1)知PA⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，∴BH⊥PA，
又PA∩AC=A，∴BH⊥平面PAC，
∴∠BPH为直线PB与平面PAC所成的角，其中BH=
AB×BC AC =2
√5
BC，
BP=√2PA=2√2BC，
∴直线PB与平面PAC所成的角的正弦值为BH
BP =
2
√5
BC
2√2BC
=√10
10
．
【解析】(1)先由四边形ABCD是矩形推导出：BC⊥AB，然后由平面PAB⊥平面ABCD 推导出：BC⊥平面PAB，进而有：BC⊥AB，BC⊥PB，BC⊥PA，再由二面角P−BC−A 的大小为45°推导出：AB⊥AP，最后利用线面垂直的判定定理证明结论；
(2)先由题设条件和(1)作出直线PB与平面PAC所成的角，再计算出其正弦值即可．本题主要考查面面垂直、线面垂直的性质定理及判定定理的应用、二面角的平面角的应用、线面角的正弦值的计算，属于中档题．
21.【答案】解：(1)f′(x)=1−a
x −b
x2
，因为1是函数f(x)的极值点，
所以f′(1)=1−a−b=0，即a+b=1，
此时f′(x)=1−a
x −b
x2
=x2−ax−b
x2
=x2−(1−b)x−b
x2
=(x−1)(x+b)
x2
，
当0<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，所以函数f(x)在x=1处取极小值，
所以1a +2b =(1a +2b )(a +b)=3+b a +2a b
，因为a >0，b >0，
所以b
a
+
2a b ≥2√b a ⋅
2a b
=2√2(当且仅当a =2−√2，b =√2−1时等号成立)，
所以1a +2
b ≥3+2√2， 所以1
a +2
b 的最小值为3+2√2． (2)当b =a +1时，f(x)=x −alnx +
a+1x
，
在x 0∈[1
e ,1]，使f(x 0)<0成立，即函数f(x)在[1
e ,1]上的最小值小于0， f′(x)=1−a
x −
a+1x 2
=
(x+1)[x−(1+a)]
x 2
(x >0)，
①当1+a ≥1，即a ≥0时，f(x)在[1
e ,1]上单调递减， 所以f(x)在[1
e ,1]上的最小值为f(1)=1+a +1=a +2<0， 所以a <−2，不符，舍去；
②当1+a ≤1
e ，即a ≤1
e −1时，f(x)在[1
e ,1]上单调递增，
所以f(x)在[1
e ,1]上的最小值为f(1
e )=1
e +a +e(a +1)=(e +1)a +e +1
e <0， 所以a <−e 2+1
e(e+1)，又a ≤1
e −1，所以a <−e 2+1
e(e+1)；
③当1
e <1+a <1，即1
e −1<a <0时，f(x)在[1
e ,1+a]上单调递增，在[1+a,1]上单调递减，
所以f(x)在[1
e ,1]上的最小值为f(1+a)=a +1+1−aln(a +1)=a[1−ln(a +1)]+2，
因为1
e <1+a <1，所以−1<ln(a +1)<0，所以1<1−ln(a +1)<2， 所以a >a[1−ln(a +1)]>2a ，
所以f(1+a)=a[1−ln(a +1)]+2>2a +2>0，不符，舍去， 综上可得，a 的取值范围是(−∞,e 2+1
e(e+1)).
【解析】(1)对f(x)求导，由1是函数f(x)的极值点，可得f′(1)=0，可得a +b =1，利用乘“1”法和基本不等式即可求解1
a +2
b 的最小值； (2)由题意可得f(x)=x −alnx +
a+1x
在[1
e ,1]上的最小值小于0，先求导，再对a 分类讨
论，求出f(x)的最小值，即可得符合题意的a 的值．
本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，考查基本不等式的应用，考查不等式成立问题，考查分类讨论与转化的数学思想，以及运算求解能力，属于难题．
22.【答案】解：(1)由题意a =b ，且
54a 2
−
14b 2
=1，解得a =b =1，
所以双曲线C 的方程为x 2−y 2=1． (2)①由对称性可设E(x,y)，F(−x,−y)，
则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF
⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y −1)⋅(−x,−y −1)=−x 2−y 2+1， 因为E 点在双曲线C 上，所以x 2−y 2=1，所以y 2=x 2−1， 所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(1−x 2)≤0，
当|x|=1时，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∠EBF 为直角， 当|x|>1时，BE
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ <0，∠EBF 为钝角， 所以∠EBF 最小时，|x|=1，k =0．
②设A(m,n)，过点B 的动直线为y =tx +1， 设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，
联立{x 2−y 2=1
y =tx +1
得(1−t 2)x 2−2tx −2=0，
所以{
1−t 2≠0△=4t 2+8(1−t 2
)>0x 1+x 2=−2t 1−t 2x 1x 2=−21−t 2，由1−t 2≠0，且△>0，解得t 2<2且t 2≠1，
k AP +k AQ =λ，即y 1−n
x 1−m +y 2−n
x 2
−m =λ，即
tx 1+1−n x 1−m
+
tx 2+1−n x 2−m
=λ，
化简得(2t −λ)x 1x 2+(−mt +1−n +λm)(x 1+x 2)−2m +2mn −λm 2=0， (2t −λ)x 1x 2+(−mt +1−n +λm)2t
1−t 2−2m +2mn −λm 2=0， 化简得(λm 2−2mn)t 2+2(λm −n −1)t +2λ−2m +2n −λm 2=0， 由于上式对无穷多个不同的实数t 都成立， 所以{λm 2−2mn =0①
λm −n −1=02λ−2m +2mn −λm 2=0②
，
将①代入②得λ=m ，从而{m 3
=2mn m 2=n +1
，
如果m =0时，那么n =−1，此时A(0,−1)不在双曲线C 上，舍去， 因此m ≠0，从而m 2=2n ，代入m 2=n +1，解得n =1，m =±√2， 此时A(±√2,1)在双曲线上，
综上A(√2,1)，λ=√2，或者A(−√2,1)，λ=−√2．
【解析】(1)由等轴双曲线及双曲线经过点(√52
,1
2
)，列方程组，解得a ，b ，进而可得答
案．
(2)①由对称性可设E(x,y)，F(−x,−y)，由数量积得BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x 2−y 2+1，再由E 点在双曲线C 上，推出y 2=x 2−1，进而可得BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(1−x 2)≤0，进而可得 ∠EBF 最小时k 的值．
②设A(m,n)，过点B 的动直线为y =tx +1，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，联立直线PQ 与双曲线的方程，结合韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，△>0，用坐标表示k AP +k AQ =λ，化简得(λm 2−2mn)t 2+2(λm −n −1)t +2λ−2m +2n −λm 2=0，由于上式对无穷多个不同的实数t 都成立，从而列{λm 2−2mn =0①λm −n −1=02λ−2m +2mn −λm 2
=0②，解得n ，m ，进而可
得答案．
本题考查双曲线的方程，直线与双曲线相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．。