2013年上海市虹口区高考数学二模试卷(文科)含详解

2013年上海市虹口区高考数学二模试卷（文科）
一、填空题（每小题4分，满分56分）
1．（4分）函数f（x）=（2k﹣1）x+1在R上单调递减，则k的取值范围是．2．（4分）已知复数，则|z|=．
3．（4分）已知，则cos2（α+β）=．
4．（4分）设（1+2x）n展开式中二项式系数之和为a n，各项系数之和为b n，则
=．
5．（4分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且渐近线方程为，则此双曲线方程为．
6．（4分）如果log a4b=﹣1，则a+b的最小值为．
7．（4分）数列{a n}的通项，前n项和为S n，则S13=．
8．（4分）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，且满足，则△F1PF2的面积等于．
9．（4分）从集合{1，2，3}的所有非空子集中，等可能地取出一个，所取出的子集中含数字1的概率是．
10．（4分）对于x∈R，不等式|2﹣x|+|1+x|≥a2﹣2a恒成立，则实数a的取值范围是．
11．（4分）在△ABC中，AB=1，AC=2，，则△ABC面积等于．
12．（4分）将边长为2的正方形沿对角线AC折起，以A，B，C，D为顶点的三棱锥的体积最大值等于．
13．（4分）设a n=log n+1（n+2）（n∈N*），称a1a2a3…a k为整数的k为“希望数”，则在内所有“希望数”的个数为．
14．（4分）已知函数的定义域是使得解析式有意义的x
的集合，如果对于定义域内的任意实数x，函数值均为正，则实数a的取值范围是．
二、选择题（每小题5分，满分20分）
15．（5分）已知不等式组，则目标函数f=x+2y的最大值是（）
A．1B．5C．7D．8
16．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中与异面直线AB，CC1均垂直的棱有（）条．
A．1B．2C．3D．4
17．（5分）已知函数与直线相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，则等于（）
A．6πB．7πC．12πD．13π
18．（5分）若，，m∈R，如果有α3+sinα+m=0，﹣β3﹣sinβ+m=0，则cos（α+β）值为（）
A．﹣1B．0C．D．1
三、解答题（满分74分）
19．（12分）如图，P A⊥平面ABCD，P A=1，矩形ABCD的边长AB=1，BC=2，E为BC的中点．
（1）求异面直线PE与AB所成的角的大小；
（2）求四棱锥P﹣ABED的侧面积．
20．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，向量
，，且．
（1）求角B；
（2）若a，b，c成等差数列，且b=2，求△ABC的面积．
21．（14分）已知复数z n=a n+b n•i，其中a n∈R，b n∈R，n∈N*，i是虚数单位，且，z1=1+i．
（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（2）求和：①z1+z2+…+z n；②a1b1+a2b2+…+a n b n．
22．（16分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），直线l交此抛物线于不同的两个点A（x1，y1）、B（x2，y2））
（1）当直线l过点M（﹣p，0）时，证明y1•y2为定值；
（2）当y1y2=﹣p时，直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；
（3）记N（p，0），如果直线l过点M（﹣p，0），设线段AB的中点为P，线段PN的中点为Q．问是否存在一条直线和一个定点，使得点Q到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．23．（18分）定义域为D的函数f（x），如果对于区间I内（I⊆D）的任意两个数x1、x2都有成立，则称此函数在区间I上是“凸函数”．
（1）判断函数f（x）=﹣x2在R上是否是“凸函数”，并证明你的结论；
（2）如果函数在区间[1，2]上是“凸函数”，求实数a的取值范围；（3）对于区间[c，d]上的“凸函数”f（x），在[c，d]上的任取x1，x2，x3，…，，证明：．
2013年上海市虹口区高考数学二模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题4分，满分56分）
1．（4分）函数f（x）=（2k﹣1）x+1在R上单调递减，则k的取值范围是．
【考点】3E：函数单调性的性质与判断．
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】根据一次函数的单调性可得2k﹣1＜0，解出即可．
【解答】解：因为f（x）=（2k﹣1）x+1在R上单调递减，
所以2k﹣1＜0，解得k＜，
所以k的取值范围为（﹣∞，），
故答案为：（﹣∞，）．
【点评】本题考查一次函数的单调性，属基础题，熟练掌握一次函数的图象及其性质是解决问题的基础．
2．（4分）已知复数，则|z|=2．
【考点】A5：复数的运算；A8：复数的模．
【专题】11：计算题．
【分析】把给出的复数分子分母同时乘以（1﹣i），分子采用两次平方运算，化简后直接取绝对值．
【解答】解：==﹣2，
所以|z|=2．
故答案为2．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的模，如果复数是实数，则是其绝对值，是基础题．
3．（4分）已知，则cos2（α+β）=．
【考点】GP：两角和与差的三角函数；OM：二阶行列式的定义．
【专题】11：计算题；56：三角函数的求值．
【分析】通过二阶行列式的定义，求出cos（α+β），利用二倍角的余弦函数，求出结果即可．
【解答】解：因为，
所以cosαcosβ﹣sinαsinβ=，
即cos（α+β）=．
∴cos2（α+β）=2cos2（α+β）﹣1=2×（）2﹣1=．
故答案为：．
【点评】本题考查二阶行列式的定义、三角函数的和角公式，二倍角公式的应用，考查计算能力．
4．（4分）设（1+2x）n展开式中二项式系数之和为a n，各项系数之和为b n，则=﹣1．
【考点】8J：数列的极限；DA：二项式定理．
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】则由题意可得2n=a n，b n=3n，==，
再利用数列极限的运算法则求得结果．
【解答】解：∵（1+2x）n展开式中二项式系数之和为a n，各项系数之和为b n，则2n=a n，b n=3n，
∴====﹣1，
故答案为﹣1．
【点评】本题主要考查二项式系数系数和、二项式的系数和的区别，求数列的极限，数列极限的运算法则，属于中档题．
5．（4分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且渐近线方程为，则此双曲线方程为．
【考点】K4：椭圆的性质；KC：双曲线的性质．
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由题意可设要求的双曲线为，c为半焦距．于是，解出即可．
【解答】解：设要求的双曲线为，c为半焦距．
由题意得，解得．
∴此双曲线的方程为．
故答案为．
【点评】熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质是解题的关键．
6．（4分）如果log a4b=﹣1，则a+b的最小值为1．
【考点】4H：对数的运算性质；7F：基本不等式及其应用．
【专题】11：计算题．
【分析】由给出的对数等式得到a，b均为正数，且ab=，然后直接利用基本不等式求最值．
【解答】解：由log a4b=﹣1，得：a＞0，b＞0，，即ab=．
所以a+b．
当且仅当a=b=时上式取“=”．
所以a+b的最小值为1．
故答案为1．
【点评】本题考查了对数的运算性质，考查了利用基本不等式求最值的方法，利用基本不等式求最值，要注意“一正、二定、三相等”，此题是基础题．7．（4分）数列{a n}的通项，前n项和为S n，则S13=7．
【考点】8E：数列的求和．
【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．
【分析】易求数列{a n}的周期为4，然后对数列前13项每4项结合，即可求得S13．
【解答】解：由，知数列{a n}的周期为4，
S13=a1+a2+a3+a4+…+a13
=1+++…+
=（1+0﹣3+0）+（5+0﹣7+0）+…+（9+0﹣11+0）+13
=﹣2×3+13=7，
故答案为：7．
【点评】本题考查数列求和问题，解决本题的关键是通过观察发现周期及各项的变化规律，属中档题．
8．（4分）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，且满足，则△F1PF2的面积等于1．
【考点】K4：椭圆的性质．
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=4，又|F1F2|=2 ，∠F1PF2=，利用余弦定理可求得|PF1|•|PF2|，从而可求得△F1PF2的面积．
【解答】解：∵P是椭圆上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，∠F1PF2=，
∴|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2 ，
在△F1PF2中，由勾股定理得：
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|+|PF2|）2﹣2|PF1|•|PF2|
=16﹣2|PF1|•|PF2|=16﹣2|PF1|•|PF2|=12，
∴|PF1|•|PF2|=2，
∴S△F1PF2=|PF1|•|PF2|=1
故答案为：1
【点评】本题考查椭圆的简单性质与标准方程，考查勾股定理与三角形的面积，属于中档题．
9．（4分）从集合{1，2，3}的所有非空子集中，等可能地取出一个，所取出的子集中含数字1的概率是．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．
【专题】5I：概率与统计．
【分析】分别求出集合{1，2，3}的所有非空子集的个数，其中含有数字1的子集个数，利用古典概型的概率计算公式即可得出．
【解答】解：集合{1，2，3}的所有非空子集共有23﹣1=7个，其中含有数字1的子集共有4个：{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}．
根据古典概型的概率计算公式可得，所取出的子集中含数字1的概率P=．
故答案为．
【点评】正确求出集合{1，2，3}的所有非空子集的个数及其中含有数字1的子集个数和熟练掌握古典概型的概率计算公式是解题的关键．
10．（4分）对于x∈R，不等式|2﹣x|+|1+x|≥a2﹣2a恒成立，则实数a的取值范围是[﹣1，3]．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】由题意可得|2﹣x|+|1+x|的最小值大于或等于a2﹣2a，而由绝对值的意义可得|2﹣x|+|1+x|的最小值为3，可得
3≥a2﹣2a，由此求得实数a的取值范围．
【解答】解：∵对于x∈R，不等式|2﹣x|+|1+x|≥a2﹣2a恒成立，∴|2﹣x|+|1+x|的最小值大于或等于a2﹣2a．
由于|2﹣x|+|1+x|表示数轴上的x对应点到2和﹣1对应点的距离之和，它的最小值为3，
故有3≥a2﹣2a，即a2﹣2a﹣3≤0，解得﹣1≤a≤3，
故实数a的取值范围是[﹣1，3]，
故答案为：[﹣1，3]．
【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式、分式不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．
11．（4分）在△ABC中，AB=1，AC=2，，则△ABC面积等于．
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；HR：余弦定理．
【专题】58：解三角形．
【分析】利用数量积运算性质可得cos A，再利用平方关系即可得出sin A，利用
=即可得出．
三角形的面积公式S
△ABC
【解答】解：∵在△ABC中，AB=1，AC=2，，
∴，
∴12+2×1×cos A=2，解得．
∵0＜A＜π，∴sin A==．
∴S
===．
△ABC
故答案为．
【点评】熟练掌握数量积运算性质、平方关系、三角形的面积公式S
△
=是解题的关键．
ABC
12．（4分）将边长为2的正方形沿对角线AC折起，以A，B，C，D为顶点的三棱锥的体积最大值等于．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】11：计算题；5F ：空间位置关系与距离．
【分析】如图所示，设正方形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，点D 折叠后的位置为D '，连接BD '、OD '．利用线面垂直的判定，证出AC ⊥平面B 'DO ，从而得到三棱锥的体积为V D '﹣ABC =V A ﹣BOD '+V C ﹣BOD '=S △BOD '×AC ．因为AC =2
是定值，所以当S △BOD '达到最大值时所求的体积最大．最后根据正弦
定理面积公式和正弦函数的最值，可得所求三棱锥的体积最大值等于．
【解答】解：如图所示，设正方形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ， 点D 折叠后的位置为D '，连接BD '，OD ' ∵AC ⊥BO ，AC ⊥BO '，BO ∩D 'O =0 ∴AC ⊥平面B 'DO 因此，三棱锥的体积为 V D '﹣ABC =V A ﹣BOD '+V C ﹣BOD '
=S △BOD '×AO +S △BOD '×CO =S △BOD '×AC ∵正方形的边长为2，可得AC =2
∴当S △BOD '最大时，V D '﹣ABC 达到最大值． ∵S △BOD '=×
=sin ∠BOD ′
∴当∠BOD '=90°时，S △BOD '的最大值为1，从而得到V D '﹣ABC 的最大值为
AC = 故答案为：
【点评】本题给出正方形的翻折问题，求折叠后形成的三棱锥的体积最大值，着重考查了线面垂直的判定与性质、正方形的性质和面积正弦定理公式等知识，
属于基础题．
13．（4分）设a n=log n+1（n+2）（n∈N*），称a1a2a3…a k为整数的k为“希望数”，则在内所有“希望数”的个数为9．
【考点】4H：对数的运算性质．
【专题】23：新定义．
【分析】先利用换底公式与叠乘法把a1•a2•a3…a k化为log2（k+2），再根据a1•a2•a3…a k为整数，可得k=2n﹣2，进而由2n﹣2＜2013可得结论．
【解答】解：∵a n=log n+1（n+2）=
∴a1•a2•a3…a k==log2（k+2），
又∵a1•a2•a3…a k为整数
∴k+2必须是2的n次幂（n∈N*），即k=2n﹣2．
由2n﹣2＜2013，得2n＜2015．解得n＜11，又n∈N*，∴n=10．
∴k∈（1，2013）内所有的“希望数”的个数是9．
故答案为：9．
【点评】本题考查新定义，考查了对数的换底公式，考查了叠乘法，训练了学生的运算能力，是中档题．
14．（4分）已知函数的定义域是使得解析式有意义的x
的集合，如果对于定义域内的任意实数x，函数值均为正，则实数a的取值范围是﹣7＜a≤0或a=2．
【考点】33：函数的定义域及其求法；34：函数的值域．
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】题目给出的函数是分式函数，且分子分母均为二次三项式，对应的函数均开口向上，所以分分子分母对应的方程同解和不同解讨论，同解时利用系数相等求a的值，不同解时，若a≠0，则需分子分母对应的方程均无解，a=0时，在定义域内函数值恒大于0．
【解答】解：给出的函数分子分母都是二次三项式，对应的图象都是开口向上的
抛物线，若分子分母对应的方程是同解方程，
则，解得a=2．此时函数的值为f（x）=＞0．
若分子分母对应的方程不是同解方程，要保证对于定义域内的任意实数x，函数值均为正，则需要分子分母的判别式均小于0，即，
解①得﹣7＜a＜1．
解②得﹣16＜a＜0．
所以a的范围是﹣7＜a＜0．
当a=0时，函数化为f（x）=，函数定义域为{x|x≠0}，分母恒大于0，
分子的判别式小于0，分子恒大于0，函数值恒正．
综上，对于定义域内的任意实数x，函数值均为正，则实数a的取值范围是﹣7＜a≤0或a=2．
【点评】本题考查了利用函数的值的范围求解参数问题，考查了分类讨论得数学思想，解答此题的关键是分析出函数值恒正时的分子分母的取值情况，此题属中档题，容易漏掉a=0，也是易错题．
二、选择题（每小题5分，满分20分）
15．（5分）已知不等式组，则目标函数f=x+2y的最大值是（）
A．1B．5C．7D．8
【考点】7C：简单线性规划．
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】画出约束条件表示的可行域，判断目标函数f=x+2y的位置，求出最大值．
【解答】解：作出约束条件，的可行域如图，
目标函数f=x+2y在的交点A（3，2）处取最大值，最大值为f=3+2×2=7．
故选：C．
【点评】本题考查简单的线性规划的应用，正确画出可行域，判断目标函数经过的位置是解题的关键．
16．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中与异面直线AB，CC1均垂直的棱有（）条．
A．1B．2C．3D．4
【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】作出正方体，由正方体的性质可得四条平行的棱均与异面直线AB，CC1垂直．
【解答】解：如图所示：
由正方体的性质可知：在正方体的棱中，
AD、BC、A1D1，B1C1与异面直线AB，CC1均垂直，
故选：D．
【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系，属基础题．
17．（5分）已知函数与直线相交，若在y轴右侧
的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，则等于（）
A．6πB．7πC．12πD．13π
【考点】53：函数的零点与方程根的关系；IR：两点间的距离公式．
【专题】11：计算题；16：压轴题；51：函数的性质及应用．
【分析】利用三角函数的诱导公式与二倍角的正弦可知，y=sin2x，依题意可求得M1，M2，M3，…M13的坐标，从而可求的值．
【解答】解：∵y=2sin（x+）cos（x﹣）=2cos x sin x=sin2x，
∴由题意得：sin2x=，
∴2x=2kπ+或2x=2kπ+，
∴x=kπ+或x=kπ+，k∈Z，
∵正弦曲线y=sin2x与直线y=在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，
∴得M1（，），M2（，），M3（π+，），M4（π+，），…
M13（6π+，），
∴=（6π，），
∴=6π．
故选：A．
【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，着重考查正弦函数的性质，求得M1，M13的坐标是关键，属于中档题．
18．（5分）若，，m∈R，如果有α3+sinα+m=0，﹣β3﹣sinβ+m=0，则cos（α+β）值为（）
A．﹣1B．0C．D．1
【考点】GP：两角和与差的三角函数．
【专题】57：三角函数的图像与性质．
【分析】考查函数f（x）=x3+sin x为奇函数，利用导数求得f（x）在[﹣，]
上是增函数．由题意可得f（α）=﹣m，f（β）=m，可得f（α）=f（﹣β），故有α=﹣β，即α+β=0，从而求得cos（α+β）的值．
【解答】解：考查函数f（x）=x3+sin x，由于f（﹣x）=（﹣x）3+sin（﹣x）=﹣（x3+sin x）=﹣f（x），
∴f（x）为奇函数．
由于函数f（x）的导数f′（x）=3x2+cos x，故当﹣≤x≤时，f′（x）＞0，故f（x）在[﹣，]上是增函数．
∵，，m∈R，α3+sinα+m=0，﹣β3﹣sinβ+m=0，∴f（α）=﹣m，f（β）=m，∴f（α）=﹣f（β）=f（﹣β）
∴α=﹣β，∴α+β=0，∴cos（α+β）=cos0=1，
故选：D．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，求函数的值，属于中档题．三、解答题（满分74分）
19．（12分）如图，P A⊥平面ABCD，P A=1，矩形ABCD的边长AB=1，BC=2，E为BC的中点．
（1）求异面直线PE与AB所成的角的大小；
（2）求四棱锥P﹣ABED的侧面积．
【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LM：异面直线及其所成的角．
【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】（1）取AD的中点F，连EF、PF，可证，∠PEF的大小等于异面直线PE与AB所成的角或其补角的大小，由三角形的知识可得cos∠PEF，由反三角函数可得答案；（2）由题意分别求得各个边长，进而可得侧面各个三角形的面积，求和可得侧面积．
【解答】解：（1）取AD的中点F，连EF、PF．
∵EF∥AB，∴∠PEF的大小等于异面直线PE与AB所成的角或其补角的大小．…
（2分）
由P A=1，AB=BE=1，P A⊥平面ABCD，ABCD是矩形，得EF=1，，，，
∴．…（5分）
∴异面直线PE与AB所成的角的大小等于．…（6分）
（2）∵P A⊥平面ABCD，P A=1，AB=1，AD=1，，S
=1．
△P AD
∵P A⊥BE，BE⊥AB，∴BE⊥平面P AB，∴BE⊥PB，，．…（9分）
连AE，由AB=BE=1，得，同理，，
又，∴PE2+DE2=PD2，由勾股定理逆定理得∠AED=90°，∴．
∴四棱锥P﹣ABED的侧面积为．…（12分）
【点评】本题考查异面直线所成的角，涉及椎体的侧面积，属中档题．20．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，向量
，，且．
（1）求角B；
（2）若a，b，c成等差数列，且b=2，求△ABC的面积．
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；GP：两角和与差的三角函数；
GS：二倍角的三角函数；HR：余弦定理．
【专题】11：计算题；57：三角函数的图像与性质；58：解三角形；5A：平面
向量及应用．
【分析】（1）根据向量数量积的运算公式，结合三角恒等变换公式化简整理，得，再由0＜B＜π，解此方程可得角B的大小；
（2）根据余弦定理，建立关于a、c的方程并化简得4=a2+c2﹣ac，而a、b、c 成等差数列得a+c=2b=4，代入前面的式子解出a=c=2，从而得到△ABC是等边三角形，由此不难得到△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵向量，，且，∴，
化简得，可得，…（5分）
又0＜B＜π，得，
∴，解之得…（7分）
（2）∵a，b，c成等差数列，b=2，∴a+c=2b=4．
又∵b2=a2+c2﹣2ac•cos B，
∴，即4=a2+c2﹣ac…（10分）
将a+c=4代入，得a2﹣4a+4=0，得a=2，
从而c=2，三角形为等边三角形．…（12分）
因此，△ABC的面积．…（14分）
【点评】本题给出向量含有三角函数式的坐标，在已知数量积的情况下求△ABC 中角B的大小，并依此求△ABC的面积．着重考查了三角恒等变换公式、向量的数量积坐标公式和正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．21．（14分）已知复数z n=a n+b n•i，其中a n∈R，b n∈R，n∈N*，i是虚数单位，且，z1=1+i．
（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（2）求和：①z1+z2+…+z n；②a1b1+a2b2+…+a n b n．
【考点】8E：数列的求和；8M：等差数列与等比数列的综合；A5：复数的运算．【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）由z n=a n+b n•i，取n=1后得到z1=a1+b1•i，结合已知条件求出a1，b1．再由，
把z n=a n+b n•i代入后由复数相等可得数列{a n}，{b n}分别为等比数列和等差数列，则数列{a n}，{b n}的通项公式可求；
（2）①直接由等比数列和等差数列的前n项和公式化简，②由错位相减法进行求解．
【解答】解：（1）∵z1=a1+b1•i=1+i，∴a1=1，b1=1．
由，得a n+1+b n+1•i=2（a n+b n•i）+（a n﹣b n•i）+2i=3a n+（b n+2）•i，
∴，
∴数列{a n}是以1为首项公比为3的等比数列，数列{b n}是以1为首项公差为2的等差数列，
∴，b n=2n﹣1；
（2）由（1）知，b n=2n﹣1．
①z1+z2+…+z n=（a1+a2+…+a n）+（b1+b2+…+b n）•i
=（1+31+32+…+3n﹣1）+（1+3+5+•+2n﹣1）•i
=．
②令S n=a1b1+a2b2+…+a n b n，（Ⅰ）
将（Ⅰ）式两边乘以3得，（Ⅱ）
将（Ⅰ）减（Ⅱ）得．
∴，
所以．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，考查了等差关系和等比关系的确定，考查了数列的和，由等差数列和等比数列的积构成的数列，求和的方法是错位相减法．是中档题．
22．（16分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），直线l交此抛物线于不同的两个点A（x1，y1）、B（x2，y2））
（1）当直线l过点M（﹣p，0）时，证明y1•y2为定值；
（2）当y1y2=﹣p时，直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；
（3）记N（p，0），如果直线l过点M（﹣p，0），设线段AB的中点为P，线段PN的中点为Q．问是否存在一条直线和一个定点，使得点Q到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．
【考点】IG：直线的一般式方程与直线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）易判断直线l有斜率且不为0，设l：y=k（x+p），代入抛物线方程消掉x得y的二次方程，由韦达定理即可证明；
（2）分情况讨论：①当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+b（k≠0），代入抛物线方程消掉x得y的二次方程，由韦达定理及y1y2=﹣p得b，k的关系式，假设直线l过定点（x0，y0），则y0=kx0+b，用k消掉b即可得到定点坐标；
②当直线l的斜率不存在，设l：x=x0，代入抛物线方程易求y1y2，由已知可求得
x0，可判断此时直线也过该定点；
（3）易判断直线l存在斜率且不为0，由（1）及中点坐标公式可得y P，代入直线l方程得x P，设Q（x，y），由中点坐标公式可得点Q轨迹的参数方程，消掉参数k后即得其普通方程，由方程及抛物线定义可得准线、焦点即为所求；【解答】（1）证明：l过点M（﹣p，0）与抛物线有两个交点，可知其斜率一定存在，
设l：y=k（x+p），其中k≠0（若k=0时不合题意），
由得k•y2﹣2py+2p2k=0，
∴．
（2）①当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+b，其中k≠0（若k=0时不合题意）．由得ky2﹣2py+2pb=0．
∴，从而．
假设直线l过定点（x0，y0），则y0=kx0+b，
从而，得，即，即过定点（，0）．
②当直线l的斜率不存在，设l：x=x0，代入y2=2px得y2=2px0，，∴，
解得，即，也过（，0）．
综上所述，当y1y2=﹣p时，直线l过定点（，0）．
（3）依题意直线l的斜率存在且不为零，
由（1）得点P的纵坐标为，代入l：y=k（x+p）得，即P（）．
设Q（x，y），则，消k得，
由抛物线的定义知存在直线，点，点Q到它们的距离相等．
【点评】本题考查直线方程、抛物线方程及其位置关系，考查分类讨论思想，考查学生探究问题解决问题的能力，综合性较强，有难度．
23．（18分）定义域为D的函数f（x），如果对于区间I内（I⊆D）的任意两个数x1、x2都有成立，则称此函数在区间I上是“凸函数”．
（1）判断函数f（x）=﹣x2在R上是否是“凸函数”，并证明你的结论；
（2）如果函数在区间[1，2]上是“凸函数”，求实数a的取值范围；（3）对于区间[c，d]上的“凸函数”f（x），在[c，d]上的任取x1，x2，x3，…，，证明：．
【考点】3E：函数单调性的性质与判断；R9：反证法与放缩法证明不等式；RG：数学归纳法．
【专题】14：证明题；23：新定义．
【分析】（1）直接利用函数是“凸函数”的定义，通过放缩法证明即可；
（2）直接利用函数在区间[1，2]上是“凸函数”，列出关系式，利用基本不等式求实数a的取值范围；
（3）对于区间[c，d]上的“凸函数”f（x），在[c，d]上的任取x1，x2，x3，…，，利用数学归纳法的证明步骤直接证明：
．
【解答】（18分）解：（1）设x1，x2是任意两个实数，则有
．
∴函数f（x）=﹣x2在R是“凸函数”．…（4分）
（2）若对于上的任意两个数x1，x2，均有
成立，
即，
整理得…（7分）
若x1=x2，a可以取任意值．
若x1≠x2，得，
∵，
∴a≤﹣8．
综上所述得a≤﹣8．…（10分）
（3）当k=1时由已知得成立．
假设当k=m（m∈N*）时，不等式成立即
成立．
那么，由，
得
=．
即k=m+1时，不等式也成立．根据数学归纳法原理不等式得证．…（18分）【点评】本题考查数学归纳法以及放缩法证明问题的步骤，新定义的应用，考查分析问题与解决问题的能力．。