高中物理新教材同步必修第二册 第5章 抛体运动专题强化 小船渡河问题

针对训练 (多选)河水的流速与某河岸的距离的变化关系如图3甲所示，
船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示.若要使船以最短时间渡河，
下列说法正确的是
√A.船渡河的最短时间为100 s √B.船在行驶过程中，船头始终
与河岸垂直
C.船在河中航行的轨迹是一条直线
图3
D.船在河水中的最大速度为7 m/s
解析 由运动的独立性可知，垂直河岸
C.水流速度越大，过江时间越短
√D.水流速度增大，过江时间不变
图1
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解析 因为轮船垂直于江岸方向的速度不变，而水
流方向是垂直于这个方向的，在这个方向上没有分
速度，设江道宽为d，轮船垂直于江岸方向的速度为
v，则t＝
d v
，所以不论水流速度多大，轮船过江时间
Байду номын сангаас
不变，故C错误，D正确.
水流速度越大，相同时间内沿水流速度方向的位移就越大，轮船在水中
(2)欲使船以最小位移渡河，渡河所用时间是多少？ 答案 25 s
解析 当船的实际速度方向垂直于河岸时，船的位移最小， 因船在静水中的速度为v1＝5 m/s，大于水流速度v2＝3 m/s， 故可以使船的实际速度方向垂直于河岸. 如图乙所示，设船斜指向上游河对岸，且与河岸所成夹角为θ， 则有 v1cos θ＝v2，cos θ＝vv21＝0.6， 则sin θ＝0.8，船的实际速度大小为v＝v1sin θ＝5×0.8 m/s＝4 m/s， 所用的时间为 t′＝dv＝1400 s＝25 s.
流速度无关，故C错误，D正确.
例2 小船要横渡一条200 m宽的河，水流速度为3 m/s，船在静水中的 航速是5 m/s，求：(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6) (1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？ 答案 40 s 正对岸下游120 m处
解析 当小船的船头始终正对对岸行驶时，小船垂直河岸的速度即小船 在静水中的行驶速度，且在这一方向上，小船做匀速运动，故渡河时间 t＝vd船＝2500 s＝40 s，小船沿河流方向的位移x＝v水t＝3×40 m＝120 m， 即小船经过40 s，在正对岸下游120 m处靠岸.
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4.(多选)在一条宽200 m的河中，水的流速v1＝1 m/s，一只小船要渡过 河至少需要100 s的时间.则下列说法正确的是
√A.小船相对于静水的速度为2 m/s
B.无论小船怎样渡河都无法到达正对岸
√C.若小船以最短时间渡河，到达对岸时，距正对岸100 m √D.若小船船头的指向与上游河岸成60°，则小船渡河位移最短
[深度思考] 小船渡河时间的长短与水流速度是否有关？ 答案 无关
例1 (多选)在宽度为d的河中，水流速度为v2，船在静水中速度为
v1(且v1>v2)，方向可以选择，现让该船开始渡河，则该船 A.可能的最短渡河时间为 d
v2
√B.可能的最短渡河位移为d
C.只有当船头垂直河岸渡河时，渡河时间才和水速无关
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专题强化练
ZHUAN TI QIANG HUA LIAN
基础强化练
1.(多选)如图1所示为长江一段平行江道，一轮船的船头始终垂直指向
江岸方向，轮船在静水中运动的速度保持不变，水匀速流动(假设整个
江道水流速度相同)，下列说法正确的是
√A.水流速度越大，轮船行驶位移越大
B.水流速度增大，轮船行驶位移不变
答案 情况一：v水<v船
最短的位移为河宽d，此时合速度垂直河岸.船头与上游河岸夹角θ满足：
v船cos
θ＝v水，如图所示.渡河所用时间t＝
d v船sin
θ
.
情况二：v水>v船 如图所示，以 v 水矢量的末端为圆心，以 v 船的大小为半径作圆，当合速度 的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为 α)，此时航程最 短.由图可知 sin α＝vv船 水，最短航程为 x＝sind α＝vv水 船d.此时船头指向应与上游 河岸成 θ′角，且 cos θ′＝vv水船.
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v12v＋2 v22d，选项 B 正确.
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8.已知某船在静水中的速度为v1＝5 m/s，现让船渡过某条河，假设这 条河的两岸是理想的平行线，河宽为d＝100 m，水流速度为v2＝3 m/s， 方向与河岸平行. (1)欲使船以最短时间渡河，渡河所用时间是多少？位移的大小是多少？ 答案 20 s 20 34 m
运动的总位移也就越大，故B错误，A正确.
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2.(多选)下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示， 虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线.则其中可能正确的是
√
√
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3.(2021·山东师范大学附中高一期中)如图2所示，一条小船渡河，河宽
为100 m，河水流速v1＝3 m/s，船在静水中速度v2＝4 m/s，船头方向与 河岸垂直，关于小船的运动，下列说法正确的是
(3)如果水流速度变为10 m/s，要使小船航程最短，应如何航行？ 答案 船头指向与岸的上游成60°角
解析 如果水流速度变为 10 m/s，如图乙所示，要使小船航程最短，应使 v 合′的方向垂直于 v 船，故船头应偏向上游，与河岸成 θ′角，有 cos θ′ ＝v水v船′＝12，解得 θ′＝60°，即船头指向与河岸的上游成 60°角.
方向速度越大，渡河时间越短，即船头
始终与河岸垂直，渡河时所用时间最短，
tmin＝
d v船
＝100
s，选项A、B正确；
由题图甲可知，水流速度在变化，船的合速度大小及方向均会随位置发
生变化，因此船在河中航行的轨迹不是直线，选项C错误；
船在静水中的速度与水流速度方向垂直，水流速度最大值为4 m/s，则船
在河水中的最大速度为5 m/s，选项D错误.
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解析
当小船的船头始终正对河岸时，渡河时间最短
t＝
d ，因此 v船
v
船＝
dt ＝210000 m/s＝2 m/s；
小 船 以 最 短 时 间 渡 河 ， 到 达 对 岸 时 ， 沿 河 岸 方 向 运 动 的 位 移 x ＝ v1t ＝ 1×100 m＝100 m，即在正对岸下游100 m处靠岸，故A、C正确.
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6.如图4所示为一条河流，河水流速为v，一只船从A点先后两次渡河到
对岸，船在静水中行驶的速度为v静，第一次船头向着AB方向行驶，渡
河时间为t1，船的位移为s1；第二次船头向着AC方向行驶，渡河时间为
t2，船的位移为s2，若AB、AC与河岸垂线方向的夹角相等，则
A.t1＞t2，s1＜s2
第五章 抛体运动
专题强化 小船渡河问题
【学习目标】
1.能利用运动的合成与分解的知识，分析小船渡河问题. 2.会分析小船渡河问题的两个分运动，会求最短时间和最短
位移问题. 3.建立小船渡河模型的一般思路和解法.
【内容索引】
探究重点 提升素养
专题 强化练
探究重点 提升素养
TANJIUZHONGDIAN TISHENGSUYANG
A.小船的实际运动轨迹与河岸垂直
B.小船相对于河岸的速度大小为7 m/s
√C.小船过河所用时间为25 s
D.小船过河后航行到了河对岸下游60 m处
图2
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解析 船头方向与河岸垂直，实际轨迹是合速度 方向，不与岸垂直，故A错误； 小船相对于河岸的速度大小为 v＝ v12＋v22＝
32＋42 m/s＝5 m/s，故 B 错误； 小船过河所用时间为 t＝vd2＝25 s，故 C 正确； 小船过河后航行到了河对岸下游x＝v1t＝75 m处，故D错误.
√D.不管船头与河岸夹角是多少，渡河时间和水速均无关
解析 当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，为vd1，故 A 错误；
当合速度与河岸垂直时，渡河位移最小，为d，故B正确；
将船的实际运动沿垂直河岸方向和水流方向分解，由于各个分运动互
不影响，因而渡河时间t＝
d v垂
(v垂为船速垂直河岸的分速度)，显然与水
当合速度方向与河岸垂直时，小船到达正对岸，
设船头的指向与上游河岸的夹角为θ，如图所示， cos θ＝ v1＝1 ，解得θ＝60°，故B错误，D正确.
v船 2
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5.(多选)(2020·长沙一中高一测试)在一条水流速度恒为v1的小河中，有一 条小船能够沿垂直于河岸的方向从A点渡河至正对岸的B点，如图3所示，
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解析 当船头垂直于河岸渡河时，所用时间最短，最短时间为 t＝vd1＝
100 5
s＝20 s.
如图甲所示，当船到达对岸时，船沿平行于河岸方向也发生了位移，
由几何知识可得，船的位移大小为 l＝ d2＋x2， 由题意可得 x＝v2t＝3×20 m＝60 m，代入得 l＝20 34 m.
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图5
A.运动员放箭处到目标的距离为vv12d
√B.运动员放箭处到目标的距离为 v12v＋2 v22d
C.箭射到靶的最短时间为
d v12＋v22
D.箭射到靶的最短时间为
d v22－v12
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解析 要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则运动员射出的 箭速度 v2 的方向与 OA 线段平行，运动员骑马奔驰的速度 v1 和运动员相 对静止时射出的箭速度 v2 的合速度 v3 的方向指向固定目标(如图所示)， 箭射到靶的最短时间为vd2，运动员放箭处到目标的距离为 l＝ v12＋v22t＝
B.t1＜t2，s1＞s2
C.t1＝t2，s1＜s2
√D.t1＝t2，s1＞s2
图4
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解析 因为AB、AC与河岸垂线方向的夹角相等， 则船在垂直于河岸方向上的分速度相等，渡河时间 t＝ d ，所以两次渡河时间相等.
v静⊥ 设AB、AC与河岸的夹角为θ，船头向着AB方向行驶时，沿河岸方向v1＝ v静cos θ＋v，船头向着AC方向行驶时，沿河岸方向v2＝|v－v静cos θ|＜v1， 沿河岸方向上的位移x1＞x2，根据平行四边形定则，s1＞s2，故D正确， A、B、C错误.
已知小船在静水中航行速度v大小一定，假设小船行驶到河中心时，因
上游河水暴涨泄洪，使得小河的水流速度突然变为v2(v2>v1)，这时保证 船头朝向和v不变，那么因为水速增大将使得该船
√A.渡河通过的路程增大 √B.渡河通过的位移增大
C.渡河时间增大
D.到达对岸时的速度不变
图3
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解析 由题意可知，原来船的合速度垂直于河岸， 当水流速度增大时，船在静水中的速度垂直于河 岸的分速度大小不变，渡河时间不变，C错误； 水流速度增大，船在静水中的速度不变，根据平行四边形定则知，到达 对岸时的速度增大，D错误； 渡河时间不变，水流速度增大，则沿河岸方向上的位移增大，则渡河的 路程增大，A正确； 水流速度增大后，合速度的方向与河岸方向的夹角变小，根据几何关系 知，渡河的位移增大，B正确.
(2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？ 答案 船头指向与岸的上游成53°角 50 s 解析 要使小船到达河的正对岸，则 v 水、v 船的合运动 v 合应垂直于河岸， 如图甲所示，则 v 合＝ v船2－v水2＝4 m/s，经历时间 t′＝vd合＝2400 s＝50 s.
又 cos θ＝vv船水＝35＝0.6，即船头指向与河岸的上游成 53°角.
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能力综合练
7.如图5所示，民族运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔驰的马背上 沿跑道AB运动，拉弓放箭射向他左侧的固定目标.假设运动员骑马奔驰 的速度为v1，运动员静止时射出的箭速度为v2，跑道到固定目标的最近 距离OA＝d.若不计空气阻力的影响，要想命中目标(靶心)且射出的箭在 空中飞行时间最短(不考虑箭的竖直运动)，则
2.小船如何渡河时间最短？最短时间为多少？此时渡河位移为多大？ 答案 由于水流速度始终沿河岸方向，不能提供指向河岸的分速度.因此 若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可.由图可知，t 短＝vd船， 此时船渡河的位移 x＝sind θ，位移方向满足 tan θ＝vv水船.
3.小船如何渡河才能使渡河位移最小？最小位移为多大？
导学探究
如图1所示，一条宽为d的大河，小明驾着小船从码
头A出发，欲将一批货物运送到对岸的码头B.已知
河水流速为v水，小船在静水中的航速为v船.
1.渡河过程中，小船参与了哪两个分运动？
图1
答案 (1)船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船头的
指向相同.
(2)船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行.