自动控制原理基本知识点和重点难点-第4章

《自动控制原理》课程基本知识点及重点难点分析
2011年11月
第4章 根轨迹法
1、内容提要
闭环系统特征方程的根决定着闭环系统的稳定性及主要动态性能。

对于高阶系统而言，其特征根是很难直接求解出来的。

因此，有必要探索不解高次代数方程也能求出系统闭环特征方程的根，进而分析系统闭环特性的有效方法。

根轨迹法就是这样的一种图解方法。

它根据基本法则，利用系统的开环零、极点的分布，绘出系统闭环极点的运动轨迹，形象且直观地反映出系统参数的变化对根的分布位置的影响，并在此基础上对系统的性能进行进一步的分析。

利用根轨迹法分析系统时，根轨迹的绘制是前提。

只有比较准确地绘制出系统的根轨迹，利用根轨迹法及相关的已知条件，得出系统的闭环零极点在s 平面的分布，才能在此基础上运用第3章讲述的时域分析方法，判断系统的稳定性，估算动态性能指标，计算系统稳态误差等。

从不同的角度，根轨迹有几种类型划分：常义根轨迹、广义根轨迹（参数根轨迹）、180根轨迹、0根轨迹等。

而这些不同类型的根轨迹，则是由系统的不同结构（正反馈或负反馈）、不同性质（最小相位或非最小相位）所形成的特征方程的形式决定的。

所以，在绘制根轨迹时，首先要解决的关键问题是系统特征方程的列写。

依照系统的不同结构和性质，将系统的开环传递函数的分子和分母多项式的s 最高次项系数变为+1，其特征方程的形式有如下4种可能：
()
()
*
1
11m
i
i n
j
j K s z s p ==+±
=±+∏∏ （4-1）
这4种可能又归结为
()
()
()*
1
*
1
1,0m
i
i n
j
j s z K
K s p ==+=±
>+∏∏ （4-2）
根据式（4-2）等号右端的符号就可确定相应的根轨迹类型——“+”对应0︒根轨迹，“-”对应180︒根轨迹；式（4-2）中的*K 为系统的根轨迹放大系数或系统的其它参数，i z -和j p -分别为等效的系统开环零点和极点。

2、基本内容
闭环系统特征方程的根决定着闭环系统的稳定性及主要动态性能。

对于高阶系统而言，其特征根是很难直接求解出来的。

根轨迹法是一种图解方法。

它不用求解高次代数方程也能把系统闭环特征方程的根解出来。

因而是分析系统闭环特性的一种有效方法。

根轨迹是以开环传递函数中的某个参数（一般是根轨迹增益）为参变量而画出的闭环特征方程式的根轨迹图。

它根据基本绘制法则，利用系统的开环零、极点的分布，绘出系统闭环极点的运动轨迹，形象且直观地反映出系统参数的变化对根的分布位置的影响，并在此基础上对系统的性能进行进一步的分析。

根轨迹有几种类型划分：常义根轨迹、广义根轨迹（或称参数根轨迹）、180根轨迹、0根轨迹等。

这些不同类型的根轨迹，是由系统的不同结构（正反馈或负反馈）、不同性质（最小相位或非最小相位）所形成的特征方程的形式决定的。

特征方程的形式又归结为
()
()
()*
1
*1
1,0m
i
i n
j
j s z K
K
s p ==+=±
>+∏∏
上式等号右端的符号就可确定相应的根轨迹类型——“+”对应0︒根轨迹，“-”对应180︒根轨迹；
*K 为系统的根轨迹放大系数时对应常义根轨迹，*K 为系统其它参数时对应广义根轨迹；i z -和
j p -分别为等效的系统开环零点和极点。

0︒根轨迹和180︒根轨迹的绘制规则仅在辐角条件上有所不同，幅值条件是一样的。

根轨迹图不仅使我们能直观的看到参数的变化对系统性能的影响，而且还可以用它求出指定参变量或指定阻尼比ξ相对应的闭环极点。

根据确定的闭环极点和已知的闭环零点，就能计算出系统的输出响应及其性能指标，从而避免了求解高阶微分方程的麻烦。

3、重点难点
难点：
用根轨迹法设计系统。

其难点在于系统零、极点在s 平面分布对系统输出响应的影响和根轨迹的准确画法。

解决办法：
首先在一、二阶系统的时域分析时就引出极点在s 平面的分布对系统性能指标的影响，这给用极点配置设计系统打下了一定的基础。

其次在根轨迹一章里也特别强调零、极点在s 平面的分布对系统响应的影响，最后可以用MATLAB 画出准确的根轨迹。

这样就可以用根轨迹方法设计系统了。

3、作业
6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 4、补充习题
（1）设系统动态结构图如所示。

设r x at =，a 为常数。

试求i K 值，使系统稳态误差为零。

（令
()()()r c E s X s X s =-）
-
(1)
K
s Ts +()
c x s 1
i K s +()
r x s
（2）已知单位负反馈系统的开环传递函数为
(10.5)
()(1)
K K K s W s s s -=
+
（1）试绘制相应闭环系统的根轨迹； （2）确定使该系统稳定的K K 的取值范围。

（3）已知系统的开环传递函数为2
()(1)
K K
W s s s =
+，试画出单位负反馈系统的根轨迹草图（求出关键点）；若在负实轴上加一个开环零点 -a ，即开环传递函数变为2()
()(1)
K K s a W s s s +=
+时，利用作
出的根轨迹图说明：当0 <a < 1时能使系统稳定，若a ≥ 1根轨迹有什么变化。