第二章_平面力系的简化和平衡
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
13P YA 6
F
y
0
YA YB P 2P 0
a M A 2aP 2 P(2a ) 3aYB 0 3 5P 25Pa MA YB 6 6
建筑力学
二、静定与超静定问题
对所研究的系统，如果对系统中的所有物体列出的 独立平衡方程数等于未知量的数目，那么总可以求 出待求未知量，这样的问题称为静定问题。如果对 系统中的所有物体列出的独立平衡方程数目小于未 知量总的数目，那么仅仅通过静力平衡无法求解， 这样的问题称为超静定问题. 静力学只能解决静定问题。
建筑力学
静定悬臂梁 静定拱架
静定简支梁
超静定拱
超静定连续梁
建筑力学
§2-6
平面静定桁架
由一些细长 直杆按适当方式 分别在两端连接 而成的几何形状 不变的结构
桁架
建筑力学
一、桁架简化计算的假设 1.各杆件都用光滑铰链相连接 2.各杆件轴线都是直线，并通过铰链中心 3.所有外力(荷载及支座反力)都作用在节点上
M Mi 0
结论:
平面力偶系平衡的解析条件(充要):该力偶 系的力偶矩的和为零.
建筑力学
§2-4
平面任意力系
风力
重力 浮力 阻力
建筑力学
一 、力线平移定理
o
F
M Mo F
F
A o F
o
M F
A
F
A
F ' F F
FR Fxi i Fyi j 0
M M o ( Fi ) 0
F1
F2
F3
建筑力学
例题4 ：平面任意力系的平衡问题
求简支梁AB的约束反力。
q
A 2a
C
M=Pa
P
4a
B
建筑力学
解：研究梁AB
FAx
FAy
A
q
2qa
C
P
M=Pa
M M o Fi
M3 =
M o
汇交力系
力偶系
M1 Mo F1 M 2 M o F2 M3 M o F3
建筑力学
F1
F2 M2
FR
F3
M 1 o
M o
M3 =
主矢
结论：简化得到一个力和一个力偶
M M o Fi
求：此力系的合力。 例题1：已知图示平面共点力系； 解：用解析法
Rx F xi F1 cos30 F2 cos 60 F3 cos 45 F4 cos 45 129.3N
Ry F yi F1 sin 30 F2 sin 60 F3 sin 45 F4 sin 45 112.3N
FR
O
FR Fi
O
FR
O
M M o Fi
FR
O
oo
M FR
FR
FR
M O
建筑力学
平面力系简化结果
主矢(O) 主矩(O)
简化结果
FR 0 FR 0
FR 0 FR 0
M 0 M 0 M 0 M 0
a , b, F ,
Fy
o a
F F x b
M o F M o Fx M o Fy
由合力矩定理
Fxb Fy a
Fbcos Fasin
Fx Fcos Fy Fsin
F asin bcos
所有的未知量为止。
（3）用尽量少的平衡方程，平衡方程中尽量只含一个未知量， 简化计算。
建筑力学
例题5、水平梁AC与CD用铰链连接，支座如图， 求固定端A和辊轴B处约束力。
2P q a B
D
A a
分析整体
a
C P
a
a
建筑力学
2P q a
A a a
解: 1、研究梁CD和销 钉C,受力如图
C
B
R R R 171.3N
2 x 2 y
Rx cos θ 0.7548 R Ry cos β 0.6556 R
θ 40.99 , β 49.01
o
建筑力学
二 、合力矩定理(汇交力系）
FR F1 F2 Fn
r F1 F2 Fn
建筑力学
M Mo F
平移定理:
M F
o
A
作用于刚体上的力向其它点平移时，必定增加一 个附加力偶，其力偶矩等于原力对平移点之矩。
建筑力学
二 、平面任意力系向一点的简化
F1
F2
1 F3 F1
F2 M2
FR
F3
o
M 1 o =
FR Fi
FR
P1
FR F1 F2 F2 F1
FR F1 F2 P P2 1
建筑力学
2. 力的投影
y
F Fx Fy
Fy F cosβ
Fx F cosθ
Fy
Fy
F
Fx
Fx
x
, 为力F与轴的正向的夹角。
P
D a
P q a
a
Q1
YC
P q a
Q2 P
P Q1 2
XC
B C YB P a
Q2
D
a
建筑力学
Q1
M
C
0
YC XC
C
Q2
P q a
P q a
D a
B
P
a 2a Q2 Q1 aYB 0 2 3
5P YB 6
a
YB
建筑力学
第二章 平面力系的简化和平衡
§2-1 力的合成与分解 §2-2 平面汇交力系 §2-3 平面力偶系
§2-4 平面任意力系
§2-5 物系的平衡、静定与超静定问题 §2-6 平面静定桁架
建筑力学
§2-1
力的合成与分解
1. 力三角形规则
F1 F2 FR F2 F1 FR P2 F2 F1
理想桁架(全是二力杆)
工程上把几根直杆 连接的地方称为节点
建筑力学
杆件的截取
FA
A B
FB
n
轴向
FA
A
N N
B
FB
建筑力学
二、平面桁架平衡时各杆的内力计算
1、节点法
取各节点为考察对象
建筑力学
节点法就是假想将某节点周围的杆件割断，取
该节点为考察对象，建立其平衡方程，以求解杆件
内力的一种方法。 1) 约定各杆内力为拉力
三 、简化结果的分析 第一种：
FR 0
M 0
FR Fi
O
M M o Fi
O
M
M O
建筑力学
第二种：
FR 0 M 0
FR Fi
O
O
FR
M
M M o Fi FRO来自建筑力学第三种：
FR 0
M 0
建筑力学
三 、平面汇交力系的平衡
FR 0
FR Fxi i Fyi j
FR x F xi FRy
Fxi 0 Fyi 0
结论:
F
yi
两个独立方程, 求解两个未知量
1.平面汇交力系平衡的解析条件(充要条件):该力 系的各力在两个坐标轴上的投影的和分别为零. 2.解题步骤：研究对象，受力分析， 选取坐标，列解方程--必须画受力图！！！
FR Fi
主矩
建筑力学
思考： 主矢、主矩与简化中心的位置有无关系?
主矢：作用在简化中心，大小和方向却与中心的位置无关； 主矩：作用在该刚体上，大小和方向一般与中心的位置有关。
F1
F2
F 1 F
3
F2 M2
FR
M 1 o
F3
M3 =
M o
建筑力学
规定：投影的指向与轴的正向相同时为正值，反之为负。
建筑力学
§2-2 一
平面汇交力系 平面汇交力系的简化（ 交点o)
力多边形规则
F 2 F F F 3 R F1 2 F3 F1 O F4 F4
作力多边形，找封闭边。
FR F1 F2 F3 F4
得：FNAC 3FP NAC
F
ix
NAB NAC 0, FNAB FNAC cos30 0
平衡 合力偶
合力 o 合力 o
建筑力学
平面平行力系的简化
Q
q (x) 分布载荷集度 N/m
o
同向平行力系的合力Q
L
x
Q q( x)dx 阴影面积
0
合力Q的作用线通过阴影的重心！
建筑力学
q A 2a
C
B
4a
建筑力学
四、平面任意力系的平衡
平面力系的平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩均等于零:
B
2a
FB
4a
建筑力学
§2-5
物系的平衡
静定与超静定问题
（若干个物体通过约束所组成的系统）
一、静定物系平衡的特点：
（1）求解静定物体系的平衡问题时，可以选每个物体为研究对
象，列出全部平衡方程，然后求解。 （2）也可以先取整个系统为研究对象，列出平衡方程，这样的 方程因不含内力，式中未知量较少，解出部分未知量后，再从系 统中选取某些物体为研究对象，列出另外的平衡方程，直至求出
由 FR Fi
FR ( Fxi i Fyi j)
FR Fxi i Fyi j
FR x F xi
F2 F 3 F1 O F4
FR
FRy F yi
合力投影定理: 合力的投影等于分力投影的代数和
建筑力学
建筑力学
2P q a
A a
2.整体研究受力图
C a
B
P
D
a
a
MA
YA
Q(2 P)
C
XA
2P q a
A a a
P
a
2 a 3
B YB
D a
建筑力学
MA
YA
Q(2 P)
XA
2P q a
A
C P
a a XA 0
B
2 a 3
YB
D
F
a
a
x
0
M A (F ) 0
x
30°
FIx
a
FIy
G
a
D
a
B
a
FA
解：以整体为研究对象
FIx 0
FIy FA 2 FP
建筑力学
FP FP
FP 2 I
y FP C
FP 2 A
E
NAC
30°
H
30° 30° 30°
FP 2
30°
NAB
A FA
x
FIy
a
G
a
D
a
B
a
FA
Fiy 0, FA
FP NAC FNAC sin 30 0 2
FR
=
O
建筑力学
F2 F 3 F1 O F4
FR
FR F i
平面汇交力系合成的结果是一个合力, 合力的 作用线通过力系的汇交点,合力的大小和方向由 力多边形的封闭边表示即等于力系中各力的矢量和.
建筑力学
已知力系中各分力： i Fxi i Fyi j F
所有外力所有外力荷载及支座反力荷载及支座反力都作用在节点上都作用在节点上理想桁架理想桁架全是二力杆全是二力杆工程上把几根直杆工程上把几根直杆节点节点工程上把几根直杆工程上把几根直杆连接的地方称为连接的地方称为节点节点建筑力学建筑力学取各节点为考察对象二平面桁架平衡时各杆的内力计算二平面桁架平衡时各杆的内力计算建筑力学节点法就是假想将某节点周围的杆件割断取该节点为考察对象建立其平衡方程以求解杆件内力的一种方法
2) 各节点上的力系都是平面汇交力系
FP FP
FP 2 I
E
FP C
FP 2 A
FP
NCE
C NCA NCB x
H
30° 30° 30°
30°
FIy
a
G
a
D
a
B
y
a
NCD
FAY
建筑力学
例题6 ：试用节点法求出桁架中所有杆件的内力。
FP FP
FP 2 I
E
y
FP C
FP 2 A
H
30° 30° 30°
FR x F xi
2 Rx
FRy F yi
2 Ry
2
FR F F
2 xi
F F
yi
F2 F 3 F1 O F4
FR
FRx cos FR , i FR
FRy cos FR , j FR
建筑力学
FBC F1 cos30 F2 cos60 0 F1 F2 P
解得：
FBA 7.321 kN
FBC 27.32kN
建筑力学
§2-3
平面力偶系
=
一 平面力偶系的合成 力偶系可以合成为一个合力偶， 其力偶矩等于各力偶矩的矢量和：
M Mi
建筑力学
二 平面力偶系的平衡
r F1 r F2 r Fn M o F
M o FR r FR
FR
M o FR M o F
建筑力学
例题2：已知
求： M o F ?
解：
F Fx Fy
建筑力学
例题3 ：
系统如图，不计杆、轮自重， 忽略滑轮大小， P=20kN； 求：系统平衡时，
杆AB、BC受力。
建筑力学
解：AB、BC杆为二力杆， 取滑轮B带钉（或点B），画受力图。 (不计轮的直径影响)
建图示坐标系
建筑力学
Fxi 0 Fyi 0
FBA F1 cos60 F2 cos30 0
F
y
0
YA YB P 2P 0
a M A 2aP 2 P(2a ) 3aYB 0 3 5P 25Pa MA YB 6 6
建筑力学
二、静定与超静定问题
对所研究的系统，如果对系统中的所有物体列出的 独立平衡方程数等于未知量的数目，那么总可以求 出待求未知量，这样的问题称为静定问题。如果对 系统中的所有物体列出的独立平衡方程数目小于未 知量总的数目，那么仅仅通过静力平衡无法求解， 这样的问题称为超静定问题. 静力学只能解决静定问题。
建筑力学
静定悬臂梁 静定拱架
静定简支梁
超静定拱
超静定连续梁
建筑力学
§2-6
平面静定桁架
由一些细长 直杆按适当方式 分别在两端连接 而成的几何形状 不变的结构
桁架
建筑力学
一、桁架简化计算的假设 1.各杆件都用光滑铰链相连接 2.各杆件轴线都是直线，并通过铰链中心 3.所有外力(荷载及支座反力)都作用在节点上
M Mi 0
结论:
平面力偶系平衡的解析条件(充要):该力偶 系的力偶矩的和为零.
建筑力学
§2-4
平面任意力系
风力
重力 浮力 阻力
建筑力学
一 、力线平移定理
o
F
M Mo F
F
A o F
o
M F
A
F
A
F ' F F
FR Fxi i Fyi j 0
M M o ( Fi ) 0
F1
F2
F3
建筑力学
例题4 ：平面任意力系的平衡问题
求简支梁AB的约束反力。
q
A 2a
C
M=Pa
P
4a
B
建筑力学
解：研究梁AB
FAx
FAy
A
q
2qa
C
P
M=Pa
M M o Fi
M3 =
M o
汇交力系
力偶系
M1 Mo F1 M 2 M o F2 M3 M o F3
建筑力学
F1
F2 M2
FR
F3
M 1 o
M o
M3 =
主矢
结论：简化得到一个力和一个力偶
M M o Fi
求：此力系的合力。 例题1：已知图示平面共点力系； 解：用解析法
Rx F xi F1 cos30 F2 cos 60 F3 cos 45 F4 cos 45 129.3N
Ry F yi F1 sin 30 F2 sin 60 F3 sin 45 F4 sin 45 112.3N
FR
O
FR Fi
O
FR
O
M M o Fi
FR
O
oo
M FR
FR
FR
M O
建筑力学
平面力系简化结果
主矢(O) 主矩(O)
简化结果
FR 0 FR 0
FR 0 FR 0
M 0 M 0 M 0 M 0
a , b, F ,
Fy
o a
F F x b
M o F M o Fx M o Fy
由合力矩定理
Fxb Fy a
Fbcos Fasin
Fx Fcos Fy Fsin
F asin bcos
所有的未知量为止。
（3）用尽量少的平衡方程，平衡方程中尽量只含一个未知量， 简化计算。
建筑力学
例题5、水平梁AC与CD用铰链连接，支座如图， 求固定端A和辊轴B处约束力。
2P q a B
D
A a
分析整体
a
C P
a
a
建筑力学
2P q a
A a a
解: 1、研究梁CD和销 钉C,受力如图
C
B
R R R 171.3N
2 x 2 y
Rx cos θ 0.7548 R Ry cos β 0.6556 R
θ 40.99 , β 49.01
o
建筑力学
二 、合力矩定理(汇交力系）
FR F1 F2 Fn
r F1 F2 Fn
建筑力学
M Mo F
平移定理:
M F
o
A
作用于刚体上的力向其它点平移时，必定增加一 个附加力偶，其力偶矩等于原力对平移点之矩。
建筑力学
二 、平面任意力系向一点的简化
F1
F2
1 F3 F1
F2 M2
FR
F3
o
M 1 o =
FR Fi
FR
P1
FR F1 F2 F2 F1
FR F1 F2 P P2 1
建筑力学
2. 力的投影
y
F Fx Fy
Fy F cosβ
Fx F cosθ
Fy
Fy
F
Fx
Fx
x
, 为力F与轴的正向的夹角。
P
D a
P q a
a
Q1
YC
P q a
Q2 P
P Q1 2
XC
B C YB P a
Q2
D
a
建筑力学
Q1
M
C
0
YC XC
C
Q2
P q a
P q a
D a
B
P
a 2a Q2 Q1 aYB 0 2 3
5P YB 6
a
YB
建筑力学
第二章 平面力系的简化和平衡
§2-1 力的合成与分解 §2-2 平面汇交力系 §2-3 平面力偶系
§2-4 平面任意力系
§2-5 物系的平衡、静定与超静定问题 §2-6 平面静定桁架
建筑力学
§2-1
力的合成与分解
1. 力三角形规则
F1 F2 FR F2 F1 FR P2 F2 F1
理想桁架(全是二力杆)
工程上把几根直杆 连接的地方称为节点
建筑力学
杆件的截取
FA
A B
FB
n
轴向
FA
A
N N
B
FB
建筑力学
二、平面桁架平衡时各杆的内力计算
1、节点法
取各节点为考察对象
建筑力学
节点法就是假想将某节点周围的杆件割断，取
该节点为考察对象，建立其平衡方程，以求解杆件
内力的一种方法。 1) 约定各杆内力为拉力
三 、简化结果的分析 第一种：
FR 0
M 0
FR Fi
O
M M o Fi
O
M
M O
建筑力学
第二种：
FR 0 M 0
FR Fi
O
O
FR
M
M M o Fi FRO来自建筑力学第三种：
FR 0
M 0
建筑力学
三 、平面汇交力系的平衡
FR 0
FR Fxi i Fyi j
FR x F xi FRy
Fxi 0 Fyi 0
结论:
F
yi
两个独立方程, 求解两个未知量
1.平面汇交力系平衡的解析条件(充要条件):该力 系的各力在两个坐标轴上的投影的和分别为零. 2.解题步骤：研究对象，受力分析， 选取坐标，列解方程--必须画受力图！！！
FR Fi
主矩
建筑力学
思考： 主矢、主矩与简化中心的位置有无关系?
主矢：作用在简化中心，大小和方向却与中心的位置无关； 主矩：作用在该刚体上，大小和方向一般与中心的位置有关。
F1
F2
F 1 F
3
F2 M2
FR
M 1 o
F3
M3 =
M o
建筑力学
规定：投影的指向与轴的正向相同时为正值，反之为负。
建筑力学
§2-2 一
平面汇交力系 平面汇交力系的简化（ 交点o)
力多边形规则
F 2 F F F 3 R F1 2 F3 F1 O F4 F4
作力多边形，找封闭边。
FR F1 F2 F3 F4
得：FNAC 3FP NAC
F
ix
NAB NAC 0, FNAB FNAC cos30 0
平衡 合力偶
合力 o 合力 o
建筑力学
平面平行力系的简化
Q
q (x) 分布载荷集度 N/m
o
同向平行力系的合力Q
L
x
Q q( x)dx 阴影面积
0
合力Q的作用线通过阴影的重心！
建筑力学
q A 2a
C
B
4a
建筑力学
四、平面任意力系的平衡
平面力系的平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩均等于零:
B
2a
FB
4a
建筑力学
§2-5
物系的平衡
静定与超静定问题
（若干个物体通过约束所组成的系统）
一、静定物系平衡的特点：
（1）求解静定物体系的平衡问题时，可以选每个物体为研究对
象，列出全部平衡方程，然后求解。 （2）也可以先取整个系统为研究对象，列出平衡方程，这样的 方程因不含内力，式中未知量较少，解出部分未知量后，再从系 统中选取某些物体为研究对象，列出另外的平衡方程，直至求出
由 FR Fi
FR ( Fxi i Fyi j)
FR Fxi i Fyi j
FR x F xi
F2 F 3 F1 O F4
FR
FRy F yi
合力投影定理: 合力的投影等于分力投影的代数和
建筑力学
建筑力学
2P q a
A a
2.整体研究受力图
C a
B
P
D
a
a
MA
YA
Q(2 P)
C
XA
2P q a
A a a
P
a
2 a 3
B YB
D a
建筑力学
MA
YA
Q(2 P)
XA
2P q a
A
C P
a a XA 0
B
2 a 3
YB
D
F
a
a
x
0
M A (F ) 0
x
30°
FIx
a
FIy
G
a
D
a
B
a
FA
解：以整体为研究对象
FIx 0
FIy FA 2 FP
建筑力学
FP FP
FP 2 I
y FP C
FP 2 A
E
NAC
30°
H
30° 30° 30°
FP 2
30°
NAB
A FA
x
FIy
a
G
a
D
a
B
a
FA
Fiy 0, FA
FP NAC FNAC sin 30 0 2
FR
=
O
建筑力学
F2 F 3 F1 O F4
FR
FR F i
平面汇交力系合成的结果是一个合力, 合力的 作用线通过力系的汇交点,合力的大小和方向由 力多边形的封闭边表示即等于力系中各力的矢量和.
建筑力学
已知力系中各分力： i Fxi i Fyi j F
所有外力所有外力荷载及支座反力荷载及支座反力都作用在节点上都作用在节点上理想桁架理想桁架全是二力杆全是二力杆工程上把几根直杆工程上把几根直杆节点节点工程上把几根直杆工程上把几根直杆连接的地方称为连接的地方称为节点节点建筑力学建筑力学取各节点为考察对象二平面桁架平衡时各杆的内力计算二平面桁架平衡时各杆的内力计算建筑力学节点法就是假想将某节点周围的杆件割断取该节点为考察对象建立其平衡方程以求解杆件内力的一种方法
2) 各节点上的力系都是平面汇交力系
FP FP
FP 2 I
E
FP C
FP 2 A
FP
NCE
C NCA NCB x
H
30° 30° 30°
30°
FIy
a
G
a
D
a
B
y
a
NCD
FAY
建筑力学
例题6 ：试用节点法求出桁架中所有杆件的内力。
FP FP
FP 2 I
E
y
FP C
FP 2 A
H
30° 30° 30°
FR x F xi
2 Rx
FRy F yi
2 Ry
2
FR F F
2 xi
F F
yi
F2 F 3 F1 O F4
FR
FRx cos FR , i FR
FRy cos FR , j FR
建筑力学
FBC F1 cos30 F2 cos60 0 F1 F2 P
解得：
FBA 7.321 kN
FBC 27.32kN
建筑力学
§2-3
平面力偶系
=
一 平面力偶系的合成 力偶系可以合成为一个合力偶， 其力偶矩等于各力偶矩的矢量和：
M Mi
建筑力学
二 平面力偶系的平衡
r F1 r F2 r Fn M o F
M o FR r FR
FR
M o FR M o F
建筑力学
例题2：已知
求： M o F ?
解：
F Fx Fy
建筑力学
例题3 ：
系统如图，不计杆、轮自重， 忽略滑轮大小， P=20kN； 求：系统平衡时，
杆AB、BC受力。
建筑力学
解：AB、BC杆为二力杆， 取滑轮B带钉（或点B），画受力图。 (不计轮的直径影响)
建图示坐标系
建筑力学
Fxi 0 Fyi 0
FBA F1 cos60 F2 cos30 0