高三数学高考第二轮复习《高考填空题的解法》试题研究专题讲解

高考填空题的解法 高考考点突破
例1．若数列{}n a 中，)1(3,111≥==+n S a a n n ，则=n S
[分析] 本题是简单的数列递推问题，解题的关键是能否由已知条件找出另一个递推关系。

[解析] 14-=n n S
解法1：由)1(3,111≥==+n S a a n n 得：)2(31≥=-n S a n n ，两式相减得：
)2(3)(311≥=-=--+n a S S a a n n n n n ，所以)2(41≥=+n a a n n ，又333112===a S a ，)2(41≥=∴+n a a n
n ，故n a a a ,,32是首项为3，公比为4的等比数列，⎪⎩
⎪⎨⎧≥=--+==∴-)2(441)41(31)1(11n n S n n n ，当1=n 时，141=-n ，即)1(41≥=-n S n n 。

解法2：)1(31≥=+n S a n n ，)1(31≥=-∴+n S S S n n n ，即)1(41≥=+n S S n n ，又111==a S ，)1(41≥=∴+n S S n
n ，即{}n S 是首项为1，公比为 4 的等比数列，)1(41≥=∴-n S n n 。

[启迪] 以上两种解法体现了对关系式)1(31≥=+n S a n n 的两种不同的处理方式，这是解决n n S a ,有关的递推数列的常用转化方法。

本题两种解法中都要注意递推式中n 的适用范围，这也是此类问题最易出错的地方。

[变式训练]
1．已知数列{}n a 满足121+=+n n a a ，11=a ，其中*N n ∈，则数列{}n a 的通项为 。

12-=n n a 由121+=+n n a a 可以转化为)1(211+=++n n a a ，则{}1+n a 是以211=+a 为首项，2 为公比的等比数列，故12-=n n a
2．设505022105043)
1()1()1(x a x a x a a x x x ++++=++++++ ，则=3a 4
51C 利用等比数列求和公式：左边=251)1()1()1()1(x x x
x x +-+-+-+，
由恒等的意义知3a 为51)1(x +的展开式中4
x 项的系数，故=3a 451C 。

例2． 若直线02:=++y ax l 与连接点A （-2，3）和点B （3，2）的线段有公共点，则a
的取值范围是
[分析] 本题是典型的一题多解填空题，涉及到求线段AB 与直线l 的交点，交点的横纵坐标
都有范围，因此可求a 的取值范围。

[解析] 34-≤a 或2
5≥a 解法1：利用数形结合，如图，连结AC 、BC 。

由方程02=++y ax 可知此直线恒过定点C （0，-2）。

由A （-2，3）、B （3，2）可得
34,25=-=BC AC k k ，故l 的斜率a -应满足25-≤-a 或34≥-a ，即34-≤a 或2
5≥a 。

解法2：利用交点范围求解。

由两点式求得AB 直线的方程为0135=-+y x ，
解方程组⎩
⎨⎧=++=-+020135y ax y x ，得a x 5123-=。

根据题意知，该点横坐标x 应满足351232≤-≤
-a ，解之得34-≤a 或25≥a ，即满足条件的实数a 的取值范围是34-≤a 或2
5≥a 。

解法3：利用平面区域代数表示求解。

由题意知，点A （-2，3）和点B （3，2）应在直线
02=++y ax 的两侧或一点在此直线上，0)223)(232(≤++++-∴a a ，解之得
34-≤a 或2
5≥a 。

[启迪] 三种解法是利用交点范围求解相对复杂，计算量大，而利用数形结合法和平面区域代数表示求解比较简单，但容易出错：在解法一中易犯两个错误，（1）是在确定a x b y k --=
的范围时易出错，（2）是直线l 的斜率是a -则不是a ；在解法三中利用平面区域代数表示，
容易忽略A 、B 在直线l 上这一条件。

[变式训练]
1． 已知y x y x 6422+=+，则46468++++=y y x M 的最小值是
解：4。

46468++++=y y x M =4)4(4)4(82222+-+++-++x y x x y x x =2222)2()2(y x y x +-+++，问题转化为已知圆上的点到两定点A （-2，0）、B （2，
0）距离之和的最小值，因为原点O 在线段AB 上，又在圆上，故原点O 到A 、B 两点间的
距离之和最小，即4min =M ，此时，0==y x 。

2． 已知直线1)1(-+=x a y 与曲线ax y =2只有一个公共点，则实数a 的值为 解：54,1,0--=a 。

联立方程组⎩
⎨⎧=-+=ax y x a y 21)1( （1） 当0=a 时，此方程组恰有一组解（1，0）；
（2） 当0≠a 时，消去x 得
(*)0112=--+y y a a ， ① 若a
a 1+=0，即1-=a 时，方程（*）为01=--y ，所以方程组有一组解（-1，-1）； ② 若01≠+a a ，即1-≠a 时，令0)1(41=++=∆a a ，解之得5
4-=a ，此时直线与抛物
线相切，只有一个公共点。

综上所述，当5
4,1,0--=a 时，直线1)1(-+=x a y 与曲线ax y =2只有一个公共点。

例3．函数98166++-=x x y 的最大值为 ，最小值为 。

[分析] 本题属于求无理函数的最值问题，最常规的方法是利用导数求解，但本题结构比较特殊，也可以构造向量，利用向量的数量积求解。

[解析] 最大值为50，最小值为30。

解法一：9169
316494
163
928
1626
+⋅-+--=++--=++--='x x x x x x x x y ，
令0='y 解得7=x 。

98166++-=x x y 的定义域为[-9，16]，
∴
故函数98166++-=x x y 的最大值为50，最小值为30。

解法2：构造向量求解。

令)9,16(),8,6(+-==x x ，
n m y ⋅===,510。

设9,16+=-=x v x u ，则)0,0(2522≥≥=+v n v u ，∴)9,16(+-=x x n 的终点落在以（0，0）为圆心，5为半径的第一象限的圆弧上（包括与x 轴，y 轴的交点），如图。

]1,5
3[,cos >∈<∴。

∴]50,30[,>∈<=⋅=y ，故函数98166++-=x x y 的最大值为50，最小值为30。

[启迪] 导数是求函数最值问题最常用的方法，对于以下四类特殊函数可以采用构造法求解：（1）n x b x m a y ++-=型无理函数，可以类比本题构造向量或圆锥曲线求解；（2）22221121c x b x a c x b x a y +++++=型无理函数，联系平面两点的距离公式，构造与距离相关的平面图形求解；（3）分式型函数可以联系斜率公式，构造与斜率相关的平面图形求解；（4）含22x a -型无理函数，联系三角公式1cos sin 2
2=+θθ，建立三角函数模型。

[变式训练]
1．已知n m ,为正常数，y x ,为正实数，且1=+y
n x m ，则y x +的最小值为 解：()2
n m +。

()22
)(,22))(
(n m y x n m mn n m y xn x ym n m y xn x ym n m y n x m y x y x +≥+∴+≥++=⋅++≥+++=++=+
即y x +的最小值为2)(n m +。

2．曲边梯形由曲线2,1,0,12===+=x x y x y 所围成，过曲线]2,1[,12
∈+=x x y 上一
点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为
解：P （4
13,23）。

利用导数，将目标函数化为二次区间上的问题。

设)1,(200+x x P ，]2,1[0∈x ，则切线方程为)(2)1(0020x x x x y -=+-，
)21(2)1(2)2()1(),(1)(2000202
000x x x x g g x g x x x x y -+-++=+=++-=∴
∴+--=++-=⨯+=∴,413)23(1312)2()1(20020x x x g g S P （413,23）为所求点。

高考阅卷在线
(2009年四川卷)设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射:,f V V a V →∈，记a 的象为()f a 。

若映射:f V V →满足：对所有,a b V ∈及任意实数,λμ都有()()()f a b f a f b λμλμ+=+，则f 称为平面M 上的线性变换。

现有下列命题：
①设f 是平面M 上的线性变换，则(0)0f =
②对,()2a V f a a ∈=设，则f 是平面M 上的线性变换；
③若e 是平面M 上的单位向量，对,()a V f a a e ∈=-设，则f 是平面M 上的线性变换； ④设f 是平面M 上的线性变换，,a b V ∈，若,a b 共线，则(),()f a f b 也共线。

其中真命题是 （写出所有真命题的序号）
[解析] （1）（2）（4）。

若f 是平面M 上的线性变换，则对所有,a b V ∈及任意实数,λμ都有()()()f a b f a f b λμλμ+=+，令0==μλ可得0)0(=f ；若对,()2a V f a a ∈=设，则)()()2()2()(2)(b f a f b a b a b a f μλμλμλμλ+=+=+=+，故f 是平面M 上的线性变换；若f 是平面M 上的线性变换，,a b V ∈，若,a b 共线，则可设R t a b ∈=,λ，，令0=μ，则),()(a f a f λλ=即)()(a f b f λ=，故(),()f a f b 也共线；若e 是平面M 上的单位向量，对,()a V f a a e ∈=-设，则e b a b a f -+=+μλμλ)(，
而e b a e b e a b f a f )()()()()(μλμλμλμλ+-+=-+-=+，故f 不是平面M 上的线性变换。

因此填（1）（2）（4）。

点评： 本题是具有新定义背景的多选型填空题，考查考生对新背景的理解和运用，认清新定义的实质是解题的关键。

智能提升演练
1．若不等式2
3+
>ax x 的解集为),4(b ，则=a ，=b 。

36,81==b a 设t x =，则原不等式可转化为02
32<+-t at ，所以0>a 且2与b 是方程0232=+-t at 的两根，由此可得36,81==b a 2．如果不等式x a x x )1(42->-的解集为A ，且{}20<<⊆x x A ，那么实数a 的取值范围是
),2[+∞ 根据不等式解集的几何意义，作函数24x x y -=
和函数x
a y )1(-=的图像，从图像容易得出实数a 的取值是),2[+∞。

3．若双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线的离心率e 的取值范围是
（1，12+） 由c a x a ex 200+=-得a c a x e +=-20)1(，故得a e a c
a )1(2
-≥+，所以e
c a e 1111+=+≤-，即0122≤--e e ，解得2121+≤≤-e ，而双曲线的离心率1>e ，所以∈e （1，12+）。

4．过长方体一个顶点的三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为
π50 长方体的体对角线就是外接的直径2R ，即有505434)2(22222=++==R R ，从而ππ5042==R S
5．如果点P 在平面区域⎪⎩
⎪⎨⎧≥-≤-+≥+-01202022y y x y x 上，点Q 在曲线1)2(22=++y x 上，那么PQ 的
最小值为
2
3 PQ 是平面区域内的一个点和圆上一个点之间的距离，先将平面区域和圆都画出来，要求圆上的点到平面区域的最短距离，只要求圆心到平面区域的最短距离，知圆心A 到平面区域的距离为
25，则PQ 的最小值为23。

6．在240个零件中，一级品48个，二级品72个，三级品120个，从中抽取容量为40的样本，总体中每个个体被抽取的概率是
6
1 因为总体中的个体数为N=240，样本容量40=n ，故每个个体被抽到的概率
均为6
1。

7．直角坐标系中，设O 为坐标原点，)2,4(),0,3(),0,3(2121--=+=-=AF AF OF OF ，点集S={P P 为平面上的点且}221=-PF PF ，若S P P ∈21,，向量21,AP 平行，点Q 满足1212
1P P P -=，则点Q 的轨迹方程为 04222=+--y x y x 由已知得A （2，1）
，由点集的意义，定义法求得点P 的轨迹方程122
2
=-y x ，注意向量共线条件，且Q 为21P P 中点，代点作差法求轨迹方程。

y
x y y x x x x y y k x y 2)(22121212121=++=--==--，所以04222=+--y x y x 为点Q 的轨迹方程，并在双曲线内部。

8．某小区现有住房的面积为a 平方米，在改造过程中，政府决定每年拆除b 平方米旧住房，同时按当年住房面积的10%建设新住房，则n 年后该小区的住房面积为
)11.1(101.1--=n n n b a a 由b a a n n -=+1.11，利用待定系数法，若
1.1)(1⋅+=++m a m a n n ，则b m 10-=，{}b a n 10-∴是首项为b a 10-，公比为1．1的等比数列，则第1+n 项n n b a b a 1.1)10(10⨯-=-，所以)11.1(101.1--=n n n b a a 为所求。

9．在ABC Rt ∆中，090=C ,,a BC b AC ==则ABC ∆外接圆的半径为2
2
2b a r +=，运用类比方法，三棱锥的三条侧棱两两垂直且长度分别为c b a ,,，则其外接球的半径是
2
2
22c b a R ++= 三棱锥的三条侧棱两两垂直的球内接三棱锥可以补全为一个长方体，这样长方体的对角线就是球的直径，所以球的半径22
22c b a R ++=
10．若)0)(4sin()4sin()(≠-++=ab x b x a x f π
π
是偶函数，则有序实数对（b a ,）可以
是
（写出你认为正确的一组数即可）
（1，-1）（答案不唯一） 当1,1-==b a 时，
x x x x x x x x f cos 2)cos 2
2sin 22(cos 22sin 22)4sin()4sin()(=--+=--+=ππ为偶函数，故填（1，-1），但答案不唯一。

11．已知n m ,是直线，γβα,,是平面，给出下列命题：（1）若γα⊥，γβ⊥，则βα//；
（2）若α⊥n ，β⊥n ，则βα//；（3）若α内不共线的三点到平面β的距离都相等，则βα//；（4）若αα⊄⊄m n ,且ββ//,//m n ，则βα//；（5）若n m ,为异面直线，αββα//,,//,m m n n ⊂⊂ ，则βα//。

则其中正确的命题是 （把你认为正确的都填上）
（2）（5） 依题意可构造正方体，在正方体中逐一判断各命题，易得正确的命题是（2）
（5）
12．给出命题：（1）若与共线，与共线，则与共线：（2）向量,,共面，则它们所在的直线也共面；（3）若与共线，则存在唯一的实数λ，使λ=；（4）若A 、
B 、
C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM 3
13131++=，则点M 一定在平面ABC 上，且在ABC ∆内部。

上述命题中的真命题是 （把你认为正确的都填上）
（4） （1）中为零向量时，结论不一定成立；（2）中,,所在直线其实都不确定，故（2）是假命题；（3）中当0=a ，0≠b 时，找不到实数λ，使a b λ=；可以证明
（4）中A 、B 、C 、M 四点共面，等式两边同时加上，则)(3
1)(31)(31=+++++ 即=++，--=，则,,共面，又M 是三个有向线段的公共点，故A 、B 、C 、M 四点共面，因此M 是ABC ∆的重心，故点M 在平面ABC 上且在ABC ∆内部，故（4）是真命题。

规律方法提炼
1． 填空题以小巧灵活、考查目标集中、概念性强、运算量不大，答案简短明确、
不需要表达解题过程而只需直接写出结论等特点而受命题者青睐，但也因跨度
大、覆盖面广、答案明确、不允许过程有任何差错、小题综合化等特点成为考
生失分的“重灾区”，因而填空题的得分往往决定考生的成绩。

2． 解答填空题的基本要求是“正确、合理、迅速”。

一般来说，每道题都应力争
在1-3分钟内完成。

填空题因缺少选项提供的目标信息，结果正确与否难以判
断，一步失误全题零分。

要想又快又准地答好填空题，基本策略是“巧做”，
基本方法与选择题类似，大在：直接求解法、图像法、等价转化法、特殊化法（特殊值法、特殊函数法、特殊角法、特殊数列法、图形特殊位置法、特殊点、特殊方程法、特殊模型法、归纳法）等。