高考大题专练二：解三角形的综合运用

专练27 高考大题专练(二) 解三角形的综合运用
1．[2021·全国新高考Ⅰ卷]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b 2＝ac ，点D 在边AC 上，BD sin ∠ABC ＝a sin C .
(1)证明：BD ＝ b ；
(2)若AD ＝2DC ，求cos ∠ABC .
2．[2020·全国卷Ⅱ]△ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C ＝sin B sin C .
(1)求A ；
(2)若BC ＝3，求△ABC 周长的最大值．
3.[2020·新高考Ⅰ卷]在①ac ＝3 ，②c sin A ＝3，③c ＝3 b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ＝3 sin B ，C ＝π6
，________？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
4．[2022·新高考Ⅰ卷，18]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A 1＋sin A
＝sin 2B 1＋cos 2B
. (1)若C ＝2π3
，求B ； (2)求a 2＋b 2
c 2 的最小值．
5.[2022·山东新高考质量测评联合调研监测]在①cos ⎝⎛⎭⎫π3－B ＝12
＋cos B ，②a sin A ＋c (sin C －sin A )＝b sin B ，③3c b cos A
＝tan A ＋tan B 这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中．
问题：在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b ＝23 ，________．
(1)求角B ；
(2)求a ＋2c 的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
6．[2022·河北石家庄模拟]在①cos C ＝217
，②a sin C ＝c cos ⎝⎛⎭⎫A －π6 ，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线处，并完成解答．
问题：△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝π3
，D 是边BC 上一点，BD ＝5，AD ＝7，且________，试判断CD 和BD 的大小关系________．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
7．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C .
(1)求A ；
(2)若2 a ＋b ＝2c ，求sin C ．
8．[2022·全国乙卷(理)，17]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin
C sin (A －B )＝sin B sin (C －A ).
(1)证明：2a 2＝b 2＋c 2；
(2)若a ＝5，cos A ＝2531
，求△ABC 的周长．。