2024年人教版九年级上册教学设计第24章 24.1 圆的有关性质

24.1.1圆
课时目标
1.理解圆的有关概念,发展学生抽象思维能力的核心素养.
2.理解弧、弦的概念,了解等圆、等弧的概念,培养学生观察、操作、归纳、猜想的能力以及增强学生的合作意识,进一步发展空间观念的核心素养.
3.灵活运用圆的概念解决一些实际问题,培养学生会用数学知识解决简单几何问题的能力.
学习重点
圆的两种定义、相关概念以及弧的表示方法.
学习难点
对弧及优弧、劣弧的概念的感知与理解.
课时活动设计
情境引入
观察下列图形,从中找出共同特点并想一下生活中还有哪些物品有这种特点.
设计意图:由大量的现实图片引出,给学生产生视觉上的强烈冲击,产生强烈的求知欲,为下面探究新知识打下基础.让学生感悟数学来源于生活并应用与生活的辨证思想,初步感受圆的概念.
探究新知
圆的概念
如图,观察画圆的过程,你能说出圆是如何画出来的吗?
学生讨论:在一个平面内,一条线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周,另一个端点A 形成的图形就是圆.
教师总结:圆:在一个平面内,线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周,另一个端点A 所形成的图形叫做圆;
圆心:固定的端点O 叫做圆心;
半径:线段OA 叫做半径.
圆的表示方法:以点O 为圆心的圆,记作☉O ,读作“圆O ”.
同时从圆的定义中归纳:
(1)圆上各点到定点(圆心O )的距离都等于定长(半径r );
(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.
于是得到圆的第二定义:所有到定点O 的距离等于定长r 的点的集合叫做圆. 设计意图:引导学生从几何角度出发观察圆的形成过程,从做圆的过程自然过渡到圆的定义,把生活中的情景抽象为平面图形,让学生表述,明确圆的定义.
典例精讲
例1 矩形ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O.求证:A ,B ,C ,D 四个点在以点O 为圆心的同一个圆上.
证明:☉四边形ABCD 是矩形,
☉OA =OC =12AC ,OB =OD =12BD ,AC =BD.
☉OA=OC=OB=OD.
☉A,B,C,D四个点在以点O圆心,OA为半径的圆上.
设计意图:圆的定义的应用.在此过程中培养学生的表达能力和总结能力,学会用数学语言表达现实世界.
探究新知
弦、直径、弧的概念
讨论圆中相关元素的定义.如下图,你能说出弦、直径、弧、半圆的定义吗?
学生小组讨论,讨论结束后派一名代表发言进行交流,在交流中逐步完善自己的结果.
教师归纳:
弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦.
直径:经过圆心的弦叫做直径.
弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
⏜,读作“圆弧AB”或“弧AB”.
弧的表示方法:以A,B为端点的弧记作AB
半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆.
⏜.
优弧:大于半圆的弧叫做优弧,用三个点表示,如图中的ABC
⏜.
劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧,如图中的AC
等圆:能够重合的两个圆叫等圆.半径相等的两个圆是等圆.反过来,同圆或等圆的半径相等.
等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.
设计意图:弦、直径、弧、半圆这些定义有的在小学接触过,有的从字面可以猜出一二,结合图形可以锻炼学生的语言表达能力,进一步培养严密的数学表达能力.
巩固训练
1.下列语句中,正确的是(B)
A.大于劣弧的弧叫做优弧
B.小于半圆的弧叫做劣弧
C.圆上两点间的部分叫做弦
D.过圆心的线段叫做圆的直径
2.若一个圆中最长的弦长为8 cm,则这个圆的半径是4cm.
3.下列说法中正确的是☉☉.
☉矩形的四个顶点在同一个圆上;☉菱形的四个顶点在同一个圆上;☉直角三角形的三个顶点在同一个圆上;☉平行四边形的四个顶点在同一个圆上.
4.下列说法正确的是☉☉.
☉圆中的线段是弦;☉直径是圆中最长的弦;☉优弧一定大于劣弧;☉半径相等的两个圆是等圆;☉长度相等的两条弧是等弧.
设计意图:学生通过例题进一步熟悉圆的相关性质,并学会解决问题.旧知识和新知识的结合体现了不同单元内容之间的延续性和关联性,在此过程中也培养了学生思维的多样性,促进了学生对教学内容的整体理解和把握,培养学生的核心素养.
课堂小结
(1)通过今天的学习,你有哪些收获?
(2)你是否明确圆的两种定义、弦、弧等概念?
设计意图:进一步回忆、巩固本节所学.
课堂8分钟.
1.教材第81页练习第3题.
2.七彩作业.
24.1.1圆
1.圆的概念.
2.与圆有关的概念.
弦、直径、弧(优弧和劣弧)、半圆、等圆、等弧.
3.例题讲解.
教学反思
24.1.2垂直于弦的直径
课时目标
1.研究圆的对称性,掌握垂径定理,发展学生抽象思维能力的核心素养.
2.培养学生观察、操作、归纳、猜想的能力以及增强学生的合作意识,进一步发展空间观念的核心素养.
3.学会运用垂径定理及解决一些有关证明、计算,培养学生会用数学知识解决简单几何问题的能力.
学习重点
利用圆的轴对称性研究垂径定理及其应用.
学习难点
垂径定理的证明,以及应用时如何添加辅助线.
课时活动设计
观察思考
赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年的历史,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?
设计意图:从学生熟悉的历史事物中提出问题、设置悬疑、激发学生的学习兴趣,让学生体会生活中数学随处可见,体会数学如何被用来解决生活中的实际问题.教师PPT展示赵州桥的图片,并提出问题,引导学生思考.注意:这里只提出问题,学生暂时还不能解答.
探究新知
合作探究
剪一个圆形纸片,沿着它的任意一条直径对折,重复做几次,你发现了什么?
教师提出问题,并让学生拿出事先准备好的圆形纸片,动手操作,观察,学生充分交流后,教师汇总补充,最后PPT动态展示.
在此基础上追问:由此你能得到什么结论?你能证明你的结论吗?
教师总结学生得出的结论:圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
教师引导学生发现,要证明圆是轴对称图形,只需要证明圆上任意一点关于直径所在的直线(对称轴)的对称点也在圆上.如图,设CD是☉O的任意一条直径,A为☉O上点C,D以外的任意一点.证明点A关于直线CD的对称点仍在☉O上.
证明:过点A作AA'☉CD,交☉O于点A',垂足为M,连接OA,OA'.
在☉OAA'中,☉OA=OA',
☉☉OAA'是等腰三角形.
又AA'☉CD,
☉AM=MA'.即CD是AA'的垂直平分线.
教师可在圆上任取若干个点进行说明,进一步验证前面得到的结论.
圆的对称性:☉圆是轴对称图形;☉任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
设计意图:通过证明引导学生思考,使学生充分经历操作、观察、猜想、验证等合情推理的过程,初步培养学生分析问题、解决问题的能力.
合作探究
在刚刚的证明过程中,你能发现图中有哪些相等的线段、弧吗?
教师再次动态展示折纸的过程,让学生观察,并在此基础上得出结论.并尝试让学生用语言描述所得到的结论,教师引导并补充完善.
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
教师带领学生分析垂径定理的题设,结论.并试着结合图形把文字语言转化为数学语言.
下列图形是否具备垂径定理的条件?
教师提出问题,学生抢答.对于不具备垂径定理条件的图形,引导学生说出原因,并追问:
怎样修改图(2)、(4)能够满足垂径定理的条件?
教师带领学生观察修改后的图片,引导学生总结:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.其中,直径并不是必要条件,只要满足过圆心即可.
当直径CD平分一条弦AB(不是直径)时,能否得出CD☉AB?
教师提出问题,引导学生仿照前面的证明方法证明,并用文字语言描述所得结论,得出垂径定理的推论:
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
教师追问:为什么强调“不是直径”呢?
设计意图:再次观察折叠圆的过程,让学生在理解圆的对称性的基础上进一步发现相等的线段、弧,尝试总结出垂径定理.
想一想
判断下列说法是否正确:
1.垂直于弦的直线平分弦,并且平分弦所对的两条弧.(×)
2.平分弦的直径垂直于弦.(×)
3.平分一条直径的弦必垂直于这条直径.(×)
设计意图:巩固所学知识,加深对知识的理解.
延伸
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
教师带领学生归纳出垂径定理及推论中,蕴含的五个条件:
☉过圆心;☉垂直于弦;☉平分弦;☉平分弦所对的优弧;☉平分弦所对的劣弧.
并引导学生发现,垂径定理是☉☉→☉☉☉;垂径定理的推论是☉☉→☉☉☉.
追问:还有别的结论吗?
设计意图:在已有知识的基础上适当延伸拓展,使学生能够理解这5个条件可以知二推三,锻炼学生的思维能力及灵活运用所学知识的能力.
典例精讲
通过这节课的学习,现在你能解决课程一开始的问题了吗?
例 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年的历史,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m,求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).
解:如图,用AB
⏜表示主桥拱,设AB ⏜所在的圆的圆心为O ,半径为R.经过圆心O 作弦AB 的垂线OC ,D 为垂足,OC 与AB
⏜相交于点C ,连接OA. 根据垂径定理,D 是AB 的中点,C 是AB
⏜的中点,CD 就是拱高. 由题设可知AB =37,CD =7.23,
所以AD =12AB =12×37=18.5,OD =OC -CD =R -7.23.
在Rt☉OAD 中,由勾股定理,得
OA 2=AD 2+OD 2,即R 2=18.52+(R -7.23)2.
解得R ≈27.3.
因此,赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m .
设计意图:通过例题讲解,巩固本节课所学知识,培养学生解决问题的能力,发展应用意识,锻炼实践能力.教师提出问题,学生先独立思考,解答,然后再小组交流探讨,教师巡视,如遇到有困难的学生适当点拨,最终教师展示答题过程.
巩固训练
1.如图,在☉O 中,若CD ☉AB 于点M ,AB 为直径,则下列结论不正确的是
( C )
A.AC
⏜=AD ⏜ B.BC ⏜=BD ⏜ C.AM =OM D.CM =DM 2.已知☉O 的直径AB =10,弦CD ☉AB 于点M ,OM =3,则CD = 8 .
3.在☉O 中,弦CD ☉AB 于点M ,AB 为直径,若CD =10,AM =1,则☉O 的半径为 13 .
4.☉O 的半径为13 cm,AB ,CD 是☉O 的两条弦,AB ☉CD ,AB =24 cm,CD =10 cm,求AB 和CD 之间的距离.
解:如图,过点O 向AB ,CD 作垂线,垂足分别为M ,N ,连接OB ,OD.
由垂径定理,可得BM =1
2AB =12 cm,DN =1
2CD =5 cm . 又☉OB =OD =13 cm, 在Rt☉OBM ,Rt☉ODN 中,
由勾股定理,得OM =√132-122=5 cm,ON =√132-52=12 cm .
☉AB 和CD 之间的距离MN =ON -OM =7 cm 或MN =OM +ON =17 cm . 设计意图:进一步巩固本节课的内容,了解学习效果,让学生经历运用知识解决问题的过程,给学生获得成功体验的空间.
课堂小结
设计意图:通过提问让学生回顾、总结、梳理本节课所学内容,使零散的知识系统化,同时培养学生的语言表达能力.
课堂8分钟.
1.教材第83页练习第2题.
2.七彩作业.
教学反思
24.1.3弧、弦、圆心角
课时目标
1.理解圆心角的概念和圆的旋转不变性,会辨析圆心角,发展学生空间想象能力的核心素养.
2.通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动,发展空间观念、推理能力,培养学生观察、操作、归纳、猜想的能力以及增强学生的合作意识,进一步发展空间观念的核心素养.
3.掌握在同圆或等圆中,圆心角与其所对的弦、弧之间的关系,并能运用此关系进行相关的证明和计算,培养学生会用数学知识解决简单几何问题的能力.
学习重点
掌握弦、弧、圆心角之间的关系,并能运用此关系进行相关的证明和计算.
学习难点
理解圆的旋转不变性和对定理推论的应用.
课时活动设计
知识回顾
前面我们已经学习了圆的对称性,你能用自己的语言描述它吗?
教师提出问题,带领学生回顾已学知识,在此基础上追问:
圆是中心对称图形吗?
设计意图:先回顾已学知识,在此基础上提出问题,引导学生思考新知识,建立起新旧知识之间的联系.
探究新知
教师提问:剪一个圆形纸片,把它绕圆心旋转180°,所得的图形与原图形重合吗?由此你能得到什么结论?并让学生拿出事先准备好的圆形纸片,动手操作、观察,最后教师PPT动态展示.
追问1:把圆绕圆心旋转任意一个角度呢?
教师在上一问题的基础上追问,仍然让学生先动手操作,观察,然后教师任选几个角度(如30°,60°,120°,210°等)进行PPT 动态展示.
追问2:通过上面的观察,你能得到什么结论呢?
老师引导学生得出结论:圆是中心对称图形,圆心就是它的对称中心.不仅如此,把圆绕圆心旋转任意一个角度,所得的图形都与原图形重合.
设计意图:让学生通过动手实践来感受圆的中心对称性,引导学生来归纳出圆是中心对称图形,培养学生的观察能力与语言组织能力.
探究新知
观察下面几个角的顶点,有什么共同特征?
教师总结圆心角的概念:我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. 思考
在☉O 中,当圆心角☉AOB =☉A'OB'时,它们所对的弧AB ⏜和A'B'⏜,弦AB 和A'B'相等吗?为什么?
教师提出问题,并展示PPT,让学生观察☉AOB 和☉A'OB'重合的过程,进一步让学生观察这两个角所对的弦、弧是否重合,最终得出结论,并引导学生用自己的语言总结.教师汇总并补充:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
追问:在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它所对的圆心角,所对的弦是否也相等呢?
教师在上述基础上追问,先让学生仿照前面的思路自主探究,最终教师展示相
关过程及结论.
AB
⏜=A'B'⏜ ☉ AB =A'B'
☉AOB =☉A'OB'
在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等.
教师引导学生用语言总结结论: AB =A'B'
☉
☉AOB =☉A'OB' AB ⏜=A'B'⏜ AB'B ⏜ =A'AB'
⏜ 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的优弧和劣弧分别相等.
追问1:“在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.”可否把“在同圆或等圆中”去掉?
经过思考发现:去掉同圆或等圆,那就会想到半径不同的圆,在不同半径的圆中,以同心圆为例,容易看出结论.
追问2:同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等,则它们所对应的其余各组量有什么关系?
经过思考发现:其余各组量都相等.
设计意图:通过观察,使学生对圆的旋转不变性的认识从感性上升到理性.理解弧、弦、圆心角之间的关系.培养学生的观察发现能力及对概念的理解能力.
典例精讲
⏜=CD⏜=DE⏜,☉COD=35°,求☉AOE的度数.
例1已知AB是☉O的直径,BC
⏜=CD⏜=DE⏜,☉COD=35°
解:☉BC
☉☉BOC=☉COD=☉DOE=35°.
☉☉AOE=180°-3×35°=75°.
⏜=AC⏜,☉ACB=60°.求证:☉AOB=☉BOC=☉AOC.
例2如图,在☉O中,AB
⏜=AC⏜,☉AB=AC,☉ABC是等腰三角形.
证明:☉AB
又☉ACB=60°,☉☉ABC是等边三角形,AB=BC=CA.
☉☉AOB=☉BOC=☉AOC.
设计意图:通过例题讲解,巩固本节课所学知识,培养学生解决问题的能力,发展应用意识,锻炼实践能力.
巩固训练
1.下列各角中,是圆心角的是(D)
2.如图,在☉O中:
(1)若☉AOC=☉BOC,BC=5,则AC=5;
(2)若AC=BC,☉BOC=70°,则☉AOC=70°.
第2题图
第3题图
⏜=AC⏜,☉C=75°,求☉A的度数.
3.如图,在☉O中,AB
⏜=AC⏜,
解:☉AB
☉AB=AC,☉ABC是等腰三角形.
又☉☉C=75°,☉☉B=☉C=75°.
☉☉A=180°-(☉B+☉C)=30°.
4.如图,在☉O中,弦AC,BD相交于点P,且AB=CD,求证:AC=BD.
⏜=CD⏜
解:☉AB=CD,☉AB
⏜=AB⏜+BC⏜,BD⏜=CD⏜+BC⏜,
又☉AC
☉AC⏜=BD⏜.☉AC=BD.
设计意图:进一步巩固本节课的内容,了解学习效果,让学生经历运用知识解决问题的过程,给学生获得成功体验的空间.
课堂小结
设计意图:通过提问让学生回顾、总结、梳理本节课所学内容,使零散的知识系统化,同时培养学生的语言表达能力.
课堂8分钟.
1.教材第85页练习第2题.
2.七彩作业.
24.1.3 弧、弦、圆心角
1.圆的旋转对称性:圆是中心对称图形,圆心就是它的对称中心.
2.圆心角:顶点在圆心的角.
3.在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等,则它们所对应的其余各组量也都分别相等.
在☉O 中,若☉☉AOB =☉A'OB'(圆心角相等); ☉AB
⏜=A'B'⏜(弧相等); ☉AB =A'B'(弦相等). 则{①→②③
②→①③③→①②
(知一推二)
教学反思
24.1.4圆周角
第1课时圆周角定理及其推论
课时目标
1.了解圆周角的概念,发展学生抽象思维能力的核心素养.
2.通过猜想验证理解圆周角的定理,培养学生观察、操作、归纳、猜想的能力以及增强学生的合作意识,进一步发展空间观念的核心素养.
3.理解圆周角定理的推论,并灵活运用圆周角定理及其推论解决一些实际问题,培养学生会用数学知识解决简单几何问题的能力.
学习重点
圆周角的概念、圆周角的定理及推论、圆周角的定理的推导及运用它们解题.
学习难点
运用数学分类思想证明圆周角的定理.
课时活动设计
情境引入
足球赛前训练,训练场上的球门前划了一个圆圈如图,两名球员分别在C,D两处,他们争论不休,都说自己的射门位置好.如果你是主教练,仅从射门角度考虑,射
门角度越大越好.那么他们谁的射门位置好?
设计意图:足球运动与学生的日常经验紧密相连,有效地唤起了他们对知识的好奇和探索的欲望.为接下来的学习活动奠定了良好的基础.此外,清晰地向学生阐述本节课的学习目标,有助于他们有目的地参与课堂活动,从而提高学习效率和成效.
新知讲解
1.通过两个基本图形的对比,类比圆心角的定义,共同归纳出圆周角的概念.
如图中的☉ACB,它的顶点在圆上,并且两边都与圆相交,我们把这样的角叫做圆周角.
2.概念教学设置了辨析巩固.
如下图,图中哪个角是圆周角.
3.得出口诀:
顶点圆上,两边交圆.
设计意图:对比学习的目的在于加强知识之间的联系,对比学习使得概念理解更加容易,为圆周角定理的学习奠定基础.
新知探究
类比圆心角,探知圆周角.
利用手中圆形纸板,使得圆周角☉BAC的顶点A在优弧BAC上运动,你会发现圆周角☉BAC与圆心O有几种位置关系?
☉请你分别在☉O中画出一个圆周角.
要求:体现圆周角和圆心的三种位置关系.
☉请你在☉O中分别画出同弧所对的圆心角.
思考:你发现同弧所对的圆周角与圆心角有怎样的大小关系吗?
1.教师引导学生,采用小组合作的学习方式,前后四人一组,分组操作.教师巡视与指导学生活动.
2.学生把发现的结论画在任务书上,体现出圆周角与圆心的三种位置关系.
3.学生进行小组活动的展示,派选3名代表,2名学生展示操作过程,1名学生板演画图过程,让全体学生有一个直观的认识.
4.学生在原有图形基础上,分别画出同弧所对的圆心角.
5.教师引导学生利用度量工具动手实践,进行度量,发现结论.
6.学生按照要求进行画图,测量角度,总结发现的规律.
7.教师再利用几何画板从动态的角度进行演示,拖动一个点来改变弧的大小即改变圆心角的大小,来验证学生发现的结论.让学生观察同弧所对的圆周角与圆心角之间的大小关系.
设计意图:通过实践活动,使学生主动参与到课堂探究的过程.小组合作之后进行活动展示,目的让学生对圆周角与圆心的位置有一个直观的认识,为下面探索圆周角与圆心角的关系埋下伏笔,从而为有效的突破教学难点奠定基础.
验证猜想
已知:在☉O中,弧BC所对的圆周角是☉BAC,所对的圆心角是☉BOC.
☉BOC.
求证:☉BAC=1
2
第一种情况:圆心在圆周角一边上;
第二种情况:圆心在圆周角内部;
第三种情况:圆心在圆周角外部.
证明:第一种情况:当圆心在圆周角一边上时,如图1.
☉BOC.
☉OA=OC,☉☉A=☉C.又☉☉BOC=☉A+☉C,☉☉A=1
2
第二种情况:当圆心在圆周角内部时,如图2.
☉OA=OB=OC,☉☉BAO=☉ABO,☉OAC=☉OCA.
☉☉BOC=☉BOD+☉COD=2☉BAD+2☉OAC=2☉BAC.
☉BOC.
☉☉BAC=1
2
第三种情况:当圆心在圆周角外部时,如图3.
☉OA=OC,OA=OB,☉☉OAC=☉OCA,☉OBA=☉OAB.
☉☉BOC=☉DOC-☉DOB=2☉OAC-2☉OAB=2☉BAC.
☉BOC.
☉☉BAC=1
2
教师引导学生总结出圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
设计意图:通过师生合作和生生合作,让学生学会运用分类讨论的数学思想、转化的数学思想来研究问题.伴随着高涨的学习氛围,由小组代表进行展示反馈,说明思路与想法.引导学生学会发现问题、提出问题、分析问题,并能解决问题.让学生对所发现的结论进行证明,培养学生严谨的治学态度.
巩固训练
1.如图,点A,B,C在☉O上,若☉BAC=24°,则☉BOC=48°.
第1题图
第2题图
2.如图,☉O中,弦AB,CD相交于点P,若☉A=30°,☉APD=70°,则☉B=40°.
设计意图:进一步巩固圆周角定理.
为了做到理解定理,知识整合,我们进行了深入的思考:
思考1:在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧相等吗?反之,同弧或等弧所对的圆周角相等吗?
思考2:把“在同圆或等圆中”去掉,如果两个圆周角相等,它们所对的弧还相等吗?
思考3:如图,已知AB是☉O的直径,那么☉BCA为多少度?
思考4:90°的圆周角所对的弦是什么?
设计意图:通过以上几个问题的层层深入,考查学生对定理的理解和应用,并将本节课的知识和所学过的内容紧密结合起来,使学生能够很好地进行知识的迁移,加深对本节知识的理解,最终得出圆周角定理的两个推理:(1)同弧或等弧所对的圆周角相等;(2)半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是
直径.
巩固训练
1.如图,点A,B,C在☉O上,若☉A=60°,则☉BOC的度数为120°.
第1题图
第2题图
2.如图,A,B,P是半径为2的☉O上的三点,☉APB=45°,则弦AB的长为2√2.
3.☉ABC内接于☉O,AC是☉O的直径,☉ACB=50°,点D是BAC上一点,则☉D=40°.
第3题图
第4题图
4.如图,在☉O中,☉ACB=50°,点D是☉O上一点,则☉ADB=50°或130°.
设计意图:在教学活动中,通过设计一系列问题,我们能够有效地指导学生逐步深入理解和应用数学定理.首先,前三个问题侧重于定理的直接和间接应用,帮助学生巩固和运用新学的概念.其次,第四个问题则旨在加深学生对定理的理解,促使他们不仅仅停留在表面的应用层面,而是能够深入探究其背后的原理.此外,练习题的设计遵循了学生的认知发展规律,从简单到复杂,循序渐进,确保学生能够及时获得反馈,了解自己对知识的掌握情况,从而促进知识的消化吸收.通过这样的教学策略,学生能够更好地理解和运用数学定理,提高解决问题的能力.
1.小结:通过本节课的学习你有哪些收获?
2.课后延伸:
通过本节课的学习我们都知道:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等.
将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论还成立吗?
设计意图:1.引导学生从知识、方法、数学思想等方面进行总结,优化认知结构,完善知识体系,使得知识方法结构化,充分发挥学生的主体作用.
2.最后作为课后的一个延伸,设计了一个学生容易犯错的问题,即将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”所对的圆周角还相等吗?为了做到对定理的真正理解,加强思维的变式训练,提高分析解决问题的能力,做到触类旁通.
课堂8分钟.
1.教材第88页练习第3题.
2.七彩作业.。