浙江省效实中学2014届高三上学期期中数学理试卷Word版含答案

宁波效实中学 二○一三学年度
第一学期 期中考试试卷
高三数学（理科）
说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分．
请在答题卷内按要求作答
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1、设全集{}05U x Z x =∈≤≤，集合{}3,1A =，{}
,B y y x x A ==∈，则()U C A B =
A .{}0,4,5,2
B .{}0,4,5
C .{}4,5,2
D .{}4,5
2、已知sin(3)2sin()2π
παα-=-+，则sin cos αα=
A .25-
B .25
C .25或25-
D .15
- 3、已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则"()[1,2]"f x 为上的增函数是"()[4,5]"f x 为上的减函数的
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要
4、()sin()(0,)2f x x π
ωϕωϕ=+><的最小正周期是π，若其图象向左平移6
π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象
A .关于点(,0)12π
对称 B .关于点5(,0)12
π对称 C .关于直线512x π=对称 D .关于直线12
x π=对称 5、在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，若M 为AB 的中点，则点C 到平面1A DM 的距离为
A B C D .12
a 6、已知函数()f x 满足()()f x f x ππ+=-，且当(0,)x π∈时，()cos f x x x =+，则(2),(3),(4)f f f 的大小关系是
A .(2)(3)(4)f f f <<
B .(2)(4)(3)f f f <<
C .(4)(3)(2)f f f <<
D .(3)(4)(2)f f f <<
7、已知,m n 为异面直线，,m n αβ⊥⊥平面平面，直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄，则
A . //αβ且//l α
B .αβ⊥且l β⊥
C . α与β相交，且交线垂直于l
D .α与β相交，且交线平行于l
8、2()21,()1x f x g x x =-=-，(),()()()(),()()
f x f x
g x F x g x f x g x ≥⎧=⎨-<⎩，则下列判断正确的是
A .()F x 为偶函数
B .()F x 有最小值1-，无最大值
C .()F x 有最大值1，无最小值
D .()F x 无最大值，也无最小值
9、已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若12345a a a =，且
133551315513S S S S S S ++=，则2a =
A .3
B .5
C .9
D .10
10、已知函数()32()20f x ax bx a =+-≠有且仅有两个不同的零点12,x x ，则
A .当0a <时，12120,0x x x x +<>
B .当0a <时，12120,0x x x x +><
C .当0a >时，12120,0x x x x +<>
D .当0a >时，12120,0x x x x +><
第Ⅱ卷（非选择题 共70分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．
11、若212i z i
-=+，则复数z 的实部与虚部的和为________. 12、若2,1,,602a b a b a b ︒==<>=+=，则_________.
13、数列{}n a 满足12a =，2112(1)n n a a n +=+
⋅，则n a =_________ 14、已知一几何体的三视图如图所示，
则该几何体的体积为 .
15、半圆的直径4AB =，O 为圆心，C 是半圆上不同于,A B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值是___________.
16、在直角ABC ∆中，两条直角边分别为a b 、，斜边和斜边上的高分别为c h 、
，则c h a b
++的取值范围是 .
17、若,,()(x y R x y t x +∈+≥+恒成立，则t 的范围是____________.
三、解答题：本大题共5小题，共49分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18、在数列{}n a 中，1122,210,1n n n n n a a a a b a +=-+==
-. （1）求证：{}n b 为等差数列，并求n b ；
（2）若数列{}n c 满足23121...333n n n c c c c b -+
+++=，求数列{}n nc 的前n 项和n T .
19、已知函数2()2cos )f x x x =--
（1）当[0,]2x π
∈时，求()f x 的值域；
（2）若ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足
b a =， sin(2)22cos()sin A C A C A
+=++，求()f B 的值.
20、在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，2,60AB DAB ︒
=∠=，平面PAD ⊥平面ABCD ，且PAD ∆为正三角形,E 为AD 中点,M 为线段PC 上的一点.
（1）若M 为PC 中点，求证：//ME PAB 平面；
（2）若二面角M EB C --的平面角为60︒，求直线AB 与平面MEB 所成角的余弦值.
21、已知()x f x xe =，2()2g x ax ax =+，a R ∈
（1）若()f x 与()g x 在(0,0)处的切线互相垂直，求a 的值；
（2）设()()()F x f x g x =-，当1a ≤≤
时，求(||)y F x =在[,]a a -的最大值.
22、对于实数x ，将满足“10<≤y 且y x -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用记号{}x 表示．例如{}811.20.2,{1.2}0.8,{}77
=-==
.对于实数a ，无穷数列{}n a 满足如下条件： 1{}a a =，11,00,
0n n n n a a a a +⎧⎧⎫≠⎪⎨⎬=⎨⎩⎭⎪=⎩,, 其中123n =,,,.
（1）若2=
a ，求23,a a 并猜想数列{}n a 的通项公式（不需要证明）； （2）当4
1>a 时，对任意的n ∈*N ，都有a a n =，求符合要求的实数a 构成的集合A ； （3）若a 是有理数，设q
p a = （p 是整数，q 是正整数，p ,q 互质），对于大于q 的任意正整数n ，是否都有0=n a 成立，证明你的结论．
2013学年第一学期期中高三数学（理）答案
1-10： DACCA BDBBB
11、-1 12
、 13、22n n 14、4
3
π 15、132- 16
、14a a e
=->+或
、t ≤18、（1）112
22222211111
1n n n n n n n n
a b b a a a a a ++--=-=-==-----， 所以，{}n b 为等差数列，且11221b a =
=-，所以，2n b n = （2）当1n =时，112c b ==；
当2n ≥时，联立23121231122...2333...22333n n n n c c c c n c c c c n ---⎧++++=⎪⎪⎨⎪++++=-⎪⎩，得123n n c -=，所以123(2)n n c n -=⋅≥ 所以 ，123(1)n n c n -=⋅≥，123n n nc n -=⋅，
121
23212323...233232323...23n n n
n T n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅=⋅+⋅+⋅++⋅１ ，所以2122(133...3)23n n n T n --=++++-⋅ 23123(12)31n n n n T n n ∴-=--⋅=-⋅-，11()322
n n T n ∴=-⋅+
19
、22()2(3sin cos cos )f x x x x x =-+-
22cos sin cos cos222sin(2)
6x x x x
x x x π=-+=+=+
7[0,],2[,]2666x x ππππ∈∴+∈，1sin(2)[,1]62
x π+∈-，()[1,2]f x ∴∈- （2）由条件得 sin(2)2sin 2sin cos()A C A A A C +=++
sin cos()cos sin()2sin 2sin cos()A A C A A C A A A C +++=++
化简得 sin 2sin C A =
2,,c a b ∴==由余弦定理得 30,60,90A B C ︒︒︒=== ()(60)2sin1501f B f ︒︒∴===
20、
（1）取BC 中点M ，连MN,NE,
MN//PB,所以MN//平面PAB
EN//AB,所以NE//平面PAB
所以 平面MNE//平面PAB
所以 MN//平面PAB
（2）如图，建立空间直角坐标系，
(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0)
(E A B D P C --
算得 平面MEB
的法向量1(3,0,2)n λ=-， 平面EBC 的法向量
2(0,0,1)n = 121cos ,2
n n <>==，解得11()3λ=-或者舍去 此时，122(
3,0,)3n =，13cos ,n
AB <>=
21、（1）'()(1),'()22,x f x x e g x ax a =+=+又'(0)'(0)1f g =-，所以21a =-，12
a =-
（2）2()(2)x F x xe ax ax =-+，只要求()[0,]F x a 在上的最大值， '()(1)(22)(1)(2)x x F x x e ax a x e a =+-+=
+-，
令 ()2(1x h x e x x =-≤≤,
'()20x h x e =->，min ()(1)20h x h e ∴==->，()0h x >恒成立，
2x e x ∴>，2a e a ∴>，()(0,ln 2)(ln 2,)F x a a a ∴↓↑在
又322(0)0,()(2)(2)a a F F a ae a a a e a a ==-+
=--，
令2()2(1x m x e x x x =--≤≤,'()22x m x e x =--,''()20x m x e
=->，
所以'()
m x 在
递增
，'()20m x m ∴≤=--<，
所以()m x 单调递减，()(1)40m x m e ≤=-<，
所以max ()(0)0F x F ==
22、（1）2221211111(2)2()t x x x a x x ax x a a ==-=-+=--+，且102,x a << 2(0,]t a ∴∈
（2）21212121212121212211212
1111()2()()()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +---=+-+=+- 222
121212121212142141422a x x a a x x x x t x x x x x x t
---+-=++=++, 当12
a ≥时，2140a -≤，214a t t t -∴+为的增函数， 且当2t a =时，有最大值21()a a - 即12x x a ==时，21212111()()()x x a x x a
--≤- （3）212121114()()2a x x t x x t ---=++， 令2
214()2,(0,]a f t t t a t
-=++∈ 当12a ≥时，2()(0,)f t a 在递增，所以221()()()f t f a a a
≤=-，故舍去 当102
a <<时，2222214(14)'()1a t a f t t t ---=-=，
所以，())f t ↓+∞↑在，要使得2
()()f t f a ≥恒成立，则有
2a ≥，2414a a -≥，且102a <<
解得
0a <<。