寸有所长，尺有所短——由一道题看“综合法”和“向量法”
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－２
，犛→犃＝
３ ２，－１，－槡２３ ，犛→犆＝
－１ ２，１，－槡２３ ．
设 犿 是平面犛犃犅 的法向量，
烄３ 则烅２狓
方法３：令犛犗 ⊥ 平面犃犅犆犇，犛犗＝槡２３，犗 为坐标
（ ） 原点，建立空间直角坐标系，则犛 ０，０，槡２３ ．
（ ） 又因 为 犗犕
＝
３ ２，犗犇
＝
１，所 ２
以
犅
３ ２
，１，０
，
（ ） （ ） （ 犃 ３２，－１，０ ，犆 － １ ２，１，０ ， 所 以犛→犅 ＝
３，１， ２
） （ ） （ ） 槡３
复习 备考 解法探究 ２０２１年４月
寸有所长，尺有所短
——— 由一道题看“综合法”和“向量法”
? 江苏省扬州市公道中学 王 丽
一、问题提出
解决立体几何的方法通常称为“综合法”和“向量 法”．以前江苏对于综合法是比较弱化的，但是如今改 革明确了将综 合 法 求 空 间 角 与 距 离 列 入 江 苏 省 ２０２１ 年高 考 的 内 容．在 选 择 性 必 修 主 题 二 “空 间 向 量 与 立 体几何”中，这样阐述：运用向量的方法研究空间基本 图形的位置关系和度量关系，体会向量方法和综合几 何方法的共性和差异，运用向量方法解决简单的数学 问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题的有效工 具．鉴于综合法和坐标法在考查学生能力上侧重点不 同，命题人在出题时肯定会考虑：是偏向综合法，还是 偏向坐标 法，或 两 者 兼 顾．江 苏 新 高 考 到 底 会 采 用 哪 种风格，从现在（２０２１年４月）收到的信息看，还未可 知．因此，需要熟练掌握这两种解法．但是对于一种题 型，提 供 了 多 种 解 法，无 疑 使 学 生 在 做 题 的 过 程 中 有 了更多的 选 择，按 理 说 成 功 率 也 应 该 大 大 提 高．但 在 通过实践教学与调查研究中发现，学生对立体几何的 学习并没有因为解法的多样性而变得轻松．
下面，本人就最 近 的 一 道 测 试 题，分 别 运 用 综 合 法和向量法进行求解．
二、试题呈现
问题 如图１，在四棱锥犛 －犃犅犆犇 中，犃犅 ∥ 犆犇，犅犆 ⊥犆犇，侧面犛犃犅 为等边三角形，犃犅 ＝犅犆 ＝ ２，犆犇 ＝犛犇 ＝１．
（１）证明：犛犇 ⊥ 平面犛犃犅； （２）求二面角 犃 －犛犅 －犆 的平面角的正弦值．
槡７２１．
又因为犃犜１ ＝槡３，所以ｓｉｎ∠犚１犜１犃 ＝２７槡７． 分析：方法２是运用三垂线的方法，先找平面的垂 线，作出一个直角三角形．运用了等积法，难度在于如 何求四棱 锥 里 三 棱 锥 的 高．对 空 间 想 象 能 力、逻 辑 推 理能力的要求比定义法要高，难度也更大． ３．空间直角坐标系 设平面α，β所构成的二面角的平面角的大小为θ， 平面α，β 的法向量为狀１，狀２，则ｃｏｓθ＝ｃｏｓ〈狀１，狀２〉或 －ｃｏｓ〈狀１，狀２〉．
等边三角形，所以自然想到取棱犛犅 的中点存在垂直， 作出平面 角，然 后 运 用 余 弦 定 理 求 出 角 的 大 小，知 道 这是一个钝角．
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复习
２０２１年４月 解法探究
犃犅犆犇，所以平面犃犅犆犇 ⊥ 平面犛犇犕，且平面犃犅犆犇
∩ 平面犛犇犕 ＝犇犕，作犛犖 ⊥犇犕 于犖，即犛犖 ⊥ 平
面 犃犅犆犇．
因为犛犇＝１，犛犕 ＝槡３，犇犕 ＝２，在Ｒｔ△犛犇犕 中，
有犛犖
＝槡２３，犞犃－犛犅犆
＝犞犛－犃犅犆
，１ ３
×犃犚１
×犛△犛犅犆
１ ＝３
×
犛犖
×犛△犃犅犆
，犃犚１
２ ＝
图３
犚１犜１＝犚１，所以犛犅 ⊥ 平面犃犚１犜１，所以犛犅 ⊥犃犜１，
所以 ∠犚１犜１犃 为二面角犃 －犛犅 －犆 的平面角．
由 方法１得ｃｏｓ∠犛犅犆＝３ ４ ，ｓｉｎ∠犛犅犆＝槡４７，所以
１
槡７
犛△犛犅犆 ＝２ ×犛犅 ×犅犆×ｓｉｎ∠犛犅犆 ＝ ２ ．
由方法１得犃犅 ⊥ 平面犛犇犕．因为 犃犅 平面
备考
２．三垂线法
过一个半平面内一点作另一个半平面的一条垂
线，过这个垂足再作棱的垂线．
方法２：如图３，作犃犚１ ⊥ 平 面犛犅犆 于犚１，过犚１ 作犚１犜１ ⊥ 犛犅 于犜１，连接 犃犜１．因为 犃犚１ ⊥ 平面犛犅犆，犚１犜１，犛犅 平面 犛犅犆，所 以 犃犚１ ⊥ 犛犅，犃犚１ ⊥
犚１犜１． 又因为犚１犜１ ⊥犛犅，犃犚１ ∩
１．定义法 在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的两
条射线，这两条射线的夹角． 方法１：如 图 ２，作 犃犘１ ⊥
犛犅 于犘１，过犘１ 作犘１犙１ ⊥犛犅 交犅犆 于犙１，所以 ∠犃犘１犙１ 为 二面角犃 －犛犅 －犆 的平面角．
因为槡３． 又 犕 是犃犅 的中点，由（１）
图２
得犃犅 ⊥ 平 面 犛犇犕，犃犅 ∥ 犆犇，所 以 犆犇 ⊥ 平 面
犛犇犕 ．
因为犛犇 平面犛犇犕，犆犇＝犛犇＝１，所以犆犇 ⊥
犛犇，犛犆
＝槡２，所
以
ｃｏｓ∠犛犅犆
犛犅２ ＋犅犆２ －犛犆２ ＝ ２·犛犅·犅犆
＝
４２＋ ×４ ２－ ×２ ２＝ ３ ４ ．
在 Ｒｔ△犘１犅犙１
中 ｃｏｓ∠犛犅犆
犅犘１ ＝犅犙１
三、试题评析
（１）略．
图１
（２）我们知道二面角的平面
角的范围是０°＜θ ≤１８０°（０°，１８０°］．
二面角的的定义：从一条直线出发的两个半平面
所组成的图形． 二面角一般的求解步骤：① 找：找出图形中二面
角，若没有，要作出其平面角；② 证：证明所找（作）出 的二面角就是该二面角的平面角；③ 算：计算出该平 面角．其中第一步（“找”）是关键．
＝
３，所 以 ４
犅犙１
＝
４ ３
，犘１犙１
＝ 槡犅犙２ １ －犅犘２ １
＝
槡７，而 ３
犃犙１
＝
槡犃犅２ ＋犅犙２ １
＝
２ 槡１３， ３
所 以 ｃｏｓ∠犃犘１犙１
＝
犃犘２ １ ＋犘１犙２ １ －犃犙２ １ ２·犃犘１·犘１犙１
＝－
槡２１，所 ７
以
ｓｉｎ∠犃犘１犙１
＝
２７槡７． 分析：方法１是从二面角的定义出发．由于题中有
，犛→犃＝
３ ２，－１，－槡２３ ，犛→犆＝
－１ ２，１，－槡２３ ．
设 犿 是平面犛犃犅 的法向量，
烄３ 则烅２狓
方法３：令犛犗 ⊥ 平面犃犅犆犇，犛犗＝槡２３，犗 为坐标
（ ） 原点，建立空间直角坐标系，则犛 ０，０，槡２３ ．
（ ） 又因 为 犗犕
＝
３ ２，犗犇
＝
１，所 ２
以
犅
３ ２
，１，０
，
（ ） （ ） （ 犃 ３２，－１，０ ，犆 － １ ２，１，０ ， 所 以犛→犅 ＝
３，１， ２
） （ ） （ ） 槡３
复习 备考 解法探究 ２０２１年４月
寸有所长，尺有所短
——— 由一道题看“综合法”和“向量法”
? 江苏省扬州市公道中学 王 丽
一、问题提出
解决立体几何的方法通常称为“综合法”和“向量 法”．以前江苏对于综合法是比较弱化的，但是如今改 革明确了将综 合 法 求 空 间 角 与 距 离 列 入 江 苏 省 ２０２１ 年高 考 的 内 容．在 选 择 性 必 修 主 题 二 “空 间 向 量 与 立 体几何”中，这样阐述：运用向量的方法研究空间基本 图形的位置关系和度量关系，体会向量方法和综合几 何方法的共性和差异，运用向量方法解决简单的数学 问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题的有效工 具．鉴于综合法和坐标法在考查学生能力上侧重点不 同，命题人在出题时肯定会考虑：是偏向综合法，还是 偏向坐标 法，或 两 者 兼 顾．江 苏 新 高 考 到 底 会 采 用 哪 种风格，从现在（２０２１年４月）收到的信息看，还未可 知．因此，需要熟练掌握这两种解法．但是对于一种题 型，提 供 了 多 种 解 法，无 疑 使 学 生 在 做 题 的 过 程 中 有 了更多的 选 择，按 理 说 成 功 率 也 应 该 大 大 提 高．但 在 通过实践教学与调查研究中发现，学生对立体几何的 学习并没有因为解法的多样性而变得轻松．
下面，本人就最 近 的 一 道 测 试 题，分 别 运 用 综 合 法和向量法进行求解．
二、试题呈现
问题 如图１，在四棱锥犛 －犃犅犆犇 中，犃犅 ∥ 犆犇，犅犆 ⊥犆犇，侧面犛犃犅 为等边三角形，犃犅 ＝犅犆 ＝ ２，犆犇 ＝犛犇 ＝１．
（１）证明：犛犇 ⊥ 平面犛犃犅； （２）求二面角 犃 －犛犅 －犆 的平面角的正弦值．
槡７２１．
又因为犃犜１ ＝槡３，所以ｓｉｎ∠犚１犜１犃 ＝２７槡７． 分析：方法２是运用三垂线的方法，先找平面的垂 线，作出一个直角三角形．运用了等积法，难度在于如 何求四棱 锥 里 三 棱 锥 的 高．对 空 间 想 象 能 力、逻 辑 推 理能力的要求比定义法要高，难度也更大． ３．空间直角坐标系 设平面α，β所构成的二面角的平面角的大小为θ， 平面α，β 的法向量为狀１，狀２，则ｃｏｓθ＝ｃｏｓ〈狀１，狀２〉或 －ｃｏｓ〈狀１，狀２〉．
等边三角形，所以自然想到取棱犛犅 的中点存在垂直， 作出平面 角，然 后 运 用 余 弦 定 理 求 出 角 的 大 小，知 道 这是一个钝角．
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复习
２０２１年４月 解法探究
犃犅犆犇，所以平面犃犅犆犇 ⊥ 平面犛犇犕，且平面犃犅犆犇
∩ 平面犛犇犕 ＝犇犕，作犛犖 ⊥犇犕 于犖，即犛犖 ⊥ 平
面 犃犅犆犇．
因为犛犇＝１，犛犕 ＝槡３，犇犕 ＝２，在Ｒｔ△犛犇犕 中，
有犛犖
＝槡２３，犞犃－犛犅犆
＝犞犛－犃犅犆
，１ ３
×犃犚１
×犛△犛犅犆
１ ＝３
×
犛犖
×犛△犃犅犆
，犃犚１
２ ＝
图３
犚１犜１＝犚１，所以犛犅 ⊥ 平面犃犚１犜１，所以犛犅 ⊥犃犜１，
所以 ∠犚１犜１犃 为二面角犃 －犛犅 －犆 的平面角．
由 方法１得ｃｏｓ∠犛犅犆＝３ ４ ，ｓｉｎ∠犛犅犆＝槡４７，所以
１
槡７
犛△犛犅犆 ＝２ ×犛犅 ×犅犆×ｓｉｎ∠犛犅犆 ＝ ２ ．
由方法１得犃犅 ⊥ 平面犛犇犕．因为 犃犅 平面
备考
２．三垂线法
过一个半平面内一点作另一个半平面的一条垂
线，过这个垂足再作棱的垂线．
方法２：如图３，作犃犚１ ⊥ 平 面犛犅犆 于犚１，过犚１ 作犚１犜１ ⊥ 犛犅 于犜１，连接 犃犜１．因为 犃犚１ ⊥ 平面犛犅犆，犚１犜１，犛犅 平面 犛犅犆，所 以 犃犚１ ⊥ 犛犅，犃犚１ ⊥
犚１犜１． 又因为犚１犜１ ⊥犛犅，犃犚１ ∩
１．定义法 在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的两
条射线，这两条射线的夹角． 方法１：如 图 ２，作 犃犘１ ⊥
犛犅 于犘１，过犘１ 作犘１犙１ ⊥犛犅 交犅犆 于犙１，所以 ∠犃犘１犙１ 为 二面角犃 －犛犅 －犆 的平面角．
因为槡３． 又 犕 是犃犅 的中点，由（１）
图２
得犃犅 ⊥ 平 面 犛犇犕，犃犅 ∥ 犆犇，所 以 犆犇 ⊥ 平 面
犛犇犕 ．
因为犛犇 平面犛犇犕，犆犇＝犛犇＝１，所以犆犇 ⊥
犛犇，犛犆
＝槡２，所
以
ｃｏｓ∠犛犅犆
犛犅２ ＋犅犆２ －犛犆２ ＝ ２·犛犅·犅犆
＝
４２＋ ×４ ２－ ×２ ２＝ ３ ４ ．
在 Ｒｔ△犘１犅犙１
中 ｃｏｓ∠犛犅犆
犅犘１ ＝犅犙１
三、试题评析
（１）略．
图１
（２）我们知道二面角的平面
角的范围是０°＜θ ≤１８０°（０°，１８０°］．
二面角的的定义：从一条直线出发的两个半平面
所组成的图形． 二面角一般的求解步骤：① 找：找出图形中二面
角，若没有，要作出其平面角；② 证：证明所找（作）出 的二面角就是该二面角的平面角；③ 算：计算出该平 面角．其中第一步（“找”）是关键．
＝
３，所 以 ４
犅犙１
＝
４ ３
，犘１犙１
＝ 槡犅犙２ １ －犅犘２ １
＝
槡７，而 ３
犃犙１
＝
槡犃犅２ ＋犅犙２ １
＝
２ 槡１３， ３
所 以 ｃｏｓ∠犃犘１犙１
＝
犃犘２ １ ＋犘１犙２ １ －犃犙２ １ ２·犃犘１·犘１犙１
＝－
槡２１，所 ７
以
ｓｉｎ∠犃犘１犙１
＝
２７槡７． 分析：方法１是从二面角的定义出发．由于题中有