角平分线性质判定的分析与应用

D
O
E B
C
A
P 图2
角平分线性质判定的分析与应用
角平分线的性质定理与判定定理，学生往往由于理解不透，因而在具体应用时不会应用或应用不灵活. 下面就这两个定理作一简要分析并归纳其在数学中的应用，以期对同学们有所帮助.
角平分线性质判定定理的分析：
一、角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等. 【要点】条件：1. 点在角平分线上，
2. 点到两边的距离，
结论：3. 距离相等.
【符号语言】如图1
∵点P 在∠AOB 的平分线上，① PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，② ∴PD=PE. ③ 【作用】证线段相等.
【辅助线添加提示】存在角平分线上的点， 作此点到角两边的垂线段.
【错误警示】1. 学生在具体应用角平分线性质时，在做题步骤中往往出现类似漏写②，即没有点明PD 、PE 是点P 到角两边的距离，而只由①便得③的错误.
2. 对定理的图形语言认识不足. 角平分线上的点到角两边的距离是指这个 点到角两边的垂线段的长度，而不是过此 点与角平分线垂直（或仅仅相交）的直线 与角两边相交所得的线段的长度.
学生往往出现如下错误：
如图2 ∵点P 在∠AOB 的平分线上， ∴PD=PE.
二、角平分线判定定理：
在一个角的内部，并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
O
E P
C
B
D
A
图1
【要点】条件：1. 点在角的内部，
2. 点到角两边的距离相等，
结论：3. 点在角的平分线上.
【解释】到角两边距离相等的点所在的射线有4条，如图3，图中的虚线即是，所以要点1不可缺少.
【符号语言】如图1，
∵PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB ∴PD=PE ，
∴点P 在∠AOB 的平分线上.
【作用】：证点在角平分线上，证角相等. 角平分线性质判定定理的应用： 一、性质、判定定理往往同时应用.
例1 已知，如图4，ΔABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F. 求证：点F 在∠DAE 的平分线上.
分析：要证点F 在∠DAE 的平分线上， 只要证出点F 到∠DAE 所以添加辅助线，过点F 作FM ⊥AD 于FN ⊥AE 于N ，证出FM=FN 即可. 而已知条件中存在两条角的平分线， 所以作其上的点到角两边的垂线段，
过点F 作FH ⊥BC 于点H ，得到FM=FH ，
FH=FN ，得FM=FN ，所以点F 在∠DAE 的平分线上.
引申：由以上分析可以看出，ΔABC 的一个内角∠A 的平分线与另两个外角
的平分线交于一点，此点到三角形三边的距离相等，这样的点在边AC 外和边AB 外还各有一个，一共有三个. 又因为三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等，所以到三角形三边距离相等的点共有四个.
二、与等腰三角形、线段垂直平分线的性质判定同时应用.
例2 已知，如图5，P 是∠AOB 的平分线上的一点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别为点C 、D.
求证：（1）OC=OD ；（2）OP 是CD 的垂直平分线.
证明：(1) ∵P 是∠AOB 的平分线上的一点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ， ∴PC=PD.
∴∠PCD=∠PDC ， ∵∠PCO=∠PDO=900, ∴∠OCD=∠OD, ∴OC=OD. (2) ∵PC=PD ，
∴点P 在CD 的垂直平分线上， 同理点O 在CD 的垂直平分线上∴OP 是CD 的垂直平分线.
点评：此题也可通过三角形全等证明，或通过三线合一证明. 三、 在作图中的应用.
例3 如图6，直线距离相等，可供选择的 地址有几处哪一处到 三条公路的距离最近 求作此点.
分析：由例1知，可供选择的地址有四处，其中三角形的三条角平分线的交点离三条公路最近. 在作
图时，只要作出ΔABC的两条角平分线，它们的交点即为所求.。