2022-2023学年上海市浦东新区高一上学期期末数学试题(解析版)

2022-2023学年上海市浦东新区高一上学期期末数学试题
一、填空题
1．R .（用符号“∈”或“∉”填空） 【答案】∈
【分析】根据实数的定义及集合与元素的关系判断即可.
【详解】解：R . 故答案为：∈.
2．已知集合{}2
2,33A a a =++，且1A ∈，则实数a 的值为____________.
【答案】1-或2-
【分析】根据元素与集合的关系求解.
【详解】因为1A ∈，{}2
2,33A a a =++，
所以2331a a ++=，解得1a =-或2a =-， 故答案为：1-或2- 3．函数2
2
log 1
x y x +=-的定义域是__________. 【答案】(,2)(1,)-∞-+∞
【分析】先利用对数式中真数为正得到2
01
x x +>-，再将分式不等式化为一元二次不等式进行求解. 【详解】要使2
2
log 1x y x +=-有意义，须
201
x x +>-， 即(2)(1)0x x +->，解得1x >或<2x -， 即函数2
2
log 1
x y x +=-的定义域是(,2)(1,)-∞-+∞. 故答案为：(,2)(1,)-∞-+∞.
4．:x α是2的倍数，:x β是6的倍数，则α是β的____________条件（填“充分非必要”“必要非充分”“充要”“既非充分又非必要”）. 【答案】必要非充分
【分析】由充分性和必要性的定义即可得出答案. 【详解】x 是2的倍数推不出x 是6的倍数，如2x =， 但x 是6的倍数能推出x 是2的倍数. 故α是β的必要非充分条件.
故答案为：必要非充分.
5．用有理数指数幂的形式表示3a 0a >）____________. 【答案】15
4a
【分析】根据幂指数和根式之间的互化即可求解. 【详解】3315
3
33444a a a a a +⋅==， 故答案为：15
4a
6．设01a <<，则关于x 的不等式2
23
6x x a a -+>的解集是____________.
【答案】(1,3)-
【分析】由于01a <<，根据指数函数的单调性可得2236x x -+<，解不等式即可. 【详解】因为01a <<，且2
23
6x
x a a -+>，
则根据指数函数的单调性可知，2236x x -+<，解得13x -<<，所以不等式的解集为(1,3)-. 故答案为：(1,3)- 7．已知一元二次方程2130(0)x x a a a
+-=>的两个实根为12x x 、，则22
122
1x x x x +=____________. 【答案】3
【分析】先利用韦达定理求出1212,x x x x +⋅，再由()22
12212112x x x x x x x x +=+，代入即可得出答案.
【详解】一元二次方程2
1
30(0)x x a a a
+
-=>的两个实根为12x x 、， 所以12121
,3x x x x a a
+=-⋅=-，
所以()22
12212112133x x x x x x x x a a ⎛⎫+=+=-⋅-= ⎪⎝⎭
.
故答案为：3.
8．请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上____________. ①上海市2022年入学的全体高一年级新生；
②在平面直角坐标系中，到定点(00)，
的距离等于1的所有点； ③影响力比较大的中国数学家； ④不等式3100x -<的所有正整数解. 【答案】①②④
【分析】根据集合的概念即可判断.
【详解】解：对于①，“上海市2022年入学的全体高一年级新生”，研究对象是明确的，符合集合的
定义，能构成集合；
对于②，“在平面直角坐标系中，到定点(00)，
的距离等于1的所有点”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合；
对于③，“影响力比较大的中国数学家”，其中影响力比较大的没有明确的定义，故不能构成集合； 对于④，“不等式3100x -<的所有正整数解”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合. 故答案为：①②④.
9．设a 、b 、c 、d 是实数，则下列命题为真命题的是____________. ①如果a b >，且c d >，那么a c b d +>+； ②如果a
b ，且
c
d ≠，那么ac bd ≠；
③如果0a b >>，那么110a b
<<； ④如果22()()0a b b c -+-≤，那么a b c ==. 【答案】①③④
【分析】根据不等式的性质一一判断求解.
【详解】对于①,因为a b >，且c d >，根据不等式的可加性， 所以a c b d +>+，故①正确；
对于②，例如1,8,2,4,a c b d ====有ac bd =，故②错误； 对于③,
11b a a b ab
--=，因为0a b >>，所以0b a
ab -<， 即1
1
0a
b
<<，故③正确；
对于④，因为22()()0a b b c -+-≤，所以0a b -=且0b c -=， 所以a b c ==，故④正确， 故答案为：①③④.
10．已知对数函数log a y x =（0a >且1a ≠）的图象经过点(3,2)，且该函数图象经过点()0,4x ，则实数0x 的值是____________. 【答案】9
【分析】根据点在图象上可求出a =0x .
【详解】因为对数函数log a y x =（0a >且1a ≠）的图象经过点(3,2)，
所以log 32a =解得a = 所以
y x =，
因为该函数图象经过点()
0,4x ，所以04x =解得09x =，
故答案为:9.
11．已知正数a 和b 满足12
23,1a b a b
=+=，用a 及b 表示18log 12=____________.
【答案】21
a b
+
【分析】令)2(31a b m m =>=，由121a b +=，可得18m =，进而可得以181811
log 2,log 3,a b ==现由
1818183l g 2og 12lo log 2=+即可得答案.
【详解】解：因为,a b 均为正数， 令)2(31a b m m =>=， 则有21log ,
log 2m a m a ==，31
log ,log 3m b m b
==， 又因为12
1a b
+=，
所以log 22log 3log 2log 9log 181m m m m m +=+==， 所以18m =，
所以23log 18,log 18a b ==， 所以
181811
log 2,log 3,a b
== 所以18181812
818l 2l 21
(g 43)og 12log log g (3)2o 23lo a b
⨯=⨯=
==++. 故答案为：21
a b
+
12．某同学在学习了基本不等式和幂指对运算后，通过查阅资料发现了一个不等式“e 1x x -≥，当且仅当0x =时等号成立”，请借助这个不等式，解答下题：对任意0x >，ln x bx ≥恒成立，则b 的取值范围____________. 【答案】(]0,e
【分析】由题意转化为ln ln ln e ln ≤-=-x b x x x 恒成立，即求ln e ln -x x 的最小值，根据e 1x x -≥可得ln e ln 1-≥x x ，从而得到答案.
【详解】由0x >，0bx >可得0b >， 由ln x bx ≥得ln ln ≥+x b x ，
对任意0x >，ln ln ln e ln ≤-=-x b x x x 恒成立，转化为求ln e ln -x x 的最小值， 因为e 1x x -≥，所以ln e ln 1-≥x x ，所以ln 1b ≤，解得0e <≤b ，
当且仅当ln 0x =即1x =时等号成立，所以b 的取值范围为0e <≤b . 故答案为：(]0,e .
二、单选题
13．下列函数与函数y x =相同的是（ ）
A ．2y =
B ．ln e x y =
C ．
y = D ．ln e x y =
【答案】B
【分析】当两函数定义域相同，对应关系相同时，为同一函数，对四个选项中的函数一一分析定义域和对应关系，选出答案. 【详解】函数y x =定义域为R ，
A 选项，2y =定义域为[)0,∞+，A 错误；
B 选项，ln e x y =定义域为R ，且ln e x y x ==，与函数y x =相同，B 正确；
C 选项，y x ==，与函数y x =不相同，C 错误；
D 选项，ln e x y =定义域为()0,∞+，D 错误. 故选：B
14．下列函数中，值域是(0,)+∞的是（ ） A ．2y
x
B ．1y x
=
C ．2x y =-
D ．lg(1)(0)y x x =+>
【答案】D
【分析】利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可． 【详解】对于A ：2y
x 的值域为[)0,∞+；
对于B ：1y x
=的值域为(,0)(0,)-∞+∞； 对于C ：2x y =-的值域为(),0∞-； 对于D ：0x
，11x ∴+>，()lg 10x ∴+>，
()lg 1y x ∴=+的值域为()0,∞+；
故选：D
15．关于幂函数的图象，下列选项描述正确的是（ ） A ．幂函数的图象一定经过(0,0)和(1,1)
B ．幂函数的图象一定关于y 轴或原点对称
C ．幂函数的图象一定不经过第四象限
D ．两个不同的幂函数的图象最多有两个公共点 【答案】C
【分析】由幂函数的性质对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于A ，函数1
y x
=的图象不经过点()0,0，所以A 不正确； 对于B ，1
2y x =是非奇非偶函数，所以B 不正确； 对于C ，对于幂函数y x α=，当0x >时，0y >一定成立， 所以任何幂函数的图象都不经过第四象限，所以C 正确；
对于D ，3,y x y x ==，则令3x x =，解得：0x =或1x =或=1x -， 所以幂函数3y x =和y x =有三个交点，所以D 不正确. 故选：C.
16．已知定义域为R 的函数()y f x =满足：①对任意,R x y ∈，()()()f x y f x f y +=⋅恒成立；②若x y ≠则()()f x f y ≠.以下选项表述不正确．．．的是（ ） A ．()y f x =在R 上是严格增函数 B ．若(3)10f =，则(6)100f = C ．若(6)100f =，则1(3)10
f -= D ．函数()
()
()F x f x f x 的最小值为2
【答案】A
【分析】根据给定条件，探讨函数()f x 的性质，再举例判断A ；取值计算判断B ，C ；借助均值不等式求解判断D 作答.
【详解】任意,R x y ∈，()()()f x y f x f y +=⋅恒成立，
R a ∈且0a ≠，假设()0f a =，则有(2)()()()0()f a f a a f a f a f a =+=⋅==，
显然2a a ≠，与“若x y ≠则()()f x f y ≠”矛盾，假设是错的，因此当R a ∈且0a ≠时，()0f a ≠， 取0,0x a y =≠=，有()()(0)f a f a f =⋅，则(0)1f =，于是得R x ∀∈，()0f x ≠，
R x ∀∈，2()()[()]0222
x x x f x f f =+=>，()()(0)1f x f x f ⋅-==，
对于A ，函数1()()2x
f x =，,x y ∀∈R ，111()()()()()()222
x y x y f x y f x f y ++==⋅=⋅，
并且当x y ≠时，()()f x f y ≠，即函数1()()2
x
f x =满足给定条件，而此函数在R 上是严格减函数，A
不正确；
对于B ，(3)10f =，则(6)(3)(3)100f f f =⋅=，B 正确；
对于C ，(6)100f =，则(3)(3)100f f ⋅=，而(3)0f >，有(3)10f =，又(3)(3)1f f ，因此1
(3)10
f -=，C 正确；
对于D ，()()1f x f x ⋅-=，()0f x >，则有()()()2()()1F x f x f x f x f x ，
当且仅当()()1f x f x ，即0x =时取等号，所以函数()
()
()F x f x f x 的最小值为2，D 正确.
故选：A
【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值即可.
三、解答题
17．解不等式|21|1x ->. 【答案】()(),01,-∞⋃+∞
【分析】对|21|1x ->两边同时平方，由一元二次方程的解法即可得出答案. 【详解】由|21|1x ->可得：()2
211x ->，则2440x x ->， 则()101x x x ->⇒>或0x <.
故不等式|21|1x ->的解集为：()(),01,-∞⋃+∞
18．已知集合{(,)41}A x y y x ==-∣，集合{}2(,)2B x y y x ==+∣，用列举法表示集合A B ⋂. 【答案】{(1,3),(3,11)}
【分析】集合A ,B 中的元素均为函数图像上的点，故A 与B 的交集即为41y x =-与22y x =+的交点的集合.
【详解】联立2
41
2y x y x =-⎧⎨=+⎩，解得：13x y =⎧⎨=⎩
或311x y =⎧⎨=⎩，故{(1,3),(3,11)}A B ⋂= 19．要建造一面靠墙、且面积相同的两间相邻的长方形居室（靠墙一侧利用原有墙体），如图所示.如果已有材料可建成的围墙总长度为30m ，那么当宽x （单位：m ）为多少时，才能使所建造的居室总面积最大？居室的最大总面积是多少？（不考虑墙体厚度）
【答案】居室的宽为5m 时，居室的最大总面积是275m .
【分析】由题意，若把材料全部用完，得到两间居室的总长为()303m,010x x -<<，再由长方形的面积公式建立模型求解.
【详解】解：由题意，若把材料全部用完，则两间居室的总长为()303m,010x x -<<， 设所建造的居室总面积2m y ， 则()()2
3033575y x x x =-=--+，
当居室的宽为5m 时，居室的面积最大，居室的最大总面积是275m .
20．小明在学习“用函数的观点求解方程与不等式”时，灵光一动，为课本上一道习题“已知,a b 为正数，求证：()114a b a b ⎛⎫
++≥ ⎪⎝⎭
.”得到以下解法：
构造函数()()2
114f x a b x x a b ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭
，
因为()()2
21140f x a b x x
a b ⎛⎫=++++=+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当11x a b =-=-时取等号；
所以对于函数()()2114f x a b x x a b ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭可得()2
11440a b a b ⎛⎫∆=-++≤ ⎪⎝⎭
，当且仅当11a b -=-时
Δ0=，
即()114a b a b ⎛⎫
++≥ ⎪⎝⎭
，当且仅当a b =时可取等号.
阅读上述材料，解决下列两个问题：
(1)若实数,,,,a b c d x 不全相等，请判断代数式“()2222
244
a b c d x a b c d x ++++++++”的取值是正还
是负；（直接写出答案，无需理由）
(2)求证：()()2
22224a b c d a b c d +++≥+++，并指出等号成立的条件.
【答案】(1)正
(2)证明见解析，当且仅当a b c d ===时取等号
【分析】（1）将代数式化为2222
2222a b c d x x x x ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由此可知恒正；
（2）由()2222
2
404
a b c d x a b c d x ++++++++
≥，可知0∆≤，由此可得结论；根据()2222
2
404
a b c d x a b c d x ++++++++=的条件可得取等条件.
【详解】（1）()22222
44a b c d x a b c d x ++++++++2222
2222a b c d x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
,,,,a b c d x 不全相等，2222
02222a b c d x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++++++> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
()2222
2
44
a b c d x a b c d x +++∴+++++取值为正.
（2）()()2
2222
4a b c d a b c d +++≥+++
由（1）知：()22222
44a b c d x a b c d x ++++++++2222
02222a b c d x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+++++++≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（当
且仅当2x a b c d -====时取等号），
()()2
222240a b c d a b c d ∴∆=+++-+++≤，
即()()2
2222
4a b c d a b c d +++≥+++（当且仅当a b c d ===时取等号）.
21．已知()y f x =是定义在D 上的函数，对于D 上任意给定的两个自变量的值12,x x ，当12x x ≠时，如果总有()()12f x f x ≠，就称函数()y f x =为“可逆函数”. (1)判断函数()11
f x x x
=+是否为“可逆函数”，并说明理由；
(2)已知函数()2y f x =在区间()0,∞+上是增函数，证明：()()()21
,0,F x f x x x =-∈+∞是“可逆函数”；
(3)证明：函数()()31
x f x a x a x
=
+∈-R 是“可逆函数”的充要条件为“0a =”. 【答案】(1)()11
f x x x
=+不是“可逆函数”，理由见解析
(2)证明见解析 (3)证明见解析
【分析】（1）根据对勾函数的单调性可确定()1f x 与()2y a a =>恒有两个不同的交点，知()1f x 不是“可逆函数”；
（2）任取210x x >>，可得()()()()21
21222112
0x x F x F x f x f x x x --=-+>，知()F x 在()0,∞+上为增函数，符合“可逆函数”定义； （3）当0a =时，任取()()12,,00,x x ∈-∞+∞且12x x ≠，由()()12
323112
0x x f x f x x x --=
≠可知充分性成立；假设当()31x f x x a x =
+-是“可逆函数”时，0a ≠，构造方程12x x a x
+=-，化简整理为一元二次
方程，由方程有两个不等实根可知121122
11
2x x x a x x a x +=+=--，与“可逆函数”定义矛盾，知假设错误，必要性得证. 【详解】（1）
()11
f x x x
=+
在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()11min 12f x f ∴==， 则()1f x 与()2y a a =>恒有两个不同的交点，记为12,x x ， 则12x x ≠，()()1112f x f x a ==，不符合“可逆函数”定义，
()11
f x x x
∴=+
不是“可逆函数”. （2）任取210x x >>，则()()()()()()2121222122212112
11
x x F x F x f x f x f x f x x x x x --=-
-+=-+； ()2f x 在区间()0,∞+上是增函数，()()22210f x f x ∴->，
又210x x ->，120x x >，()()210F x F x ∴->，
()F x ∴在区间()0,∞+上是增函数，则当12x x ≠时，()()12F x F x ≠恒成立， ()()()21
,0,F x f x x x ∴=-∈+∞是“可逆函数”.
（3）先证明充分性：当0a =时，()31
1f x x
=+，则()3f x 的定义域为()(),00,∞-+∞；
任取()
()12,,00,x x ∈-∞+∞且12x x ≠，
则()()1232312112
11110x x
f x f x x x x x --=+
--=≠，即()()3132f x f x ≠， ()3f x ∴为“可逆函数”，充分性成立；
再证明必要性：假设当()31
x f x x a x
=+-是“可逆函数”时，0a ≠， 构造关于x 的方程：
1
2x x a x
+=-，化简可得：()2210x a x a -++=， 显然0x =与x a =均不是方程的根，又()2
2214410a a a ∆=+-=+>，
解方程可得：1x =
2x =12x x ≠，
则
12112211
2x x x a x x a x +=+=--，即()()31322f x f x ==，与()3f x 是“可逆函数”矛盾， ∴假设不成立，即0a =，必要性成立；
综上所述：函数()()31
x f x a x a x
=
+∈-R 是“可逆函数”的充要条件为“0a =”. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题的求解和证明；解题关键是充分理解“可逆函数”的定义，将问题转化为函数单调性的证明或一元二次方程根的个数的讨论.
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